Physikalisches Praktikum f¨ur Physiker - Physikalisches Institut

Eberhard-Karls-Universität Tübingen
1
Fakultät für Mathematik und Physik
Physikalisches Institut
Physikalisches Praktikum
für Physiker
Tübingen, März 2008
1 Raum für Notizen

Vorwort
Die vorliegende Anleitung wurde im April 2003 zum großen Teil neu erstellt. Es wurde versucht,
eine möglichst einheitliche Strukturierung zu erreichen und die Anleitung möglichst
kurz und übersichtlich zu halten. Zu jedem Versuch werden Stichworte genannt, die in den
angegebenen Lehrbüchern zu studieren sind, so dass die an der Anleitung gestellten Fragen
beantwortet werden können. Folgende Lehrbücher und Skripten sind aus unserer Sicht
empfehlenswert:
1. W. Demtröder, Experimentalphysik 1-3, Springer-Verlag
2. E. Otten, Repetitorium Experimentalphysik, Springer-Verlag
3. Bergmann/Schäfer, Experimentalphysik (viele Bände, sehr ausführlich)
4. Gerthsen/Meschede, Physik, Springer-Verlag, 21. Auflage
5. Berkeley Physik-Kurs (z.T. sehr ausführlich)
6. G. Staudt, Experimentalphysik I und II, Wiley-VCH (Skriptum der Physik-Vorlesung
von Prof. Staudt, Tübingen)
7. Tipler, Physik
8. D. Geschke, Physikalisches Praktikum, BG Teubner Stuttgart/Leipzig
9. W.H.H. Gränicher, Messung beendet – was nun?, BG Teubner Stuttgart (ausführliches
Buch zur Fehlerrechnung)
Bei den meisten Versuchen wird noch explizit der entsprechende Abschnitt
angegeben bzw. auf weitere Literatur hingewiesen. Für einige Versuche
Versuche sind auch Skripte zur Vorbereitung im WWW gesammelt:
http://www.pit.physik.uni-tuebingen.de/praktikum/anfaenger
Einer kurzen Versuchsbeschreibung folgen die Aufgaben zur Messung und zur Auswertung.
Zusätzliche Informationen zum Versuch wie längere theoretische Ableitungen, technische
Hinweise etc. finden sich im jeweiligen Anhang.
1. Versuchsvorbereitung und Protokollführung
Die inhaltliche Vorbereitung auf den Versuch erfolgt mit Hilfe der jeweils angegebenen Literatur,
so dass Sie in der Lage sind, die in der Vorbereitung genannten Fragen sicher zu beantworten.
Bei Problemen in der Vorbereitung dürfen Sie sich nicht scheuen, den zuständigen
Assistenten zu konsultieren oder auch den Versuchsaufbau zu besichtigen. Verwenden Sie
genügend Zeit für die Vorbereitung auf den Versuch, selbst wenn der Stoff günstigstensfalls
gerade Inhalt der Vorlesung war.
Neben der inhaltlichen Vorbereitung auf den Versuch sollten Sie auch den Versuchsablauf
nach Möglichkeit schriftlich planen, dies ermöglicht ein zügiges Arbeiten während des Versuches
und erspart Ihnen u.U. auch viel Zeit bei der Fertigstellung des Protokolles. Schauen
Sie sich zur Vorbereitung auch gute Protokolle älterer Semester an, wie sie z.T. auch von der
Fachschaft Physik angeboten werden. Hüten Sie sich jedoch davor, diese Protokolle auch nur
auszugsweise wörtlich zu übernehmen, dies muss als Betrug gewertet werden.
Jeder Versuchsteilnehmer fertigt ein eigenes Protokoll an, das aus gehefteten (keine
Büroklammern!) A4-Blättern besteht. Das Protokoll dokumentiert die Versuchsvorbereitung,
-durchführung und Auswertung und darf daher nicht mit Bleistift geführt werden. Es muss
eine Rekonstruktion des Versuchsablaufs erlauben, daher ist jeder Messwert und jede Zwischenrechnung
im Protokollbuch zu notieren. Fehlerhafte Eintragungen sind sauber durchzustreichen
und gegebenfalls mit einer Erläuterung zu versehen.
Grafische Darstellungen sind, soweit sie manuell angefertigt werden, auf Millimeterpapier zu
zeichnen. Alle Achsen sind zu beschriften, Diagramme sind mit einer Legende zu versehen.
Zur Ausarbeitung des Protokolls kann selbstverständlich der Computer zu Hilfe genommen
werden, um die Ergebnisse und Messfehler zu berechnen, Diagramme zu zeichnen sowie den
Schriftsatz mit Hilfe geeigneter Textverarbeitungs- oder Satzprogramme zu erstellen. Dabei
ist jedoch folgendes zu beachten:
• das handschriftlich erstellte Protokoll ist das Originaldokument des Versuches und ist
daher immer Bestandteil der Ausarbeitung.
• Messwerte sind grundsätzlich direkt und ohne fehlerträchtige Umrechnung in das vorbereitete
Protokoll einzutragen.
• Ausnahmen bilden Messverfahren, bei denen die Messwerte vom Computer o.ä. in
maschinenlesbarer Form erfasst wurden und ein Ausdruck der einzelnen Werte auf
Grund der Datenmenge nicht sinnvoll ist.
• Computergenerierte Diagramme sollten mindestens den gleichen Anforderungen wie
manuell erstellte Diagramme genügen. Dazu gehören eine sinnvolle Achsbeschriftung
und -unterteilung, eine Legende sowie eine Überschrift. Werden mehrere Messreihen
in ein Diagramm gezeichnet, so sind die Messwerte der einzelnen Reihen mit unterschiedlichen
Symbolen zu kennzeichnen. Soweit möglich, sind die Messpunkte mit
Fehlerbalken zu versehen. Grundsätzlich dürfen einzelne Messpunkte nicht durch Linien
oder Splines verbunden werden (wie das viele Programme standardmäßig tun),
dies ist unphysikalisch. Theoretische Zusammenhänge oder Ausgleichskurven sollen
hingegen mit genügend hoher Stützstellendichte als durchgehende Linien gezeichnet
werden.
• Protokolle, die Ihnen zur Korrektur zurückgegeben wurden, sollten bei der erneuten
Abgabe klar erkennen lassen, an welchen Stellen eine Korrektur erfolgte. Dazu geben
Sie zusammen mit dem beanstandeten Protokoll entweder eine überarbeitete Version
des Protokolls oder ein Korrekturblatt ab.

Als Beispiel für die Protokollführung kann folgendes Muster dienen:
Kopf des Protokolls: Name, Studienrichtung, Datum, betreuender Assistent
Abteilung, Versuchsbezeichnung, Messplatznummer
Aufgaben
Vorbereitung: Grundlagen
Die dem Versuch zu Grunde liegenden physikalischen Gesetze sind darzustellen, die
zur Lösung der in der Anleitung gestellten Fragen und zum Verständnis des Versuches
nötig sind. Dies erfolgt schriftlich im Protokoll. Dabei sind wichtige Gleichungen
zu notieren, vorkommende Größen sind zu erläutern, nötigenfalls ist der
Gültigkeitsbereich einzuschränken.
Es empfiehlt sich, bereits in der Vorbereitung die zur Berechnung bzw. der
Abschätzung der Messunsicherheit nötigen Formeln abzuleiten. Bewährt haben sich
Tabellen, die alle mit Unsicherheiten behafteten Größen mit deren zufälligen, systematischen
und Gesamtfehlern zusammenfassen. Es sollte auch stets der relative Fehler
(in %) berechnet werden, der insbesondere bei Benutzung der Maximalfehlermethode
eine bessere Übersicht ermöglicht.
Die verwendeten Messverfahren, -geräte, Schaltungen usw. sind kurz zu beschreiben.
Eine zeitliche Planung sowie eine Aufgabenverteilung ist, soweit möglich, ebenfalls
schriftlich vorzunehmen.
Messergebnisse: Die gemessenen Werte sind direkt in entsprechende Tabellen eingetragen,
die bereits Spalten für Umrechnungen und Zwischenergebnisse enthalten sollten. Der
Tabellenkopf sollte die physikalische Größe und ihre Einheit eindeutig kennzeichnen.
Messbereiche, gerätespezifische Daten und Angaben zur Ermittlung der Messunsicherheiten
sind zu notieren.
Auswertung: Berechnungen und wichtige Zwischenergenisse sind so darzustellen, dass
sich Ergebnisse mühelos rekonstruieren lassen. Graphische Darstellungen sind in geeigneten
Maßstäben anzufertigen. Die systematischen und zufälligen Messunsicherheiten
sind zu ermitteln und in die vorbereiteten Tabellen einzutragen.
Ergebnisse: Die entsprechend der Aufgabenstellung ermittelten Ergebnisse sind zusammen
mit den Messunsicherheiten, den korrekten Größenbezeichnungen und Einheiten, gerundet
auf signifikante Stellen, zusammen zu fassen. Die zugehörigen Diagramme sind
zu interpretieren und ggf. mit theoretischen Abhängigkeiten zu vergleichen. Entscheidend
ist abschließend die Diskussion der Ergebnisse, die notwendiger Bestandteil jedes
physikalischen Experiments ist. Wichtig sind dabei
• der Vergleich mit Literaturwerten
• die Übereinstimmung mit theoretischen Zusammenhängen
• der Vergleich mit anderen Messverfahren und -prinzipien
• die Diskussion der Einflüsse auf die Genauigkeit des Ergebnisses
• eine kritische Betrachtung zusätzlicher Fehlerquellen, die keinen Eingang in die
quantitative Messfehlerabschätzung fanden
2. Ablauf des Versuchstermins
In einem ca. einstündigen Kolloquium werden zunächst die dem Versuch zugrunde liegenden
physikalischen Sachverhalte diskutiert. Dies schließt eine Überprüfung der Vorbereitung
der Praktikanten durch den Assistenten ein. Bei nicht ausreichender Vorbereitung erfolgt
ein Ausschluss vom Versuch! Nach einer Einweisung in den Versuchsaufbau erfolgt
die Durchführung des Experiments durch die Praktikanten. Gehen Sie bitte sorgfältig mit Instrumenten
und Geräten um. Für grob fahrlässige Beschädigung oder Zerstörung wird Schadenersatz
verlangt.
Elektrische Schaltungen müssen grundsätzlich vom Assistenten kontrolliert werden, bevor
sie in Betrieb genommen werden dürfen.
Nach Versuchsende sind Schaltungen und eigene Versuchsaufbauten abzubauen, der Praktikumsplatz
ist ordentlich aufzuräumen.
3. Abgabe des Protokolls
Die vollständig ausgearbeiteten Protokolle sind grundsätzlich zum übernächsten Termin
fertigzustellen, d.h. nach einer Woche im Semesterpraktikum und nach zwei Tagen im
Blockpraktikum. Spätestens zwei Wochen nach dem jeweiligen Versuch muss der Versuch
testiert sein, ansonsten ist er zu wiederholen. In begründeten Fällen kann der Praktikumsleiter
Verlängerungen gewähren, wenn sie vor Ablauf der Frist beantragt werden.
Verzögerungen durch die Assistenten werden zu Gunsten der Praktikanten berücksichtigt.
Jeder Praktikant hat ein eigenes Protokoll abzugeben, das auch eine Kopie der gemeinsam
erstellten Ausarbeitung sein kann. Der aktuelle Stand der Protokolle kann
ebenso wie der Versuchsplan im WWW unter folgender Adresse eingesehen werden:
http://www.pit.physik.uni-tuebingen.de/studium
Achten Sie darauf, dass Ihre Versuche dort korrekt durch die Assistenten testiert werden,
denn die Einträge in der zu Grunde liegenden Datenbank sind maßgeblich für die Ausstellung
des Scheins. In allen Abteilungen befinden sich Körbe zur Abgabe der Praktika, zudem
existieren Schränke zur Abgabe bzw. zum Abholen der Protokolle. Ihre Assistenten weisen
Sie darauf hin.
Für die Unterstützung bei der Anfertigung der Anleitungen möchte ich mich bei Virginia
Oehmichen (Versuche GP, PP, SA), Tobias Clauß (Optik I), Sebastian Kraft (EO, LK, IK)
sowie Jan Bärtle (US, TE, PT, HG, FE, EF) bedanken. Die Anleitung zum Michelsonversuch
wurde von Florian Jessen geschrieben. Christoph von Cube, Christoph Back, Norbert Lages
und F. Jessen (Optik II) haben Verbesserungen zu einzelnen Versuchen geliefert.
Tübingen im März 2008,
Torsten Hehl.

Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
FA Analyse von Messunsicherheiten 1
MW Maxwellsches Rad 11
RP Reversionspendel 12
PP Physikalisches Pendel 13
GP Getriebenes Pendel 16
SG Stoßgesetze 19
SA Saitenschwingungen 22
PE Peltier-Effekt 24
LK Lorentzkraft 27
IK Induktion 32
WB Wechselstrombrücke 35
EO Oszilloskop 38
BL Brennweite von Linsen 42
GS Gitterspektrometer 82
MS Michelson-Interferometer 87
AG Auflösungsvermögen von Prisma und Gitter 91
PO Doppelbrechung und elliptisch polarisiertes Licht 94
RE Elektrische Resonanz 98
TR Transformator 105
FH Franck-Hertz-Versuch 113
PD Para- und Diamagnetismus 119
NR Natürliche Radioaktivität 125
US Ultraschall 133
PT Potentialtrog 141
EF Elektronen im elektromagnetischen Feld 149
TE Thermische Emission 159
FE Feldelektronenemission 164
HG Holographie 171
GI Beugungsgitter 46
NG Brechzahl von Glasplatten 50
MI Mikroskop 55
SC Optische Aktivität und Saccharimetrie 58
MR Mechanische Resonanz 61
ST Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine 70

FA
FA
Analyse von Messunsicherheiten
FA
Analyse von Messunsicherheiten
1. Literatur
W. Walcher, Praktikum der Physik (2. Aufl.), Kap. 1 u. 2
W.H.H. Gränicher, Messung beendet - was nun?, B.G. Teubner Stuttgart 1994, Kap. 1-3,9
S. Brandt, Datenanalyse, BI Wissenschaftsverlag 1992
Deutsche Norm ”
Grundlagen der Messtechnik“ DIN 1319, Mai 1996, Beuth-Verlag
Wikipedia: Messabweichung, Normalverteilung, Studentsche t-Verteilung, Eichung, Ausreißer
Eichordnung EO 1988: http://www.gesetze-im-internet.de/eo 1988/
CASSY: http://www.leybold-didactic.de
2. Motivation
Ziel des Praktikums ist es, neben dem Kennenlernen der Messtechnik und der Methodik des
Messens auch Erfahrungen in der Bewertung von Messergebnissen zu sammeln. Zum Beispiel
muss zur Prüfung der Gültigkeit eines theoretischen Modells die Qualität und Aussagekraft
der Messung bekannt sein. Jede physikalische Messung unterliegt zufälligen Schwankungen
und systematischen Abweichungen, die man im Begriff Messfehler (alte Bezeichnung)
oder treffender Messunsicherheit (neu nach DIN 1319-3) zusammenfasst. Im Versuch
soll an einem möglichst einfachen Experiment erlernt werden, welche Arten von Messunsicherheiten
auftreten, wie sie zu bestimmen sind und wie sich die Unsicherheiten einzelner
Messgrößen auf das Gesamtergebnis auswirken. Im Praktikum wird der kürzeren Bezeichnung
wegen oft Fehler synonym zu Messunsicherheit verwandt. Da im allgemeinen Sprachgebrauch
der Begriff Fehler jedoch meist mit ”
falsch“ assoziiert wird, jedoch die Messung
einer physikalischen Größe keineswegs falsch sein muss, wenn sie einen (unvermeidbaren!)
Messfehler besitzt, vermeidet man v.a. in der technischen Terminologie seit einigen Jahren
diesen Begriff zugunsten von Messunsicherheit.
3. Fragen zur Vorbereitung
• Wie sind folgende Verteilungsfunktionen definiert? Wo treten sie auf? (je ein Beispiel)
– Gleichverteilung (kontinuierlich und diskret)
– Binomialverteilung
– Gaußverteilung
– Poissonverteilung
• Wie lautet der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik?
• Was ist der Unterschied zwischen dem Messwert und dem wahren Wert? Wann existiert
überhaupt ein wahrer Wert?
1
• Erklären Sie die Begriffe wahrer Wert, mittlerer Messwert, zufällige und systematische
Messwertabweichung anhand des Treffermusters auf einer Schießscheibe.
Abbildung FA.1: Treffermuster auf einer Schießscheibe
• Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung, Vertrauensintervall und Fehlerbereich?
• Wann spricht man von Eichung, wann von Kalibrierung eines Messgeräts?
• Wie wirken sich die Messwertabweichungen der Eingangsgrößen auf die Ausgangsgröße
(Endergebnis) aus? Geben Sie die allgemeinen Berechnungsschemata an.
• Was ist ein Histogramm? Was ist die optimale Intervallbreite eines Histogramms?
4. Aufgabenstellung
Mit Hilfe eines Fadenpendels bestimme man die Schwerebeschleunigung g der Erde (Gymnasialdeutsch
”
Ortsfaktor“) aus Schwingungsdauer und Pendellänge.
Die Schwingungsdauer wird manuell mehrfach gestoppt, die Zeiten werden von einem PC
erfasst. Die Länge des Fadens wird mit einem Gliedermaßstab (vulgo Zollstock) ermittelt.
Ziel des Versuches ist es, aus den gemessenen Größen g und insbesondere die Messabweichung
∆g zu bestimmen und dabei die Methodik der sog. Fehlerrechnung kennen zu lernen
und nicht die möglichst präzise Ermittlung von g.
5. Grundlagen
Ziel einer physikalischen Messung ist es, möglichst gut den sog. ”
wahren Wert“ einer physikalischen
Größe zu ermitteln. In der Regel gibt es diesen wahren Wert aber gar nicht,
da der zu ermittelnde Wert von zahlreichen Einflussgrößen abhängen kann (z.B. Temperatur,
Luftfeuchtigkeit). Ein ideales Experiment zeichnet sich dann dadurch aus, dass es diese
Einflüsse möglichst weitgehend ausschließt oder korrigiert. Letztlich besitzt die Messgröße
2

Grundlagen
FA
FA
Analyse von Messunsicherheiten
meist quantenphysikalischen Charakter, d.h. sie stellt selber nur eine Wahrscheinlichkeitsdichte
dar. Nur in seltenen Fällen existiert daher ein wahrer Wert.
Im Praktikum kann man aber davon ausgehen, dass die Ungenauigkeit des Messverfahrens
größer ist als die Schwankungsbreite des wahren Wertes, so dass die Annahme seiner Existenz
eine gute Näherung ist.
In unserem Versuch wollen wir nun unter Annahme der Näherung des Fadenpendels
durch das mathematische Pendel (Punktmasse, masseloser und undehnbarer Faden) aus der
Schwingungsdauer ¯t und der Fadenlänge l die Fallbeschleunigung g ermitteln.
ϕ(t) =
)
1 (µ − t)2
√ · exp
(−
2π · σ 2σ 2
. (FA.2)
Die Parameter µ = E[ϕ(t)] und σ = E[ϕ(t − µ) 2 ] werden als Mittelwert und Standardabweichung
der Verteilung bezeichnet und entsprechen den Momenten µ = µ 1 (t, 0) bzw.
σ = µ 2 (t, µ). Die höheren Momente um A = µ verschwinden dann alle. Die kontinuierliche
Verteilung ergibt sich allerdings erst für eine unendliche Anzahl n von Messwerten t i , daher
sind die besten Abschätzungen für µ und σ gesucht. Diese sind (Beweis!)
g = (2π) 2 l¯t 2 .
(FA.1)
¯t = 1 n
n∑
i=1
t i mit lim
n→∞
¯t = µ
(FA.3)
5.1. Messwert und wahrer Wert
Messen heißt, mit einem Gerät und einem Verfahren Werte einer physikalischen Größe zu
ermitteln, die dem wahren Wert möglichst nahe kommen. Dabei kann die Messung auch mit
dem Computer simuliert sein.
sowie die Standardabweichung der Stichprobe:
n∑
(t
√ i − ¯t) 2
i=1
s t =
mit
n − 1
lim s t = σ
n→∞
(FA.4)
Wegen der unvermeidlichen Messabweichungen kann eine Messung stets nur einen
Schätzwert sowie die Unsicherheit dieses Schätzwertes liefern, nie den wahren Wert selber.
5.2. Statistische Schwankungen der Messwerte
Der Messvorgang unterliegt zahlreichen Einflüssen, so dass eine Wiederholung einer Messung
in der Regel zu einem anderen Messwert führt. Aus diesem Grund ist die Kenntnis der
Verteilungsfunktion der Messwerte x i (welche vom Messverfahren abhängen) entscheidend
für die Beurteilung der Qualität einer Messung. Alle diese Verteilungen ϕ(x) lassen sich
durch ihre Momente µ k bezüglich eines konstanten Ursprungs A charakterisieren:
µ k (x, A) = E[(x − A) k ] k = 1, 2, 3, . . .
Beachten Sie, dass sich die beiden Standardabweichungen um den Faktor √ n/(n − 1), die
sog. Besselkorrektur, unterscheiden. Durch die Berechnung des Mittelwertes aus der Stichprobe
sinkt die Zahl der verbleibenden Freiheitsgrade um eins, was man sich für n = 2 leicht
plausibel machen kann.
Die Größe s t wird auch als Standardabweichung des Einzelwerts bezeichnet, da jeder gemessene
Wert der gleichen Verteilungsfunktion unterliegt.
Die Standardabweichung des Mittelwerts s¯t ergibt sich aus folgender Beziehung:
n∑
s¯t = s (t i − µ)
t √
2
i=1
√ = n n(n − 1)
(FA.5)
E[y] bezeichnet dabei den Erwartungswert einer Verteilungsfunktion y. Für den Spezialfall
A = 0 ergeben sich dann die Momente ¯x, ¯x 2 , ¯x 3 usw. Aus den Momenten abgeleitete wichtige
Größen sind
Mittelwert : µ = µ 1 (x, 0)
Varianz : σ = √ µ 2 (x, µ)
Schiefe : γ 1 = µ 3(x, µ)
σ 3
Exzess : γ 2 = µ 4(x, µ)
σ 4
Mit dieser Größe ist die statistische Unsicherheit des Messergebnisses eigentlich hinreichend
charakterisiert. Meist interessiert in der Praxis aber auch noch der sog. Vertrauensbereich,
in dem ein vorgegebener Anteil 1 − α der Messwerte liegt. Die Größe α beschreibt also
die Irrtumswahrscheinlichkeit, d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Messwert zufällig
nicht im angegebenen Intervall liegt. Im Praktikum wird α = 0.05 angenommen, also ein
Vertrauensniveau von 95 %. Bei der Veröffentlichung wissenschaftlicher Ergebnisse wird
jedoch meist ein α = 0.02 . . .0.001 verwendet, bevor ein Ergebnis als signifikant angesehen
wird. Standardabweichung und Vertrauensintervall hängen wie folgt zusammen:
∆t zuf = F s (α, n) · s¯t
(FA.6)
Nach dem Zentralen Grenzwertsatz der Statistik sind die Messwerte oft normalverteilt, d.h.
sie gehorchen einer Gaußverteilung, die für unsere Zeitmessung folgende Form hat:
Der vom Vertrauensniveau und der Zahl der Messwerte abhängige sog. Student-Faktor F s
ergibt sich aus der Studentschen t-Verteilung, für große n und α = 0.05 ist F s (0.05, ∞) =
3
4

Grundlagen
FA
FA
Analyse von Messunsicherheiten
1.96 ≈ 2. Nur für n < 10 und/oder andere Werte von α ist es notwendig, den Student-Faktor
in entsprechenden Tabellen nachzuschlagen. Damit gilt im Praktikum meist die Beziehung:
∆¯x = 2s x
√ n
(FA.7)
Dies wird unter Physikern als zufälliger (oder statistischer) Fehler des Mittelwerts bezeichnet,
die DIN hält dafür keinen eigenen Begriff bereit.
Ordnung abschätzen:
g(t + ∆t sys , l + ∆l sys ) = g(t, l) + δg
δt · ∆t sys + δg
δl · ∆l sys + . . .
Damit erhält man den Betrag der systematischen Messunsicherheit:
∣ |∆g sys | =
δg
∣ δt · ∆t ∣∣∣ sys∣ + δg
δl · ∆l sys∣
(FA.9)
(FA.10)
5.3. Systematische Messwertabweichungen
Der Mittelwert aller Messwerte ¯t konvergiert zwar gegen µ, nur entspricht dies i.a. nicht
dem wahren Wert. Die Differenz wird als systematische Messwertabweichung bezeichnet.
Solche Abweichungen sind nur durch vergleichende Messungen mit anderen Apparaturen
oder Messmethoden ermittelbar. Dadurch sind sie prinzipiell korrigierbar, was von Herstellerseite
durch eine entsprechende Kalibrierung auch meist geschieht. Falls der Aufwand
nicht gerechtfertigt ist, begnügt man sich mit der Angabe der Fehlergrenzen. Ist die Kalibrierung
amtlich (z.B. bei Handelswaagen), so nennt man dies Eichung. Eichen dürfen nur
die zuständigen Eichämter, in Deutschland ist die oberste Eichbehörde die Physikalisch-
Technische Bundesanstalt mit Sitz in Braunschweig und Berlin. Sagen Sie daher nie ”
Eichung“,
wenn Sie ”
Kalibrierung“ meinen!
Für die indirekte Messung der Fallbeschleunigung g ist als Messgröße neben der Schwingungsdauer
¯t auch die Fadenlänge l zu bestimmen. Vom Praktikanten ist l mit Hilfe eines
Gliedermaßstabes ( ”
Zollstock“) zu messen. Überlegen Sie sich vorher, auf welche Stelle des
Pendelkörpers Sie die Längenmessung beziehen!
Als allgemeine Regel für nicht geeichte Geräte gilt, dass der systematische Fehler die Hälfte
der kleinsten Ableseeinheit plus 0.5 Promille des Ablesewertes beträgt, sofern der Hersteller
nichts anderes angibt. Weitere Eichfehlergrenzen sind in der Eichordnung EO 1988 zu
finden.
5.4. Fortpflanzung von Messwertabweichungen
Die Messwertabweichungen ∆t und ∆l pflanzen sich bei der Berechnung der Ergebnisgröße
g fort und wirken sich als Unsicherheit oder Fehler des Ergebnisses aus. Bei der Bestimmung
der Unsicherheit ∆g sys und ∆g zuf muss man die unterschiedliche Fortpflanzung systematischer
und zufälliger Messwertabweichungen beachten.
Der zufällige Unsicherheit ergibt sich aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz:
√ (δg ) 2 ( ) 2 δg
|∆g zuf | =
δt ∆t zuf +
δl ∆l zuf
(FA.8)
Die Auswirkung systematischer Messwertabweichungen der unabhängigen Größen t und
l bei kleinen Änderungen ∆t sys und ∆l sys kann man durch eine Taylorentwicklung erster
5
Für Funktionen der Form f = αx β y γ (x und y sind die fehlerbehafteten unabhängigen Messgrößen,
α, β und γ sind reelle Konstanten) empfiehlt sich das Verfahren der logarithmischen
Differentiation, was das wesentlich übersichtlichere Rechnen mit relativen Unsicherheiten
erlaubt:
d(ln f) = d(ln α) + β · d(ln x) + γ · d(ln y)
df
= 0 + β dx f x + γdy y
∣ ∆f
∣ f ∣ =
∣ β∆x
∣∣∣ x ∣ + γ ∆y
y ∣
Dies gilt für die relative systematische Unsicherheit. Analog gilt für die relative zufällige
Unsicherheit:
∣ ∣∣∣ ∆f
2
f ∣ =
∣ β∆x
2
x ∣ +
∣ γ∆y
2
y ∣
Wie lauten die entsprechenden Ausdrücke für die Unsicherheiten von g?
zuf
Systematische und zufällige Unsicherheit sind getrennt anzugeben, z.B.
t = 3.2 s ± 0.2 s (syst.) ± 0.1 s (zuf .) .
Oft findet man jedoch in der Praxis eine summarische Angabe der Gesamtunsicherheit.
5.5. Grobe Messfehler
Es gehört zu den Grundprinzipien wissenschaftlichen Arbeitens, unerwartete oder missliebige
Messwerte nicht zu unterdrücken. Vielmehr muss nach den Ursachen dieser ”
Ausreißer“
gesucht werden, u.U. verbirgt sich ja darin neue Physik. Im Praktikum ist jedoch meist ein
defektes Messgerät, falsches Ablesen einer Anzeige, Schreib- oder Tippfehler bei der Protokollierung
o.ä. die Ursache. Nur bei solch offensichtlichen groben Fehlern ist es gestattet,
die unsinnig stark abweichenden Werte in der Auswertung unberücksichtigt zu lassen, dies
ist allerdings im Protokoll zu vermerken.
6. Versuchsdurchführung
Man messe ca. 200 mal die Schwingungsdauer eines an der Decke hängenden Pendels. Für
die Zeitmessung wird das System CASSY-Lab der Firma Leybold Didactic verwendet.
6

0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
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0000 1111
Versuchsdurchführung
FA
FA
Analyse von Messunsicherheiten
6.1. Aufbau des Experiments
Durch das Drücken eines Tasters zwischen zwei Nulldurchgängen der Pendelschwingung
können n unabhängige Messwerte der Halbschwingungsdauer T/2 ermittelt werden. Jeweils
zwei Taster mit grünem bzw. rotem Kabel können an die entsprechende Box (Pendelversuch
Nr. 7077) angeschlossen werden, welcher seinerseits an die Eingänge A oder B eines
Sensor-CASSY-Moduls angeschlossen ist. Über ein USB-Kabel wird CASSY an einen PC
angeschlossen, so dass je CASSY/PC-Kombination mit bis zu vier Tastern gleichzeitig gemessen
werden kann. Notebooks stehen im Praktikum zur Verfügung, Sie können aber auch
Ihr eigenes Notebook verwenden, sofern die CASSY-Software darauf installiert ist. Melden
Sie sich unter ”
Praktikum“ an und starten Sie das Programm ”
CASSYLab“.
INPUT A
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
gungsdauern in ms (Spalten 2 – 5). Jede Messung mit einem der 4 Taster erzeugt daher eine
neue Zeile in der Messtabelle.
Während der Messung wird ein Histogramm dargestellt, in dem alle Messwerte akkumuliert
werden. Um die Messplätze unterscheiden zu können, wurde ein Offset von jeweils 2
Sekunden zwischen den Kanälen definiert. Schauen Sie sich zunächst die Definitionen der
abgeleiteten Größen und Darstellungen an (Taste F5). Üben Sie zunächst mit kurzen Messserien,
um mit CASSY vertraut zu werden. Weitere Erläuterungen gibt der Assistent vor Ort.
6.3. Messaufgaben
Führen Sie eine längere Messserie von ca. 10 bis 15 min Dauer durch, in der ca. 200 – 300
Messpunkte pro Pendel aufgenommen werden. Eine Abstimmung zwischen den Teilgruppen
ist daher unbedingt nötig. Speichern Sie das Ergebnis sofort nach Ende der Messung
ab! Kopieren Sie das Ergebnis auf einen mitgebrachten USB-Stick oder schicken Sie es sich
als E-Mail zu! Verwenden Sie das CASSY-eigene lab-Format, damit Sie die Ergebnisse problemlos
zu Hause weiter verarbeiten können.
Pendel−
Versuch
Messen Sie die Länge des Pendels. Auf welchen Punkt des Pendelkörpers muss sich die
Längenmessung beziehen, um die sog. reduzierte Pendellänge des hier vorliegenden physikalischen
Pendels zu ermitteln?
INPUT B
7. Auswertung
Nr. 7077
USB
Trafo
SENSOR CASSY
Abbildung FA.2: Anschluss der Taster an das CASSY-System
Eine erste Auswertung der Ergebnisse können Sie mit CASSY gleich vor Ort durchführen.
Mit Hilfe von CASSY kann man die Parameter der Messwertverteilung bestimmen: Wählen
Sie die Darstellung des Histogramm, halten Sie dann die rechte Maustaste gedrückt und
wählen Sie Weitere Auswertungen ◮ Gaußverteilung berechnen. Anschließend markieren
Sie mit der linken Maustaste den interessierenden Teil des Histogramms, der während
der Auswahl hellblau eingerahmt wird. Nach Loslassen der Maustaste erscheinen links unten
in der Statuszeile die Anzahl der Messwerte n sowie die Parameter µ und σ der Gaußverteilung.
6.2. Durchführung einer Messung mit CASSY
Die Zeitdauern der Tastendrucke werden CASSY-intern als ”
Dunkelzeiten“ tE A1 , tF A1 , tE B1
und tF B1 bezeichnet, dabei beziehen sich die Bezeichnungen E und F auf den grünen bzw.
roten Taster, die Indizes A und B auf die jeweiligen Eingänge von CASSY. Der Index 1 bezieht
sich auf die Nummer des CASSY-Moduls und ist hier bedeutungslos. In vier kleinen
Fenstern auf dem Bildschirm werden die Messzeiten angezeigt. Nach Betätigung der Taste
F9 (Start der Messung) werden alle Messwerte aufgezeichnet und erscheinen sowohl in einer
Tabelle als grafisch als Histogramm auf dem Bildschirm. Die Tabelle enthält neben der
fortlaufenden Zeit seit dem Start der Messung (erste Spalte) die gemessenen Halbschwin-
Bei der Auswertung zu Hause können Sie die Software Ihrer Wahl verwenden, die Daten lassen
sich aus CASSYLab mit rechte Maustaste → Tabelle kopieren in die Zwischenablage
kopieren und von dort in andere Anwendungen (z.B. Excel, Origin o.ä.) einfügen. Beschreibungen
der Auswertung mit verschiedenen Programmen werden wir auf der Anleitungsseite
im WWW sammeln.
Ihr Protokoll sollte folgendes enthalten:
1. Erstellen Sie Histogramme für n = 10, 25, 50, 100, 200 (bzw. aller) Messpunkte.
2. Schätzen Sie jeweils für n = 10, 25, 50, 100, 200 Messpunkte die Standardabweichung
s t , den Mittelwert ¯t sowie den Fehler des Mittelwertes ∆¯t entsprechend den Gln. FA.3–
FA.8 ab.
7
8

Fragen zur Versuchsdurchführung
FA
FA
Analyse von Messunsicherheiten
3. Berechnen Sie aus dem mit allen Werten eines Messplatzes gewonnenen Mittelwert
¯t die Erdbeschleunigung g. Berechnen Sie ∆g unter Benutzung der Messfehler von l
und t und wie in Gln. FA.8–FA.10 angegeben. Die Firma Leybold Didactic gibt für
die Zeitauflösung von CASSY 0.25 µs an. Die systematische Messabweichung des
” Zollstocks“ beträgt ∆l sys = 0.5 mm + 5 · 10 −4 l, der zufällige Fehler ∆l zuf ist aus der
Ablesegenauigkeit abzuschätzen. Achten Sie auf die unterschiedliche Berechnung und
getrennte Angabe von systematischem und zufälligem Fehler.
9. Beispiel für ein Histogramm
4. Von einer sinnvollen Zahl von Messwiederholungen spricht man dann, wenn die
zufällige Unsicherheit des Endergebnisses etwa gleich der systematischen Unsicherheit
ist. War das mit Ihrer Messung der Fall? Wenn nein, was wäre eine sinnvolle Zahl
n gewesen?
8. Fragen zur Versuchsdurchführung
• Was ist ein mathematisches Pendel? Geben Sie die Bewegungsgleichung an und berechnen
Sie die Schwingungsdauer! Zeigen sie quantitativ, welchen Einfluss die endliche
Ausdehnung des Pendelkörpers auf die Schwingungsdauer hat.
• Warum wird bei diesem Experiment die Bestimmung der Schwingungsdauer am Nulldurchgang
der Schwingung durchgeführt und nicht am Umkehrpunkt? Wann ist es,
abhängig von der gemessenen Schwingungsdauer, zum Erreichen kleiner zufälliger
Messabweichungen günstiger, im Umkehrpunkt oder im Nulldurchgang zu stoppen?
• Aus welchem Grunde sollten die Messungen der Schwingungsdauer einer Messreihe
nur von einem Praktikanten vorgenommen werden?
• Wie groß sollte man die Intervallbreite des Histogramms ungefähr wählen, wenn sich
bei den Messungen der Schwingungsdauer (n = 200) eine Standardabweichung von
s t = 0, 2 s ergeben hat?
• Ändert sich die Breite des Histogramms mit zunehmendem n?
• Wie ändert sich der zufällige Fehler, wenn man die Schwingungsdauer statt aus der
Messung von 200 mal einer Schwingungsdauer aus der einmaligen Messung der Dauer
von 200 Schwingungen ermittelt?
Schwingungsdauer
Abbildung FA.3: Beispiel eines Häufigkeits-Histogramms für n = 250 Messwerte.
Das Histogramm stellt die Häufigkeitsverteilung von 250 Messwerten dar. In der Legende
sind angegeben: Zahl der Messwerte n (Entries), Mittelwert ¯t (Mean), Varianz
√¯t2 √ − ¯t 2 =
n − 1
· s t (RMS, root mean square deviation). Angepasst wurde eine Gaußfunktion
n
n k (t) = n 0 · exp(− (t − ¯t) 2
). Die Größen Constant, Mean und Sigma entsprechen dabei
n 0 , ¯t bzw. s t .
2s 2 t
• Was lässt sich über die Messunsicherheit sagen, wenn bei wiederholten Messungen
jedesmal der gleiche Wert ermittelt wird? Hat der Assistent Recht, wenn er auf einer
weiteren Messung nach z.B. fünf identischen Messwerten besteht?
9
10

MW
RP
Reversionspendel
MW
Maxwellsches Rad
RP
Reversionspendel
Zubehör: Maxwellsches Rad, Stativmaßstab, Stoppuhr
Stichworte: Trägheitsmoment, Rotationsenergie, Energiesatz
1. Fragen zur Vorbereitung
• Wie ist das Trägheitsmoment starrer Körper definiert?
• Geben Sie das Trägheitsmoment einfacher geometrischer Formen an!
• Wie ändert sich das Trägheitsmoment bei Achsverschiebung und -drehung?
• Welche Kraft wirkt auf die Aufhängung des Maxwellrades in den einzelnen Bewegungsphasen
(Ruhe, Abrollen, Umkehrpunkt, Aufrollen)? Wovon hängt die Kraft am
Umkehrpunkt ab?
Versuchsanleitung: Das Maxwellrad wird bis zur Höhe h hochgerollt und dann losgelassen.
Die Fallzeit T bis zum Umkehrpunkt wird gemessen.
1. Bestätigung der quadratischen Abhängigkeit zwischen T und h. Bei 10 etwa
äquidistanten Fallhöhen h soll jeweils 5 mal die Fallzeit T bestimmt werden.
2. Bestimmung des Trägheitsmomentes Θ des Rades. Bei einer konstanten Fallhöhe h
(h > 30 cm) soll die Fallzeit 20 mal gemessen werden. Aus dem Mittelwwert von
T , dem wirksamen Achsenradius r und der Masse m des Rades ergibt sich Θ. Da sich
der Faden entlang seiner neutralen Faser aufrollt, ist r etwas größer als der Achsradius.
Aus der Länge des mit n Windungen aufgerollten Seilstückes lässt sich r über folgende
Beziehung ermitteln:
r = h
2πn
. Ermitteln Sie den systematischen und zufälligen Fehler ∆Θ.
Stichworte: Physikalisches Pendel, Reverslonspendel, harmonische Schwingung
Zubehör:
1. Versuchsanleitung
1 physikalisches Pendel
1 Kathetometer
1 Stoppuhr
M 1 sei die Masse zwischen den Schneiden A und B, M 2 die Masse außerhalb der Schneiden;
bei unveränderter Stellung von M 1 werden die verschiedenen Stellungen M 2 (x) die
Schwingungsdauern t A und t B um die beiden Schneiden als Achsen ermittelt. In einer graphischen
Darstellung, t A und t B als Funktion von x, gibt der Schnittpunkt beider Kurven die
Schwingungsdauer T des abgeglichenen Pendels. Im Nulldurchgang stoppen!
Zunächst wird die Lage des Schnittpunktes grob ermittelt (20 Pendelschwingungen je Messpunkt).
Die beiden Kurven werden dann in der unmittelbaren Umgebung des Schnittpunktes
genauer festgelegt (100 Pendelschwingungen je Messpunkt). Mindestens je 2 Messpunkte
rechts und links vom Schnittpunkt. Der Schneiden-Abstand wird mit dem Kathetometer gemessen.
Die Messung ist 10 mal durchzuführen. Die Schwingungsamplitude sollte höchstens
ϕ 0 = 10 ◦ sein. Warum?
2. Aufgabe
Es ist die Erdbeschleunigung g unter Berücksichtigung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer
von der Schwingungsamplitude zu bestimmen und eine Fehlerrechnung durchzuführen.
2. Auswertung
zu 1.: Diagramm T 2 (h)
zu 2.: Das Trägheitsmoment des Rades kann aus dem Energiesatz
mgh = 1 2 mv2 + 1 2 Θω2
bestimmt werden, wobei die Winkelgeschwindigkeit ω = v 2h
und v = ist. Das
r T
Trägheitsmoment Θ ist g/cm 2 anzugeben. Die Gleichung für v erhält man aus der für eine
gleichmäßig beschleunigte Bewegung geltenden Gleichung.
Bestimmen Sie die Messunsicherheit des Ergebnisses!
11
12

PP
Physikalisches Pendel
1. Motivation
Viele physikalische Situationen lassen sich in Analogie zum Pendel beschreiben, da sie der
gleichen Mathematik genügen. Die Kenntnis des physikalischen Pendels ist also notwendig
und soll in diesem Versuch vermittelt werden.
2. Grundlagen
2.1. Ungetriebenes Pendel
Das gesamte Trägheitsmoment des physikalischen Pendels beträgt
Θ = Θ 0 + ml 2
Θ 0 ist das Trägheitsmoment von Scheibe und Stäben. Das rückstellende Drehmoment aufgrund
der Gravitationskraft ist
T R = mgl · sin ϕ
.
Die Dämpfung durch den Ringmagneten ist proportional zur Geschwindigkeit der Scheibe.
Für das Drehmoment der Dämpfung erhält man:
Γ Ring ist die Dämpfungskonstante des Rings.
T D = Γ Ring · ˙ϕ ,
Mittels des Drehimpulserhaltungssatzes ergibt sich die Bewegungsgleichung des ungetriebenen,
gedämpften Pendels:
Θ¨ϕ + Γ Ring ˙ϕ + mgl · sin ϕ = 0
=⇒ ¨ϕ + Γ Ring mgl ˙ϕ +
Θ Θ · sin ϕ = 0
(PP.1)
(PP.2)
Für den Fall der Kleinwinkelnäherung (sin ϕ ≈ ϕ) lässt sich Gleichung PP.2 mit der bekannten
Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung vergleichen:
ẍ + 2λ · ẋ + ω 2 0 · x = 0.
(PP.3)
Hierbei sind die Dämpfung λ = Γ √
Ring mgl
2Θ und ω 0 = die Eigenfrequenz des freien,
Θ
ungedämpften Systems. Die Differentialgleichung PP.3 wird gelöst durch den Ansatz
x(t) = x 0 · e −λ·t · cos(ω D t + δ).
13
(PP.4)
PP
PP
Für die Frequenz des gedämpften Systems ω D findet man
√
ω D = ω0 2 − λ 2
√
= ω0 2 − Γ2
4Θ 2.
Physikalisches Pendel
Handelt es sich um ein mathematisches Pendel (Θ 0 → 0), ist die Eigenfrequenz
√ √ √ mgl mgl g
ω 0 =
Θ = ml = .
2 l
3. Vorbereitung (schriftlich)
(PP.5)
(PP.6)
Stichworte: mathematisches/physikalisches Pendel, Differentialgleichung des Pendels
und Lösung, Eigenfrequenz, gedämpfte Schwingung, logarithmisches Dekrement
Literatur Bergmann-Schäfer, Band I, Kapitel I.4 20, de Gruyter Verlag, Berlin
Gerthsen, Physik, Springer Verlag
Demtröder, Experimantalphysik 1 (Mechanik und Wärme), Kapitel 11.1, 11.2, 11.4, Springer
Verlag
Staudt, Experimentalphysik I, Verlag John Wiley, Berlin
Hinweis: Bitte bringen Sie eine Diskette oder CD-R/RW mit zum Versuch!
Aufgaben
1. Wie sieht die Differentialgleichung eines freien,gedämpften (mathematischen) Pendels
aus?
2. Wie lautet die Lösung ϕ(t)?
3. Skizzieren Sie diese Lösung!
4. Wie lassen sich daraus die Eigenfrequenz ω 0 und die Dämpfung bestimmen?
4. Versuchsaufbau
Das Pendel (Abb. PP.1) besteht aus einem Stab, an dem eine Masse m befestigt ist. Es kann
sowohl die Masse als auch die Länge des Pendelarms variiert werden. Der Stab ist fest mit
einer Achse verbunden, die mit Kugellagern gehalten wird. An dieser Achse befindet sich
noch eine Aluminium-Scheibe zum Anlegen von Drehmomenten und ein Drehgeber, der die
Position des Pendels misst und von einem Computer ausgelesen wird. Um das Pendel zu
dämpfen, positioniert man einen starken Ringmagneten aus NdFeB (Vorsicht mit Scheck-
Karten!) in der Nähe der Magnete. Bewegt die Scheibe sich am Magneten vorbei, so werden
Wirbelströme in der Scheibe induziert und die Scheibe gebremst.
14

Aufgaben
PP
GP
Getriebenes Pendel
GP
Getriebenes Pendel
1. Motivation
5. Aufgaben
5.1. Pendel ohne Antrieb
Abbildung PP.1: Seitenansicht des Pendels ohne Dämpfung.
Kleinwinkelnäherung Messen Sie ϕ(t) bei fester Länge l und fester Masse m und verschiedenen
Startpositionen (Auslenkwinkeln ϕ 0 ). Bestimmen Sie ω 0 für Auslenkwinkel von
7.5 ◦ , 10 ◦ , 20 ◦ , 30 ◦ , 50 ◦ , 70 ◦ und 100 ◦ . Wie hängt die Eigenfrequenz von der Auslenkung ab?
Wann gilt die Kleinwinkelnäherung (sin ϕ ≈ ϕ)? Stellen Sie die Abhängigkeit der Schwingungsdauer
T von der Ausgangsauslenkung ϕ 0 grafisch dar!
Frequenzbestimmung
1. für 3 verschiedene Längen l des Pendels
2. für 6 verschiedene Massen 1m . . .6m
Messen Sie am ungedämpften System die Kreisfrequenz ω
Dämpfungen Bestimmen Sie die Dämpfung des Systems (ohne Dämpfungsmagnete)!
Messen Sie ϕ(t) für 3 verschiedene von Ihnen eingestellte Dämpfungen (bei fester Länge
und Masse).
5.2. Auswertung
• Ab wann gilt die Kleinwinkelnäherung?
• Bestimmen und zeichnen Sie die Massenabhängigkeit der Kreisfrequenz ω(m) und die
Längenabhängigkeit der
√
Kreisfrequenz ω(l)! Vergleichen Sie die Messergebnisse mit
mgl
der theoret. Formel ω = Was fällt auf?
Θ
Lässt sich die Erdbeschleunigung g berechnen? Wie groß ist diese?
• Werten Sie die systemeigene Dämpfung und die 3 von Ihnen eingestellten
Dämpfungen aus! Ändert sich die Frequenz mit unterschiedlicher Dämpfung?
15
Im Anschluss an das physikalische gedämpfte Pendel soll hier nun noch der Fall des getriebenen
Pendel demonstriert werden.
Ein physikalisches Pendel mit verschiedenen Dämpfungen und Antrieben zeigt eine Vielzahl
von interessanten Effekten wie z. B. Resonanz, Einrasten auf eine externe Frequenz
oder auch chaotisches Verhalten. Es kann als anschauliches Modell für andere physikalische
Systeme dienen. Im Hinblick darauf sollen in diesem Versuch einige Eigenschaften des
getriebenen Pendels untersucht werden.
2. Grundlagen
Legt man an ein gedämpftes Pendel ein konstantes Drehmoment k an, ergibt sich folgende
Bewegungsgleichung:
Θ¨ϕ + Γ total ˙ϕ + mgl · sin ϕ = Γ dc ω dc = k = const.
(GP.1)
mit Γ total = Γ Ring + Γ dc . Division durch Θ und Substitution der Dämpfung λ = Γ total
√ √ 2Θ und
mgl
der Eigenfrequenz ω 0 =
Θ − Γ2 total mgl
4Θ ≈ 2 Θ ergibt:
wobei die Kleinwinkelnäherung nicht gilt.
Es lassen sich jedoch verschieden Fälle betrachten:
1. konstante Lösung für ˙ϕ = ¨ϕ = 0
2.
k
ω 2 0
≫ 1; λ ≫ 1
¨ϕ + 2λ ˙ϕ + ω 0 sin ϕ = Γ dcω dc
Θ = k , (GP.2)
3. Vorbereitung (vor dem Versuch auf A4-Blatt)
3.1. Stichworte:
mathematisches/physikalisches Pendel, Differentialgleichung des Pendels und Lösung, Eigenfrequenz,
gedämpfte Schwingung, logarithmisches Dekrement, getriebenes Pendel
16

Versuchsaufbau
GP
GP
Getriebenes Pendel
3.2. Literatur
Permanentmagnete
Dämpfung
Bergmann-Schäfer, Band I, Kapitel I.4 20, de Gruyter Verlag,Berlin
Gerthsen, Physik, Springer Verlag
Demtröder, Experimentalphysik 1 (Mechanik und Wärme), Kapitel 11.1, 11.2, 11.4, Springer
Verlag
3.3. Aufgaben
1. überarbeiten Sie nochmal den ersten Teil des Versuches ”
Physikalisches Pendel“ und
wiederholen Sie die Theorie!
2. Was erwarten Sie, wenn man das Pendel gleichmäßig antreibt?
Wie würde dann die ϕ(t)-Kurve aussehen?
3. Wie sieht im ersten Fall die Lösung der Gleichung GP.2 aus? Was bedeutet das physikalisch
anschaulich?
4. Versuchsaufbau
Der Aufbau entspricht dem Physikalischen Pendel. Zusätzlich sind folgende Antriebe angebracht:
ac 2 - und dc-Antrieb (Abb. GP.1). Wir werden hier den dc-Antrieb untersuchen.
Elektrisch angetriebene und mit kleinen starken Permanentmagneten bestückte Scheiben
werden nahe an die Scheibe des Pendels gestellt, wodurch sich das Drehmoment über Wirbelströme
überträgt. Der größere der beiden Motoren (mit der kleineren Scheibe) dreht nur in
eine Richtung und wird daher ”
dc-Antrieb“, der kleinere Motor (mit der größeren Scheibe)
in beide Richtungen und wird mit ”
ac-Antrieb“(vgl. Abb. GP.1) bezeichnet.
5. Aufgaben
5.1. überschlagendes Pendel
ac−Antrieb
m
ϕ
l
dc−Antrieb
Abbildung GP.1: Vorderansicht des Pendels mit Antrieben und Dämpfung.
• die dem Drehmoment entsprechende kritische Spannung U dc,c , ab der das Pendel
überschlägt.
• den kritischen Winkel ϕ c , ab dem das Pendel überschlägt.
• die mittlere Winkelgeschwindigkeit 〈 ˙ϕ〉, mit der das Pendel bei überschreiten
von U dc,c rotiert.
• die dem Drehmoment entsprechende Spannung U dc,r , ab der das Pendel nicht
mehr überschlägt. Hierzu lassen Sie das Pendel überschlagen und reduzieren anschließend
das Drehmoment (also die Spannung am Motor) wieder bis das Pendel
nicht mehr überschlägt.
Führen Sie diesen Versuch für sehr starke und schwache Dämpfung durch. Wie unterscheiden
sich die Messungen?
2. Bestimmen Sie die Zeitabhängigkeit des Auslenkwinkels ϕ(t) für sehr starke (Ringmagnet)
und schwache Dämpfung (ohne Ringmagnet) für verschiedene externe Drehmomente
(Motorspannungen). Wie unterscheiden sich die Kurven bei verschiedenen
Dämpfungen?
Jetzt soll ein konstantes Drehmoment an das Pendel angelegt werden. Bringen Sie dazu den
dc-Antrieb an die Scheibe.
1. Messen Sie die mittlere Winkelgeschwindigkeit 〈 ˙ϕ〉 in Abhängigkeit des angelegten
Drehmoments. Das angelegte Drehmoment ist der Frequenz des Motors ω dc proportional.
ω dc wiederum wird als proportional zur am Motor angelegten Spannung U dc
angenommen. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit 〈 ˙ϕ〉 wird vom Computer aufgrund
des vom Drehgeber gemessenen Auslenkwinkels mit Hilfe einer internen Uhr ermittelt.
Verwenden Sie zunächst eine kleine Dämpfung und bestimmen sie hierfür:
2 ac = alternative current; das Antriebsrad schwingt hin und her.
17
18

SG
SG
Stoßgesetze
SG
Stoßgesetze
Stichworte: Elastischer Stoß, unelastischer Stoß, Schwerpunkt
Zubehör:
Kugelstoßapparat
2 Stahlkugeln
Glaskugel (Murmel)
Kohlepapier
Stichworte: Elastischer Stoß, unelastischer Stoß, Schwerpunkt
1. Fragen zur Vorbereitung:
1. Trägt man die Geschwindigkeitsvektoren der Kugeln im Schwerpunktsystem alle von
einem Punkt P aus ab, so liegen ihre Spitzen auf Kreisen. Wieso?
2. Wie liegen die Mittelpunkte der Kreise relativ zum Punkt P?
3. Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden Kugeln im Schwerpunktsystem nach
dem Stoß?
4. Wieso müssen die Aufprallpunkte der gestoßenen Kugel um r 1 + r 2 (Radien der Kugeln)
in Richtung auf die Drehachse versetzt werden?
2. Versuchsanleitung
Eine Stahlkugel durchläuft auf einer Schiene einen bestimmten Höhenunterschied und stößt
mit horizontaler Geschwindigkeit auf eine zweite, ruhende Kugel (Stahl oder Glas). Beide
Kugeln fallen vom Augenblick des Stoßes an frei und prallen auf eine waagrechte Fläche.
Auf die Aufprallfläche wird ein Blatt Papier (A4) geklemmt. Durch aufgelegtes verschiedenfarbiges
Kohlepapier werden die Aufprallpunkte von stoßender und gestoßener Kugel
festgehalten (am besten bestimmt man durch Stoß ohne Kohlepapier schon vorher die ungefähren
Aufprallpunkte).
Mit Hilfe einer Hülse lässt sich die gestoßene Kugel leicht wieder auf die Auflage legen.
Diese Auflage ist um eine senkrechte Achse drehbar, außerdem kann sie auf zwei verschiedene
Höhen eingestellt werden. Durch Drehen der Auflage wird der Stoßparameter zwischen
einlaufender und ruhender Kugel verändert, durch die Höhenverstellung wird erreicht, dass
die Mittelpunkte von stoßender und gestoßener Kugel (sowohl für die Stahlkugel als auch für
die Murmel) im Augenblick des Stoßes in gleicher Höhe liegen. Für die Murmel verwendet
man die untere Einstellung, für die Stahlkugel die obere.
Das Ende der Drehachse ist auf dem Papier zu markieren. Der Kugelstoßapparat ist so konstruiert,
dass der Mittelpunkt der stoßenden Kugel sich genau dann senkrecht über der Drehachse
befindet, wenn die ruhende Kugel berührt wird und diese frei zu fallen beginnt.
Man ändere den Stoßparameter so, dass die Kurven, auf denen die Aufprallpunkte liegen,
möglichst gleichmäßig mit Messpunkten belegt sind. D.h., die sich ergebenden Kreise
19
müssen klar als solche zu erkennen sein. Kennzeichnen Sie die Punkte so, dass stoßende und
gestoßene Kugel unterschieden werden können. Bei streifendem oder nahezu zentralem Stoß
kann die Kugel mit kleinem Impuls beim Herabfallen die Auflagevorrichtung berühren. In
diesem Fall ist nur der Aufprallpunkt der Kugel mit großem Impuls zur Auswertung heranzuziehen.
Bemerkungen:
Trägt man die Geschwindigkeitsvektoren der Kugeln nach dem Stoß für verschiedene Stoßparameter
alle von einem Punkt aus ab, so liegen ihre Spitzen bei einem ideal elastischen
Stoß auf zwei konzentrischen Kreisen. Für die Radien der sich ergebenden Geschwindigkeitskreise
gilt
v 1
= m 2
, (SG.1)
v 2 m 1
wobei Index 1 die stoßende und Index 2 die gestoßene Kugel bezeichnet.
Bei gleicher Fallzeit liegen die Spitzen der Flugweitenvektoren dann ebenfalls auf Kreisen
und es gilt
R 1
= m 2
. (SG.2)
R 2 m 1
Die Lage der gestoßenen Kugel ändert sich nun mit dem eingestellten Stoßparameter. Die
Aufprallpunkte der gestoßenen Kugel müssen deshalb um den Betrag (r 1 + r 2 ) in Richtung
auf die Drehachse versetzt werden, um den gewünschten Kreis zu erhalten, r 1 bzw. r 2 sind
die Radien der Kugeln 1 und 2.
Auch nach dieser Korrektur sind die beiden Kreise nicht konzentrisch. Wegen nicht zu beseitigender
systematischer Fehler der Versuchsanordnung (Reibung zwischen den Kugeln beim
Stoß, Rotation der Kugeln) bekommt die gestoßene Kugel eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente
parallel zur Geschwindigkeit v 10 der einlaufenden Kugel.
Zur Auswertung legt man am besten durchsichtiges Papier über die Aufnahme, bestimmt
darauf die Mittelpunkte der jeweils vier Punkte eines festen Stoßparameters und bringt dann
die Korrektur an. Für diese korrigierten Mittelpunkte misst man die in Formel SG.3 auftretenden
Größen.
3. Aufgaben
1. Man bestimme je 4 Aufprallpunkte bei ca. 15 verschiedenen Stoßparametern
a) bei zwei gleichen Kugeln (Stahl auf Stahl)
b) bei zwei verschiedenen Kugeln (Stahl auf Glas)
2. Ist ϕ der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten nach dem Stoß, s 1 bzw. s 2 die
Flugweiten der Kugeln, dann gilt für das Massenverhältnis der Kugeln
(
m 2
= 1 − 2 · s1 s1
cosϕ , = v )
1
(SG.3)
m 1 s 2 s 2 v 2
v 1 bzw. v 2 sind die Beträge der Geschwindigkeiten nach dem Stoß.
20

Aufgaben
SG
SA
Saitenschwingungen
Leiten Sie diese Formel ab. Zeichnen Sie zu diesem Zweck die Addition der Impulsvektoren
auf, und benutzen Sie Impuls- und Energiesatz.
3. Berechnen Sie nach Formel SG.3 das Massenverhältnis für Stöße mit 5 ◦ < β < 85 ◦
wobei β der Winkel zwischen v 10 und der Verbindung der Mittelpunkte M 1 M 2 der
Kugeln 1 bzw. 2 ist. v 10 ist die Geschwindigkeit der ankommenden Kugel.
4. Bestimmen Sie m 2
m 1
aus den Kreisradien.
SA
Saitenschwingungen
1. Motivation
In der Physik können viele Phänomene mittels Wellen beschrieben werden: Schall breitet
sich als Welle aus, ebenso Licht oder Wasserwellen. Die grundlegenden Eigenschaften von
Wellen werden hier an einem einfachen eindimensionalen Beispiel, den Saitenschwingungen,
erlernt.
2. Grundlagen/Vorbereitung
Stichworte: Longitudinal- und Transversalschwingungen, Harmonische Schwingung, Eigenschwingung,
Wellen, stehende Wellen, Saitenschwingung, Wellengleichung
Fragen:
• Was ist eine Eigenschwingung, was sind Oberschwingungen?
• Was sind Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit? Zusammenhang
dieser Größen?
• Was ist eine stehende Welle und wie lautet die Bedingung für eine stehende Welle bei
einer Saite der Länge L?
• Wie sieht die Reflexion am offenen Ende bzw. am festen Ende aus?
• Wie ist der Zusammenhang zwischen Schwingung und Welle?
• Was ist eine longitudinale Welle? Was eine transversale Welle? Beispiele für beide?
• Wie lautet die allgemeine Wellengleichung?
• Herleitung der Wellengleichung für ein eindimensionales, kontinuierliches Medium
(Saite)?
• Wovon ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit bei einer gespannten Saite abhängig?
Literatur:
• Berkeley Physik-Kurs, Frank S.Crawford, Jr., Band 3 (Schwingungen und Wellen),
Kapitel 2.1, 2.2, Vieweg Verlag
• Demtröder, Experimentalphysik 1 (Mechanik und Wärme), Kapitel 11.9.3-11.9.5,
Springer Verlag
• Skript zum Versuch im WWW:
www.pit.physik.uni-tuebingen.de/praktikum/anfaenger
21
22

Beschreibung des Versuchs
SA
PE
Peltier-Effekt
3. Beschreibung des Versuchs
PE
Peltier-Effekt
Im vorliegenden Versuch werden Eigenschwingungen eines Gummibands mit Hilfe eines
mechanischen Erregers, der im wesentlichen wie ein Lautsprecher funktioniert, hervorgerufen.
Ein Schema des Versuchaufbaus ist in Abb. SA.1 gezeigt. Die Schwingungsfrequenz
wird durch einen Frequenzgenerator erzeugt und angezeigt. Erreicht die Erregerfrequenz den
Wert einer Eigenschwingung, so kommt es zu einer Resonanzerscheinung, d.h. die Amplitude
der Saitenschwingung wird deutlich zunehmen. Durch Abzählen der Knoten kann festgestellt
werden, welche Oberschwingung angeregt wurde. Die Saitenspannung T kann durch
Auflegen zusätzlicher Gewichtsstücke variiert werden. Die Saitenlänge wird durch Einspannen
des Gummibandes, nachdem eine bestimmte Spannung gewählt wurde, festgelegt.
1. Motivation
Der Peltier-Effekt ist ein wichtiges Phänomen des Ladungstransports in Metallen und Halbleitern.
Peltier-Elemente finden vielfältige Verwendung zur kompakten Kühlung bzw. Heizung.
Die Untersuchung der Eigenschaften eines kommerziell erhältlichen Peltierelements
ist Ziel des Versuches. Es soll der Gütefaktor z (figure of merit) bestimmt werden.
2. Literatur
Masse
Klemme
L
Lautsprecher
Auf der Homepage des Physikalischen Instituts sind zur theoretischen Vorbereitung einige
Arbeiten zusammengetragen, die eine zügige Einarbeitung in das Thema ermöglichen. Unter
www.pit.physik.uni-tuebingen.de/studium finden die Arbeiten unter Praktikum/Anleitungen.
3. Fragen zum Versuch
4. Messungen
Abbildung SA.1: Schema des Versuchaufbaus
1. Man messe bei 3 verschiedenen Spannungen (und konstanter Saitenlänge) möglichst
viele Eigenschwingungen der Saite. Die einzelnen Massestücke sind bezeichnet, die
Saitenlänge ist auszumessen.
2. Man messe bei einer Spannung mit 3 verschiedenen Längen mindestens 3 Eigenschwingungen.
5. Aufgaben zur Auswertung
• Tragen Sie die gemessenen Frequenzen der ersten Messung in einem Diagramm als
Funktion der Nummer der Eigenschwingung (ν n = f(n)) auf und bestimmen Sie die
Grundfrequenzen ν 0 für die drei Massen aus der Steigung der Geraden. Bestimmen
Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten c für die drei Spannungen und den Mittelwert
der Massenbelegung µ der Saite. überlegen Sie, wie Ihre Messgröße ν und die Kreisfrequenz
ω der stehenden Welle zusammenhängen!
• Zeigen Sie mit den Ergebnissen der zweiten Messung, dass die Grundfrequenz umgekehrt
proportional zur Saitenlänge ist.
23
• Erklären Sie den Seebeck- und den Peltiereffekt.
• Stellen Sie die Leistungsbilanz für den Peltiereffekt auf.
• Leiten Sie ab, bei welchem Strom I opt sich der maximale Temperaturunterschied zwischen
warmer und kalter Seite ergibt.
• Nennen Sie sinnvolle Gebiete und Randbedingungen für den Einsatz von Peltierelementen!
4. Versuchsdurchführung
1. Der Widerstand R P des Peltier-Moduls soll durch Messung von Strom und Spannung
bestimmt werden. Messen Sie die Spannung unmittelbar nach dem Einschalten der
Stromquelle und bei möglichst kleinem Strom (Warum?). Wählen Sie eine statistisch
sinnvolle Anzahl von Messungen bei verschiedenen Strömen.
2. Bestimmen Sie den Seebeck-Koeffizienten α S des Peltierelements, der sich aus dem
Strom I opt bei maximaler Temperaturdifferenz ∆T max und dem Widerstand R P ergibt:
α S = I optR P
T k
(PE.1)
T k ist die Temperatur des Peltierelements auf der kalten (Ober-)Seite. Man messe
dazu die Widerstände R th der Pt-1000-Thermometer und bestimme so die Kaltwie
auch die Warmseitentemperatur T w bei verschiedenen Strömen. Es ist wichtig,
24

Versuchsdurchführung
PE
PE
Peltier-Effekt
5. Anhang: Ermittlung der Temperaturen
A
V
Abbildung PE.1: Bestimmung des Widerstands des Peltierelements
dass die Messpunkte mit maximaler und minimaler Temperatur bei I ≠ 0 in der
Messreihe enthalten sind. Die Anzahl der Messpunkte kann wieder selbstständig
gewählt werden, wobei es sinnvoll ist, die Messpunktdichte zu variieren. In welchen
Stromintervallen sollten viele Punkte gewählt werden? Bestimmen Sie die zum
gemessenen Widerstand R th gehörigen Temperaturen aus mit Hilfe der im Anhang
angegebenen Approximation.
Die Temperaturen T werden im Versuch mit Hilfe eines Platinwiderstandes
(Pt-1000 ähnlich DIN EN 60751) gemessen und können aus dem Widerstand
R th mit Hilfe einer Tabelle ermittelt werden, die Sie beim Hersteller unter
http://www.ephy-mess.de/deutsch/daten/pt1000d.htm finden. Kopien
dieser Tabelle liegen am Versuchsplatz aus. Interpolieren Sie zwischen den Stützpunkten.
Im interessierenden Bereich von -50 ◦ C bis 100 ◦ C kann die Temperatur auch aus folgender
Polynomapproximation berechnet werden, die maximale Abweichung beträgt dabei 4 mK:
T
2∑
( ) n
◦
C = Rth
a n
kΩ − 1
n=1
(PE.4)
Die Koeffizienten sind a 1 = 255.85 und a 2 = 9.98. Vorteilhaft ist diese Methode insbesondere
bei Verwendung eines PCs.
Wichtig: Um eine Zerstörung der Module zu verhindern, sollte auf der warmen Seite
eine Temperatur von 70 ◦ C nicht überschritten werden.
T W
Peltierelement
Thermo−
fühler
V
U S
Abbildung PE.2: Anordnung zur Messung der Thermospannung
3. Ermitteln Sie den Wärmeleitkoeffizienten k aus folgender Beziehung:
k =
α 2 S
2R∆T max
· T 2 k
(PE.2)
4. Es soll der Gütefaktor z (figure of merit) bestimmt werden. Er ist als das Verhältnis
z = α2 S
R · k
(PE.3)
definiert.
25
26

LK
1. Problem
Lorentzkraft
In diesem Versuch lernen Sie die Kraftwirkung eines ⃗ B-Feldes auf eine bewegte Ladung
kennen. Dies untersuchen sie an zwei Beispielen: Zunächst untersuchen sie die Auslenkung
eines Elektronenstrahls in einem Helmholtzspulenpaar. Im zweiten Versuchsteil messen sie
mit Hilfe einer Waage die Kraft eines ⃗ B-Feldes auf einen stromdurchflossenen Leiter.
2. Vorbereitung
Stichworte: Strom, Stromdichte; Erzeugung von Magnetfeldern (Magnetfeld eines geraden
Leiters, Magnetfeld einer Spule, Helmholtzspulen, Gesetz von Biot-Savart); Kraftwirkung
eines ⃗ B-Feldes auf eine bewegte Ladung (Lorentz-Kraft);
Literatur:
Demtröder II Kapitel 3.3 ”
Kräfte auf bewegte Ladungen in Magnetfeldern“
Fragen:
• Wie sieht das Magnetfeld eines Leiters aus? Was passiert, wenn man ihn zu einer
Schlaufe biegt / eine Spule wickelt?
• Wie berechnet man allgemein das Magnetfeld eines Leiters?
• Was macht ein Elektron, das durch ein homogenes Magnetfeld fliegt? (Warum?)
• Leiten sie die Gleichung LK.4 aus der Lorentz-Kraft her.
• Welche weiteren Effekte kennen Sie, bei denen die Lorentzkraft eine Rolle spielt?
3. Einführung / Aufbau
3.1. Elektronenstrahl im Magnetfeld
Im ersten Teil dieses Versuchs wird ein Elektronenstrahl im homogenen Magnetfeld untersucht.
Der Elektronenstrahl wird an einer Glühkathode erzeugt. Die austretenden Elekronen werden
durch einen Wehneltzylinder fokussiert und bis zu einer durchbohrten Anode beschleunigt.
Die Geschwindigkeit der so beschleunigten Elektronen ergibt sich aus der Beschleunigungsspannung
U:
1
2 mv2 = eU (LK.1)
In dem ⃗ B-Feld der Spulen wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft
⃗F = q · ⃗v × ⃗ B
27
(LK.2)
LK
LK
Lorentzkraft
Da die Bahn der Elektronen von vornherein senkrecht zum B-Feld ⃗ ist, werden sie durch
die Lorentzkraft, die wiederum senkrecht zum Feld und zur Flugrichtung der Elektronen angreift,
auf eine Kreisbahn gebracht. Der Radius der Kreisbahn ergibt sich aus der Bedingung,
dass die Lorentzkraft gleich stark ist wie die Zentrifugalkraft (F = mv2 ). Setzt man diese
r
beiden Kräfte gleich, so kann man die entstehende Gleichung nach e/m auflösen. So kann
man durch Messen des Radius das Verhältnis der Ladung der Elektronen zu deren Masse
bestimmen.
In der Mittelebene zwischen den Spulen herrscht in guter Näherung ein homogenes Feld:
⃗B = µ 0 · 1, 43 N D · I Spule
Dabei ist N = 130 Die Windungszahl der Spule und D = 0, 3 m der Spulendurchmesser.
3.2. Leiter im Magnetfeld
(LK.3)
Um die Kraftwirkung eines Magetfeldes auf bewegte Ladung zu Messen, benötigt man
zunächst ein Magnetfeld. In diesem Versuch wird es durch eine Spule erzeugt, die in der
Abbildung LK.1: Aufbau: Links die Spule mit der Leiterschleife; Rechts: Skizze von vorne.
Mitte einen Spalt hat. In diesem Spalt ist ein Leiter angebracht (s. Abb. LK.1). Damit die
Kraftwirkung groß genug ist, handelt es sich bei dem Leiter um eine Spule mit 40 Wicklungen.
Diese Tauchspule hängt an einer Balkenwaage.
Bringt man einen geraden stromdurchflossenen Leiter in ein B-Feld, ⃗ so wirkt eine Kraft F ⃗ L
auf diesen Draht. Sie hängt ab von dem Strom I L im Leiter, von seiner Länge L L und von
seiner Richtung ⃗n:
⃗F = L L · I L · ⃗n × B ⃗ (LK.4)
Eine Zylinderspule erzeugt in ihrem Inneren ein einigermaßen homogenes Magnetfeld H. ⃗
Es hängt ab von der Gesamtlänge L Sp , von dem Radius r, von der Windungszahl N und vom
Strom in der Spule I Sp :
⃗H =
I Sp · N
(LK.5)
√L 2 Sp + 4r2
Bei einer Spule mit Spalt a ergibt sich die etwas kompliziertere Beziehung
(
)
⃗H = I Sp · N L Sp + a
· √
L Sp (LSp + a) 2 + 4r − a
√ . (LK.6)
2 a2 + 4r 2
28

Aufgaben
LK
LK
Lorentzkraft
Die in diesem Versuch benutzen Spulen haben eine Länge von L Sp = 0, 4 m und einen
Radius von r = 5, 3 cm. Die Länge des eintauchenden Leiterstücks ist ebenfalls 5,3 cm.
4. Aufgaben
1. Elektronenstrahl: Bestimmen sie den Radius der Flugbahn der Elektronen bei verschiedenen
Werten für den Spulenstrom und die Beschleunigungsspanung.
2. Leiterschleife:
6. Anhang: Das magnetische Feld eines Helmholtz-Spulenpaares
Im Versuch wird ein Helmholtz-Spulenpaar zur Erzeugung des Magnetfeldes verwendet. So
kann man auf eine direkte Messung von B verzichten, da das Magnetfeld aus dem Spulenstrom,
der Windungszahl und der Spulengeometrie berechnet werden kann.
Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei kurzen, dünnen Spulen mit gleicher Windungszahl
n und mit gleichem Radius R, die mit gleicher Achse im Abstand 2a = R voneinander
aufgestellt sind und vom Strom I durchflossen werden (Abbildung LK.2). ”
Kurz“ bedeutet,
dass die Wicklungslänge klein gegen den Radius R ist, und ”
dünn“, dass die Wicklungsdicke
klein gegen R ist.
(a) Zunächst soll die Abhängigkeit der Kraft von dem Strom im Leiter bestimmt
werden. Halten Sie dazu den Strom in der Spule I Sp und der Abstand zwischen
den beiden Spulen (a = 1 cm) konstant. Bestimmen Sie für jede Masse M =
100 mg, M = 200 mg,. . . , M = 1000 mg den Strom im Leiter I L , der nötig ist,
um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen.
(b) Jetzt wird die Abhängigkeit von ⃗ B bestimmt. Der Spalt zwischen den Spulen
bleibt dabei wieder konstant. Auch der Strom im Leiter I L wird konstant gehalten.
Gleichen Sie diesesmal die Gewichtskraft der aufgelegten Massen durch den
Strom in der Spule aus.
R
P
2a
R
(c) Nicht nur der Strom in der Spule, auch der Abstand der Spulen zueinander hat
einen Einfluss auf das ⃗ B-Feld zwischen den Spulen. Um dies auszumessen wird
nun der Abstand zwischen den Spulen variiert (1 cm bis 4 cm in 1cm Schritten).
Der Strom in den Spulen I Sp bleibt dabei konstant. Messen Sie den Strom im
Leiter I L , der nötig ist, um die Waage bei den verschiedenen Spaltbreiten im
Gleichgewicht zu halten.
Abbildung LK.2: Geometrie eines Helmholtz-Spulenpaares
Um Betrag und Richtung der magnetischen Induktion B im Zentrum der Anordnung (Punkt
P in Abbildung LK.2) zu berechnen, berechnet man zunächst nach dem Gesetz von Biot
und Savart das Feld eines Kreisstroms mit dem Radius R und der Stromstärke I auf der
Symmetrieachse im Abstand a von der Kreisebene (Abbildung LK.3).
5. Auswertung
ds
1. Elektronenstrahl: Berechnen sie e für Elektronen (Fehlerrechnung und Vergleich mit
m
Literaturwert nicht vergessen)
2. Leiterschleife: Zeichnen sie zunächst ein Diagramm mit der gemessenen Kraft in
Abhängigkeit des angelegten Stromes in der Tauchspule. Die Steigung der Ausgleichsgeraden
soll mit einem berechneten Wert verglichen werden. Dasselbe wiederholen sie
mit einem Diagramm der Kraft in Abhängigkeit des ⃗ B-Feldes. Diskutieren sie dabei
auch ihre Messunsicherheiten und schätzen sie den Größtfehler ab. Können sie im
Rahmen ihrer Fehler das Lorentzsche Gesetz bestätigen?
R
l
a
Abbildung LK.3: Berechnung des Magnetfelds eines Helmholtz-Spulenpaares
dB
3. Berechnen sie ⃗ B zunächst aus dem Strom in der Tauchspule und anschließend aus
den Daten für die Feldspule (Strom und Spaltgröße). Tragen sie beide Werte in
Abhängigkeit von der Spaltgröße in dasselbe Diagramm. Diskutieren sie das Ergebnis.
Das Stromelement d⃗s ruft nach Biot und Savart im Punkt P die magnetische Induktion
dB = µ 0 I
(ds × l )
(LK.7)
4π l 2 l
29
30

Anhang: Das magnetische Feld eines Helmholtz-Spulenpaares
LK
IK
Induktion
−7 Vs
Vs
hervor. Dabei ist µ 0 = 4π · 10 = 1.25664 · 10−6 die magnetische Feldkonstante
Am Am
und ⃗ l der Abstandsvektor zwischen dem Stromelement und dem Punkt P, an dem das Feld
berechnet werden soll.
IK
Induktion
1. Problem
Ähnlich wie die elektrische Feldstärke beim Coulombschen Gesetz nimmt die magnetische
Induktion für ein Stromelement quadratisch mit dem Abstand ab. Sie ist proportional zur
Stromstärke, ähnlich wie die elektrische Feldstärke zur erzeugenden Ladung proportional ist.
Ähnlich wie bei der Lorentzkraft steht die magnetische Induktion senkrecht auf der Fläche,
die von dem Stromelement d⃗s und dem Abstandsvektor ⃗ l aufgespannt wird.
Dieser Versuch hat im Wesentlichen zwei Ziele: Zum einen sollen Sie sich einen grundlegenden
physikalischen Effekt – die Induktion – genauer anschauen. Dabei werden Sie auf
den Zusammenhang zwischen dem von einer Spule erzeugten Magnetfeld ⃗ H und der magnetischen
Induktion ⃗ B stoßen. Außerdem sollen Sie den Umgang mit Strom- und Spannungsmessern
kennenlernen.
Um die gesamte magnetische Induktion zu berechnen, müssen die Beiträge aller Stromelemente
summiert (integriert) werden. Zerlegt man zunächst den Anteil d ⃗ B in je eine Komponente
senkrecht und parallel zur Symmetrieachse (x-Achse), so erkennt man, dass sich die
senkrechten Komponenten gegenseitig auslöschen, während sich die parallelen Komponenten
addieren. Für die Komponente parallel zur x-Achse ergibt sich nach Gleichung LK.7 und
Abbildung LK.3
und damit für das Magnetfeld
dB || = µ 0 I
4π l 2ds sin ϕ ; sin ϕ = R R
= √
l R2 + a 2
B = µ ∫
0 I 2πR
4π l sin ϕ ds = µ 0 I R
√ 2 4π (R 2 + a 2 ) R2 + a 22πR = µ 0 IR 2
2 (R 2 + a 2 ) . 3/2
0
Um die magnetische Induktion auf einem Achsenpunkt in der Mitte zwischen den beiden
Spulen eines Helmholtzspulenpaares zu bekommen, muss die nach dieser Gleichung berechnete
Induktion nur noch mit der Windungszahl n jeder der beiden Spulen und außerdem,
weil beide Spulen beitragen, mit einem Faktor 2 multipliziert werden. Der Radius R
stellt nun den mittleren Radius der Spulen dar, und a bedeutet nun die Hälfte des mittleren
Abstandes der beiden Spulen. Die magnetische Induktion in der Mitte zwischen den beiden
Spulen hat damit den Betrag
B =
µ 0 n R 2 I
, (LK.8)
(R 2 + a 2 )
3/2
2. Vorbereitung
Stichworte: Magnetfelder: Erzeugung von Magnetfeldern, Gesetz von Biot-Savart; Induktion:
Induktionsspannung, magnetischer Fluss, magnetische Flussdichte, Lenzsche Regel,
Selbstinduktion; Zusammenhang zwischen ⃗ B und ⃗ H: Induktionskonstante µ 0 , Magnetisierung
⃗ M.
Literatur:
Demtröder II Kapitel 3 (Vor allem 3.2) und 4 (Insbesondere 4.1 bis 4.3)
Fragen:
• Wie misst man Strom und Spannung? Was passiert, wenn man beides gleichzeitig
messen möchte?
• Wie hängen ⃗ B und ⃗ H zusammen?
• Wie sieht das Magnetfeld einer Spule aus? (Skizze)
• Welcher physikalische Effekt führt bei der unten unter ”
Achtung“ beschriebenen Situation
dazu, dass der Stromgenerator durchbrennt?
• Ergänzen Sie die fehlenden Kabel und das Voltmeter sowie das Amperemeter in Abbildung
IK.1.
und die Richtung von ⃗ B ist parallel zur Symmetrieachse.
3. Aufbau
Der Aufbau dieses Versuches ist denkbar einfach (s. Abb. IK.1): Im Prinzip sind nur zwei
Spulen nötig: Die erste (die Feldspule) erzeugt ein magnetisches Feld. Diese Spule wird
an einen Dreiecksstromgenerator angeschlossen. Er liefert einen Strom, der mit konstanter
Geschwindigkeit von 0 A auf 5 A anwächst und wieder abfällt. Diese Geschwindigkeit lässt
sich einstellen. Um den Verlauf des Stromes anschauen zu können, müssen Sie in diesem
Stromkreis zusätzlich die Stromstärke messen!
Um die Feldspule herum ist eine zweite Spule angebracht: die Induktionsspule. Wenn sich
der Strom in der Feldspule ändert, wird hier eine Spannung induziert. Diese messen Sie mit
31
32

Durchführung
IK
IK
Induktion
um von 0,5 A auf 4,5 A anzusteigen. Zeichnen Sie gleich nach der Messung eine Eichkurve
mit der Stromanstiegsgeschwindigkeit abhängig von der Einstellung des Dreiecksstromgenerators.
1. Induktionsspannung:
(a) Stellen Sie die Induktionsspule in die Mitte der Feldspule und messen Sie die
Induktionsspannnung bei 20 verschiedenen Stromanstiegsgeschwindigkeiten.
(b) Die magnetische Flussdichte ⃗ B hängt nicht nur von dem von der Spule erzeugte
Magnetfeld ⃗ H ab, sondern auch von der Magnetisierung ⃗ M des Materials in der
Spule. Überzeugen sie sich davon, indem sie z.B. einen Schlüsselbund in die
Feldspule einführen.
Abbildung IK.1: Aufbau
dem Voltmeter. Die Induktionsspule kann längs der Feldspule verschoben werden, um die
Abhängigkeit des Flusses von der Position zu messen.
Achtung: Wenn der Stromgenerator abgestellt wird, während er gerade einen hohen Strom
liefert, so fällt der Strom in der Feldspule sehr schnell von 5 A auf 0 A ab. Der schnelle Feldabfall
sorgt dafür, dass hohe Spannungen induziert werden. Frage: Wo werden Spannungen
induziert, und was für Konsequenzen hat das? Wie lässt sich das Problem vermeiden?
Daten zur Feldspule:
2. Magnetfeld der Spule:
In der Mitte der langen Spule ist das Magnetfeld ungefähr homogen. Der Fluss durch
die Induktionsspule ändert sich daher bei kleinen Abweichungen von der Mittelposition
nur wenig. Anders am Ende der Spule: Hier fällt der Fluss bei zunehmender
Entfernung von der Mitte rapide ab. Diesen Abfall sollen Sie messen. Stellen Sie dazu
die Stromanstiegsgeschwindigkeit auf ihren maximalen Wert. Messen sie die Induktionsspannung
in Abhängigkeit der Position der Induktionsspule. Denken Sie daran,
auch über das Spulenende hinaus zu messen. Ca. 20 Punkte in sinnvollem Abstand
ergeben eine schöne Kurve (Bevor Sie mit der eigentlichen Messung beginnen, sollten
Sie ausprobieren, in welchem Bereich es sich lohnt zu messen und wo Sie die
Messpunkte am dichtesten setzen.).
Länge:
L = 90, 0 cm
mittlerer Durchmesser D = 9, 0 cm
Windungszahl N Feldsp = 655
Feld in der Mitte der Spule: B = µ 0 ·
Fluss in der Mitte der Spule: Φ = µ 0 ·
I · N
√
L2 + D 2
I · N
√
L2 + D · π
2 4 · D2
5. Auswertung
1. Zeichnen Sie ein Diagramm mit der Induktionsspannung pro Wicklung der Induktionsspule
in Abhängigkeit der Stromanstiegsgeschwindigkeit. Bestimmen Sie aus der
Steigung einer Ausgleichsgeraden und den Geometriedaten der Feldspule die Induktionskonstante
µ 0 . Schätzen Sie die Messunsicherheit ab und diskutieren Sie das Ergebnis.
Daten zur Induktionsspule:
Länge:
Windungszahl:
Durchmesser:
L = 1 cm
N 1 = 1600 mit Anzapfungen bei 400 und 800 Windungen
D innen = 9, 8 cm D aussen = 10, 2 cm
2. Erstellen Sie ein Diagramm mit der Induktion in Abhängigkeit der Position der Induktionsspule.
Markieren Sie darin auch das Spulenende. Entspricht die Messung Ihren
Erwartungen?
4. Durchführung
Vor der eigentlichen Messung muss der Dreieckstromgenerator kalibriert werden. Dazu stellen
sie den Generator zunächst auf einen langsamen, dann auf einen mittleren und zuletzt auf
einen schnellen Stromanstiegswert. Jedes Mal messen Sie die Zeit, die der Strom braucht,
33
34

WB
WB
Wechselstrombrücke
WB
Wechselstrombrücke
1. Vorbereitung
Stichworte: Wechselstromwiderstand, Blindwiderstand, Wirkwiderstand, Gegeninduktivität,
Kopplungsfaktor, Hintereinanderschaltung von Induktlvitäten, Wechselstrombrücke,
Zeigerdiagramm
Literatur: Bergmann-Schaefer II (Wechselströme, Wechselstromkreis).
B
Rx
L x
R’ a
10 bzw. 500 Ω
C
R’ b
R n
L n
D
Fragen:
• Erläutern Sie, unter welchen Bedingungen das Ohmsche Gesetz gültig ist.
A
R a
1000 Ω
R b
E
• Wie funktioniert die Wheatstone-Brücke im Gleichstromfall?
• Was ist ein komplexer (oder Wechselstrom-) Widerstand? Erläutern Sie das Prinzip
mit Hilfe von Zeigerdiagrammen oder formaler komplexer Rechnung.
• Was sind Selbst- und Gegeninduktivität von Spulen?
Abbildung WB.1: Schaltbild: R n : Verlustwiderstand d. Vergleichsnormales, R x : Verlustwiderstand
des Messobjektes, L n : Blindwiderstand des Vergleichsnormales, L x : Blindwiderstand
des Messobjektes
2. Versuchsaufbau
Die Messung von Induktivitäten und Kapazitäten mit der Wheatstoneschen Brücke geschieht
prinzipiell genau so wie die Messung Ohmscher Widerstände. Man verwendet bei diesem
Versuchsaufbau Wechselstrom im Bereich der Tonfrequenz. Der Nullabgleich erfolgt über
einen Kopfhörer.
Bei vollständigem Abgleich gilt (unter der Voraussetzung, dass R a und R b rein Ohmsche
Widerstände sind):
Größenabgleich:
und für den Phasenabgleich:
Dabei sind:
Z x = Scheinwiderstand des Zweiges ABC
Z n = Scheinwiderstand des Zweiges CDE
ϕ x = Phasenverschiebung im Zweig ABC
ϕ n = Phasenverschiebung im Zweig CDE
R a
R b
= Z x
Z n
tanϕ x = tan ϕ n
(WB.1)
(WB.2)
Der Tonfrequenzgenerator und die Potentiometer sind in einem gemeinsamen Gehäuse eingebaut
und sollen vom Praktikanten jeweils selbst verschaltet werden (Kontrolle durch
den Assistenten). Als Abgleichpotentiometer werden Wendelpotentiometer verwendet. Das
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1000 Ω-Potentiometer dient zum Größenabgleich (R a , R b ) während zum Phasenabgleich
(R a, ′ R b ′ ) bei den Induktivitäten das 500 Ω-Potentiometer und bei den Kapazitäten das 10 Ω-
Potentiometer verwendet wird. Die Potentiometer sind so eingebaut, dass bei Skalenwert
Null der Schleifer links und beim Skalenwert 10 der Schleifer rechts steht.
Die Vergleichsnormale und die Messobjekte sind in getrennten Gehäusen eingebaut. Es ist
darauf zu achten, dass Vergleichsnormal und Messobjekt mit demselben Buchstaben gekennzeichnet
sind.
3. Aufgaben
1. a) Messung der Einzelkapazitäten zweier Kondensatoren
b) Messung der Kapazität bei Parallelschaltung der beiden Kondensatoren
c) Messung der Kapazität bei Reihenschaltung der beiden Kondensatoren
d) Vergleichen Sie die Ergebnisse von b) und c) mit denen, die Sie durch Rechnung
aus den Einzelmessungen von a) erhalten.
Die Messungen sollen mit jedem der beiden Verglelchsnormale durchgeführt werden.
2. Messung der Induktivitäten der beiden Wicklungen der Spule und deren Verlustwiderstände.
3. Messung der Gegeninduktivität der beiden Wicklungen von 2) aus den beiden
möglichen Reihenschaltungen (gleich und gegensinnig).
36

Fragen zur Auswertung
WB
EO
Oszilloskop
Schaltet man zwei Induktivitäten hintereinander, so erhält man die folgenden Gesamtinduktivitäten:
Bei gleichem Windungssinn : L gl = L 1 + L 2 + 2M (WB.3)
Bei ungleichem Windungssinn : L un = L 1 + L 2 − 2M (WB.4)
M ist die Gegeninduktivität.
4. Fragen zur Auswertung
1. Wie lauten die Ausdrücke für die Impedanzen und die Phasenverschiebung für Hintereinanderschaltung
von
a) Induktivität und Ohmschem Widerstand
b) Kapazität und Ohmschem Widerstand
c) allen drei Widerständen?
2. Veranschaulichung der drei Fälle im Zeigerdiagramm.
3. Ableitung der Abgleichbedingungen (WB.1) und (WB.2)
4. Was kann man bei abgeglichener Brücke über die Blind- und Verlustwiderstände einzeln
aussagen? (Folgt aus (WB.1) und (WB.2) mit den Ausdrücken für die Impedanzen).
5. Aufstellung des vollständigen Zelgerdiagrammes für die Wechselstrombrücke (zwei
Diagramme: ein Diagramm für die Spannungen und die Ströme und ein weiteres für
die vier Widerstände).
Zubehör:
Versuchsanordnung
Gehäuse mit Vergleichsnormalen
Gehäuse mit Messobjekten
Kopfhörer
EO
Oszilloskop
1. Ziel des Versuchs
Das Hauptziel dieses Versuchs ist es, die verschiedenen Funktionen eines Oszilloskop kennenzulernen
und zu verstehen. Dazu sollen sie im ersten Versuchsteil vieles einfach ausprobieren.
Anschließend wird das Oszilloskop dazu benutzt,das Ladeverhalten von Kondensatoren
und Spulen zu untersuchen.
2. Vorbereitung
Stichworte: Funktionsweise eines Oszilloskops; Aufladeverhalten von Kondensatoren und
Spulen
Literatur: Zum Oszilloskop: Alle Bücher über Physikpraktika. Z.B: Eichler, Kronfeld,
Sahm; Das Neue Physikalische Grundpraktikum.
Kondensator und Spule: z.B. Demtröder II Kapitel 2.2 und 5.4
3. Oszilloskop
Mit dem Wintersemester 2007/08 wurden die bisherigen analogen Oszilloskope durch moderne
Digitaloszilloskope (Tektronix TDS2002B) abgelöst. Auch wenn das Funktionsprinzip
völlig anders ist als das eines Elektronenstrahloszilloskops, so wurde doch das Bedienkonzept
weitgehend beibehalten. Informieren Sie sich z.B. bei Wikipedia über die Funktionsweise
und die Vorteile digitaler Oszilloskope.
3.1. y-t-Betrieb
Der y-t Betrieb dient dazu, den zeitlichen Verlauf einer Spannung sichtbar zu machen. Dabei
wird an die x-Ablenkplatten eine Kippspannung angelegt. Man sieht auf dem Bildschirm
also einen sich von links nach rechts bewegenden Punkt. Wenn er am rechten Bildschirmrand
angekommen ist, springt er wieder nach links. Bei schnell veränderlichen Kippspannungen
ist nur noch eine waagrechte Linie zu erkennen. Legt man an einen Eingang (CH 1 oder CH
2) eine sich zeitlich ändernde Spannung an, so wird diese auf die y-Ablenkplatten übertragen.
Die Spur des Punktes beschreibt dann auf dem Schirm eine Kurve.
Aufgabe 1: Versuchen Sie dies an Ihren Geräten zu reproduzieren. Zunächst ohne externe
Spannung, dann mit einem Funktionsgenerator.
3.2. Triggerung
Um ein stabiles Bild zu erhalten, muss der Punkt am linken Bildschirmrand immer an der
gleichen Phase des Signals beginnen. Dafür ist die Triggerung notwendig. (engl.: Trigger=
37
38

Kondensator und Spule
EO
EO
Oszilloskop
Auslöser) Nachdem sich der Punkt von links nach rechts bewegt hat, springt er zurück nach
links und wartet auf ein Signal, um wieder die Linie von neuem zu schreiben. Wenn Sie eine
Wechselspannung anlegen, kann dieses Startsignal z.B. immer wieder der Nulldurchgang
sein. Man kann einstellen, ob bei ansteigender oder abfallender Flanke des Signals getriggert
wird.
Aufgabe 2: Sehen Sie sich die verschiedenen Funktionen bei unterschiedlichen Frequenzen
an, versuchen sie das Bild mit externer Triggerung zu stabilisieren. Kopieren Sie ( ”
PRINT“)
den Bildschirminhalt auf Ihren USB-Stick und notieren sie dazu auch die Einstellungen am
Funktionsgenerator und die Skaleneinteilung am Oszilloskop. Bleiben Sie solange bei diesem
Aufgabenteil, bis sie die verschiedenen Funktionen des Oszilloskops ausgiebig probiert
haben. Benutzen sie auch mit zwei Funktionsgeneratoren beide Kanäle des Oszilloskops
gleichzeitig.
3.3. x-y-Betrieb
Auch an die x-Ablenkplatten kann statt der Kippspannung eine externe Spannung angelegt
werden (Darstellung im X-Y-Modus). Zwei sinusförmige Spannungen ergeben bei ganzzahligem
Verhältnis der Frequenzen zueinander ein geschlossenes, stehendes Bild, die sog.
Lissajous-Figuren. Die Überlagerung zweier Sinusspannungen mit gleicher Amplitude und
Frequenz, deren Phasen um 90 ◦ verschoben sind, ergibt beispielsweise einen Kreis auf dem
Bildschirm.
Aufgabe 3: Stellen Sie verschiedene Frequenzverhältnisse dar. Dabei soll zunächst an der
x- und y- Ablenkplatte eine Sinusspannung angelegt sein. Probieren sie dann aus, wie die
Bilder bei den anderen Spannungsverläufen (verschiedene Kombinationen) aussehen. Protokollieren
sie einige der Figuren.
4. Kondensator und Spule
4.1. Kondensator
Die Ladung Q des Kondensators ändert sich dadurch entsprechend
dQ
dt = C · dU C
= I . (EO.2)
dt
Für die Spannung am Kondensator erhält man also die Differenzialgleichung
dU C
dt
= U
R · C − U C
R · C .
(EO.3)
mit der Anfangsbedingung U C (t = 0) = 0. Wenn der Widerstand dem Ohmschen Gesetz
gehorcht und die Kapazität C von der Spannung U C unabhängig ist, dann hat die Differenzialgleichung
folgende Lösung:
( )
U C = U 1 − e − t
RC
(EO.4)
Der Ladestrom I beträgt demnach
I = U R · e− t
RC . (EO.5)
Aufgabe 4: Laden Sie einen Kondensator über einen Widerstand von 1000 Ω auf eine Spannung
von 10 V auf. Messen Sie dabei den zeitlichen Spannungsverlauf am Kondensator.
Durch Mittelung mehrerer Messungen (bis zu 128) können Sie die Signalqualität deutlich
verbessern. Den Signalverlauf können Sie anschließend auf Ihrem USB-Stick als Tabelle
im CSV-Format abspeichern, so dass Sie ihn später mit dem Computer auswerten können.
Anschließend vertauschen Sie Kondensator und Widerstand und protokollieren den Spannungsverlauf
am Widerstand.
4.2. Spule
Eine ähnliche Überlegung gilt auch für einen Stromkreis mit einer Spule:
Eine stromlose Spule der Induktivität L wird zum Zeitpunkt t = 0 über einen Widerstand R
mit einer Spannungsquelle verbunden.
Verbinden Sie einen Kondensator mit der Kapazität C über einen Widerstand R mit einer
Spannungsquelle (Spannung U) (S. Abb. 4.1.). Die Spannungsquelle soll eine Rechteckspannung
liefern. Gleichzeitig messen Sie die Spannung U C am Kondensator.
Durch den Widerstand fließt der Ladestrom
I = U − U C
R
39
. (EO.1)
An der Spule entsteht dann die Gegenspannung
U L = L · dI
dt
Dies führt zu folgendem Verlauf für die Gegenspannung:
U L = U · e − R L ·t
. (EO.6)
Aufgabe 5: Wiederholen Sie Aufgabe 4 mit einem Widerstand und einer Spule.
40
(EO.7)

Auswertung
EO
BL
Brennweite von Linsen
5. Auswertung
BL
Brennweite von Linsen
Erstellen Sie für die Kondensatoren und die Spulen jeweils zwei Diagramme: Eines mit dem
zeitlichen Verlauf des Stromes und eines mit dem Verlauf der Spannung.
Aus dem Verlauf des Stromes am Kondensator können Sie seine Kapazität ermitteln: Entweder
indem Sie mit einem geeigneten Programm den Verlauf an eine Exponentialfunktion
anpassen oder indem sie ln(I/I 0 ) gegen die Zeit auftragen und die Steigung bestimmen. (I 0
ist hierbei der Anfangsstrom, also 10 mA).
Die Induktivität der Spule können Sie mit der gleichen Methode aus dem Verlauf der Gegenspannung
U L bestimmen.
1. Motivation
Bei nahezu allen optischen Anwendungen werden Linsen und Spiegel eingesetzt. Im Versuch
sollen einige grundlegende Eigenschaften von Linsen und ihren Abbildungen untersucht
werden. Insbesondere werden verschiedene Techniken zur Bestimmung von Brennweiten
angewandt und die einfachsten Abbildungsfehler untersucht.
2. Grundlagen/Theorie
• Unterschied geometrische Optik/Wellenoptik
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 4.2.3, 5.1)
• Snelliussches Brechungsgesetz
(Staudt Skript II, Kap. 8.2.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 4.2)
• Abbildung durch Linsen
(Staudt Skript II, Kap. 8.2.3 oder E. Hecht, Optik, Kap. 5.2, 5.7)
• Linsenfehler
(Staudt Skript II, Kap. 8.2.3 oder E. Hecht, Optik, Kap. 6.3)
• Dicke Linsen
(Demtröder, Experimentalphysik 2, Kap. 9.5.3 und Anhang
oder E. Hecht, Optik, Kap. 6.1)
Fragen:
• Wann können optische Phänomene mit geometrischer Optik beschrieben werden?
Wann wird die Welleneigenschaft des Lichts zur Erklärung benötigt?
• Wie lautet das Snelliussche Brechungsgesetz?
• Welche vereinfachenden Näherungen können bei dünnen Linsen gemacht werden?
Welche drei ausgezeichnete Strahlen sind für die Konstruktion von Abbildungen wichtig?
• Wie lautet die Abbildungsgleichung für dünne Linsen? Wie lässt sie sich herleiten?
• Wie ist die Brechkraft definiert? Wie ergibt sich die resultierende Brechkraft einer
Kombination von mehreren dünnen Linsen?
• Wie sehen die Bilder einer dünnen Sammellinse und einer dünnen Zerstreuungslinse
aus, wenn der Gegenstand
1. außerhalb der doppelten Brennweite
41
42

Beschreibung des Versuchs
BL
BL
Brennweite von Linsen
2. zwischen einfacher und doppelter Brennweite
5. Aufgaben zur Auswertung
3. innerhalb der einfachen Brennweite
steht? Zeichnen Sie die 6 Strahlengänge!
• Was versteht man unter sphärischer Aberration?
• Wie sind die Hauptebenen einer Linse definiert?
• Wie kann man die Brennweite einer dicken Linse experimentell bestimmen?
• Zu Messung 1: Berechnen Sie aus den Messungen die Brennweite und die Brechkraft
der kleinen Sammellinse (jeweils mit Fehler).
• Zu Messung 1: Zeichnen Sie für die kleine Sammellinse den Verlauf der Funktion
v = f in Abhängigkeit der Gegenstandsweite g, wobei für f der oben berechnete
g−f
Wert einzusetzen ist.
Berechnen Sie dann die Vergrößerung v = b und zeichnen Sie diese ebenfalls in das
g
obige Schaubild ein.
• Zu Messung 2: Berechnen Sie aus den Messungen die Brennweite und die Brechzahl
für die große Sammellinse (jeweils mit Fehler).
3. Beschreibung des Versuchs
Auf der optischen Bank wird ein beleuchteter Gegenstand durch eine oder mehrere Linsen
auf einen Schirm abgebildet. Durch Messung der Abstände zwischen Gegenstand, Linse und
Schirm lassen sich die Brennweiten verschiedener Linsen bestimmen.
4. Messungen
1. Mit der kleinen Sammellinse sind folgende Messungen durchzuführen:
• Zu Messung 3: Berechnen Sie aus den Messungen die Brennweite für die Linsenkombination
(mit Fehler). Berechnen Sie daraus mit der zuvor berechneten Brennweite der
großen Sammellinse die Brennweite der Zerstreuungslinse (ebenfalls mit Fehler).
• Zu Messung 4: Berechnen Sie aus den Messungen die unterschiedlichen Brennweiten
der Sammellinse für Randstrahlen und der Zentralstrahlen. Berechnen Sie daraus die
sphärische Aberration ∆ = f Rand − f Zentral (mit Fehler).
• Konstruieren Sie den Strahlengang im Galileischen Fernrohr und im Astronomischen
Fernrohr für den Fall g = ∞. Die einfallenden Strahlen sollen dabei nicht parallel zur
optischen Achse verlaufen.
(a) Der Gegenstand soll außerhalb der doppelten Brennweite stehen. Bestimmen Sie
Bild- und Gegenstandsweite für 5 verschiedene Stellungen des Gegenstandes.
(b) Der Gegenstand soll zwischen einfacher und doppelter Brennweite stehen. Bestimmen
Sie wieder Bild- und Gegenstandsweite für 5 verschiedene Stellungen
des Gegenstandes.
2. Bestimmen Sie für die große Sammellinse die Brennweite nach der Methode von Bessel.
Messen Sie dazu für 5 verschiedene Werte von e (Abstand von Gegenstand und
Schirm) wie im Anhang beschrieben den Abstand a (Abstand zwischen den zwei Linsenpositionen
mit scharfem Bild).
3. Bestimmen Sie für eine Kombination einer Zerstreuungslinse und der Sammellinse
aus Aufgabe 2 die Brennweite der resultierenden Linsenanordnung nach der Methode
von Bessel. Gehen Sie dabei wie in der vorigen Messung beschrieben vor.
6. Anhang A: Methode von Bessel zur Bestimmung der Brennweite
Bei dicken Linsen und Linsensystemen ist die Bestimmung der Brennweite nach der Linsengleichung
1 = 1 + 1 nur möglich wenn bekannt ist, wo in der Linse g aufhört und wo b
f g b
anfängt. Dazu werden bei dicken Linsen die Hauptebenen H 1 und H 2 eingeführt, deren Lage
aber oft nicht bekannt ist.
Um das Problem der Bestimmung der genauen Lage der Hauptebenen zu umgehen, kann
die Methode von Bessel verwendet werden. Dazu werden Gegenstand und Schirm im festen
Abstand e zueinander aufgestellt. Dann gibt es bei zwei Linsenstellungen ein scharfes Bild
auf dem Schirm, wobei einmal ein verkleinertes und einmal ein vergrößertes Bild zu sehen
ist.
Der Abstand dieser zwei Positionen sei a, außerdem gilt mit den Bezeichnungen der Zeichnung
b ′ = g. Aus der Zeichnung lässt sich dann folgendes ablesen:
4. Bestimmen Sie die sphärische Aberration einer Sammellinse. Messen Sie dazu nach
der Methode von Bessel zwei Mal für 5 verschiedene Werte von e die Abstände a, wobei
Sie das erste Mal nur die Randstrahlen und das zweite Mal nur die Zentralstrahlen
verwenden. Benutzen Sie dazu die entsprechenden Blenden.
43
und mit b ′ = g
b + g + ∆ = e ⇐⇒ e ′ := e − ∆ = b + g
b − b ′ = a ⇐⇒ b − g = a
44

Anhang A: Methode von Bessel zur Bestimmung der Brennweite
BL
GI
Beugungsgitter
b
g
GI
Beugungsgitter
b’
g’
H 1
H 2
1. Motivation
Schirm
a
e
G
Interferenz an Mehrfachspalt und Gitter zeigt eindeutig, dass Licht die Eigenschaften einer
Welle besitzt. Im Versuch wird diese grundlegende Eigenschaft des Lichts an mehreren
Beispielen genauer untersucht. Dazu wird die Anwendung der Interferenz am Gitter zur
spektralen Zerlegung von Licht gezeigt.
2. Grundlagen/Theorie
Durch Subtraktion und Addition dieser zwei Ausdrücke erhält man
b = 1 2 (e′ + a) und g = 1 2 (e′ − a)
Setzt man dies in die übliche Linsengleichung ein, so folgt
f = 1 4 · e′2 − a 2
e ′
Wenn man e groß genug wählt, so ist ∆ im Rahmen der Messgenauigkeit zu vernachlässigen
und damit e ′ ≈ e. Damit ergibt sich
f = 1 4
· (e −
a2
e )
Mit dieser Methode lässt sich also die Brennweite bestimmen, ohne dass die Lage der
Hauptebenen bekannt ist.
• Licht als elektromagnetische Welle
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 3.2, 3.4)
• Unterschied geometrische Optik/Wellenoptik
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 4.2.3, 5.1)
• Interferenz von Wellen
(Staudt Skript II, Kap. 8.4.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 9.1, 9.2, 9.3)
• Interferenz an Mehrfachspalten
(Staudt Skript II, Kap. 8.4.2)
• Beugung am Einzelspalt
(Staudt Skript II, Kap. 8.4.4 oder E. Hecht, Optik, Kap. 10.1, 10.2, 10.5)
• Funktionsprinzip eines Lasers
(Gerthsen Physik, Kap. 12.2.9)
Fragen:
• Wann können optische Phänomene mit geometrischer Optik beschrieben werden?
Wann wird die Welleneigenschaft des Lichts zur Erklärung benötigt? Durch was wird
eine Lichtwelle beschrieben? Wie entsteht Licht?
• Wie lautet das Huygenssche Prinzip? Wo liegen die Grenzen dieses Modells?
• Wie sehen die Interferenzbilder von Doppelspalt, Dreifachspalt und Gitter aus (bei
Vernachlässigung der Breite der einzelnen Spalte)? Wie lautet jeweils die Bedingung
für Intensitätsmaxima?
• Verletzt destruktive Interferenz den Energiesatz? Wo geht die Energie hin?
• Unter welchen Bedingungen tritt Interferenz auf? Wie werden diese Bedingungen im
Versuch erfüllt?
45
46

Beschreibung des Versuchs
GI
GI
Beugungsgitter
• Wie sieht das Interferenzbild eines schmalen Einzelspaltes aus? Durch welche Formel
wird es beschrieben? Wie beeinflusst die endliche Breite der einzelnen Spalte eines
Gitters das Interferenzbild?
• Wieso kann ein Gitter zur spektralen Auflösung von Licht verwendet werden? Von was
hängt das Auflösungsvermögen ab?
• Welches sind die charakteristischen Unterschiede zwischen den Spektren von Gittern
und Prismen? (vgl. auch Auswertung)
• Was ist das Funktionsprinzip eines Lasers? Welche Eigenschaften hat das von einem
Laser ausgesendete Licht?
Messen Sie zwei Mal die Breite von 20 Gitterperioden und schätzen Sie den Fehler ab.
Zur Bestimmung der Vergrößerung wird das Gitter gegen einen Maßstab mit mm-
Teilung ausgetauscht. Die Vergrößerung ist dann v = B/G (B: Bildgröße, G: Gegenstandsgröße).
Schätzen Sie auch hier einen Fehler ab.
2. Bestimmung der mittleren Wellenlängen von drei verschiedenen Filtern (rot, grün,
blau) mit dem Strichgitter:
Der Spalt wird durch das Objektiv auf den Schirm abgebildet. Zur Erzielung maximaler
Helligkeit wird der Glühfaden durch den Kondensor auf den Spalt abgebildet. Dann
wird der Farbfilter in den Strahlengang gestellt (Scharfeinstellung der Spaltabbildung
nachstellen) und das Gitter zwischen Objektiv und Schirm gestellt.
3. Beschreibung des Versuchs
Im Versuch wird zunächst die Gitterkonstante eines Strichgitters bestimmt, in dem das
Gitter vergrößert auf den Schirm projiziert wird.
Anschließend wird das Interferenzbild des Gitters untersucht. Dazu wird das Gitter mit
Licht aus einer konventionellen Glühlampe beleuchtet, das durch geeignete Maßnahmen
kohärent gemacht wird.
Zum Schluss wird das Interferenzmuster eines Kreuzgitters untersucht, das mit einem Laser
beleuchtet wird.
Lichtquelle
Kondensor
Spalt
Objektiv
Filter
Gitter
Schirm
Abbildung GI.2: Messanordnung zur Bestimmung der Wellenlänge λ
4. Messungen
Messen Sie den Abstand zwischen zwei (beliebigen) Maxima 2 bis 3 Mal, und bestimmen
Sie daraus den Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima. Schätzen Sie für
diesen Abstand einen Fehler ab.
Messen Sie außerdem den Abstand zwischen Gitter und Schirm.
1. Bestimmung der Gitterkonstanten des Strichgitters:
Das Strichgitter wird mit der Lampe beleuchtet und durch das Objektiv scharf auf
den Schirm (z.B. die Wand) abgebildet, wobei die Vergrößerung möglichst hoch sein
sollte. Bei richtigem Strahlengang wird die Lichtquelle (Glühfaden) in das Objektiv
abgebildet; in diesem Fall wird die größte Helligkeit erzielt.
3. Interferenz am Kreuzgitter:
Verwenden Sie dazu den Helium-Neon-Laser (λ = 632,8 nm) und ersetzen Sie das
Strichgitter durch ein Kreuzgitter. Wie muss die Versuchsanordnung geändert werden,
um ein Interferenzmuster zu beobachten?
Messen Sie den horizontalen und vertikalen Abstand der Maxima je 2 bis 3 Mal und
schätzen Sie jeweils einen Fehler ab.
Messen Sie außerdem in jede Richtung den Abstand zwischen den ersten Minima des
überlagerten Beugungsbildes der Einzelspalte.
Vergessen Sie auch hier nicht, den Abstand zwischen Gitter und Schirm zu bestimmen!
Lichtquelle
5. Aufgaben zur Auswertung
Kondensor
Maßstab oder
Gitter
Objektiv
Schirm
Abbildung GI.1: Messanordnung zur Bestimmung der Gitterkonstanten g
• Bestimmen Sie aus Messung 1 die Gitterkonstante mit Fehler.
• Bestimmen Sie aus Messung 2 die mittleren Wellenlängen der drei Filter, ebenfalls mit
Fehler.
47
48

Aufgaben zur Auswertung
GI
NG
Brechzahl von Glasplatten
• Bestimmen Sie aus Messung 3 die zwei Gitterkonstanten des Kreuzgitters mit Fehler.
Schätzen Sie außerdem aus den gemessenen Abständen der Minima die Breite der
Einzelspalte in beide Richtungen ab.
• Wie würde das Bild auf dem Schirm aussehen, wenn man in Messung 2 Spalt oder
Filter weglässt? Warum muss beim Einsetzen der Filter die Scharfstellung nachgestellt
werden?
• Welches sind die charakteristischen Unterschiede (mindestens 3) zwischen Gitter und
Prisma bezüglich der spektralen Zerlegung von Licht und den entstehenden Spektren?
NG
Brechzahl von Glasplatten
1. Motivation
Lässt man polarisiertes Licht, dessen ⃗ E-Vektor in der Einfallsebene schwingt, auf eine Glasplatte
fallen, so wird bei einem bestimmten Einfallswinkel kein Licht reflektiert.
Das Brewstersche Gesetz verknüpft diesen Winkel mit dem Brechungsindex, der auf diese
Weise einfach bestimmt werden kann.
2. Grundlagen/Theorie
• Licht als elektromagnetische Welle
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 3.2, 3.4)
• Unterschied geometrische Optik/Wellenoptik
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 4.2.3, 5.1)
• Polarisation von Licht
(Staudt Skript II, Kap. 8.3.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 8.1, 8.5, 8.6)
• Reflexion und Brechung in Glas
(Staudt Skript II, 8.2.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 4.2)
• Fresnelsche Formeln
(Anhang oder Demtröder Experimentalphysik 2, Kap. 8.5.3 oder E. Hecht, Optik, Kap.
8.6.1)
• Brewstersches Gesetz
(Staudt Skript II, Kap. 8.3 oder E. Hecht, Optik, Kap. 8.6)
Fragen:
• Wann können optische Phänomene mit geometrischer Optik beschrieben werden?
Wann wird die Welleneigenschaft des Lichts zur Erklärung benötigt? Durch was wird
eine Lichtwelle beschrieben? Wie entsteht Licht?
• Was versteht man unter linear polarisiertem Licht? Wie ist natürliches Licht polarisiert
und wie kann daraus linear polarisiertes Licht erzeugt werden? Wie kann polarisiertes
Licht nachgewiesen werden?
• Wie lautet das Snelliussche Brechungsgesetz? Was ist Totalreflexion und wann tritt sie
auf?
• Was beschreiben die Fresnelschen Formeln? Was passiert, wenn in der im Anhang A
gegebenen Formel α + β = 90 ◦ wird?
• Wie lautet das Brewstersche Gesetz? Was kann mit ihm bestimmt werden?
49
50

Beschreibung des Versuchs
NG
NG
Brechzahl von Glasplatten
3. Beschreibung des Versuchs
6. Anhang A: Theorie zu den Fresnelschen Formeln
Im Versuch wird mit einer Halogenlampe, einer Linse und einem Festspalt ein paralleles
Lichtbündel erzeugt (vgl. Abbildung NG.1). Dieses Lichtbündel wird durch eine Polarisationsfolie
auf ein Reflexionsglas gelenkt, das sich in der Mitte des Reflexionstisches befindet
(vgl. Abbildung NG.2). Außerdem befindet sich auf dem Reflexionstisch auf einem bewegliche
Arm ein Lichtmessgerät (Fotowiderstand mit Spannungsmessgerät).
Bei Verstellung des beweglichen Arms um den Winkel φ wird der Einfalls- und Ausfallswinkels
des Lichtbündels auf das Reflexionsglas um φ/2 verändert. Mit dem Lichtmessgerät
kann so die Intensität des reflektierten Strahls bei verschiedenen Einfallswinkeln gemessen
werden und insbesondere der Brewsterwinkel aufgesucht werden.
Die vollständige Theorie der Reflexion, Brechung und Polarisation für Licht in isotropen
Medien wird durch die Fresnelschen Formeln beschrieben (aufgestellt von A. Fresnel im
Jahr 1821). Die Formeln können direkt aus der Wellennatur des Lichts abgeleitet werden.
I
e
α
α
I r
Luft
4. Messungen
1. Justieren Sie die Versuchsapparatur wie im Anhang B beschrieben.
2. Für ein Messglas sind folgende Messungen durchzuführen:
β
Glas
(a) Überprüfen Sie, dass die gemessene Intensität im Bereich von 80 ◦ bis 40 ◦ ein
Minimum hat.
(b) Messen Sie die Intensität im Bereich von 72 ◦ bis 40 ◦ in 2 ◦ -Schritten. Die Empfindlichkeit
des Lichtmessgeräts ist so zu wählen, dass das Messgerät überall
sinnvolle Werte anzeigt.
(c) Messen Sie die Intensität im Bereich um das Minimum in 1 ◦ -Schritten. Die Größe
des Bereichs ist so zu wählen, dass das Messgerät überall sinnvolle Werte anzeigt,
wobei im Vergleich zur vorigen Messung der nächstempfindlichere Messbereich
zu wählen ist.
(d) Messen Sie die Intensität im Bereich von ±1 ◦ um das Minimum in 0.25 ◦ -
Schritten (falls möglich ist wiederum der nächstempfindlichere Messbereich zu
wählen).
Für linear polarisiertes Licht, dessen ⃗ E-Vektor in der Einfallsebene schwingt und das auf
eine Grenzfläche zweier dielektrischer Medien fällt, gilt für die Intensität des reflektierten
Strahls folgende Formel:
( ) 2 tan(α − β)
I r = I e
tan(α + β)
7. Anhang B: Justierung der Versuchsanordnung
3. Für 4 andere Messgläser ist das Minimum je 2 bis 3 Mal zu bestimmen.
Stellen Sie dazu den Tisch so ein, dass das Messgerät ein Minimum anzeigt und lesen
Sie den Winkel möglichst genau ab. Schätzen Sie jeweils einen Fehler ab (z.B. aus der
Auflösung der Winkelskala und/oder der Breite des Minimums) und notieren Sie die
Glassorte.
Festspalt
Sammel−
linse
Kondensor−
spalt
Kondensor
Halogen−
Birne
5. Aufgaben zur Auswertung
Abbildung NG.1: Lampenanordnung
• Zu Messung 2: Zeichnen Sie die gemessene Intensitäten in Abhängigkeit des Winkels
als Kurven auf Millimeterpapier (3 Kurven in 1 Diagramm).
• Bestimmen Sie für das Glas aus Messung 2 und jedes der vier Gläser aus Messung 3
jeweils den mittleren den Brechungsindex. Geben Sie jeweils einen Fehler an.
51
7.1. Justierung der Lampenanordnung
Die Lampenanordnung soll so justiert werden, dass möglichst viel Licht austritt. Dazu sollten
Sie der Reihe nach folgende Schritte durchführen:
52

Anhang B: Justierung der Versuchsanordnung
NG
NG
Brechzahl von Glasplatten
1. Positionierung der Sammellinse:
Die Sammellinse befindet sich in der richtigen Position, wenn der Kondensorspalt der
Lampe durch die Sammellinse scharf auf einen Schirm (z.B. die Wand) abgebildet
wird.
2. Ausrichtung der Lampe in die optische Achse:
Die Lampe ist korrekt ausgerichtet, wenn das Spaltbild möglichst komplett von
den Glühwendeln der Halogenbirne ausgefüllt wird. Dazu muss die Lampe mechanisch
so ausgerichtet werden, dass möglichst beide Glühwendeln sichtbar sind. (Die
Glühwendeln können durch Verschieben der Birne längs der optischen Achse scharf
auf den Schirm abgebildet werden.)
3. Verschiebung der Halogenbirne auf der optischen Achse:
Durch eine weitere Verschiebung der Halogenbirne auf der optischen Achse kann die
Lichtausbeute noch erhöht werden. Um die optimale Position zu bestimmen, hält man
ein einzelnes Blatt Papier direkt an den Kondensorspalt und verschiebt die Birne so,
dass der Leuchtfleck möglichst hell wird. (Der Leuchtfleck sollte dann möglichst weiß
sein, bei Abweichung von maximaler Intensität wechselt die Farbe in einer Richtung
ins bläuliche und in der anderen Richtung ins gelbliche. Der Grund für diesen Effekt
ist die chromatische Abberation der Kondensorlinse).
4. Abschließend wird der Festspalt vor die Linse auf die optische Bank gesetzt.
7.2. Justierung des Reflexionstisches
Der Reflexionstisch wird so vor die Lampenanordnung gestellt, dass das Licht aus der
Richtung des festen Armes einfällt. Der Reflexionstisch muss nun so justiert werden, dass
das Licht von der Lampe parallel zur Oberfläche des Reflexionstisches und in der richtigen
Richtung einfällt.
Um dies zu überprüfen werden die zwei markierten Glasscheiben verwendet. Der U-Halter
mit dem durchsichtigen Glas wird in Bohrung 1 und der U-Halter mit dem matten Glas
wird in Bohrung 3 des Reflexionstisches eingesetzt, so dass die Kerbe an den Stangen an
der Oberkante der Bohrungen sitzt (Fingernagelprobe). Der bewegliche Arm des Reflexionstisches
muss auf die 90 ◦ -Marke gestellt werden (d.h. in Verlängerung des festen Armes
stehen).
Der Reflexionstisch ist dann richtig justiert, wenn das Lichtbündel durch das Rechteck auf
dem durchsichtigen Glas geht und genau in das Rechteck auf dem matten Glas passt.
Zur genaueren Justierung wird ein Reflexionsglas in der Mitte des Reflexionstisches
so eingesetzt (Beschriftung nach oben), dass das Glas an der Anschlagskante anliegt.
Der bewegliche Arm wird auf die 45 ◦ -Marke gestellt. Das Lichtbündel soll wieder genau in
das Rechteck auf dem matten Glas passen. Dazu kann zusätzlich zum Reflexionstisch auch
das Reflexionsglas nachjustiert werden.
Abschließend wird überprüft, ob die Position des Lichtbündels im Winkelbereich zwischen
45 ◦ und 70 ◦ innerhalb des Rechtecks auf dem matten Glas bleibt.
53
reflektierter Strahl
4
beweglicher
Arm
Führungs−
stange
3
50°
40°
7.3. Justierung des Lichtmessgeräts
70°
80°
ϕ
starrer
Arm
einfallender Strahl
90°
ϕ/2
0000 1111
0000 1111
Glas
0000 1111
0000 1111
0000 1111 α
0000 1111
Abbildung NG.2: Reflexionstisch
2
1
1−4: Löcher für U−Halter,
Polarisator und
Lichtmessgerät
Für die Messungen wird in die Polarisationsfolie in Bohrung 1 des Reflexionstisches eingesetzt
und der richtige Polarisationswinkel eingestellt. Das Lichtmessgerät wird in die Bohrungen
3 und 4 so eingesetzt, dass das Lichtbündel genau auf die Fläche des Fotowiderstands
fällt. Das Lichtmessgerät wird mit dem Voltmeter verbunden und mit dem Koaxialstecker an
die 60 V Gleichspannungsversorgung angeschlossen.
Das Lichtmessgerät liefert innerhalb seines Messbereichs Spannungen zwischen 0 V und ca.
5 V. Bei höheren Spannungen ist das Gerät in Sättigung, d.h. die angezeigte Spannung ändert
sich nicht mehr mit zunehmender Lichtintensität. Die Empfindlichkeit des Lichtmessgeräts
kann mit dem unteren Drehknopf am Gerät verändert werden. Zunächst sollte am Lichtmessgerät
die am wenigsten empfindliche Einstellung gewählt werden.
Abschließend kann das Lichtmessgerät mit dem oberen Drehknopf ungefähr auf Null abgeglichen
werden (dazu sollte kein Licht auf das Messgerät fallen!).
54

MI
MI
Mikroskop
MI
Mikroskop
3. Beschreibung des Versuchs
1. Motivation
Das Mikroskop ist ein optisches Instrument, an dem sowohl die Gesetze der geometrischen
Optik als auch deren Beschränkungen gut untersucht werden können.
Das Mikroskop ist in den Naturwissenschaften ein unentbehrliches Gerät, da es zum einen
den Bereich der menschlichen Sinne wesentlich erweitert, zum anderen aber einfach anzuwenden
ist, da das entstehende Bild direkt ein vergrößertes Abbild der mikroskopischen
Struktur ist.
2. Grundlagen/Theorie
• Geometrische Optik und Wellenoptik
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 4.2.3, 5.1)
• Abbildungsgleichung von Linsen
(Staudt Skript II, Kap. 8.2.3 oder E. Hecht, Optik, Kap. 5.2)
• Lupe und Mikroskop
(Staudt Skript II, Kap. 8.2.3 und Gerthsen, Kap. 9.2.4, 9.2.5, 9.2.6
oder E. Hecht, Optik, Kap. 5.7)
• Auflösungsvermögen des Mikroskops
(Staudt Skript II, Kap. 8.5 oder E. Hecht, Optik, Kap. 10.2.6)
Fragen:
• Wie groß ist das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges? Durch was wird es
limitiert? Wie können kleinere Gegenstände betrachtet werden?
• Wie ist der Strahlengang bei der Lupe?
• Wie ist der Strahlengang im Mikroskop?
• Wie lautet die Formel für die Vergrößerung im Mikroskop? Wie hoch ist die maximal
erreichbare Vergrößerung eines Lichtmikroskops ungefähr?
• Durch was wird das Auflösungsvermögen eines Mikroskops begrenzt? Wie sieht das
Bild einer punktförmigen Lichtquelle bei Abbildung durch ein optisches Instrument
aus?
• Was ist nach der Helmholtzschen Theorie des Auflösungsvermögens die Bedingung,
dass zwei Objekte gerade noch getrennt werden können?
• Was ist nach der Abbeschen Theorie des Auflösungsvermögens die Bedingung, dass
Strukturen auf dem Objekt erkennbar sind?
55
Im Versuch soll zunächst die Vergrößerung des Mikroskops abgeschätzt werden, indem
der Sehwinkel mit und ohne Mikroskop bestimmt wird. Anschließend wird die numerische
Apertur der Objektive bestimmt, um daraus das Auflösungsvermögen des Mikroskops abzuschätzen.
Als letztes werden als Beispiel für eine Anwendung des Mikroskops die Länge von Spalttrümmerspuren
aus einer kernphysikalischen Reaktion ausgemessen.
4. Messungen
1. Bestimmung der Vergrößerung des Mikroskops für die vier Kombinationen aus zwei
verschiedenen Okularen und den zwei Objektiven.
5
Betrachten Sie dazu mit einem Auge das Objektmikrometer (feiner Maßstab mit - 100
mm Teilung) im Mikroskop. Betrachten Sie gleichzeitig mit dem anderen Auge einen
Maßstab, der sich auf Höhe des Objekttisches befinden sollte (nehmen Sie als Entfernung
die Bezugssehweite von s 0 = 25 cm an) und schätzen Sie so durch Vergleich den
Sehwinkel ab, unter dem Sie das Mikrometer im Mikroskop sehen.
2. Eichen Sie das Okularmikrometer für beide Objektive, indem Sie das Objektmikrometer
betrachten.
3. Bestimmung der numerischen Apertur beider Objektive:
Ersetzen Sie den Kondensor durch den
Tubus mit Skala (lösen Sie dazu vorsichtig
die Schraube auf der Seite des Kondensors;
Vorsicht, heiß!). Legen Sie die Lochblende
auf den Objekttisch und stellen Sie auf die
obere Kante scharf. Entfernen Sie das Okular
und schauen Sie in den Tubus; die Skala
ist dann in einem kreisförmig begrenzten
Feld sichtbar.
Messen Sie den sichtbaren Bereich m
und die Höhe h für 5 verschiedene
Höheneinstellungen.
4. Untersuchung von Spalttrümmerspuren aus einer kernphysikalischen Reaktion:
Messen Sie unter dem Mikroskop (normaler Kondensor, Okular mit Mikrometer) die
Länge von 25 Spalttrümmerspuren.
5. Aufgaben zur Auswertung
• Konstruieren Sie den Strahlengang im Mikroskop. Nehmen Sie als Gegenstandsentfernung
die 1,5-fache Objektivbrennweite.
56
2α
m
h

Anhang A: Kernphysik
MI
SC
Optische Aktivität und Saccharimetrie
• Zu Messung 1: Berechnen Sie die vier verschiedenen Vergrößerungen aus den Messungen
mit den verschiedenen Okularen und Objektiven. Die Vergrößerung ergibt sich
jeweils aus dem Verhältnis tan(εmit) , wobei ε tan(ε ohne ) ohne = G s 0
der Sehwinkel ohne Instrument
ist und ε mit der gemessene Sehwinkel mit Instrument ist.
Berechnen Sie außerdem die Vergrößerungen der beiden Objektive.
• Zu Messung 3: Berechnen Sie den Aperturwinkel α für beide Objektive (jeweils
mit Standardabweichung). Welche minimale Objektgröße ergibt sich daraus nach der
Helmholtzschen Theorie für das Auflösungsvermögen (für eine mittlere optische Wellenlänge
von 500 nm)?
SC
Optische Aktivität und Saccharimetrie
1. Motivation
Einige Kristalle und viele Flüssigkeiten beeinflussen die Polarisationsrichtung von Licht.
Diese Eigenschaft wird als optische Aktivität bezeichnet und hat wichtige Anwendungen
z.B. bei der Konzentrationsbestimmung in der Chemie.
Im Versuch soll am Beispiel der Saccharimetrie die Eigenschaften der optischen Aktivität
von Zuckerlösungen untersucht werden.
• Zu Messung 4: Berechnen Sie aus den gemessenen Längen der Spalttrümmerspuren
die mittlere Anfangsenergie der Spalttrümmer (mit Fehler). Berechnen Sie daraus die
Anfangsgeschwindigkeit, mit der die Spalttrümmer in die Folie eingedrungen sind
(ebenfalls mit Fehler).
2. Grundlagen/Theorie
• Licht als elektromagnetische Welle
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 3.2, 3.4)
6. Anhang A: Kernphysik
• Unterschied geometrische Optik/Wellenoptik
(Staudt Skript II, Kap. 8.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 4.2.3, 5.1)
Der Atomkern 252
98 Cf (Californium) spaltet spontan in zwei etwa gleich schwere Bruchstücke,
die kurz nach der Spaltung (innerhalb von 10 −15 s) jeweils im Mittel zwei prompte Neutronen
emittieren. Die Spalttrümmer werden in einer Plastikfolie abgebremst und hinterlassen dabei
Spuren.
Die Länge der Spuren ergibt sich aus der Energie-Reichweite-Beziehung:
• Polarisation von Licht
(Staudt Skript II, Kap. 8.3.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 8.1)
• Doppelbrechung
(Staudt Skript II, Kap. 8.3.1 oder E. Hecht, Optik, Kap. 8.4)
R = a · E 2/3 µm
mit a Folie = 0, 89
(MeV) 2/3
• Zirkular polarisiertes Licht
(Staudt Skript II, Kap. 8.3.2 oder E. Hecht, Optik, Kap. 8.1, 8.8)
Somit kann aus der Länge der Spuren die Energie der Spalttrümmer berechnet werden,
wobei zu beachten ist, dass die Trümmer unter einem Winkel von 20 o in die Folie eintreten,
die Spuren bei Aufsicht also verkürzt erscheinen.
Zur Umrechnung:
Nukleonenmasse = 1, 67 · 10 −27 kg
1 eV = 1, 602 · 10 −19 J
• Optische Aktivität
(Staudt Skript II, Kap. 8.3.3 oder E. Hecht, Optik, Kap. 8.10)
Fragen zur Vorbereitung:
• Wann können optische Phänomene mit geometrischer Optik beschrieben werden?
Wann wird die Welleneigenschaft des Lichts zur Erklärung benötigt? Durch was wird
eine Lichtwelle beschrieben? Wie entsteht Licht?
• Was versteht man unter linear polarisiertem Licht? Wie ist natürliches Licht polarisiert
und wie kann daraus linear polarisiertes Licht erzeugt werden? Wie kann polarisiertes
Licht nachgewiesen werden?
• Was ist zirkular polarisiertes Licht? Wie kann zirkular polarisiertes Licht erzeugt werden?
Wie kann zirkular polarisiertes Licht nachgewiesen werden?
• Was versteht man unter Brechung? Wie ist der Brechungsindex definiert? Was ist Dispersion?
• Was ist Doppelbrechung?
57
58

Beschreibung des Versuchs
SC
SC
Optische Aktivität und Saccharimetrie
• Was versteht man unter optischer Aktivität? Wie lautet die Gleichung für den Drehwinkel?
Was ist Rotationsdispersion?
Hälften des Analysators gleich hell bzw. gleich dunkel sind (eventuell mehrmals messen!).
• Was ist die mikroskopische Erklärung für optische Aktivität?
3. Beschreibung des Versuchs
Im Versuch wird die optische Aktivität verschiedener Zuckerlösungen (Glukose, Fruktose)
mit einem Halbschattenpolarimeter (Polarimeter nach Lippich) untersucht.
2. Messung der Rotationsdispersion:
Messen Sie den Drehwinkel je einer Fruktose- und Glukoselösung hoher Konzentration
bei jeweils 4 verschiedenen Wellenlängen.
Bestimmen Sie jeweils die Winkel, bei denen beide Hälften gleich hell sind und die
Winkel, bei denen beide Hälften gleich dunkel sind. Versuchen Sie, für jeden Winkel
einen Fehler abzuschätzen.
3. Bestimmung des Nullpunkts des Saccharimeters mit fest eingebautem Interferenzfilter
(λ = 589 nm):
Messen Sie ohne Zuckerlösung den Winkel möglichst genau, bei dem die zwei Hälften
des Analysators gleich dunkel sind (eventuell mehrmals messen!).
Lichtquelle
Filter
Polari−
sator
Zuckerlösung
Analy−
sator
Abbildung SC.1: Halbschattenpolarimeter
Fernrohr
4. Messung des Drehvermögens:
Messen Sie den Drehwinkel von je 4 Fruktose- und 4 Glukoselösungen mit bekannter
Konzentration bei einer Wellenlänge (Saccharimeter aus 3.). Schätzen Sie jeweils
einen Fehler ab.
5. Bestimmung der Konzentration von 4 verschiedenen Lösungen:
Messen Sie den Drehwinkel von vier unbekannten Proben je zwei bis drei Mal;
schätzen Sie auch hier jeweils einen Fehler ab.
Abbildung SC.2: Geteilter
Analysator
Beim Halbschattenpolarimeter ist der Analysator in zwei Teile mit leicht unterschiedlichen
Polarisationswinkeln geteilt. Zur Bestimmung des Drehwinkels wird die Position eingestellt,
bei der beide Hälften gleich dunkel bzw. gleich hell sind. Damit kann eine höhere Genauigkeit
erreicht werden, als wenn die Position eines (relativ breiten) Minimums eingestellt wird.
Experimentell soll nun zunächst die Rotationsdispersion bei verschiedenen Wellenlängen
für Zuckerlösungen einer bestimmten Konzentration untersucht werden. Des weiteren soll
das spezifische Drehvermögen der verschiedenen Zuckerarten bei fester Lichtwellenlänge
bestimmt werden.
Abschließend wird die Konzentration einiger unbekannter Zuckerlösungen gemessen.
Die Länge, die das Licht in der Zuckerlösung zurücklegt, beträgt jeweils l = 20 cm.
5. Auswertung
• Stellen Sie die Messungen zur Rotationsdispersion für Fruktose und Glukose in je
einem φ (λ) -Diagramm dar. Zeichnen Sie dabei die Fehlergrenzen an die Messwerte.
Ist die Abhängigkeit der Rotationsdispersion von der Wellenlänge im Einklang mit der
Abhängigkeit des Brechungsindexes n bei Stoffen wie Glas?
• Erstellen Sie für die Proben bekannter Konzentration für jede Zuckerart je ein Diagramm,
in dem sie den Drehwinkel (mit Fehlergrenzen) als Funktion der Konzentration
auftragen. Ermitteln Sie aus der Steigung der Ausgleichsgeraden das spezifische
Drehvermögen φ 0 für Glukose und Fruktose.
Versuchen Sie, aus dem Diagramm einen Fehler für φ 0 abzuschätzen.
• Bestimmen Sie mit den oben bestimmten spezifischen Drehvermögen die Zuckerart
und Konzentration der unbekannten Proben.
4. Messungen
1. Bestimmung der beiden Nullpunkte des Saccharimeters ohne fest eingebauten Filter:
Messen Sie ohne Zuckerlösung die vier Winkel möglichst genau, bei denen die zwei
59
60

MR
MR
Mechanische Resonanz
MR
Mechanische Resonanz
1. Fragen zur Vorbereitung
Gleiter
Lichtschranken
Antrieb
• Geben Sie für folgende Schwingungsarten (z.B. Masse an einer Feder) die Bewegungsgleichung
an: freie ungedämpfte, freie gedämpfte und erzwungene Schwingung (mit
und ohne Dämpfung).
• Nennen Sie die jeweiligen Eigenfrequenzen!
• Welche Lösungen gibt es abhängig von der Dämpfung für die freie gedämpfte Schwingung?
• Was versteht man unter dem logarithmischen Dekrement?
Luft
Magnete
Abbildung MR.1: Schema des Luftkissengleiters
• Was ist die Güte eines schwingfähigen Systems?
• Charakterisieren sie Einschwingvorgang, Schwebungen und stationäre Schwingung.
• Wie funktioniert eine Wirbelstrombremse?
2. Versuchsaufbau
Freie und erzwungene Schwingungen werden an einem Federpendel mit geringer Reibung
untersucht. Es besteht aus einem Gleiter auf einer Luftkissenbahn, der durch zwei Schraubenfedern
an eine Ruhelage gebunden ist (Abbildung MR.1). Eine geschwindigkeitsproportionale
Dämpfung (siehe Gleichung MR.4) wird durch eine Wirbelstrombremse erreicht. Die
Wirbelstrombremse wird durch Permanentmagnete realisiert, die so an den Seiten des Gleiters
angebracht werden, dass ihr Magnetfeld die Luftkissenschiene senkrecht durchsetzt. Um
verschieden starke Dämpfung zu erreichen, stehen 14 Magnete zur Verfügung, die bei Nichtverwendung
gegen gleich schwere Messingstücke ausgetauscht werden, damit die Masse
des Gleiters konstant bleibt. Die Bremswirkung ist am stärksten bei alternierender Polung
benachbarter Magnete (während sich die Felder gegenüberliegender Magnete kaum beeinflussen).
Bewegt man nun ein Ende der Federn periodisch hin und her, so erhält man eine erzwungene
Schwingung. Im Versuch wird dazu ein von einem Schrittmotor angetriebener Exzenter verwendet
(Da der Schrittwinkel nur 0.9 0 beträgt, ist die Ungleichmäßigkeit der Drehbewegung
ohne nennenswerten Einfluss auf die Resonanz des Gleiters. Dafür hat die mittlere Winkelgeschwindigkeit
die Konstanz eines Quarzoszillators). Die Elektronik zur Ansteuerung
des Schrittmotors befindet sich im Betriebsgerät. Abbildung MR.2 zeigt ein vereinfachtes
Blockschaltbild. Der Schrittmotor wird mit der oberen der beiden Tasten, die links neben
der linken Siebensegmentanzeige auf der Frontplatte des Betriebsgeräts angebracht sind,
eingeschaltet, mit der unteren ausgeschaltet. Beim Ausschalten bleibt der Exzenter in seiner
Null-Position stehen, damit der Nullpunkt der Bewegung bei der Untersuchung freier,
gedämpfter Schwingungen an derselben Stelle liegt wie bei der Untersuchung erzwungener
61
Schwingungen. Die linke Siebensegmentanzeige zeigt die Periodendauer (in s) der äußeren
Kraft an. Sie kann mit den vier Tasten, die sich unter dieser Anzeige befinden, im Bereich
von 1 s bis 4 s mit einer Auflösung von 1 ms verändert werden. Diese Anzeige leuchtet nur,
wenn der Schrittmotor in Betrieb ist. Die Amplitude F 0 der äußeren Kraft ist konstant. Da die
beiden Federn, die den Gleiter an seine Ruhelage binden, beide die gleiche Federkonstante
k/2 haben, ist F 0 /k gleich dem halben Exzenterradius. F 0 /k beträgt 0.9 cm. Die Amplitude
A(ω) der Schwingung kann direkt auf der Luftkissenbahn abgelesen werden. Zur Messung
der Periodendauer T = 2π/ω der Schwingung und der Phasendifferenz Φ zwischen Gleiter
und Erreger sind zwei Lichtschranken vorgesehen. Eine Doppel-Lichtschranke befindet sich
in der Ruheposition des Gleiters. Sie gibt ein Signal, wenn der Gleiter die Lichtschranke
von links nach rechts durchläuft. Eine in das Betriebsgerät integrierte elektronische Stoppuhr
wird durch ein Signal dieser Lichtschranke ausgelesen und sofort wieder neu gestartet.
Die mittlere der drei Siebensegmentanzeigen des Betriebsgeräts zeigt die ausgelesene Zeit
solange an, bis diese durch das Ergebnis der nächsten Messung ersetzt wird. Diese Stoppuhr
ist auch bei ausgeschaltetem Schrittmotor in Betrieb, so dass man mit ihr auch die Periodendauer
freier, gedämpfter Schwingungen messen kann.
Eine weitere Lichtschranke detektiert den Nulldurchgang der äußeren Kraft. Sie wird durch
den Exzenter ausgelöst. Eine zweite elektronische Stoppuhr misst die Zeit von einem Nulldurchgang
der äußeren Kraft bis zum Nulldurchgang der Gleiterbewegung. Das Ergebnis
wird auf der rechten Siebensegment-Anzeige auf der Frontplatte des Betriebsgeräts
angezeigt. Diese Stoppuhr ist nur bei eingeschaltetem Schrittmotor in Betrieb. Aus der
Verzögerungszeit ∆T bekommt man die Phasenverschiebung Φ(ω) der Bewegung des Gleiters
bezüglich der Zwangskraft
Φ(ω) = 2π ∆T
T = ω∆T .
62
(MR.1)

Aufgaben, Hinweise
MR
MR
Mechanische Resonanz
Quarz-
Oszillator
Schrittmotorsteuerung
Schrittmotor
✲
✬✩ ❄ ❄
Anzeige für
Periode der
äußeren Kraft
✫✪
✲
✲
Erste
Stoppuhr
❄
Anzeige für
Gleiter-
Periode
✲
✲
✲
Zweite
Stoppuhr
❄
Anzeige für
Gleiter-
Verzögerung
für Schwingungsdauern T zwischen 1.2 s und 3.8 s. Erhöhen Sie die Schwingungsdauer
um jeweils etwa 0.2 s, in der Nähe der Resonanz um jeweils 0.1 s; Versuchen
Sie die Resonanzfrequenz möglichst genau einzustellen um die Resonanzamplitude
zu messen. Insgesamt entspricht dies etwa 30 Messwerten. Nach der Einstellung einer
bestimmten Erregerfrequenz ist das Abklingen des Einschwingvorgangs abzuwarten.
Nehmen Sie als Kriterium die Konstanz der Schwingungsdauer. Da leichte Schwankungen
in der Erregung sich nicht vollständig ausschließen lassen, sollen die Werte
für die Schwingungsdauer T , die Verzögerung des Nulldurchgangs des Gleiters ∆T
und die Amplitude A in einem möglichst kurzen Zeitraum gemessen werden. Bei T
und ∆T sind nur zwei Stellen hinter dem Komma signifikant. Die Werte sind in eine
gemeinsame Tabelle einzutragen.
Einzel-
Lichtschranke
Doppel-
Lichtschranke
4. Auswertung
Zu Messung 1:
Abbildung MR.2: Vereinfachtes Blockschaltbild des Betriebsgeräts
3. Aufgaben, Hinweise
3.1. Freie Schwingungen
Es sind m Paare von Magneten anzubringen, um unterschiedliche Dämpfungen zu realisieren.
Ersetzen Sie nicht benötigte Magnete durch die gleichschweren Messingstücke und bringen
Sie die Magnete immer paarweise gegenüberliegend an. Vor dem Beginn einer Messung
muss sichergestellt sein, dass die beiden Federn zum Stillstand gekommen sind. Starten Sie
den Gleiter jeweils links vom Nullpunkt mit einer solchen Auslenkung, dass die Anfangsamplitude
auf der rechten Seite ungefähr 25 cm beträgt. Die aufeinanderfolgenden Amplituden
A m,0 , A m,1 , ..., A m,10 (bei großem m auch weniger) sind in eine Tabelle einzutragen.
1. Messen Sie die Eigenkreisfrequenz und verfolgen Sie das zeitliche Abklingen der Amplitude
bei unterschiedlicher Dämpfungsstärke (m = 0, 1, 2, 3, 5, 7)
3.2. Erzwungene Schwingungen
2. Messen Sie die Amplitude A(ω) und die Phasenverschiebung Φ(ω) des Gleiters in
Abhängigkeit von der Erregerkreisfrequenz ω für zwei unterschiedliche Stärken der
Dämpfung: m = 7 und m = 2.
Beginnen Sie mit dem wegen der kürzeren Einschwingzeit weniger problematischen
Fall größerer Dämpfung (m = 7). Messen Sie die Resonanzkurven A(ω) und Φ(ω)
63
1.1 Lässt sich aus der Messung der Kreisfrequenzen bei unterschiedlicher Dämpfung der
zweite Teil der Gleichung MR.8 qualitativ bestätigen?
1.2 Bilden Sie aus den Messwerten für die Amplituden A m,0 , A m,1 ... A m,10 die Größen
R i = ln(A m,i /A m,0 ) und tragen Sie die Ergebnisse in ein Diagramm als Funktion von
i ein. Man erhält Geraden, deren Steigungen (Gleichung MR.10) gleich −π/Q(m)
sind.
1.3 Berechnen Sie aus den Steigungen der Ausgleichsgeraden der vorhergehenden Aufgabe
die Güten Q(m). Tragen Sie in einem weiteren Diagramm die Kehrwerte der Güten
1/Q(m) als Funktion von m auf. Ermitteln Sie durch Extrapolation die für kritische
Dämpfung (1/Q = 2) notwendige Anzahl m krit von Dämpfungsmagnetpaaren.
Zu Messung 2:
2.1 Zeichnen Sie für beide Fälle die Resonanzkurven A(ω) und Φ(ω) in jeweils ein Diagramm
für beide Dämpfungen.
2.2 Bestimmen Sie im Fall der kleineren Dämpfung die Resonanzüberhöhung R =
A(ω r )/A(0) und die 1/ √ 2 – Breite ∆ω der Amplitude. Ermitteln Sie daraus nach Gleichung
MR.15 und nach Gleichung MR.17 die Güte, beachten Sie, dass F 0 /k 0.9 cm
beträgt. Vergleichen Sie diese Werte mit dem aus freien Schwingungen gewonnenen
Wert.
64

Grundlagen
MR
MR
Mechanische Resonanz
5. Grundlagen
5.1. Freie, ungedämpfte Schwingung
Der Begriff der freien, ungedämpften Schwingung stellt, abgesehen von wenigen Ausnahmen
3 , eine Idealisierung dar. Vernachlässigt man bei einem Federpendel alle Reibungseffekte,
so ist nach dem Hookeschen Gesetz die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung
aus der Ruhelage:
F = mẍ = −kx → ẍ + k m x = 0 (MR.2)
Dabei ist m die Masse des Körpers (die Federmasse sei dagegen vernachlässigbar klein) und
k die Federkonstante. Die Auslenkung (Elongation) x(t) ergibt sich als Lösung von Gl. MR.2
zu
x(t) = x 0 sin(ω o t − φ 0 ) ,
(MR.3)
ω o =
√
k
m ist die Eigenkreisfrequenz des Federpendels, φ 0 ist der Phasenwinkel zur Zeit
t = 0. x 0 und φ 0 sind durch den Schwingungsanfang bestimmt.
5.2. Freie, gedämpfte Schwingung
Bei einer gedämpften Schwingung wird dem schwingenden System Energie entzogen. So
wird die Amplitude der Schwingung des Luftkissenfahrzeugs, das in diesem Versuch verwendet
wird, aufgrund der Reibung allmählich immer kleiner werden. Einfach wird die
mathematische Behandlung der gedämpften Schwingung, falls die Reibungskraft der Geschwindigkeit
direkt proportional ist.
Für das Federpendel lautet die Bewegungsgleichung (vergl. Gl. MR.2)
mẍ + ηẋ + kx = 0.
(MR.4)
Setzt man
√ √
k km
ω o :=
m und Q := , (MR.5)
η
so bekommt die Differentialgleichung folgende Gestalt:
ẍ + ω o
Q ẋ + ω o 2 x = 0.
(MR.6)
Dabei ist ω o die Resonanzfrequenz eines ungedämpften Federpendels mit gleicher Masse
und gleicher Federkonstanten. Q heißt die Güte des Federpendels. Sie ist umso größer, je
kleiner die Reibungskonstante η ist.
Der Ansatz einer Exponentialfunktion führt zur allgemeinen Lösung von Gleichung MR.6:
x(t) = Ae (αt+ϕ0) mit α 1/2 = − ω √
o 1
2Q ± ω o
4Q − 1 (MR.7)
2
3 aktive Entdämpfung durch positive Rückkopplung, z.B. in mechanischen Uhrwerken
65
Drei Fälle sind zu unterscheiden. Für Q < 0.5 liegt der Kriechfall vor. α ist reell. Das Pendel
kann nicht über die Gleichgewichtslage hinausschwingen. Bei Q = 0.5 liegt der aperiodische
Grenzfall vor. Auch hier geht das Pendel ohne eine voll Schwingung durchzuführen in
die Gleichgewichtslage, aber mit der kleinstmöglichen Zeitkonstante 1/ω o . Der Schwingfall
ist durch Gütewerte Q > 0.5 gekennzeichnet. In diesem Fall wird die Pendelbewegung (nach
dem Einschwingvorgang) durch die folgende Gleichung beschrieben:
x(t) = x 0 e − ωo t √
2Q sin(ωt − φ 0 ), mit ω = ω o 1 − 1 (MR.8)
4Q 2
Die Kreisfrequenz ω ist also stets kleiner als im ungedämpften Fall. Die Dämpfungszeitkonstante
2Q/ω o wird mit zunehmender Güte, also abnehmender Dämpfung, immer
größer. Die Güte bestimmt, ob ein System überhaupt noch schwingungsfähig ist. Bei nicht
zu geringer Güte gilt für die relative Amplitudenabnahme während einer Schwingung
und für die Logarithmen der Amplitudenverhältnisse gilt
( )
An
ln ≈ − π A 0 Q n .
A n+1
A n
≈ e − π Q (MR.9)
(MR.10)
In Abbildung MR.3 ist der zeitliche Verlauf der Auslenkung eines gedämpften Federpendels
im aperiodischen Grenzfall und im Falle einer gedämpften Schwingung mit der Güte 5
dargestellt.
Amplitude
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Gedämpfte Schwingung
0 5 10 15 20 25 30 35
Zeit
Q = 5
Q = 0.5
Abbildung MR.3: Zeitlicher Verlauf der Auslenkung eines gedämpften Federpendels für kritische
(Q = 0.5) und unterkritische Dämpfung (Q = 5)
5.3. Erzwungene Schwingung, Resonanz
Wirkt auf ein schwingungsfähiges System mit der (ungedämpften) Eigenfrequenz ω o eine
periodische äußere Kraft F mit der Kreisfrequenz ω, so treten erzwungene Schwingungen
66

Grundlagen
MR
MR
Mechanische Resonanz
auf. In diesem Fall lautet die Bewegungsgleichung
mẍ + ηẋ + kx = F = F 0 cos(ωt).
Setzt man nach Division durch m die in (MR.5) definierten Größen ein, so erhält man
Eine Lösung dieser Gleichung lautet
x(t) = F 0
m
cos(ωt − Φ(ω))
√
mit der Schwingungsamplitude
ẍ + ω o
Q ẋ + ω2 o x = F 0
m cos(ωt) .
= F 0
k
(ωo 2 − ω 2 ) 2 + ω2 o ω2
Q 2
A(ω) = F 0
k
cos(ωt − Φ(ω))
√ ( ) 2
1 − ω2
+ ω2
ω 2 o
1
√ ( ) 2
1 − ω2
+ ω2
ω 2 o
Q 2 ω 2 o
Q 2 ω 2 o
(MR.11)
. (MR.12)
. (MR.13)
Φ(ω) bezeichnet die Phasenverschiebung zwischen der erzwungenen Schwingung und der
Erregerschwingung. Greift an einem ungedämpften System (d.h. Q = ∞) eine äußere Kraft
mit einer Frequenz ω = ω o an, so kommt es zur Resonanzkatastrophe, d. h. die Schwingungsamplitude
wird beliebig groß; denn der Nenner in Gleichung (MR.12) verschwindet. Auch
für ein gedämpftes System erwartet man Resonanz, d. h. maximale Schwingungsamplitude
bei konstanter Anregungsamplitude, in der Nähe der Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.
Die Ableitung der Schwingungsamplitude A(ω) nach ω liefert zunächst das Quadrat
der Resonanzkreisfrequenz
und dann die Resonanzkreisfrequenz selbst
ω 2 r = ω2 o − ω2 o
2Q 2
ω r = ω o
√
1 − 1
2Q 2.
(MR.14)
Die Resonanz in der Amplitude wird also schon bei einer geringeren Frequenz als der freien
Schwingung (mit oder ohne Dämpfung) erreicht. Die Resonanzamplitude bekommt man
durch Einsetzen von ωr 2 aus Gleichung (MR.13) in Gleichung (MR.12) zu
A(ω r ) = F 0
k ·
Q
√
1 − 1 ≈ F 0
4Q 2
k · Q.
(MR.15)
Bei nicht allzu kleiner Güte ist die Resonanzamplitude also um den Faktor Q größer 4 als die
Amplitude F 0 /k, die sich im Grenzfall ω → 0 einstellt.
4 Daher rührt die Bezeichnung Güte
67
Wendet man auf cos(ωt − Φ(ω)) in Gleichung (MR.12) das Additionstheorem der Cosinus-
Funktion an, und setzt man das Ergebnis wieder in die Differentialgleichung (MR.11) ein,
so bekommt man zunächst den Tangens der Phasendifferenz Φ(ω) und dann diese selbst zu
tan(Φ(ω)) =
ω o ω
Q(ω 2 o − ω 2 )
( )
ω o ω
; Φ(ω) = arctan
Q(ωo 2 − ω 2 )
. (MR.16)
Unabhängig von der Dämpfung ist die Phasendifferenz Φ zwischen der Erregerschwingung
A
1
ω/ω o
∞
Φ
1
∞
ω/ω o
Abbildung MR.4: Frequenzabhängigkeit der Amplitude A (in Einheiten F 0 /k) und der Phase
Φ einer erzwungenen Schwingung ω (in Einheiten von ω o ) für verschiedene Güten von Q =
1 bis Q = ∞
und der erzwungenen Schwingung bei der Frequenz ω = ω o stets 90 ◦ . Abb. MR.4 zeigt die
Abhängigkeit der Amplitude A und der Phasendifferenz Φ von der Erregerfrequenz. Deutlich
zeigt sich hier, dass die Amplitudenkurve nicht symmetrisch zur Resonanzfrequenz ist.
Das liegt daran, dass bei niedrigen Frequenzen das Federpendel in Phase mit der Erregerschwingung
ausgelenkt wird und damit für ω → 0 die Amplitude den Wert F 0 /k erreicht,
wohingegen zu hohen Frequenzen hin die Schwingung gegenphasig wird und die Amplitude
gegen null geht. Das Resonanzmaximum ist umso schmaler, je höher die Güte ist. Als Maß
für die Breite der Resonanz wählen wir den Abstand zwischen den Kreisfrequenzen, bei denen
die Resonanzamplitude um den Faktor 1/ √ 2 kleiner ist als im Maximum. Die beiden
Kreisfrequenzen ergeben sich aus Gleichung MR.13 zu
√
ω ± = ω o 1 − 1
2Q ± 1 √
1 + 1 2 Q Q 2
Vernachlässigt man 1/Q 2 gegenüber 1 und entwickelt man die verbleibende Wurzel, so bekommt
man
ω ± ≈ ω o ± 1
2Q ω o , ω + − ω − = ∆ω o ≈ ω o
Q ,
68

Grundlagen
MR
ST
Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine
Q ≈ ω o
∆ω .
(MR.17)
Dies eröffnet einen dritten Weg zur Messung der Güte, jedenfalls bei schwacher Dämpfung:
Sie ist die relative Breite der Resonanzkurve zwischen den Stellen, an denen die Amplitude
um den Faktor 1/ √ 2 kleiner ist als im Maximum.
In der Nähe der Resonanz lässt sich die Frequenzabhängigkeit des Quadrats der Amplitude
(und damit die Energie des Systems) durch die sogenannte Lorentzkurve
A 2 (ω) ≈ F 2 0
k 2 ·
1
( ) 2 ω
4 − 1 + 1 (MR.18)
ω o Q 2
annähern. Sie ist symmetrisch zu ω o und hat eine Halbwertsbreite (volle Breite bei halber
Höhe) von ∆ω = ω o /Q.
Die Lorentzkurve findet sich als Linienform sowohl in der optischen Spektroskopie als auch
als Breit-Wigner-Formel für Neutronenresonanzen in der Kernphysik wieder. Auch beim
Mößbauereffekt wird die Resonanzabsorption durch eine Lorentzfunktion beschrieben.
ST
Grundlagen
Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine
Hauptsätze der Thermodynamik, Entropie, allgemeine Gasgleichung, Wärmekapazität,
Wirkungsgrad; Carnotprozess/Stirlingprozess: Prinzip, Gemeinsamkeiten und Unterschiede;
Thermodynamische Grundlagen zu Wärmekraftmaschinen, Wärmepumpen und
Kältemaschinen.
Literatur
• Gerthsen/Kneser/Vogel: Physik, Springer-Verlag, 14. Auflage, Kap. 5.3
• Demtröder, Experimentalphysik I, Springer-Verlag, 2. Auflage, Kap. 10.3.11
• M. Werdich: Stirling-Maschinen - Grundlagen-Technik-Anwendungen, 3. Auflage,
ökobuch Verlag Stauffen bei Freiburg 1994
• LEYBOLD-HERAEUS, Gebrauchsanweisung 388 18/20 zum Heißluftmotor, PDF-
Datei http://www.pit.physik.uni-tuebingen.de/studium
1. Fragen zur Vorbereitung & Protokoll
• Was bedeuten die Begriffe ”
Wärmereservoir“ und ”
Kältereservoir“? Inwiefern können
der beheizte Zylinderoberteil und der gekühlte Zylinderunterteil als Wärme- bzw.
Kältereservoir bezeichnet werden?
• Welche Funktion hat der Regenerator im Stirling-Kreisprozess? Ist die Kupferwolle
eine gute Realisierung eines Regenerators?
• Berechnen Sie den theoritischen Wirkungsgrad des reversiblen Stirling-
Kreisprozesses. Orientieren Sie sich an der Berechnung des Wirkungsgrades
des Carnot-Prozesses. Was muss man voraussetzen, wenn man den Stirling-Prozess
mit Hilfe der allgemeinen Gasgleichung berechnet?
2. Aufgabenstellung
1. Ermittlung der Reibungsverluste des Heißluftmotors
2. Ermittlung des realen und idealen Wirkungsgrads durch die Bestimmung der vom Motor
abgegebenen Arbeit aus einer Drehmomentmessung an der Motorachse
3. Bestimmung des Wirkungsgrads durch Aufnahme des pV -Diagramms des Heißluftmotors
Berücksichtigen Sie hierbei insbesondere die folgenden Punkte:
69
70

Funktionsprinzip des Stirling-Motors
ST
ST
Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine
• Warum wird der Strom nicht mit einem Multimeter gemessen?
• An welchen Stellen der Koordinatenachsen des pV -Diagramms liegen die Minima und
Maxima von Druck und Volumen?
• Ist die aus dem pV -Diagramm ermittelte Arbeit tatsächlich die vom Arbeitsgas abgegebene
Arbeit? Welchen Einfluss hat die Kolbenreibung?
p
1
T 1
Q 4
W 1
Q 1
4 2
• Erläutern Sie die Unterschiede der verschiedenen Methoden zur Bestimmung der zugeführten
Energie, der abgegebenen Arbeit und der sich daraus ergebenden Wirkungsgrade!
T 2
Q 2
3. Funktionsprinzip des Stirling-Motors
Der dem Versuch zugrunde liegende Stirling-Prozess besteht aus zwei Isothermen und zwei
Isochoren (vgl. Abb. ST.1). Eigentlich sollte er damit technisch einfacher zu realisieren sein
als eine Carnot-Maschine, da dort sich ausschließende Anforderungen an das Material gestellt
werden. Die Zylinderwände sollen einmal optimal wärmeleitend sein (isothermer Teilprozess),
beim nächsten (adiabatischen) Teilprozess sollen sie aber ideale Isolatoren sein.
Doch obwohl der Stirling-Motor z.B. vor dem Otto-Motor entwickelt wurde, behinderten
technische Probleme, wie eine verschleiß- und reibungsarme Konstruktion der aufwändigen
Mechanik und das Fehlen eines geeigneten Wärmezwischenspeichers, seine Entwicklung.
Erst heute gewinnt der Stirling-Motor auch unter ökologischen Gesichtspunkten, da er nicht
auf fossile Brennstoffe angewiesen ist, eine zunehmende Bedeutung.
Der Stirling-Prozess ist zumindest näherungsweise beim Stirling-Motor verwirklicht. Das
Arbeitsgas (Luft) befindet sich in einem Zylinder, der von einem beweglichen Arbeitskolben
abgesperrt wird. Im Gaskolben befindet sich ein zweiter beweglicher Kolben, der sog. Verdrängerkolben.
Der Arbeitskolben ist für die zyklische Expansion und Kompression des Arbeitsgases
zuständig, während der Verdrängerkolben das Gas im Laufe einer Periode so verschiebt,
dass es einmal mit dem Wärmereservoir und einmal mit dem Kältereservoir in Kontakt
kommt. Somit ist der Arbeitskolben für die Volumensteuerung und der Verdrängerkolben
für die Temperatursteuerung zuständig.
Takt 1 (1 → 2) ist die isotherme Expansion bei konstanter Temperatur T 1 .
Dazu bleibt der Verdrängerkolben in seiner Stellung. Das Gas wird in Kontakt mit der
warmen Wand der Temperatur T 1 – dem Wärmereservoir – gehalten. Während das Arbeitsgas
die Wärme Q 1 aufnimmt, dehnt es sich aus und verschiebt den Arbeitskolben,
so dass in dieser Phase vom Gas die Arbeit W 1 verrichtet wird.
Takt 2 (2 → 3) ist die isochore Wärmeabgabe bei konstantem Volumen V 2 . Der Arbeitskolben
bleibt in seiner Stellung. Das Arbeitsgas strömt durch den sich in Richtung
Wärmereservoir bewegenden Verdrängerkolben und damit durch den Regenerator
(Kupferwolle in einem Kanal im Verdrängerkolben). Durch diesen Kontakt mit
dem kälteren Regenerator der Temperatur T 1 < T 2 gibt es einen Teil seiner Energie
an ihn ab. Das Gas wird auf die Temperatur T 2 abgekühlt (idealisiert) und gibt dabei
Q 3
W 3
V 1
V 2
Abbildung ST.1: Idealisierter Stirling Prozess im pV -Diagramm
die Wärme Q 2 ab. Dadurch nimmt der Druck ab. Im Anschluss daran kommt es in
Kontakt mit dem Kältereservoir in Form der wassergekühlten Zylinderseitenwand der
Temperatur T 2 .
Takt 3 (3 → 4) ist die isotherme Kompression bei konstanter Temperatur T 2 . Der Verdrängerkolben
bleibt in seiner Stellung. Das Arbeitsgas ist im thermischen Kontakt mit
der kalten Wand der Temperatur T 2 . Der Arbeitskolben komprimiert das Gas und verrichtet
dabei die Arbeit W 3 an ihm, dadurch steigt der Druck. Die Temperatur ändert
sich jedoch nicht, da das Arbeitsgas die Wärme Q 3 an das Kältereservoir abgeben
kann.
Takt 4 (4 → 1) ist die isochore Wärmezufuhr bei konstantem Volumen V 1 . Der Arbeitskolben
bleibt in seiner Stellung, während sich der Verdrängerkolben in Richtung des
Kältereservoirs bewegt. Dabei strömt das Gas der Temperatur T 2 durch den Regenerator,
wobei es die vorher abgegebene Wärmeenergie Q 4 wieder aufnimmt und sich
auf die Temperatur T 1 erwärmt. Der Druck steigt weiter, bis sich das Gas wieder im
Ausgangszustand befindet.
Dieser Kreislauf und die Stellungen beider Kolben sind in Abb. ST.2 dargestellt. Im Praktikum
wird der Heißluftmotor der Firma LEYBOLD-HERAEUS (vgl. Abb. ST.3) als Beispiel
für die Realisierung einer Stirling-Maschine verwendet. Der Heißluftmotor besteht aus einem
gläsernen Zylinder, welcher sich durch einen Zylinderaufsatz mit Heizwendel luftdicht
verschließen lässt. Der untere Teil des Zylinders ist doppelwandig und ermöglicht so den
Kontakt mit dem Kältereservoir in Form von Kühlwasser.
Da der gläserne Zylindermantel die Kühlwirkung des Wassers beeinträchtigt, wird das
Kühlwasser zusätzlich durch eine koaxiale Zu- und Ableitung in der Kolbenstange des Ver-
3
V
71
72

Funktionsprinzip des Stirling-Motors
ST
ST
Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine
1
2
Isotherme
Expansion
Heizwendel
Zylinder
Isochore
Erwärmung
4 3
Isochore
Abkühlung
warme Wand
Wasserab−
bzw.
zulauf
doppelwandiger
Zylinderunterteil
für Wasserkühlung
Wasserkühlung für
Verdrängerkolben
Schwungrad
Isotherme
Kompression
Verdrängerkolben
Regenerator
kalte Wand
Arbeitskolben
Abbildung ST.3: Prinzipieller Aufbau des Heißluftmotors von LEYBOLD-HERAEUS
Abbildung ST.2: Stellung von Arbeits- und Verdrängerkolben während der Arbeitstakte
1
2
3
4
drängerkolbens auch dem metallischen Unterteil des Verdrängerkolben zugeführt, dessen enge
Schlitze das Arbeitsgas passieren muss, wenn es von einem Reservoir ins andere geschoben
wird. Eine quantitative Bestimmung der abgeführten Wärmemenge ist möglich, indem
man den Wasserdurchsatz und die Temperaturänderung des Kühlwassers misst.
Höhe
der Kolben
im
Zylinder
Verdränger−
kolben
Der Verdrängerkolben weist neben der wassergekühlten Metallplatte mit den engen Schlitzen
einen axialen Kanal auf, der mit Kupferwolle gefüllt ist. Durch diesen Kanal stehen die
Gasanteile des Zylinders ober- und unterhalb des Verdrängerkolbens miteinander in Verbindung.
Die Kupferwolle übernimmt die Rolle des Regenerators. Sie soll während der isochoren
Erwärmung bzw. Abkühlung die Wärmeenergie an das Gas abgeben bzw. vom Gas
aufnehmen und hat damit die Funktion eines Zwischenspeichers für die Wärmen Q 2 und Q 4 .
isotherme
Expansion
Arbeitskolben
isochore isotherme isochore
Abkühlung Kompression Erwärmung
Zeit
Der Arbeitskolben, welcher das Gas periodisch komprimiert und entspannt, schließt den
Zylinder nach unten luftdicht ab. Er ist zusammen mit dem Verdrängerkolben an einem
Schwungrad befestigt, wobei der Verdrängerkolben dem Arbeitskolben um 90 ◦ vorauseilt.
Die Bewegung beider Kolben im Zylinder wird in Abb. ST.4 dargestellt.
73
Abbildung ST.4: Phasenbeziehung zwischen Arbeits- und Verdrängerkolben des Heißluftmotors
74

000000
111111
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000000
111111
Versuchsdurchführung
ST
ST
Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine
4. Versuchsdurchführung
4.1. Bestimmung der Reibungsverluste
Zubehör:
Heißluftmotor (ohne Zylinderkopf und Heizwendel)
Elektromotor
Wasserbehälter (ca. 40 l)
Wasserpumpe
Messzylinder und Stoppuhr
Durchlaufgefäß mit Thermometer
Lichtschranke mit Lochscheibe und Digitalzähler
Thermometer
Durchflussmesser
und
Durchflussgefäß
Elektromotor
Lichtschranke
Zur Bestimmung des Energieverlustes durch Reibung des Kolbens an der Zylinderwand wird
der Stirling-Motor bei offenem Zylinderkopf extern durch einen Elektromotor angetrieben.
Unter der Voraussetzung, dass die dabei auftretende Reibungswärme Q R vollständig an das
Kühlwasser abgegeben wird, kann man durch die dem Kühlwasser zugeführte Energie Q H2O
den Reibungsverlust messen, da Q H2O = Q R gilt.
Q H2O wird mittels der kalorischen Zustandsgleichung Q H2O = c H2Om∆T bestimmt. Dazu
werden die Temperaturerhöhung ∆T des Kühlwassers, der Kühlwasserdurchfluss dm und
dt
die Drehzahl f des Motors gemessen. Die gesuchte Energieabgabe pro Motorzyklus erhält
man dann aus
Q V1
H 2O = c H 2O∆T dm
(ST.1)
f dt
Um die Größe ∆T zu ermitteln, trägt man die Kühlwassertemperatur als Funktion der Zeit
in ein Diagramm (vgl. Abb. ST.5) ein. Man erhält durch Extrapolation die gesuchte Temperaturdifferenz
∆T . Der Versuchsaufbau dafür ist in Abb. ST.6 dargestellt. Für die Messung
wird Wasser zur Kühlung des Motors in einem Behälter bereitgestellt. Das Wasser aus der
Wasserleitung kann nicht direkt als Kühlwasser benutzt werden, da die Temperaturschwankungen
unter Umständen größer als die zu messenden Temperaturdifferenzen sind. Das gesamte
Kühlwasser wird in dem Behälter regelmäßig durchmischt. Außerdem soll der Motor
T 1
T/°C
23
22
21
∆T
Kühlwasserzu− und abfluss
12345
Digitalzähler
Abbildung ST.6: Versuchsaufbau für die Bestimmung der Reibungsverluste
vor jedem Versuch frisch geölt werden, um jeweils die gleichen Ausgangsbedingungen herzustellen.
Sind diese Vorbereitungen abgeschlossen, wird die Wasserpumpe eingeschaltet; der Strom
sollte 800 mA nicht übersteigen (sonst werden die Schläuche undicht). Der Kühlwasserdurchsatz
wird mittels einer Stoppuhr und eines Messzylinders ermittelt. Die Kühlwassertemperatur
soll in Intervallen von zwei Minuten gemessen werden (das Thermometer zeigt
die Kühlwassertemperatur direkt nach Verlassen des Kühlsystems des Motors an). Der Wasserdurchsatz
und die Kühlwassertemperatur sollen während des gesamten Versuchs gemessen
und und als Funktion der Zeit protokolliert werden.
Hat die Temperatur des Kühlwassers einen konstanten Wert erreicht (< 0.1 K/6 min) so wird
der Antrieb zugeschaltet. Die Drehzahl des Stirling-Motors wird sich auf etwa f = 5 s −1
einstellen. Sie wird mit einer Lichtschranke (Lochscheibe an der Motorachse) gemessen.
Die Temperaturmessung wird solange durchgeführt, bis sich wieder eine konstante Gleichgewichtstemperatur
eingestellt hat. Dies ist ungefähr nach 15 Minuten der Fall.
T 2
20
0 10 20 30 40 50 60 70
t/min
Abbildung ST.5: Zeitlicher Verlauf der Kühlwassertemperatur
75
4.2. Bestimmung der zugeführten Energie und der geleiteten Arbeit
Hier soll die real nutzbare Arbeit Wr
D mit Hilfe des Pronyschen Zaumes bestimmt werden.
Gleichzeitig wird die nicht genutzt Wärmemenge Q V2
H 2O über die Temperatur des
Kühlwassers und die tatsächlich zugeführte Energie Q el aus der elektrischen Heizleistung
gemessen.
76

000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
01
01
01
01
01
01
01
01
01
1
Versuchsdurchführung
ST
ST
Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine
Zubehör:
Heißluftmotor
Regeltransformator
5 Massestücke
Federkraftmesser (Stativfuß und -stange)
1 Multimeter
1 Strommessgerät
Wasserbehälter (ca. 40 l)
Wasserpumpe
Messzylinder und Stoppuhr
Durchlaufgefäß mit Thermometer
Lichtschranke mit Lochscheibe und Digitalzähler
Federkraftmesser
Thermometer
Durchflussmesser
und
Durchflussgefäß
Pronyscher
0
Zaum
Lichtschranke
Die real zugeführte Energie Q r kann auf unterschiedliche Weisen gemessen und berechnet
werden. Dabei können die Werte deutlich voneinander abweichen.
Ermittlung aus der zugeführten elektrischen Energie:
Kühlwasserzu− und abfluss
12345
Digitalzähler
Q el
r = U · I
f
(ST.2)
Ermittlung aus abgegebener Wärme an das Kühlwasser und verrichteter mechanischer Arbeit
(I. Hauptsatz):
Q th
r = W r + Q V2
H 2O
(ST.3)
Da das Arbeitsgas nun beheizt wird, unterscheidet sich Q V2
H 2O auch bei gleicher Drehzahl von
dem im ersten Versuch ermittelten Wert um die zusätzlich vom Gas an das Kältereservoir
(Kühlwasser) abgegebene Wärmemenge Q ′ . Es gilt also:
Q V2
H 2O = Q ′ + Q R −→ Q th
r = W r + Q ′ + Q R . (ST.4)
Bestimmt man die real abgegebene Arbeit Wr
D durch eine Drehmomentmessung an der Motorachse
mit Hilfe des Pronyschen Zaums, so lässt sich Wr
D wie folgt berechnen:
T = r × F .
(ST.5)
Ist der Pronysche Zaum in Ruhe, so wird das Drehmoment T durch die Federkraft F F und
die Gewichtskraft F G der angehängten Massestücke kompensiert. Es gilt also:
Bei waagerechter Ausrichtung des Zaums gilt
Für die abgegebene Leistung P D r
gilt
F = F F + F G
T = r · F .
(ST.6)
(ST.7)
P D r = T · ω mit ω = 2πf . (ST.8)
77
Abbildung ST.7: Versuchsaufbau für die Bestimmung der real abgegebenen Arbeit, Nutzung
eines Pronyschen Zaumes
Die Arbeit pro Zyklus beträgt dann
W D r = 2πT = 2πr(mg + F F ) (ST.9)
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung ST.7 zu sehen. Das Kühlwasser wird im Wasserbehälter
bereitgestellt und während der Temperaturmessung, die wie in 4.1. beschrieben durchgeführt
wird, regelmäßig umgerührt. Analog zu 4.1. lässt sich daraus zusammen mit dem Durchfluss
dm
und der Frequenz f nach Gl. ST.1 wieder die Wärmemenge Q V2
dt H 2O bestimmen. Nachdem
der Motor neu geölt wurde, verschließt man den Zylinder mit dem Zylinderkopfdeckel
luftdicht. Der Strommesser und das Multimeter werden angeschlossen, dabei soll darauf geachtet
werden, dass die (Wechsel-)Spannung mit minimalem Fehler gemessen werden kann.
Sobald die Kühlwassertemperatur annähernd konstant ist, wird der Trafo für die Zylinderkopfheizung
eingeschaltet. Unmittelbar nachdem die Heizwendel zu glühen begonnen hat,
muss der Motor (in Uhrzeigersinn) von Hand angeworfen werden. Nun wird der Pronysche
Zaum lose um die Motorachse gelegt und die Lochscheibe wieder angeheftet. Der Trafo wird
so eingestellt, dass die Drehzahl mindestens f=5.0 s −1 beträgt. Nach einigen Minuten ist die
Drehzahl konstant und Stromstärke sowie Spannung können regelmäßig gemessen werden,
ebenso ist die Kühlwassertemperatur zu protokollieren. Aus dieser Messung erhält man nach
Gl. (ST.1) Q el
r .
Die Schrauben links und rechts am Pronyschen Zaum werden langsam so angezogen, dass
der Motor gerade noch rund läuft. Dabei soll die Drehzahl des belasteten Motors nicht unter
f=3 s −1 sinken. Sollte der Motor doch aus Versehen zum Stehen gekommen sein, so muss er
entweder unverzüglich wieder angeworfen werden oder es muss sofort die elektrische Heizung
abgeschaltet werden. Ein Motorstillstand bei eingeschalteter Zylinderkopfheizung
78

Versuchsdurchführung
ST
ST
Der Stirling-Motor als Wärmekraftmaschine
Pronyscher
Zaum
Motorachse
Federkraftmesser
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
Bremsschrauben
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
Massestücke
Schwungrad
Abbildung ST.8: Drehmomentmessung unter Anwendung eines Pronyschen Zaums, Lage
der Massestücke und des Federkraftmessers
kann zur Zerstörung der Maschine führen! Durch Massestücke auf der einen und den Federkraftmesser
auf der anderen Seite wird der Pronysche Zaum in der Horizontalen gehalten
(vgl. Abb. ST.8). Ist das System in einem relativ schwingungsfreien Gleichgewichtszustand,
wird die Anzahl der Massestücke, die am Federkraftmesser angreifende Kraft und die Drehzahl
des Motors gemessen. In diesem Zustand wird der Motor noch ca. 15 bis 20 Minuten
betrieben, bis die Temperatur des Kühlwassers wieder konstant ist. Dann kann auch die Temperaturmessung
beendet und der Trafo für die Glühwendel ausgeschaltet werden.
4.3. Aufnahme des pV -Diagramms
Aus dem pV -Diagramm lässt sich die die vom Gas verrichtete Arbeit W pV
i bestimmen
(Wie?). Gleichzeitig kann aus der elektrischen Heizleistung die zugeführte Wärme Q el pro
Motorzyklus bestimmt werden.
Zubehör:
Heißluftmotor
Multimeter
Strommesser
Aufbau zur Darstellung des pV -Diagramms mittels eines Lasers
Millimeterpapier
Stoppuhr
Im Gegensatz zu der in 4.2. bestimmten, vom Motor real abgegebenen Arbeit Wr
D lässt sich
durch ein pV -Diagramm die vom Arbeitsgas ideal abgegebene Arbeit W pV
i aufzeichnen.
Man erhält sie aus der Fläche A im pV -Diagramm, dazu muss die Druck- und Volumenachse
kalibriert werden. Dies ergibt sich aus dem Hubraum (150 ml) und dem maximaler
Druckänderung. Da dieser Versuch einen Vergleichswert für die abgegebene Arbeit liefern
soll, müssen die Versuchsbedingungen möglichst genau denen von 4.2. entsprechen, insbesondere
hinsichtlich Heizleistung und Kühlwasserdurchfluss. Ebenso muss der Motor wieder
frisch geölt werden.
79
Abbildung ST.9: Versuchsaufbau zur Bestimmung der abgegebenen Arbeit durch Aufzeichnen
des pV -Diagramms
Den Versuchsaufbau kann man Abb. ST.9 entnehmen. Der pV -Indikator wird mit dem Motor
verbunden. Der Druckanschluss wird hergestellt, indem der druckfeste Schlauch, der am
pV -Indikator befestigt ist, mit dem Druckmessanschluss an der Kolbenstange verbunden
wird. Für den Volumenanschluss wird eine dünne Schnur am Arbeitskolben befestigt, über
eine Umlenkrolle am Fuß des Heißuftmotors geführt und mit dem Schwinghebel des pV -
Indikators in passender Länge verbunden.
Bei diesem Versuch wird die zugeführte Wärme nur elektrisch über die Heizspannung bestimmt,
deshalb könnte hier mit Leitungswasser direkt gekühlt werden. Durch wiederholtes
Messen und Regeln stellt man den gleichen Durchsatz wie in 4.2. her. Die Multimeter werden
analog zu 4.2. angeschlossen.
Nun wird der Trafo eingeschaltet, der Motor angeworfen und die Spannung so geregelt,
dass der Motor mit gleicher Drehzahl f wie im unbelasteten Fall in 4.2. läuft. Strom und
Spannung mehrmals messen!
Nach diesen Vorbereitungen wird der Laser eingeschaltet. pV -Indikator, Schirm und Laser
müssen so hintereinander auf der optischen Bank justiert werden, dass die vom Laser aufgezeichnete
Kurve vollständig auf dem Schirm erscheint. Ein Blatt Millimeterpapier wird auf
den Schirm gelegt. Den maximalen Volumen- und Druckbereich auf dem Schirm ermittelt
man, indem man jeweils die Verbindung zu Druck- (Schlauch) bzw. Volumensensor (Faden)
80

Auswertung
ST
GS
Gitterspektrometer
unterbricht und und einen kompletten Zyklus durchfährt. Horizontale und vertikale Auslenkung
erscheinen jeweils als Geraden und können mit Bleistift nachgezeichnet werden. Die
Volumenachse weicht auf Grund ihrer Konstruktion leicht von der Geradenform ab.
Die Anschlüsse werden wieder hergestellt und die projizierte Kurve wird auf dem Papier
nachgezeichnet. Dabei darf der Schirm nicht bewegt werden. Abschließend wird der Trafo
ausgeschaltet und der Kühlwasserzufluss unterbrochen. Aus der von der Kurve umschlossenen
Fläche ist die während eines Zyklus vom Arbeitsgas abgegebene Arbeit W pV
i zu bestimmen.
GS
Literatur
Gitterspektrometer
• Gerthsen Physik: 22. Auflage, Kap. 10.1
• Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Vol. III (Optik), Kap. 3.8.
• Staudt: Skript Experimentalphysik III (Atomphysik) Kap. 3.6
5. Auswertung
Der Wirkungsgrad η ist definiert als das Verhältnis von Nutzarbeit |W | zu zugeführter
Wärme Q:
η = W (ST.10)
Q
Experimentell kann der Wirkungsgrad des Motors unter zwei Aspekten bestimmt werden:
Zum einen kann untersucht werden, wie diese spezielle Maschine den Stirling-Prozess ausnutzt.
Damit wird der reale Wirkungsgrad η r berechnet:
1. Fragen zur Vorbereitung
• Wiederholen Sie die Grundlagen zum Versuch Beugung am Gitter.
• Warum empfiehlt es sich, linke und rechte Beugungsordnungen zu vermessen anstatt
ebenso vieler Beugungsordnungen auf nur einer Seite?
• Leiten Sie schriftlich die Gleichungen (GS.2) und (GS.5) her.
η r = W r
.
(ST.11)
Q r
Durch Berücksichtigung der Reibungsverluste Q R lässt sich die tatsächlich vom Gas verrichtete
Arbeit bestimmen. Daraus ergibt sich der Wirkungsgrad eines idealen Motors:
η i = W i
Q r
= W r + Q R
Q r
. (ST.12)
Berücksichtigt man nun noch die verschiedenen Methoden zur Bestimmung der nutzbaren
Arbeit und der zugeführten Arbeit, so ergeben sich folgende Gleichungen:
Elektrisch zugeführte Energie:
η el
r = W D r
Q el r
η el
i = W D r
+ Q R
Q el
r
Thermodynamisch bestimmte zugeführte Energie:
η th
r
= W D r
Q th
r
η th
i = W D r + Q R
Q th r
. (ST.13)
(ST.14)
. (ST.15)
(ST.16)
Mit dem in 4.3. gemessenen Werten kann man einen weiteren Wirkungsgrad bestimmen:
η pV
i
= W pV
i
Q el
r
81
(ST.17)
2. Aufgaben:
1. Messung der Wellenlänge λ des Natriumlichtes mit dem Gitterspektrometer. Dazu
werden die Beugungswinkel für vier Ordnungen (die 2., 4., 6. und 8.) links und
rechts der nullten Ordnung je zehnmal gemessen. Man beginnt mit der Messung
zweckmäßigerweise bei der 8. Ordnung auf der einen Seite und misst dann bis zur
8. Ordnung auf der anderen Seite. Bei der Auswertung sind die Beugungswinkel der
einzelnen Ordnungen anzugeben. Das Gitter besitzt 100 Spalte pro Millimeter.
2. Man bestimme die Breite der Gitterspalte aus der Intensitätsverteilung der Hauptmaxima.
3. Das Natriumlicht besteht im gelben Spektralbereich aus zwei Linien mit einer Wellenlängendifferenz
von 0,6 nm. Man beobachte, ab welcher Beugungsordnung sich die
beiden gelben Linien auflösen lassen, und schätze dann auf Grund der unten angegebenen
Formel die Zahl der interferierenden Spalte des Gitters ab. Aus Gitterbreite
und Gitterkonstante berechne man ebenfalls die Zahl der Gitterspalte. Warum tritt zwischen
diesen beiden Ergebnissen eine Diskrepanz auf?
4. Führen Sie eine Fehlerrechnung durch.
3. Grundlagen
Unter einem Beugungsgitter versteht man ein System vieler gleich breiter, in gleichen
Abständen dicht beieinander liegender, einander paralleler Spalte. Im Unterschied zum
82

Grundlagen
GS
GS
Gitterspektrometer
Versuch GI wird nun auch die endliche Breite der Einzelspalte berücksichtigt. Die undurchlässigen
Streifen zwischen den Spalten (Stege) können z.B. durch Furchen realisiert
sein, die in eine Glasplatte geritzt sind. Der Abstand entsprechender Punkte in zwei benachbarten
Spalten heißt die Gitterkonstante g.
Fällt eine ebene Welle (Parallellichtbündel) auf ein solches Gitter, so wird nach dem Huygensschen
Prinzip jeder Spalt Ausgangspunkt einer Zylinderwelle. Die von den einzelnen
Spalten ausgehenden Wellen sind kohärent, sie können also miteinander interferieren. Zwei
von benachbarten Spalten ausgehende Wellen verstärken sich maximal in der Richtung, in
der ihr Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist.
Der Gangunterschied ist ∆ = g · sin ϕ, bei Verstärkung ist also
[ g
g · sin ϕ = kλ, k = 0, 1, 2, 3 . . .
λ]
(GS.1)
k ist dabei die Beugungsordnung der Spektrallinie. Bei bekannter Gitterkonstante g kann
man also aus Gleichung (GS.1) und der Messung der Beugungswinkel die Wellenlänge der
Spektrallinie ermitteln. Die Helligkeit der Maxima in den verschiedenen Beugungsordnungen
ist moduliert durch die Beugungserscheinungen an den einzelnen Spalten des Gitters.
Die Intensitätsverteilung der Interferenzfigur eines Gitters bei Fraunhoferscher Beugungsanordnung
ergibt sich durch Integration über einen Spalt und Summation über N Spalte 5 :
I
−4 λ
g
b b b b
g
−3 λ
g
−2 λ
g
− λ g
0 λ 2λ 3λ λ
4g 4g 4g g
I 1
I 2
2 λ
g
3 λ
g
4 λ
g
I(ϕ) ∼ sin2 δ 1
δ 2 1
· sin2 Nδ 2
sin 2 δ 2
= I 1 (ϕ) · I 2 (ϕ) (GS.2)
Der erste Term I 1 (ϕ) (Formfaktor) beschreibt die Beugungsfigur eines Einzelspaltes. Der
zweite Term I 2 (ϕ) (Strukturfaktor) beschreibt hingegen die Interferenz von N kohärenten
gleich intensiven punktförmigen Lichtquellen, d.h. die Interferenz der Gitterspalte. Dabei
sind δ 1 und δ 2 die halben Gangunterschiede, die einem Spalt der Breite b bzw. einem Spaltabstand
g unter einem Beugungswinkel ϕ entsprechen.
δ 1 = π λ · d 1 = π · b · sin ϕ (GS.3)
λ
δ 2 = π λ · d 2 = π · g · sin ϕ (GS.4)
λ
Zur Veranschaulichung sind in Abbildung GS.1 der Formfaktor I 1 (ϕ) (gestrichelt) und der
Strukturfaktor I 2 (ϕ) (durchgezogen) für N = 4 Spalte und ein Verhältnis g b = 9 4 gezeichnet.
Die gefüllte Fläche beschreibt die Helligkeitsverteilung I(ϕ) des gesamten Gitters. Das erste
Minimum von I 1 (ϕ) liegt bei sin ϕ = λ/b, das erste Maximum von I 2 (ϕ) bei sin ϕ = λ/g.
Zur Bestimmung der Spaltbreite b stelle man fest, zwischen welchen Ordnungen das erste
Minimum der Beugungsfigur des Einzelspaltes liegt und berechne so die mittlere Spaltbreite
b. Die Leistungsfähigkeit eines Gitters wird charakterisiert durch das Auflösungsvermögen
λ
(vgl. auch Versuch AG), wobei ∆λ der Wellenlängenunterschied ist, den zwei Spektrallinien
mindestens haben müssen, um getrennt zu werden. Es
∆λ
ist
λ
∆λ = Nk ,
(GS.5)
mit N der Anzahl der beleuchteten Spalte des Gitters und k der Ordnung des Spektrums.
5 Zur Berechnung der komplexen e-Funktionen können auch Zeigerdiagramme verwendet werden.
83
−2 λ − 0
b λ
b λ 2
b λ
b
sin ϕ
Abbildung GS.1: Beugungsbild eines Gitters mit 4 beleuchteten Spalten und einem Verhältnis
von 9/4 zwischen Spaltabstand und -breite
4. Justierung
In der Brennebene der Linse des Kollimatorrohres steht ein Spalt, der von der Na-
Dampflampe Q beleuchtet wird. Das aus dem Kollimator austretende Licht ist parallel begrenzt
und trifft senkrecht auf das Gitter, das es spektral zerlegt. Das Objektiv des Fernrohres
sammelt die gebeugten Wellen in seiner Brennebene, in der sich außerdem ein Fadenkreuz
befindet. Fadenkreuz und Spektrallinie werden mit der als Lupe wirkenden Okularlinse betrachtet.
Bei der Justierung gehe man wie folgt vor:
1. Fernrohr auf unendlich einstellen, gleichzeitig Fadenkreuz scharf einstellen (zwei Verstellmöglichkeiten
am Fernrohr)
2. Spalt in die Brennebene der Linse bringen. (Der Spalt steht in der Brennebene, wenn
er mit dem auf unendlich eingestellten Fernrohr scharf gesehen wird).
3. Gitter senkrecht zum Spaltrohr drehen (bitte dabei nicht auf das Gitter fassen). Dazu
wird das Fadenkreuz auf die nullte Ordnung eingestellt. Dann visiert man über das
Fernrohr und dreht das Gitter so, dass sich das beobachtende Auge genau über dem
84

Justierung
GS
GS
Gitterspektrometer
Q
Kollimator
Fernrohr
Fadenkreuz
Der äußere Fehler wird groß, wenn die Einzelmessungen stärker voneinander abweichen,
als ihre Standardabweichungen erwarten lassen. Das kann verschiedene Ursache haben, z.B.
falsche Fehlerangaben, Nichtvergleichbarkeit der Einzelmessungen durch Abhängigkeit von
weiteren Größen, Korrelation der Messwerte oder bei Regressionsanalysen ein falsch angenommener
physikalischer Zusammenhang und damit möglicherweise die Entdeckung neuer
Physik. Letzteres ist allerdings in diesem Versuch recht unwahrscheinlich. Theoretisch ist
der innere Fehler gleich dem äußeren Fehler.
Um nicht einen falschen zu kleinen Gesamtfehler vorzutäuschen, wird als mittlerer Fehler
eines gewogenen Mittels das Maximum des äußeren und inneren Fehlers genommen.
Spalt
Linse
Gitter
Objektiv
Okular
Abbildung GS.2: Strahlengang des Gitterspektrometers
Fernrohr im Spiegel sieht, bzw. man bringt im Fernrohr das Fadenkreuz mit seinem
Spiegelbild (Reflexion am Gitter) zur Deckung.
Für die Messung empfiehlt sich folgendes Vorgehen: Zu jeder Ordnung wird der mittlere
Winkel bestimmt. Um den Nullpunkt nicht separat messen zu müssen werden Werte aus
gegenüberliegenden Ordnungen zusammengenommen (Mittelwertsbildung). Man erhält für
jede Ordnung einen Winkel φ k mit ihrer Standardabweichung ∆φ k . Zu jeder Ordnung lassen
sich vier Wellenlängen λ k mit Fehler ∆λ k aus der Fehlerfortpflanzung bestimmen. Für
das endgültige Ergebnis werden die Wellenlängen der verschiedenen Ordnungen gewichtet
gemittelt.
Allgemein gilt für den gewichteten Mittelwert einer Messreihe mit n Werten x i und ihren
Gewichten g i
¯x =
∑
gi x i
∑
gi
.
(GS.6)
Die Gewichte g i werden aus den Standardabweichungen σ i mittels g i = 1/σi 2 berechnet. Der
innere Fehler des gewichteten Mittelwerts lautet
√
1
σ int = ∑ .
(GS.7)
gi
Der innere Fehler leitet sich nur aus den mitgegebenen Fehlern der Ursprungswerten her.
Er ist immer kleiner oder gleich dem kleinsten Fehler eines Einzel-Messwertes. Vereinfacht
ausgedrückt wird durch die Hinzunahme weiterer Messwerte das Ergebnis genauer.
Der äußere Fehler des gewichteten Mittelwerts berechnet sich aus
√ ∑
gi (x i − ¯x)
σ ext =
2
(n − 1) ∑ . (GS.8)
g i
85
86

MS
MS
Michelson-Interferometer
MS
Michelson-Interferometer
Stichworte: Interferenz, Interferometer, Bestimmung von Brechungsindizes
Literatur
• Gerthsen Physik: 22. Auflage, Kap. 10.1.13
• Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Vol. III (Optik), Kap. 3.4 und
15.4.2, Zum Thema Laser: Kap. 8.4 oder auch Vol. V (Festkörper)
1. Fragen zur Vorbereitung
• Entstehung der Interferenzen am Keil.
• Kohärenzbedingungen
• Wie funktioniert ein (Halbleiter-) Laser?
• Wie lauten die Interferenzbedingungen im Michelson-Interferometer?
• In welchen Anwendungen wird ein Michelson Interferometer genutzt?
2. Aufgaben
1. Erläutern Sie Aufbau und Eigenschaften des Michelson-Interferometers.
2. Bestimmen Sie die Wellenlänge eines Halbleiterlasers.
3. Messen Sie den Brechungsindex von Gasen (Luft).
4. Messen Sie den Brechungsindex und die Dicke dünner Glasplättchen.
3. Grundlagen
Im Versuch wird ein Halbleiterlaser verwendet. Je nach Leistung und Wellenlänge eines
Lasers können sehr schnell dauerhafte Schäden hervorgerufen werden. Der direkte und indirekte
Blick (Reflektionen) in den Strahl ist daher unter allen Umständen zu verhindern. Bei
Experimenten mit Laserstrahlen sind sehr empfindliche Spiegel notwendig. Der Umgang mit
diesen muss daher mit entsprechender Sorgfalt erfolgen. Entscheidend für das Gelingen des
Versuches ist, dass der Strahl stets parallel zum Optischen Tisch verläuft!
In diesem Versuch soll ein Michelson-Interferometer aufgebaut werden. Hierfür benötigt
man eine Lichtquelle, zwei Spiegel und einen Strahlteiler. Der Strahl läuft vom Laser auf
den Strahlteiler und wird dort in zwei Teilstrahlen aufgetrennt. Diese Teilstrahlen laufen unabhängig
voneinander auf zwei Spiegel. Dort reflektiert kommen sie zum Strahlteiler zurück,
87
werden wieder vereinigt und auf den Beobachtungsschirm gelenkt. Auf diesem kann man
nun die Interferenz der beiden Strahlen beobachten, die von der Differenz der optischen Wege
(d.h. den geometrischen Wegen und den Brechungsindizes der durchlaufenen Materialien)
abhängt. Geben Sie die Bedingungen an, unter denen die Intensität maximal bzw. minimal
wird.
Um ein ausgedehnetes Interferenzmuster zu erhalten, wird der Laserstrahl mit einem Linsensystem
aufgeweitet, wobei entweder ein paralleles oder divergentes Lichtbündel entsteht.
Unter bestimmten Bedingungen lassen sich nun auf dem Schirm konzentrische Kreise (Haidingersche
Ringe) oder aber äquidistante Linien erkennen. Die Orientierung und Abstände
der Linien lassen sich zudem einstellen.
Der Versuch lässt sich nicht nur mit einem Laser durchführen, sondern auch mit einer einfachen
Glühlampe. Hierbei treten allerdings sehr weitreichende Effekte auf, die zu völlig
anderen Interferenzmustern führen. Hierbei kommt – im Gegensatz zum Laser – auch sehr
schnell die endliche Kohärenzlänge zu tragen. Bekanntermaßen gilt die Heisenbergsche
Unschärferelation. Daraus folgt unmittelbar
≥
2
∆p · ∆x = ∆E · ∆t = h∆ν · ∆t (MS.1)
1
≥
4π
∆ν · ∆t (MS.2)
Damit existiert die Welle, mit der wir das Licht beschreiben, nur eine endliche Zeit ∆t.
Breitet sich die Welle mit der Lichtgeschwindigkeit c aus, so ergibt sich die Kohärenzlänge
4. Versuche
4.1. Justierung
L = c · ∆t
(MS.3)
Sinnvollerweise beginnt man mit dem Laser. Dieser wird mit Spannpratzen auf dem Optischen
Tisch befestigt und so justiert, dass der Strahl parallel zur Oberfläche des Tisches
verläuft. Als zweites wird vor dem Laser ein Spiegel positioniert. Durch Verstellen der Justierschrauben
kippt man diesen so, dass der Strahl in den Laser reflektiert wird. Zwischen
Laser und Spiegel bringt man den Strahlteiler an. Wird nun der zweite Teilstrahl ebenfalls
durch einen Spiegel zum Strahlteiler reflektiert, so gelangt ein gewisser Anteil ebenfalls zum
Laser. Dieser zweite Spiegel wird nun genauso justiert. Auf dem Schirm sollte nun ein Interferenzmuster
zu erkennen sein. Falls notwendig kann dieses mit einer Linse vergrößert
werden.
4.2. Interferenzen im Interferometer
Das Interferometer lässt sich nun auf verschiedene Arten verwenden. Zunächst sollen die
verschiedenen Interferenzmuster durch vorsichtige(!) Verstellung der Spiegel und unter Verwendung
der Linsen eingestellt und identifiziert werden.
88

Versuche
MS
MS
Michelson-Interferometer
4.3. Bestimmung der Wellenlänge des Lasers
Einer der Spiegel lässt sich durch eine Mikrometerschraube verstellen. Die Mikrometerschraube
hat eine Steigung von 0.35 mm und kann mit einem Getriebe (Untersetzung ca.
(118±1):1) bedient werden. Dadurch kann man den relativen Abstand der Spiegel verändern,
wodurch sich das Interferenzmuster verschiebt. Aus dieser Änderung der Interferenz kann
die Wellenlänge des Lasers bestimmt werden. Die Ableitungen der verwendeten Gleichungen
sind anzugeben.
4.5. Messung des Brechungsindex dünner Glasplättchen
Zum Abschluss des Versuches soll eine etwas schwierigere Aufgabe gelöst werden. Solange
der Brechungsindex von Gasen gemessen werden soll, ist es verhältnismäßig einfach, das
Medium kontinuierlich in den Strahlengang einzubringen. Aber wie kann die Messung an
Feststoffen erfolgen? Für diesen Versuch stehen dünne Glasplättchen bereit, die man im
Strahlengang langsam kippen kann. Leiten Sie schriftlich her, wie sich der Gangunterschied
in Abhängigkeit von Glasdicke, Brechungsindex und Kippwinkel ändert.
4.4. Messung des Brechungsindex von Luft
Wird in einen Arm des Interferometers ein anderes Medium eingebracht, so ändert sich in
diesem Abschnitt die Lichtgeschwindigkeit. Dies führt zu einem effektiven Gangunterschied.
Wird das Medium kontinuierlich eingebracht, so lässt sich damit eine ebenso kontinuierliche
Veränderung des Interferenzmusters beobachten. Aus dieser Änderung soll der Brechungsindex
des Mediums bestimmt werden. Die einfachste Möglichkeit, das Medium kontinuierlich
einzubringen, ist die Messung an Gasen unter Verwendung einer Vakuum-/Druckzelle. In
diesem Versuch soll als gasförmiges Medium die Luft genutzt werden. Hierzu wird die Gaszelle
(Länge 10±0.1 cm) evakuuiert und über ein Ventil langsam wieder belüftet. Überlegen
Sie wie daraus der Brechungsindex bestimmt werden kann. In der Literatur sind in der Regel
die Werte bei ”
Normbedingungen“ (20 ◦ C, 1013 mbar) angegeben. Um vergleichbare Messergebnisse
zu erhalten ist daher eine Umrechnung auf Normbedingungen notwendig. Der
Brechungsindex ändert sich linear mit dem Druck, die Änderung aufgrund der Temperatur
kann vernachlässigt werden. Die Messung des Druckes erfolgt mit einem IC an der Vakuumzelle,
der eine Gleichspannung zwischen 0.5 Volt (̂=0 bar) und 4.5 Volt (̂=1 bar) ausgibt.
Die Genauigkeit beträgt ±0.04 Volt.
Abbildung MS.1: Aufbau eines Michelson-Interferometers
89
90

AG
AG
Auflösungsvermögen von Prisma und Gitter
AG
Auflösungsvermögen von Prisma und Gitter
3.1. Gitter
Literatur
• Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Vol. III (Optik) 10. Auflage,
Kap. 3.9 (insbesondere 3.9.3 Prisma)
• Gerthsen Physik: 22. Auflage, Kap. 10.1
• Staudt: Script Experimentalphysik III (Atomphysik) Kap. 3.6
• Anleitungen zu den Versuchen GI und GS (u.a. Fehlerrechnung)
1. Vorbereitung
• Leiten schriftlich Sie die Gleichungen (AG.1) bis (AG.4) her.
• Warum werden für die Auswertung die Gleichungen (AG.2) und (AG.4) anstelle der
Gleichungen (AG.1) und (AG.3) verwendet?
• Welches sind die charakteristischen Unterschiede zwischen einem Beugungsspektrum
und einem Prismenspektrum? Dabei sind folgende Punkte zu betrachten: Anordnung
der Spektrallinien, Maßstab des Spektrums und Zahl der ähnlichen Spektren und Winkelabhängigkeit
der gebeugten/gebrochenen Wellenlänge.
2. Aufgaben
1. An den beiden gelben Hg-Linien bestimme man das Auflösungsvermögen eines Gitters
gemäß Gleichung AG.2 in mindestens drei unterschiedlichen Ordnungen.
2. Aus der Beobachtung der beiden gelben Hg-Linien bestimme man das
Auflösungsvermögen eines Prismas nach Gleichung (AG.4).
3. Vergleichen Sie die gefundenen Werte von λ
578 nm
mit dem theoretischen Wert
∆λ 2, 1 nm .
Die Messungen werden mehrfach durchgeführt, so dass eine Berechnung des zufälligen und
Abschätzung des systematischen Fehlers möglich sind.
3. Grundlagen
Ein Maß für die Güte von Spektralapparaten ist das Auflösungsvermögen. Es ist definiert als
λ
. Der Grund für das begrenzte Auflösungsvermögen liegt in der Beugung des verwendeten
∆λ
Lichtbündels endlichen Querschnitts. Es existieren nun zwei Elemente um einen Spektralapparat
aufzubauen. Ziel des Versuches ist es das Auflösungsvermögen dieser Elemente soweit
einzuschränken, dass die gelbe Doppellinie (577,0 nm und 579,1 nm) im Quecksilberspektrum
gerade noch aufgelöst werden kann.
91
Das Auflösungsvermögen des Gitter ist gegeben durch:
λ
∆λ = kN .
(AG.1)
Dabei sind k die Ordnung der Beugung und N die Zahl der interferierenden Strahlen (Gitterstriche).
Diese Gleichung lässt sich umformen zu
λ
∆λ = B sin ϕ
λ cosϕ = B λ tanϕ
(AG.2)
ϕ ist dabei der Winkel zwischen der nullten Ordnung und dem mittleren Wert der beiden
gelben Hg-Linien in der beobachteten Ordnung. Das Auflösungsvermögen des Gitters wird
verständlicherweise durch B eingeschränkt.
3.2. Prisma
Die Theorie liefert für das Auflösungsvermögen des Prismas:
λ
∆λ = b · dn
dλ ,
(AG.3)
wobei b die effektive Basisbreite und dn die Dispersion des Prismas sind. Eine andere Gleichung
für das Auflösungsvermögen, die man aus einfachen geometrischen Überlegungen
dλ
gewinnt und die der Messung gut zugängliche Größen enthält, ist:
λ
∆λ = B · ∆ǫ
∆λ
(AG.4)
Hierbei sind B die Spaltbreite und ∆ǫ der Unterschied im Ablenkwinkel zwischen den beiden
gelben Hg-Linien.
4. Durchführung
4.1. Justierung des Spektralapparates
Notieren Sie die Nummer des Gerätes, des Gitters und des Prismas! 6 Das Beobachtungsfernrohr
muss zunächst auf unendlich eingestellt werden. Dazu nimmt man es aus der Halterung
heraus und stellt es auf einen fernen Gegenstand scharf ein. Nun muss der Beleuchtungsspalt
BSp in die hintere Brennebene der Kollimatorlinse KLi gebracht werden; dies ist erreicht,
wenn man den Spalt in dem auf unendlich eingestellten Fernrohr scharf sieht. Das
Kollimatorrohr ist genau auf die Lichtquelle Q zu richten, damit man ein helles Bild des
Beleuchtungsspaltes erhält; dieser ist dann so eng wie möglich einzustellen.
6 Siehe auch Versuch Gitterspektrometer
92

Durchführung
AG
PO
Doppelbrechung und elliptisch polarisiertes Licht
PO
Doppelbrechung und elliptisch polarisiertes Licht
Stichworte: Herstellung linear polarisierten Lichtes, Nicolsches Prisma, ”
λ/4-Folie“
Literatur
Q
BSp KLi
Prisma
Spalt
Abbildung AG.1: Versuchsanordnung
Objektiv
Okular
Die Breite des Messspaltes kann bei Apparatur 1 an einer Präzisions-Messuhr bzw. bei App.
2 und 3 an einer Mikrometerschraube abgelesen werden. Bei beiden Messverfahren muss
der Nullpunkt der Skala bestimmt und die gemessene Spaltbreite entsprechend korrigiert
werden. Zur Einstellung der Breite des Messspaltes auf Null wird der Beleuchtungsspalt
sehr weit aufgedreht.
Bei der Bestimmung der Spaltbreite ist zu beachten, dass die Spindel des Spalts einen toten
Gang hat. Wie muss man vorgehen, damit daraus kein Messfehler entsteht?
4.2. Prisma
Das Prisma muss so eingesetzt werden, dass man symmetrischen Strahlengang (Minimalablenkung)
erhält. (Das Bild des Beleuchtungsspaltes darf durch das Einsetzen des Prismas
nicht unschärfer werden!) Nun wird mit dem Messspalt Sp das ins Fernrohr eintretende
Lichtbündel so weit begrenzt, dass die gelben Hg-Linien gerade noch bzw. gerade nicht mehr
getrennt werden können. Die halbe Differenz dieser beiden Messwerte ist jeweils die Ungenauigkeit.
Diese Messung ist fünfmal durchzuführen. Daraus ergeben sich 5 Messwerte mit
Fehlern. Durch gewichtete Mittelwertsbildung ergibt sich die vorläufige Spaltbreite. Weiterhin
muss der Nullpunkt des Messspaltes (ca. 10-fach) gemessen werden (an dem gerade
kein Licht mehr durchkommt). Die vorläufige Spaltbreite muss um den Nullpunkt korrigiert
werden.
Zur Bestimmung der Winkeldifferenz zwischen den beiden gelben Hg-Linien vermisst man
den Winkel zwischen der gelben Hg-Linie (579,1 nm) und der grünen Hg-Linie (546,3 nm)
und interpoliert. Gehen Sie davon aus, dass die Winkeländerung proportional zur Wellenlängenänderung
ist.
4.3. Gitter
Das Gitter ist senkrecht zum einfallenden Lichtbündel (Achse des Kollimatorrohres) zu stellen.
Nun wird wie beim Prisma das Strahlenbündel mit dem Messspalt begrenzt und fünfmal
die Spaltbreite bestimmt, bei der die beiden Linien gerade noch bzw. gerade nicht mehr
getrennt sind. Die Messung ist in mindestens drei Beugungsordnungen durchzuführen, in
denen die gelben Hg-Linien ohne Messspalt Sp gut getrennt sind.
• Gerthsen Physik: 22. Auflage, Kap. 10.2
• Skriptum Grundlagen zum Optik Praktikum: Kap. 6 (Doppelbrechung und elliptisch
polarisiertes Licht)
• Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Vol. III (Optik), Kap. 4.3./4.5.
• Staudt: Script Experimentalphysik III (Atomphysik) Kap. 3.6
1. Fragen zur Vorbereitung
• Warum nimmt die Lichtgeschwindigkeit bei der Ausbreitung im Medium ab?
• Wie laufen ordentlicher und außerordentlicher Strahl bei optisch einachsigen Kristallen,
wenn die Ausbreitungsrichtung nicht senkrecht zur optischen Achse steht?
• Wie kann man zirkular polarisiertes Licht von unpolarisiertem Licht unterscheiden?
• Bei welchen anderen Erscheinungen (außer Doppelbrechung) entsteht linear bzw. elliptisch
polarisiertes Licht – wie lassen sich die Polarisationen ineinander überführen?
• Bei welchen Apparaten wird die Doppelbrechung benutzt?
2. Aufgaben
2.1. Quarzkeil
1. Bestimmen Sie die Differenz der beiden Hauptbrechungsindizes von Quarz für Licht
der Wellenlänge 435,8 nm sowie 546,3 nm oder 578,0 nm.
2. Erklären Sie das Verschwinden der Streifen.
3. Leiten Sie die verwendeten Formeln ab.
2.2. λ/4 Folie
1. Zeichnen Sie die Kurven der gemessenen Intensitäten in Abhängigkeit von der Polarisatorstellung.
2. Vergleichen Sie diese mit der theoretischen Kurve, indem Sie Maximalintensität und
Winkel der Kurve an Ihre Daten anpassen.
3. Leiten Sie die verwendeten Formeln ab.
93
94

Grundlagen
PO
PO
Doppelbrechung und elliptisch polarisiertes Licht
3. Grundlagen
Fällt linear polarisiertes Licht auf ein doppelbrechendes, optisch einachsiges Medium, so tritt
im allgemeinen eine Aufspaltung des Strahles in zwei Strahlen auf, die linear polarisiert sind
und deren Schwingungsebenen senkrecht aufeinander stehen. Eine räumliche Aufspaltung
tritt nicht auf, wenn die Ausbreitungsrichtung senkrecht zur optischen Achse des doppelbrechenden
Mediums steht. In diesem Falle unterscheiden sich die beiden Strahlen nur durch
ihre Geschwindigkeit im Medium. Liegt dieses als planparallele Platte vor, so treten beide
Strahlen ungebrochen, aber mit einem Phasenunterschied aus. Der Gangunterschied ist
gleich dem Unterschied der optischen Dicken des Mediums für die beiden Strahlen, dem
entspricht der Phasenunterschied ϕ = 2πs(n ao − n o )/λ = 2πs∆n/λ (s ist die geometrische
Dicke). Je nach dem Phasenunterschied überlagern sich die beiden Strahlen dann zu linear,
elliptisch oder zirkular polarisiertem Licht.
4. Ausführung
4.1. Quarzkeil
Linear polarisiertes Licht fällt auf einen Quarzkeil, bei dem die optische Achse etwa parallel
zur Keilkante liegt. Die Ausbreitungsrichtung des Lichts ist also senkrecht zur optischen
Achse, d.h. es liegt der oben diskutierte Fall vor mit der Abweichung, dass die geometrische
Dicke des Keils nicht konstant ist (Brechung muss nicht berücksichtigt werden, da der
Keilwinkel klein ist). Man erhält daher zur Keilkante parallele Streifen gleichen Gangunterschiedes
der austretenden Strahlen und damit Streifen gleichen Polarisationszustandes des
austretenden Lichts. Für den Gangunterschied mλ und (2m + 1)λ/2 (m: ganze Zahl) ist
das austretende Licht linear polarisiert. Betrachtet man den Quarzkeil durch einen Analysator,
dessen Durchlassrichtung senkrecht zu der des Polarisators steht, so sieht man dunkle
Streifen an den Stellen, an denen der Gangunterschied mλ ist.
Ist mit einem bestimmten dunklen Streifen die geometrische Dicke s 1 , so gilt hier
mλ = s 1 · ∆n .
Bei einem benachbarten dunklen Streifen sei die geometrische Dicke s 2 > s 1 , hier gilt
(PO.1)
(m + 1)λ = s 2 · ∆n . (PO.2)
Zieht man beide Gleichungen voneinander ab, so erhält man mit dem Keilwinkel α und dem
Streifenabstand d
(m + 1)λ − mλ = (s 2 − s 1 ) · ∆n, λ = d · tanα · ∆n, ∆n =
λ
d · tan α
(PO.3)
Nach dieser Formel kann also aus dem Streifenabstand d, dem Keilwinkel α und der Wellenlänge
λ des verwendeten Lichts der Unterschied der Hauptbrechungsindizes ∆n berechnet
werden.
95
01
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01
Lichtquelle Farbfilter Lochblende Linse Polarisator Quarzkeil Analysator
Abbildung PO.1: Messanordnung zu Aufgabe 1
Mit Hilfe der Schottfilter BG1, VG9 bzw. OG2 werden die Linien 435,8 nm sowie 546,3 nm
oder 578,0 nm der Quecksilberdampflampe ausgesondert. Die folgende Lochblende wirkt
als nahezu punktförmige und monochromatische Lichtquelle. Mit der großen Linse wird
ein paralleler Strahlengang hergestellt. Anschließend wird das Licht linear polarisiert und
durchsetzt dann den Quarzkeil. Die Abstände der bei geeigneter Stellung der Polarisationsfilter
entstehenden Streifen sind durch jeweils 10 Messungen zu bestimmen und daraus ∆n
für die beiden Wellenlängen zu berechnen. Zur Verringerung der Ablesefehler messe man
stets über mehrere Streifen (→ im Protokoll angeben!).
1,6
49,5
Abbildung PO.2: Keilabmessungen (Abb. gestreckt in vertikaler Richtung)
Es gibt vier Stellungen des Polarisators, bei denen unabhängig von der Analysatorstellung
kein Streifensystem auftritt. Diese Stellungen sind aufzusuchen. Man überlege sich den
Grund für das Verschwinden der Streifen.
4.2. λ/4-Folie
Linear polarisiertes Licht fällt senkrecht auf eine planparallele doppelbrechende Folie, deren
optische Achse parallel zu den Oberflächen ist. Es liegt also der im ersten Abschnitt
diskutierte Fall vor. Die Dicke der Folie ist so bemessen, dass ordentlicher und außerordentlicher
Strahl beim Austritt einen Gangunterschied von λ/4 haben ( ”
λ/4-Folie“). Je nach den
Amplituden von ordentlichem und außerordentlichem Strahl erhält man also linear polarisiertes
Licht (ein Strahl hat die Amplitude Null), elliptisch polarisiertes Licht oder zirkular
polarisiertes Licht (beide Strahlen haben die gleiche Amplitude). Das Verhältnis der Amplituden
der beiden Strahlen kann durch die Stellung des Polarisators zur optischen Achse der
λ/4-Folie variiert werden.
Zur Analyse des Polarisationszustandes des Lichts wird ein Linearpolarisator verwendet. Die
von ihm durchgelassene Intensität wird mit einer Fotozelle gemessen. Nimmt man die Inten-
96
2,45

Ausführung
PO
RE
Elektrische Resonanz
sität in Abhängigkeit von der Winkelstellung des Analysators auf, so erhält man bei linear
polarisiertem Licht für eine Stellung den Wert Null, bei elliptisch polarisiertem Licht ein
Minimum der Intensität und bei zirkular polarisiertem Licht für alle Stellungen die gleiche
Intensität. Es soll für die Polarisatorstellungen 0 ◦ , 15 ◦ , 30 ◦ , 45 ◦ je ein Diagramm der Intensität
des durch den Analysator gelassenen Lichts in Abhängigkeit von der Analysatorstellung
in Polarkoordinaten aufgenommen werden. Dazu dreht man den Analysator von 0 ◦ bis 360 ◦
und misst alle 15 ◦ die Intensität. Um eventuelle Helligkeitsschwankungen der Hg-Lampe zu
eliminieren, führt man die Messung drei- bis viermal durch und legt für die Auswertung den
Mittelwert der bei den einzelnen Analysatorstellungen erhaltenen Lichtströme zugrunde. Es
empfiehlt sich, erst jeweils einen kompletten Zyklus aus Analysator- und Polarisatorstellung
zu machen und je nach Zeitbedarf weitere komplette Messreihen vorzunehmen.
Aus diesem Diagramm sollen die Ellipsen für die Amplituden des Lichtvektors konstruiert
werden. Dazu braucht man Richtung und Längenverhältnis der Hauptachsen. Die Richtungen
der Hauptachsen der Ellipsen sind die Richtungen der Symmetrieachsen der Intensitätskurven,
das Verhältnis der Längen der Hauptachsen ist die Wurzel aus dem Verhältnis
der Längen der Symmetrieachsen der Intensitätskurven. Absolute Größe und Umlaufsinn der
Ellipsen können aus diesem Versuch nicht bestimmt werden. Auf Grund nicht exakt auf die
Farben abgestimmter λ/4-Plättchen kann ein zusätzlicher Phasenunterschied auftreten, der
eine Drehung der Ellipsen bewirkt.
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Lichtquelle Farbfilter Linse Polarisator λ/4−Folie Analysator Fotozelle
Abbildung PO.3: Messanordnung zu Aufgabe 2
Die Intensitätskurven lassen sich auch theoretisch beschreiben. Bestimmen Sie die Funktion
I(α, β) indem Sie den Einfluss der Polarisationsfolien und der λ/4 Folie auf ordentlichen
und außerordentlichen Strahl verfolgen. Hierbei bezeichnen α und β die an Polarisator bzw.
Analysator eingestellten Winkel. An welcher Stelle kann in der Rechnung die zusätzliche
Phasenverschiebung durch die falsch abgestimmte λ/4 Folie berücksichtigt werden?
Anmerkung
Nachdem das Spannungsmessgerät (unter Beachtung der Polung) an die Buchsen des
Gehäuses der Fotozelle angeschlossen ist, kann die Versorgungsspannung (60 V Gleichspannung
aus Spezialsteckdose) angelegt werden. Nach einer Einlaufzeit von etwa 5 Minuten ist
der Nullpunkt zu justieren.
RE
Elektrische Resonanz
1. Problemstellung
An drei verschiedenen Resonanzkreisen soll der Wechselstromwiderstand (auch Impedanz
genannt) Z und die Phasenverschiebung ϕ (zwischen Stromstärke und Spannung) in
Abhängigkeit von der Frequenz untersucht werden. Als Messgerät dient ein Oszillograph.
Es sollen folgende Resonanzkreise untersucht werden:
R
L
C
R
Serienschwingkreis Parallelkreis 1. Ordnung Parallelkreis 2. Ordnung
2. Messprinzipien
Z
R
01
U x
01
U y
01
C
L
Oszilloskop
Man benutzt eine Versuchsanordnung, wie
sie nebenstehend skizziert ist. An die Reihenschaltung,
bestehend aus dem zu vermessenden
Resonanzkreis und einem verstellbaren
Ohmschen Widerstand, wird eine Wechselspannung
bekannter Frequenz angelegt.
Die Impedanz ergibt sich, wenn die Kreisspannung
U x = Ûx sin(ωt) sowie der durchfließende
Strom I = Î sin(ωt + ϕ) nach Betrag
und Phase bestimmt sind. Dazu wird die
Spannung U x an die X-Ablenkung des Oszillographen
gelegt; der Strom I wird nicht direkt
gemessen, sondern durch den an R entstehenden
Spannungsabfall. Diese Spannung
wird an die Y-Ablenkung des Oszillographen gelegt. Sie ist in Phase mit I und über die
Beziehung U y = R · I = R · Î sin(ωt + ϕ) = Ûy sin(ωt + ϕ) mit dem Strom verknüpft.
2.1. Lissajous-Figur
R
C
L
Die beiden Spannungen U x und U y ergeben auf dem Oszillographenschirm eine (Lissajous-)
Überlagerungsfigur. Es ist eine Ellipse, deren Form und Größe von Ûx,Ûy und ϕ bestimmt
wird. Die Vermessung der Ellipse gestattet deshalb die Bestimmung von |Z|(= Ûx/Î =
Û x /(Ûy/R)) und von ϕ.
97
98

Messprinzipien
RE
RE
Elektrische Resonanz
y
Ûy = pyY0
Mit den Abbildungsfaktoren p x und p y des Oszillographen
(der Abbildungsfaktor p gibt an, welche
angelegte Spannung einer Ablenkung von 1 cm
des Elektronenstrahls entspricht) erhalten wir in x-
Richtung eine Auslenkung von p x ·X(t) = Ûx sin ωt
und in y-Richtung eine Auslenkung von p y · Y (t) =
Û y sin(ωt + ϕ)
Im Punkt B (kleine Halbachse) befindet sich der Strahl um T/4 früher (bzw. später), also
zum Zeitpunkt
t ′′ = t ′ − T 4 = t′ − π
2ω
(wg. T = 2π ω ). Somit ist auch b2 bekannt:
x
Zur Messung und Auswertung stellt man zu jeder
Frequenz ω die Spannungen Ûx und Ûy so ein, dass
die Ellipse in ein Quadrat passt. Dann gilt:
b 2 = X 2 (t ′′ ) + Y 2 (t ′′ ) = 2 · Z 2 0 sin 2 ωt ′′ .
Û x = p x X 0
X 0 = Y 0 =: Z 0
Bestimmung des Widerstandes |Z|
(RE.1)
Allgemein ist der Wechselstromwiderstand |Z| =
U eff /I eff = Û/Î definiert. Î wird über den Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand R
bestimmt, somit gilt:
Bestimmung des Phasenwinkels ϕ
y
X ′
a
b
X ′′
Y ′′
Y ′
B
A
X 0 = Z 0
Y0 = Z0
x
Û = p x · Z 0
Î = p y · Z0
R
|Z| = R · px
p y
(RE.2)
Wir gehen wieder von der Parameterdarstellung der
Ellipse X(t) = Z 0 sin ωt, Y (t) = Z 0 sin(ωt+ϕ) aus
und versuchen, eine Beziehung zwischen dem Phasenwinkel
ϕ und den Halbachsen der Ellipse herzustellen.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt t ′ befindet
sich der Elektronenstrahl am Ort A (große Halbachse).
Es gilt (da A auf der Ellipse liegt):
und
X ′ := X(t ′ ) = Z 0 sin ωt ′
Y ′ := Y (t ′ ) = Z 0 sin(ωt ′ + ϕ).
Wegen Bedingung (RE.1) muss
X(t ′ ) = Y (t ′ )
(RE.3)
mit ωt ′′ = ωt ′ + π 2 wird daraus: b 2 = 2 · Z 2 0 cos 2 ωt ′
Der Quotient aus a 2 und b 2 ergibt:
Zur Zeit t ′ gilt wegen (RE.3) die Beziehung:
sin ωt ′
b 2
a = 2 · Z2 0 cos 2 ωt ′
2 2 · Z0 2 sin 2 ⇒ b ωt ′ a = cosωt′
sin ωt ′
= sin(ωt ′ + ϕ) = sin ωt ′ · cosϕ + cosωt ′ · sin ϕ
1 = cosϕ + b a · sin ϕ
b
a = 1 − cosϕ =
sin ϕ
Also gilt für den Phasenwinkel ϕ:
2 · sin 2 ϕ 2
2 · sin ϕ · cos ϕ = tan ϕ 2
2 2
tan ϕ 2 = b a
(RE.4)
Allerdings ist ϕ durch diese Ellipsenmethode nur betragsmäßig bestimmbar, das Vorzeichen
steckt im Umlaufsinn der Ellipse. Da dieser sowohl wegen der Trägheit des Auges wie auch
des Nachleuchtens des Schirms nicht zu erkennen ist, muss das Vorzeichen theoretisch bestimmt
werden.
2.2. Messung mit einem Digitaloszilloskop
sich deshalb für a 2 :
sein, wodurch t ′ (bis auf n T ) festgelegt ist. Es ergibt
2
a 2 = X 2 (t ′ ) + Y 2 (t ′ ) = 2 · Z0 2 sin2 ωt ′ .
99
Mit einem Zweikanal-Digitaloszilloskop (Tektronix TDS 3012) ist es möglich, die Amplituden
von Spannung und Strom sowie deren Phasenverschiebung im Zweikanalbetrieb direkt
zu messen. Man misst dazu wieder die Spannungen U x und U y ; es ist jedoch nicht nötig, den
variablen Widerstand R zu verändern.
100

Vermessung der drei Resonanzkreise
RE
RE
Elektrische Resonanz
2.3. Messung mit CASSY
• Amplitude Kanal 2 (Spannung U y )
CASSY (Computer Assisted Science SYstem, hergestellt von der Firma Leybold Didactic)
ist eine kaskadierbare Messwerterfassung für den PC, bestehend aus den Interfaces
POWER-CASSY (Strom- und Spannungsquelle, Funktionsgenerator) und SENSOR-
CASSY (Spannungs- und Strommessung mit zwei Eingängen, Anschluss von Sensoren)
sowie der Software CASSY-Lab, die zur Datenaufnahme und -auswertung dient.
Zur Bestimmung der Resonanzkurven wird POWER-CASSY als Sinusgenerator verwendet,
die Spannungen U x und U y des Messaufbaus werden an die Eingänge INPUT A bzw.
INPUT B des SENSOR-CASSY angeschlossen. CASSY-Lab stellt die Frequenz in vorgebbaren
Schritten automatisch ein, misst jeweils die Effektivwerte von Strom und Spannung
(d.h. U x und U y ) und ermittelt die Phasenverschiebung. Die Umrechnung und grafische
Darstellung der benötigten Größen (Impedanz, Admittanz, Leistung) erfolgt ebenfalls mit
Hilfe der Software CASSY-Lab.
3. Vermessung der drei Resonanzkreise
Messen Sie jeweils einen Resonanzkreis sowohl mit dem analogen als auch dem digitalen
Oszilloskop. Verwenden Sie eine Induktivität von L ≈ 300 mH und einer Kapazität von
C ≈ 5 nF. Als Widerstände sind zu benutzen:
Reihenkreis: R ≈ 3.3 kΩ
Parallelkreis I. Ordnung: R ≈ 22 kΩ
• Frequenz Kanal 1 (Spannung U x )
• Phase Kanal 1 → Kanal 2
Stellen Sie bei jeder Messung sicher, dass wenigstens eine vollständige Periode sichtbar ist
und die Kurven weder oben noch unten beschnitten werden (Vermeidung von Clipping). Mit
der Taste AUTOSET lässt sich dies leicht erreichen. Für eine genauere Messung empfiehlt
es sich, unter ERFASSUNG / MENÜ eine Mittwelwertbildung zu definieren. Messen Sie
mit diesem Aufbau einen weiteren Kreis mit den oben angegebenen Bauelementen bei einer
Stützstellenweite von ca. 250 Hz.
3.3. Messung mit CASSY
Starten Sie den Messrechner unter Windows XP und melden Sie sich unter ”
Praktikum“ an.
Starten Sie das Programm CASSY-Lab durch Klick auf das entsprechende Symbol mit der
Unterschrift ”
Elektrische Resonanz“. Damit werden bereits alle notwendigen Messparameter
und -größen definiert.
Folgende Funktionen von CASSY-Lab sind für die Durchführung des Versuchs wichtig:
F5 Einstellungen oder Messparameter ändern.
Ändert Damit die aktuellen könnenEinstellungen die Messanordnung (z. B. CASSY, (unter CASSY), Parameter/Formel/FFT, MessgrössenDarstellung, und daraus Kommentar, abgeleitete
Größen (Parameter/Formel/FFT) sowie die verschiedenen Darstellungen definiert
werden.
Parallelkreis II. Ordnung: R ≈ 1.5 kΩ
Die genauen Werte von R, L und C sind auf den Bauelementen angegeben. Für die Messungen
mit CASSY benutzen Sie eine Kapazität von C ≈ 22 nF.
F9 Start und Stop einer Messreihe.
Startet Eine und stoppt Messreihe eine neue muss Messung. gestartet und nach Messung von n 0 Punkten wieder gestoppt
werden. Aufeinander folgende Messreihen werden in verschiedenen Farben dargestellt,
bei der Abspeicherung werden die Messreihen durch Leerzeilen getrennt.
3.1. Analoges Oszilloskop: Lissajous-Figur
Im Bereich 500 - 8000 Hz (500 Hz - Schritte) werden die Ellipsen in das auf dem
Oszilloskop-Schirm vorgezeichnete Quadrat abgeglichen und die zur Berechnung von |Z|
und ϕ nötigen Größen bestimmt (R, a, b, p x , p y ). Das Vorzeichen von ϕ ist über eine vorzeichenbehaftete
kleine Halbachse b zu berücksichtigen.
F2 Abspeichern der Messreihe
Speichert Siedie können aktuellen die Messreihen gemessenenmit Werte ihren entweder Einstellungen im CASSY-Lab-eigenen und ihren Auswertungen Format ab. abspeichern
(reine Textdatei), oder als (Text-)Messwerttabelle, die alle definierten Mess- und
abgeleiteten Größen in entsprechenden Spalten bereit hält. Beide Formate können problemlos
in gängige Tabellenkalkulationsprogramme importiert werden.
3.2. Messung mit einem Digitaloszilloskop
Schließen Sie die Ausgänge U x und U y der Messanordnung an die Eingänge CH 1 bzw.
CH 2 des TDS 3012 an. Stellen Sie das Digitaloszilloskop auf Zweikanalmodus ein und
definieren Sie über das Menü MESSUNG folgende Messgrößen:
• Amplitude Kanal 1 (Spannung U x )
F4 Löschen aller Messwerte
Löscht entweder die aktuelle Messung unter Beibehaltung ihrer Einstellungen oder, wenn keine
Verwenden Sie für alle Kreise die Spule mit ca. 300 mH sowie einen Kondensator von ca.
22 nF. Stellen Sie den Vorwiderstand R auf 10 kΩ ein. Berechnen Sie vor Beginn der Messungen
die jeweiligen Resonanzfrequenzen f 1 und stellen Sie diese vor Beginn jeder neuen
Messreihe ein. Die Messpunkte sind dann um f 1 besonders dicht, zudem wird f 1 zur Berechnung
des Vorzeichens von ϕ benutzt, da Sensor-CASSY nur cosϕ ermitteln kann. Legen Sie
die Zahl der Messpunkte pro Messreihe n 0 fest (max. 50).
101
102

Auswertung
RE
RE
Elektrische Resonanz
Folgende Messungen sollen mit CASSY durchgeführt werden, dabei sollte zunächst jeder
Kreis einmal vermessen werden, anschließend kann in Abhängigkeit von der noch zur
Verfügung stehenden Zeit mit dem zweiten Widerstand gemessen werden.
a) Messen Sie den Reihenkreis mit zwei verschiedenen Widerständen
(ca. 3.3 kΩ und ca. 1.5 kΩ)
b) Messen Sie den Parallelkreis 1. Ordnung mit 22 kΩ und 47 kΩ.
4. Für die Berechnung der Fehler von |Z| und ϕ sollte ebenfalls der PC genutzt werden.
Zur Ermittlung des systematischen Fehlers der theoretischen Kurve gehen Sie
von einem relativen Fehler von jeweils 1 % für R, L und C aus, der zufällige Fehler
der Messwerte ist aus dem Ablesefehler von X 0 , Y 0 , a und b abzuleiten (aus Parallaxenfehler
abschätzen); der systematische Fehler (Ursachen?) ist im Vergleich dazu
vernachlässigbar. Alternativ können Sie ohne PC den Fehler für einen Messpunkt exemplarisch
bestimmen (z.B. in der Resonanz).
c) Messen Sie den Parallelkreis 2. Ordnung mit 1.5 kΩ und 330Ω.
Speichern Sie nach Ende aller Messungen Ihre Ergebnisse ab. Kopieren Sie die Datei(en)
anschließend entweder auf eine mitgebrachte Diskette, einen Memory-Stick o.ä. oder verschicken
Sie diese per E-Mail.
4. Auswertung
Stichworte: Erzwungene elektrische Schwingung, elektrischer Schwingkreis, Stromresonanz,
Spannungsresonanz, Thomsonsche Schwingungsgleichung.
Literatur: Bergmann-Schaefer II (Wechselstromkreis mit Widerstand, Selbstinduktion
und Kapazität, freie elektrische Schwingung), Staudt: Experimentalphysik
II, Leybold Didactic GmbH: Anleitung zu CASSY-Lab (auf
http://www.leybold-didactic.de)
Zubehör: Es stehen zur Verfügung:
1. Man berechne für die drei Resonanzkreise formal mit Hilfe des Zeigerdiagramms oder
der komplexen Wechselstromrechnung
• den Wechselstromwiderstand |Z|
• den Phasenwinkel ϕ
• die Resonanzfrequenz ω 0 bzw. f 0 .
Leiten Sie diese Formeln bereits in der Vorbereitung auf den Versuch ab. Die durch
Einsetzen der angegebenen Werte für L, C und R errechneten Resonanzfrequenzen
vergleiche man mit den experimentell ermittelten.
• 1 analoges Oszilloskop HAMEG pro Versuchsplatz
• 1 RC-Generator pro Versuchsplatz
• 1 Quarz-Frequenzmesser pro Versuchsplatz
• 1 Versuchsaufbau pro Versuchsplatz
• 3 Koaxial-Kabel pro Versuchsplatz
• 1 Digitaloszilloskop Tektronix TDS 3012
• 2 Messsysteme CASSY-S mit PC
2. Für die gemessenen Schwingkreise sind jeweils die Diagramme |Z| und ϕ als Funktion
von f = ω/2π zu zeichnen. Zeichnen Sie zum Vergleich auch die theoretischen
Kurven der Funktionen.
3. Zur Auswertung der mit CASSY-Lab ermittelten Werten können Sie das Programm
auch auf Ihrem PC installieren: Für den Betrieb ohne Messgeräte kann es uneingeschränkt
verwendet werden. Die Software auf der Website der Leybold Didactic
GmbH www.leybold-didactic.de unter CASSY-S herunter geladen werden.
Sie können ebensogut ein anderes geeignetes Programm verwenden.
Stellen Sie folgende Diagramme dar und vergleichen Sie diese mit theoretisch ermittelten
Werten:
• Impedanz |Z| in Abhängigkeit von f
• Phasenverschiebung ϕ in Abhängigkeit von f
• Ortskurven von Z (d.h. Im Z gegen Re Z)
• Ortskurven der Admittanz Y = 1/Z
103
104

TR
Transformator
1. Stichworte
Induktionsgesetz, Gegeninduktivität, Zeigerdiagramme, Hysterese, Leistung von Wechselströmen
2. Motivation
Transformatoren werden in allen Bereichen der Elektrotechnik eingesetzt. So ist die Erzeugung
von Hochspannungswechselströmen von zentraler Bedeutung bei der Energieversorgung,
jedoch finden Transformatoren auch bei niedrigen Spannungen häufigen Einsatz, wie
etwa in Stromversorgungen für Elektronikgeräte, Halogenlampen usw.. Da Transformatoren
auf Spannungsänderungen an den Kontakten der Primärseite mit einer Spannungsänderung
an der Sekundärseite reagieren, können sie auch in der Elektronik als Differenzierglied eingesetzt
werden. Ziel des Praktikumsversuchs ist es, die grundlegenden Eigenschaften der
Spannungs- und Stromtransformation unter Vernachlässigung der Streuverluste kennenzulernen.
3. Grundlagen
3.1. Leistung von Wechselströmen
Da Transformatoren insbesondere in der Energieversorgung eingesetzt werden, ist es wichtig,
die Begriffe Wirk- und Blindleistung zu kennen. Die Leistung eines Gleichstroms ist
durch die Beziehung
P = UI
(TR.1)
gegeben. Da jedoch ein Wechselstrom nicht notwendig in Phase mit der zugehörigen Spannung
sein muss, gilt die Beziehung TR.1 nur für einen bestimmten Augenblick. Soll jedoch
durch eine Wechselstrommaschine Arbeit verrichtet werden, so interessiert die mittlere abgegebene
Leistung:
P = P(t) = 1 T
∫ T
0
P(t) dt = 1 T
∫ T
0
U(t)I(t) dt
(TR.2)
Bei sinusförmiger Spannung mit der Frequenz f = ω/2π und einer Phasenverschiebung ϕ
zwischen Strom und Spannung ist
P = 1 T
∫ T
0
U 0 sin ωtI 0 sin (ωt + ϕ)dt = 1
2π
105
∫ 2π
0
U 0 sin α I 0 sin (α + ϕ)dα.
(TR.3)
TR
TR
Unter Verwendung der Beziehung aus der Trigonometrie
und aus der Integralrechnung
sowie
ist
P = 1
2π
sin (α + β) = sin α cosβ + cosαsin β
∫ 2π
0
= U 0I 0
2π
∫ 2π
0
∫ 2π
sin 2 xdx =
0
∫ 2π
0
∫ 2π
0
cos 2 xdx = π
sin x cosxdx = 0
U 0 sin α I 0 (sin α cosϕ + cosαsin ϕ) dα
(sin 2 α cosϕ + sin α cosαsin ϕ) dα
Transformator
= U 0I 0
2 cosϕ ≡ U effI eff cosϕ (TR.4)
Diese Beziehung führt zur Definition von effektiver Stromstärke I eff = I 0 / √ 2 bzw. Spannung
U eff = U 0 / √ 2 geführt hat. Man spricht daher auch vom Blindstrom I blind = I 0 sin ϕ,
der zur mittleren Leistung nicht beiträgt, bzw. vom Wirkstrom I wirk = I 0 cosϕ.
3.2. Idealer unbelasteter Transformator
Ein Transformator besteht im wesentlichen aus zwei Spulen, die um einen gemeinsamen
Eisenkern gewickelt sind. Das bedeutet, dass beim idealen Transformator der gesamte magnetische
Fluss, der durch einen Strom in einer der Spulen induziert wird, in beiden Spulen
identisch ist.
Φ = const.
(TR.5)
Wird nun an die Primärspule (Windungszahl n 1 ) eine sinusförmige Wechselspannung
U 1 (t) = U 1,0 e iωt
(TR.6)
angelegt, so muss nach der Maschenregel die induzierte Spannung die angelegte Spannung
vollständig kompensieren.
U 1 (t) + U 1,ind (t) = 0
(TR.7)
Der Strom in der Primärspule berechnet sich nach dem Induktionsgesetz aus der Beziehung
dΦ
U 1,ind (t) = −n 1
dt = −L dI
1
dt
106
(TR.8)

Grundlagen
TR
TR
Transformator
zu
I 1 (t) = 1
ωL U 10 e (iωt+ϕ)
(TR.9)
mit der Phasenverschiebung ϕ = π . Der magnetische Fluss Φ ist dem Primärstrom direkt
2
proportional. So gilt z.B. für eine lange Spule der Länge l mit n Windungen und einem
Kern der relativen Permeabilität µ r und der Querschnittsfläche A, die von einem Strom I
durchflossen wird: ∫
Φ(t) = ⃗B dA ⃗ n 2
= µ 0 µ r AI(t) = LI(t)
l (TR.10)
Dieser Fluss durchsetzt auch die Sekundärspule und induziert in dieser die Spannung
U 2,ind (t) = −n 2
dΦ
dt .
(TR.11)
Daher ist das Verhältnis der Spannungen an den Kontakten der Sekundär- und Primärspulen,
das sogenannte Übersetzungsverhältnis (ü)
U 1 (t)
U 2,ind (t) = −U 10
U 20
= − n 1
n 2
(TR.12)
zeitlich konstant. Auch bei einem realen Transformator mit Streuverlusten ist das
Übersetzungsverhältnis konstant, jedoch nur näherungsweise gleich dem Verhältnis der Windungszahlen.
Beim unbelasteten Transformator fließt auf der Sekundärseite kein Strom, es wird also keine
Leistung abgegeben. Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist auf der
Primärseite ϕ = 90 o und daher wird nach TR.4 auch auf der Primärseite keine Leistung
verbraucht.
3.3. Ohmsche Belastung
auf der Primärseite ein Wirkstrom
I 1,eff cosϕ = U 2,effI 2,eff
U 1,eff
(TR.16)
fließen muss. Die Wirkströme transformieren sich demnach gerade umgekehrt wie die Spannungen.
I 1,eff cosϕ
= n 2
(TR.17)
I 2,eff n 1
Diese Tatsache lässt sich aber auch mit Hilfe des Induktionsgesetzes ableiten. Zunächst soll
ohne explizite Rechnung Gl. TR.17 plausibel gemacht werden. Fließt auf der Sekundärseite
ein Strom I 2 (t), so durchsetzt dieser die Spule und führt zu einem zusätzlichen Fluss
Φ 2 ∼ n 2 I 2 , der in der Primärspule zu einer Induktionsspannung U 1,ind ′ (t) führt. Soll nun,
wie in Aufgabe 2) gefordert, die Primärspannung konstant bleiben, so muss, da nach wie
vor die gesamte induzierte Spannung die angelegte Spannung kompensieren muss, auf der
Primärseite ein Wirkstrom fließen, dessen Fluss Φ 1 ∼ n 1 I 1 cosϕ den des Sekundärstroms
Φ 2 (t) kompensiert. Auf diese Weise ist der gesamte Fluss im Eisenkern unverändert und
damit auch die Primärspannung und es gilt die Gleichung TR.17.
Eine rechnerische Ableitung der Beziehungen am Transformator wird durch die Kirchhoffschen
Regeln gegeben. Für ein System zweier Spulen, von denen eine an eine Spannungsquelle
U 1 (t) angeschlossen ist, gelten die Beziehungen
U 1 (t) + U 1,ind (t) = U 1 (t) − L 1
dI 1 (t)
dt
U 2,ind (t) = −M dI 1(t)
dt
− L 2
dI 2 (t)
dt
− M dI 2(t)
dt
= R 1 I 1 (t)
= RI 2 (t) . (TR.18)
M ist die Gegeninduktivität, das ist die gegenseitige induktive Beeinflussung zweier Spulen.
Durch den Eisenkern wird beim Transformator diese Gegeninduktivität maximiert. Bei einer
harmonischen Primärspannung U 1 (t) = U 10 exp iωt wird diese Gleichung durch den Ansatz
I 1 (t) = I 10 exp (iωt − ϕ 1 ) und I 2 (t) = I 20 exp (iωt − ϕ 2 ) gelöst und es ist
Wird die Sekundärseite mit einem Widerstand R belastet, so fließt auf der Sekundärseite ein
Strom I 2 (t) in Phase mit der Spannung U 2 (t) und es muss gelten
I 2 (t) = U 2 (t)/R.
(TR.13)
Eine einfache Begründung, weshalb mit belastetem Sekundärkreis auch eine Phasenänderung
im Primärkreis einhergehen muss, liefert der Energiesatz. Auf der Sekundärseite
wird entsprechend Gl. TR.4 die Leistung
I 1 (t)
= I 2(t)
R + iωL 2 −iωM = U 1 (t)
(TR.19)
(R 1 + iωL 1 )(R + iωL 2 ) + ω 2 M 2
Für den unbelasteten (I 2 (t) = 0), idealen (R 1 = 0) Transformator ergibt Gl. TR.18 sofort
die Beziehung
U 10
= L 1
U 20 M = n 1
, (TR.20)
n 2
wobei für die letzte Identität die Gleichung TR.12 benutzt wurde. Bei gleich langen Spulen
um einen gemeinsamen Kern gilt (siehe Gl. TR.10)
P 2 = U 2,eff I 2,eff
verbraucht. Das heißt, dass bei optimalem Wirkungsgrad
(TR.14)
und damit für die Gegeninduktivität
L 1
= n2 1
, (TR.21)
L 2
n 2 2
η = P 2
P 1
= 1
(TR.15)
M = √ L 1 L 2 .
(TR.22)
107
108

Versuchsaufbau
TR
TR
Transformator
Für den Fall eines verschwindenden Lastwiderstands (Kurzschluss) erhält man aus Gleichung
TR.19
I 1 (t)
I 2 (t) = −L 2
M = −n 2
,
(TR.23)
n 1
also genau die aufgrund der Leistungsbilanz erwartete Beziehung. Die Rechnung für den
realen Transformator ist aufwändig, liefert jedoch qualitativ ähnliche Ergebnisse.
Zusammenfassend lassen sich folgende wichtige Eigenschaften eines Transformator nennen:
1. Es können Wechselspannungen in einem festen Verhältnis, das im Idealfall proportional
dem Verhältnis der Windungszahlen (Gl. TR.12) ist, transformiert werden.
2. Die Wirkströme werden umgekehrt proportional zu den Spannungen transformiert
(Gl. TR.17), d.h. die Erzeugung hoher Spannungen führt zu kleinen Wirkströmen und
umgekehrt.
3. Auch im Leerlauf (Sekundärseite unbelastet) fließt auf der Primärseite der Magnetisierungsstrom
(Gl. TR.9), der nur beim idealen Transformator keine Leistung aufnimmt.
4. Transformatoren reagieren nur auf zeitlich veränderliche Spannungen, eine zeitlich
konstante Potenzialdifferenz zwischen Primär- und Sekundärseite bleibt unbeeinflusst
(Trenntransformator).
R 1
111000
01
111000
01
111000
01
111000
01
Trenntrafo
4:1
Zweikanal-
Oszilloskop
I
U 1 U
1 V
1
I 1
A
Abbildung TR.1: Schaltplan
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
00 1101
00 11
A
V
V
U
R
Φ
4. Versuchsaufbau
Zwischen dem zu untersuchenden Transformator und dem Netz ist ein Trenntransformator
geschaltet, der die Primärspannung auf etwa 50 V reduziert. Neben der Primär- und Sekundärspule
besitzt der Messtransformator noch eine weitere Spule. Die Spannung U Φ , die
an dieser Spule abgegriffen werden kann, ist ein Maß für den magnetischen Fluss.
Der Versuch ist nach dem in Abb. TR.1 gezeigten Schaltplan aufzubauen. Es ist insbesondere
darauf zu achten, die Messinstrumente entsprechend ihrer Verwendung (Spannungs- oder
Strommessung) zu schalten. Als Messbereiche werden verwendet:
• Primärspannung U 1 < 200 V, Primärstrom I 1 < 200 mA
• Sekundärspannung U 2 < 20 V, Sekundärstrom I 2 < 2 A
• Spannung U Φ < 20 V
Die Messung darf erst begonnen werden, nachdem die Schaltung durch den Assistenten
kontrolliert wurde. Die Messung des Phasenwinkels ϕ zwischen dem Primärstrom I 1 und
der Primärspannung U 1 erfolgt mit Hilfe eines Zweikanal-Oszilloskops, indem an die Vertikalablenkplatten
eine dem Primärstrom bzw. der Primärspannung proportionale Spannung
gelegt wird. Die Phasendifferenz zwischen den beiden Schwingungen ergibt sich aus der
Beziehung
ϕ
2π = ∆t . (TR.24)
T
109
Amplitude [w.E]
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
U 1 I 1
T
∆t
0 2 4 6 8 10 12 14
Zeit [w.E.]
Abbildung TR.2: Phasenbeziehung zwischen U 1 und I 1
110

Messungen
TR
TR
Transformator
Die Periodendauer T der Schwingungen ist bekannt (warum?). Bei kalibrierter Zeitauslenkung
(x-Richtung) kann die Zeit ∆t direkt abgelesen werden und die Phase nach Gleichung
TR.24 bestimmt werden. Damit kann ∆t zwischen beiden Nulldurchgängen der
Schwingungen abgelesen werden. Die Nulllagen müssen dafür sorgfältig abgeglichen werden.
Es empfiehlt sich bei der Messung, intern mit Wechselstrom zu triggern. Dann kann
man mit Hilfe des Triggerpegels den dargestellten Phasenbereich entsprechend auswählen.
Bei kleinen Werten von ϕ (d.h. bei großer Belastung) muss die Zeitablenkung entsprechend
gespreizt werden. Da die Amplituden an den Vielfachmessgeräten abgelesen werden können,
sollte eine maximale vertikale Empfindlichkeit eingestellt werden.
5. Messungen
1. Man messe im Leerlauf (Sekundärseite nicht belastet) für 5 verschiedene
Primärspannungen U 10 (in Schritten von 2 Volt) die Größen U 20 , U Φ0 , I 10 , ϕ 0 .
I 2 = 0 bestimme man den Blindstromanteil I 10 · sin ϕ 0 (Magnetisierungsstrom) und
den Wirkstromanteil I 10 ·cosϕ 0 (Verluststrom) des Transformators im Leerlaufbetrieb.
3. Wie lautet der Zusammenhang zwischen Primär- und Sekundärstrom (Stromtransformation)?
Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm für einen idealen Transformator (keine
Streuverluste, kein Verluststrom) im Leerlauf und bei rein ohmscher Belastung. Was
lässt sich über den Fluss aussagen und wird diese Aussage durch die Messung zumindest
näherungsweise bestätigt (siehe Messwerte für U Φ aus Messung 2.)?
4. Man berechne für die verschiedenen Werte des Sekundärstroms I 2 und der Phasenverschiebung
ϕ aus Messung 2. den Wirk- und Blindstromanteil des Primärstromes I 1
und trage die Ergebnisse in ein gemeinsames Zeigerdiagramm ein.
5. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad η = P 2
P 1
des Transformators aus den Werten der
Wirkleistungen P 1 und P 2 aus Messung 2. als Funktion der Leistung P 2 und stellen
Sie das Ergebnis in einem Diagramm η = f(P 2 ) dar.
2. Mit U 1 = 40 V sind bei belastetem Sekundärkreis folgende Größen zu messen: Sekundärspannung
und Strom (U 2 , I 2 ), das Maß für den magnetischen Fluss U Φ0 , den
Primärstrom I 1 und den Phasenwinkel ϕ zwischen U 1 und I 1 . Dabei sind 12 verschiedene
Stromstärken I 2 zwischen der minimal und maximal (I max < 1.5 A) möglichen
Stromstärke einzustellen.
Sie können auch eine andere Primärspannung (jedoch 30 V< U 1 < 45 V) wählen, entscheidend
ist jedoch, dass diese Primärspannung über die gesamte Messreihe konstant
gehalten wird.
3. Der Innenwiderstand R iq der Stromquelle (Trenntrafo + Vorwiderstand R 1 ) wird auf
einen Wert 200 Ω ≤ R iq ≤ 500 Ω erhöht (R iq unbedingt notieren). Zur Einstellung
wird dieser Widerstand R iq mit einem der Multimeter gemessen (Achten Sie
dabei darauf, dass der Trenntrafo ausgeschaltet ist und Sie keinen Widerstand parallel
angeschlossen haben). Man messe die Sekundärspannung in Abhängigkeit vom
Sekundärstrom U 2 (I 2 ) mit 0 A ≤ I 2 ≤ 1 A (ca. 10 Messpunkte).
6. Tragen Sie die Ergebnisse aus Messung 3.) in ein Diagramm P 2 = f(R 2 ) ein (abgegebene
Leistung als Funktion des Lastwiderstands).
Die von einem Generator mit dem Innenwiderstand R i an einen Verbraucher R a abgegebene
Leistung ist P ist maximal, wenn R i = R a (schriftlicher Beweis). Dieser
Satz wird unter dem Begriff Leistungsanpassung zitiert. Ein belasteter Transformator
verhält sich ebenfalls wie ein Generator mit Innenwiderstand, d.h. aus dem
Übersetzungsverhältnis ü lässt sich bei Kenntnis des Innenwiderstands der Lastwiderstand
R, bei dem die abgegebene Leistung maximal ist, berechnen. Diese Tatsache
ist unter dem Begriff Widerstandstransformation bekannt.
Vergleichen Sie die Messergebnisse aus dem Diagramm P 2 = f(R 2 ) mit der Rechnung
(Hinweis: der Innenwiderstand der Sekundärseite (siehe Messung 2.) des Transformators
kann nicht vernachlässigt werden). Lassen sich sowohl der Satz über die
Leistungsanpassung als auch die Widerstandstransformation aus den Messwerten
bestätigen?
6. Auswertung
1. Aus U 10 und U 20 bestimme man das Übersetzungsverhältnis ü= n1
n 2
(Bestimmung des
Mittelwertes und des mittleren quadratischen Fehlers). Berechnen Sie den Mittelwert
des Phasenwinkels ϕ 0 .
2. Man zeichne in ein gemeinsames Diagramm U 2 , I 1 und ϕ als Funktion des Sekundärstroms
I 2 .
Warum sinkt U 2 mit zunehmender Belastung? Man berechne den Innenwiderstand des
Transformators.
Warum ist im Leerlauf, d.h. I 2 = 0 die Phase ϕ 0 ≠ 90 o ? Aus der mittleren Phasenverschiebung
ϕ 0 und der Extrapolation der gemessenen Werte I 1 auf den Wert I 10 bei
111
112

FH
Franck-Hertz-Versuch
1. Literatur, Stichworte
Bergmann-Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 4 (Entwicklung der Atomphysik,
Atommodell); Haken/Wolf: Atom- und Quantenphysik (Spektroskopische Vorbemerkungen,
Bohrsches Atommodell, Franck-Hertz-Versuch)
2. Zur Geschichte des Franck-Hertz-Versuchs
Im Jahre 1911, nachdem bei Streuexperimenten der Atomkern entdeckt worden war (die
Existenz der Elektronen, ihre Masse und Ladung waren schon bekannt), stellte Rutherford
das nach ihm benannte Atommodell auf. Danach kreisen die negativ geladenen Elektronen,
ähnlich den Planeten im Sonnensystem, auf Kreisbahnen um den schweren, positiv
geladenen Atomkern. Der Gravitationskraft des Planetenmodells entspricht die Coulomb-
Anziehungskraft entgegengesetzter Ladungen.
Nach der klassischen Elektrodynamik müsste das Elektron als (zentripetal) beschleunigte
Ladung elektromagnetische Strahlung aussenden, deshalb ständig Energie verlieren und
schließlich in den Atomkern stürzen. Dieser Widerspruch zur klassischen Physik wurde
durch die Quantenphysik aufgelöst. Bereits 1900 hatte Planck die erste Quantenhypothese
aufgestellt, mit deren Hilfe es ihm möglich war, das Gesetz der elektromagnetischen Temperaturstrahlung
aufzustellen. Er postulierte, dass elektromagnetische Wellen der Frequenz f
nur in Quanten, also in ganzzahligen Vielfachen der Energie E = h ·f von Materie emittiert
werden können (h = 6.626·10 −34 Js ist eine fundamentale Naturkonstante. Sie heißt Plancksches
Wirkungsquantum). 1905 zeigte Einstein, dass Licht tatsächlich aus Energiequanten,
den sogenannten Photonen, besteht. Dadurch inspiriert ergänzte Bohr 1913 das Rutherfordsche
Atommodell durch die beiden folgenden Forderungen:
1. Es sind nur Elektronenbahnen erlaubt, bei denen der Betrag des Bahndrehimpulses l
ein ganzzahliges Vielfaches des Drehimpulses h
2π beträgt.
2. Strahlungsübergänge 7 sind nur zwischen Elektronenzuständen, deren Energien E 1 und
E 2 zwei erlaubten Bahnen entsprechen, möglich. Die Photonenenergie E ist also gegeben
durch E = h · f = E 2 − E 1 .
Eine direkte experimentelle Bestätigung der Bohrschen Postulate gab es vor dem Franck-
Hertz-Versuch nicht. Die diskreten optischen Spektren der Atome weisen zwar auf wohldefinierte
Abstände zwischen den Elektronenzuständen eines Atoms hin, aber könnte es nicht
7 Das sind Übergänge der Hüllenelektronen unter Emission elektromagnetischer Strahlung. Atome befinden
sich ohne äußere Einflüsse im energetisch niedrigsten Zustand, dem Grundzustand. Durch Anheben eines Elektrons
auf eine energetisch höhere Bahn geht das Atom in einen angeregten Zustand über. Angeregte Zustände
haben mittlere Lebensdauern von 10 −9 bis 10 −7 s, bevor sie unter Emission eines Lichtquants in den Grundzustand
zurückkehren.
113
FH
FH
Franck-Hertz-Versuch
neben den in den Spektren sichtbaren diskreten Elektronenzuständen noch kontinuierlich
verteilte Zustände geben? Dann sollte man beliebige Energien auf die Atome übertragen
können.
Zur Anregung von Atomen kann man freie Elektronen an den Atomen streuen. Wenn die
Elektronenenergie kleiner als die niedrigste Anregungsenergie der Atome ist, sind nur elastische
Stoßprozesse möglich. In diesem Fall ändert der Stoßvorgang die innere Energie der
Atome nicht. Weil die Atommasse sehr viel größer als die Elektronenmasse ist, behalten die
Elektronen bei elastischen Stößen ihre kinetische Energie fast vollständig. Wenn die Elektronenenergie
jedoch ausreicht, die Atome anzuregen, sind inelastische Stöße möglich, welche
die kinetische Energie des stoßenden Elektrons um die Anregungsenergie des Atoms verringern.
Beim Franck-Hertz-Versuch werden Elektronen durch ein elektrisches Feld beschleunigt.
Beim Durchlaufen einer Spannung U nimmt die Energie eines Elektrons um e · U zu (e ist
die Elementarladung). Im Beschleunigungsraum befinden sich Neonatome. Bei einer bestimmten
Beschleunigungsspannung, die einer bestimmten maximalen Elektronenenergie
entspricht, setzt die inelastische Streuung ein. Misst man nun den Strom der Elektronen,
deren Energie über einer kleinen Schwelle e · U G liegt, so ist das Einsetzen der inelastischen
Streuung an der Abnahme des Anteils der Elektronen, deren Energie ausreicht, diese
Schwelle zu überschreiten, zu erkennen. Steigert man die Beschleunigungsspannung weiter,
so steigt der Strom der schnellen Elektronen wieder an, bis die Energie für zwei inelastische
Stöße ausreicht, was zu einer erneuten Abnahme des Stroms schneller Elektronen führt. Dieses
Spiel kann mehrmals wiederholt werden. Der Franck-Hertz-Versuch zeigt also, dass Neonatome,
die sich im Grundzustand befinden, Energien unterhalb einer bestimmten Schwelle
nicht aufnehmen können.
3. Versuchsaufbau
3.1. Die Franck-Hertz-Röhre
Die Franck-Hertz Röhre ist weitgehend evakuiert. Sie enthält jedoch ein wenig Neon. Mit
einer elektrisch geheizten Glühkatode können freie Elektronen erzeugt werden; bei ausreichend
hoher Katodentemperatur können Elektronen aus der Glühkatode wie Wassermoleküle
aus einer Wasseroberfläche ”
verdampfen“. Sie werden durch ein elektrisches Feld zur Anode
hin beschleunigt. Die Elektronen stoßen auf ihrem Weg zur Anode mit Neonatomen zusammen.
Durch die Lücken der gitterförmigen Anode können einige Elektronen den dahinter
liegenden Auffänger erreichen. Der Auffänger ist gegenüber der Anode schwach negativ
vorgespannt. Deshalb tragen Elektronen, die nach einem Stoß Energien unterhalb der durch
die Gegenspannung U G definierten Schwelle E S = e · U G haben, nicht zum Auffängerstrom
bei. Damit ist der Auffängerstrom ein Maß dafür, ob und wieviele der beschleunigten Elektronen
ihre Energie auf die Hüllenelektronen übertragen konnten.
114

Versuchsaufbau
FH
FH
Franck-Hertz-Versuch
S
H K A
V
S
B
H
I
U B
10
An vier Buchsen an der Frontplatte des Bedienungsgeräts sind die um den Faktor 10
abgeschwächte Beschleunigungsspannung und das Ausgangssignal des Verstärkers für
den Auffängerstrom zugänglich. Mit diesen Signalen kann die Franck-Hertz-Kurve auf
dem Bildschirm eines Oszilloskops dargestellt werden. Um die Kurve zu erzeugen, ist
der Auffängerstrom-Ausgang mit dem Y-Eingang des Oszilloskops zu verbinden, der
Beschleunigungsspannungs-Ausgang oder der Ausgang U B /10 mit dem X-Eingang. Das Betriebsgerät
ist in die Betriebsart ”
Sägezahn“ zu schalten. In dieser Betriebsart verändert das
Betriebsgerät die Beschleunigungsspannung periodisch entsprechend einer Sägezahnkurve 9 .
Mit Hilfe des digitalen Oszilloskops Tektronix TDS 3012 kann die Kurve mit 10000 Messpunkten
digitalisiert und als Tabelle auf Diskette gespeichert werden. Die dazu notwendigen
Schritte werden Ihnen vom Assistenten gezeigt.
Alternativ können Sie die Franck-Hertz-Kurve mit CASSY-Lab aufnehmen, unter dem Benutzerkonto
”
Praktikum“ finden Sie auf dem Desktop ein CASSY-Symbol mit dem Setup
” Franck-Hertz“.
Vor dem Einschalten des Betriebsgeräts sollten alle Verbindungen zwischen Franck-Hertz-
Röhre und dem Betriebsgerät hergestellt sein.
3.2. Das Betriebsgerät
Abbildung FH.1: Franck-Hertz-Röhre und Betriebsgerät
Die Abbildung FH.1 zeigt die Vorderansicht des Betriebsgeräts (Firma NEVA). Es hat folgende
Aufgaben:
1. Erzeugung der Heizspannung für die Glühkatode (H)
2. Erzeugung der Beschleunigungsspannung (konstant oder Sägezahn) (B)
3. Erzeugung der Spannung zwischen Katode und Steuergitter (S)
4. Verstärkung des Auffängerstroms (V)
Die Franck-Hertz-Röhre wird über mehrere Kabel an das Betriebsgerät angeschlossen,
deren Beschriftung und Farbmarkierung eine eindeutige Zuordnung erleichtert. Der
Auffängerstrom schließlich wird über ein BNC-Koaxialkabel zum Betriebsgerät geführt. Der
in das Betriebsgerät eingebaute Verstärker wandelt den Auffängerstrom (einige nA) in eine
proportionale Spannung im Bereich von 0...12 V um. Die Empfindlichkeit ist so groß, dass
eine Bewegung des BNC-Kabels, das den Auffänger mit dem Verstärkereingang verbindet,
die Anzeige vorübergehend merklich ändern kann. 8 Legen Sie das Kabel also so, dass es
während der Messungen nicht bewegt oder deformiert wird.
8 Grund dafür ist Reibungselektrizität, die bei einer Verschiebung der Kabelseele bezüglich des Kabeldielektrikums
auftritt.
115
3.3. Versuchsdurchführung
Man erwartet zunächst einen Stromverlauf, der bei ganzen Vielfachen der Quantenenergie
scharfe Einbrüche zeigt. Tatsächlich wird die gemessene Kurve durch mehrere Effekte verschmiert:
• Die aus der Glühkatode austretenden Elektronen haben auf Grund der Katodentemperatur
unterschiedliche, von null verschiedene Energien. Die Breite der Energieverteilung
ist durch die Katodentemperatur bestimmt.
• Die Neonatome, auf die die beschleunigten Elektronen stoßen, sind nicht in Ruhe,
sondern haben ebenfalls unterschiedliche Geschwindigkeiten. Die Breite der Verteilung
der kinetischen Energien der Neonatome ist durch die Raumtemperatur bestimmt.
Schätzen Sie aus den mittleren Geschwindigkeiten der Elektronen und Ne-Atome ab,
wie groß diese Dopplerverbreiterung ist.
• Die Energie der Elektronen wird auch durch elastische Stöße mit den Neonatomen
verändert. Zwar sind die Energieänderungen durch elastische Streuung nur klein, aber
ein Elektron kann vor dem ersten inelastischen Stoß und ebenso zwischen zwei inelastischen
Stößen eine große Zahl von elastischen Stößen erfahren.
• Zuweilen kann ein Elektron auf ein bereits angeregtes Neonatom treffen. Dieses kann
in höhere Zustände angeregt werden und dabei andere Energien aufnehmen. Wie kann
man diesem Problem begegnen?
9 Genau genommen folgt die Beschleunigungsspannung dem positiven Teil einer Sinuskurve mit 50 Hz.
Der Verstärker wandelt die Stromstärke von U B = 0 ansteigend bis zum Erreichen der eingestellten max.
Beschleunigungsspannung
116

Versuchsaufbau
FH
FH
Franck-Hertz-Versuch
Neben der Verschmierung zeigt die Franck-Hertz-Kurve auch noch systematische Fehler.
• Wenn unterschiedliche Metalle in Kontakt kommen, bildet sich an der
Berührungsstelle die sogenannte Kontaktspannung aus. Da Katode und Anode
der Franck-Hertz-Röhre aus unterschiedlichen Materialien bestehen, ist der äußeren
Bechleunigungsspannung die Kontaktspannung zwischen Katode und Anode
überlagert. Sie bewirkt eine Verschiebung der Franck-Hertz-Kurve in horizontaler
Richtung.
Terme
eV
21.5
Ionisierungsspannung
• Elastische Stöße verbreitern nicht nur die Energieverteilung der Elektronen, sondern
sie ändern auch die mittlere Energie.
• Ohne Neonfüllung würden der Anoden- und der Auffängerstrom mit steigender Beschleunigungsspannung
∼ U 3 2 zunehmen. Auch in der Franck-Hertz-Kurve nimmt
sowohl die Schwankung des Auffängerstroms als auch der Untergrund mit steigender
Beschleunigungsspannung zu. Dadurch werden die Lagen der Minima, Maxima und
Wendepunkte ein wenig verschoben.
5 3
2p 3p P
0
18.9
3.4. Aufgaben
• Stellen Sie die Abhängigkeit I(U B ) in einem Diagramm dar. Die Messwerte der
Stromkurve werden dazu vom Digital-Oszilloskop in einer Datei auf Diskette geschrieben.
welche die Spalten t i /s, U B,i /10 V und I/w.E.) enthalten. Verwenden Sie zur
Auswertung Ihren PC oder Notebook und beachten Sie dabei, dass als Dezimalzeichen
der Punkt und zur Trennung der Spalten das Komma verwendet wird. Falls Sie
mit CASSY gemessen haben, können Sie Kurve mit CASSY zeichnen und auswerten.
Zur Bestimmung der Anregungsenergie misst man die Beschleunigungsspannungswerte
U B,i , an denen der Auffängerstrom entweder ein Strommaximum oder Stromminimum
annimmt. Aus den Differenzen U i+1 − U i bekommt man Werte E i für die
Anregungsenergie in eV sowohl für die Minima als auch für die Maxima. Bilden Sie
Mittelwert und Standardabweichung des Mittelwerts aller Differenzen.
• Wenn ein Neonatom aus dem ersten angeregten Zustand in den Grundzustand
zurückkehrt, emittiert es Licht. Welcher Wellenlänge entspricht die gemessene Anregungsenergie?
Liegt diese Wellenlänge im Bereich des sichtbaren Lichts? Wieso
beobachten Sie orangerotes Licht? Ziehen Sie dazu das Termschema von Neon (Abb.
FH.2) heran.
• In welchem Wellenlängenbereich liegt sichtbares Licht? Welchem Energiebereich in
eV entspricht das?
5 3
2p 3p S 1
5 1
2p 3s P
1
5 3
2p 3s P
0
5 3
2p 3s P
1
5 3
2p 3s P
2
2 2 6 1
1s 2s 2p S
0
18.3
16.79
16.66
16.62
16.57
0
585.2 nm
650.6
671.7
614.3
640.2
633.4
703.2
Abbildung FH.2: Termschema von Neon
73.6 nm
74.3
117
118

PD
PD
Para- und Diamagnetismus
PD
Para- und Diamagnetismus
1. Motivation
In diesem Versuch soll das Verhalten von Materie im äußeren Magnetfeld untersucht werden.
Kräfte, die auf paramagnetische (FeCl 3 und Pd) und diamagnetische Stoffe (Bi) in homogenen
und inhomogenen Magnetfeldern wirken, werden mit verschiedenen Methoden gemessen.
Bei diesem Versuch empfiehlt es sich, einen eigenen Laptop mitzubringen, damit die
Kräfte auf die verschiedenen Probekörper mit dem System CASSY gemessen werden können.
Die Software können Sie unter www.leybold-didactic.de herunterladen und vor dem Versuch
auf Ihrem Laptop installieren.
2. Literatur
• Materie im Magnetfeld (Demtröder Kap. 3.5, Otten Kap. 23)
• Magnetische Materialien (Gerthsen Kap. 7.4)
Fragen zur Vorbereitung:
• Was sind magnetisches Moment, Magnetisierung, magnetische Feldstärke und magnetische
Induktion wie hängen sie zusammen?
• Was versteht man unter magnetischer Permeabilität, magnetischer Suszeptibilität und
Massensuszeptibilität?
• Welche Kräfte wirken auf magnetische Dipole im magnetischen Feld?
• Geben Sie eine mikroskopische Erklärung für das para- bzw. diamagnetische Verhalten
von Materie im Magnetfeld.
• Was versteht man unter Ferromagnetismus, was unterscheidet ihn vom gewöhnlichen
Paramagnetismus? Was sind Antiferromagnetismus und Ferrimagnetismus?
• Wie können homogene bzw. inhomogene Magnetfelder erzeugt werden?
• Erklären Sie das physikalische Prinzip einer Hall-Sonde!
3. Versuchsprinzip
Grundlage des Versuchs ist die Kraftwirkung magnetischer Felder auf Materie. Im ersten
Teil des Versuches wird die Suszeptibilität von FeCl 3 und Pd bzw. Al bestimmt. Dazu wird
die Kraft gemessen, die ein homogenes Magnetfeld variabler Stärke auf einen Quader bzw.
Zylinder ausübt, der teilweise in das Feld hineinragt (Methode nach Gouy). Die Stärke des
magnetischen Felds wird gleichzeitig mit einer Hall-Sonde ermittelt.
119
Im zweiten Teil des Versuches wird die Kraftwirkung auf eine Bismutprobe in einem inhomogenen
Magnetfeld untersucht (Faraday-Methode). Dazu muss zunächst das Magnetfeld
mit Hilfe einer Hallsonde ortsabhängig gemessen werden.
4. Messungen
ACHTUNG! Ziehen Sie niemals Kabel ab, während Strom durch die Spulen fließt! Hingegen
können Sie gefahrlos das Magnetstromversorgungsgerät auch bei maximalem Strom
aus- bzw. wieder einschalten.
Vorbereitung
• Spannen Sie die Polschuhe mit einem Abstand von 9.5 mm so ein, dass ein homogenes
Magnetfeld erzeugt wird. Ein passender PVC-Abstandshalter liegt am Platz.
• Drehen Sie die Wasserkühlung für die Spulen auf (ca. 1-2 l/min).
• Schalten Sie das Magnetstromversorgungsgerät ein (strombegrenzender Betrieb).
• Entmagnetisieren Sie die Polschuhe vor Beginn jeder Messreihe mit homogenem Feld!
Dazu legen Sie (durch Umpolen der Kabel) ein Gegenfeld von ca. 50-100 mT so an,
dass die Remanenz kleiner 0.5 mT ist.
Aufgaben
1. Messung der Kraft auf Pd oder Al im homogenen Feld
• Bauen Sie den Kraftsensor (Mod. 520060) und den Magnetfeldsensor (Mod.
5240381) von Leybold Didactic auf und schließen Sie beide an das CASSY-
System an.
• Hängen Sie entweder den Aluminiumklotz oder mehrere Pd-Drähte (Abmessungen
mit Plastik-Schieblehre bestimmen!) entsprechend Abb. PD.1(a) so auf, dass
das untere Ende der Probe im homogenen Teil des Magnetfelds endet. (Warum
ist das wichtig?)
• Justieren sie den Kraftsensor so, dass die Probe frei zwischen den Polschuhen
hängt.
• Montieren Sie die Hallsonde so, dass sich die vordere (tangentiale) Sonde im
homogenen Magnetfeld befindet.
• Messen Sie die Kraft in Abhängigkeit von der Magnetfeldstärke. Gehen Sie dabei
folgendermaßen vor:
– Wählen Sie für alle Kraftmessungen den empfindlichsten Messbereich und
stellen Sie ein Mittelungsintervall von 1 s ein, da ansonsten der Messwert zu
stark schwankt. Belasten Sie den Sensor keinesfalls stärker als mit 3 N!
120

Messungen
PD
PD
Para- und Diamagnetismus
– Wählen Sie für die B-Feldmessung die tangentiale Sonde mit einem Messbereich
bis (zunächst) 100 mT. Achten Sie darauf, dass die Feldlinien senkrecht
durch die flache Sonde treten, die sich in der Spitze des Halters als kleiner
schwarzer Chip befindet. Entmagnetisieren Sie die Polschuhe.
• Als Bezugspunkt für das Koordinatensystem empfiehlt sich die obere Polschuhkante,
die sich leicht mit dem Fernrohr anvisieren lässt. Die Lage der Hallsonde
(im Teleskop an den Lötpunkten gut erkennbar) definiert die jeweilige x-
Koordinate.
– Stellen Sie nach der Entmagnetisierung die Kraftanzeige auf Null sowie den
B-Feldmessbereich auf 1 T.
4. Messung der Kraft auf eine Bi-Probe im inhomogenen Feld
– Messen Sie die Kurve punktweise in Abständen von ca. 0.5 A. Stellen Sie
in CASSY unter ”
Messparameter“ (zweimal F5 oder Werkzeugsymbol doppelklicken)
manuelle Aufnahme ein.
– Warten Sie nach einer Stromänderung, bis sich ein stabiler Wert der Kraftanzeige
einstellt. Nehmen Sie einen Messwert mit F9 (oder Klick auf das
Uhren-Icon) auf.
– Es empfiehlt sich, die Kraft über dem Quadrat der Magnetfeldstärke darzustellen
(warum?).
• Falls die Probe während der Messung von einem der Polschuhe angezogen wird,
ist meist eine Verunreinigung mit Fe-Staub die Ursache. Reiben Sie in solchem
Fall den Draht kräftig mit Papier ab. Lagern Sie auf keinen Fall den Draht zusammen
mit Büroklammern o. ä. ferromagnetischem Material!
• Messen Sie wiederum bei einem Spulenstrom von 4,2 A.
• Berechnen Sie das Volumen der Bi-Probe (m = 1, 1 g). Die Dichte von Bismut
beträgt 9.78 g·cm −3 .
• Befestigen Sie die Bi-Probe am Kraftsensor und bringen Sie sie möglichst nahe
an die Stelle maximaler Kraft (d.h. maximales B · gradB) entsprechend Abb.
PD.1(d).
• Bestimmen Sie die Lage des Mittelpunktes der Probe mit Hilfe des Fernrohrs.
• Messen Sie die Kraft an dieser Stelle mit Hilfe des Kraftsensors: Schalten Sie den
Strom aus, stellen Sie Kraftanzeige auf Null und schalten Sie den Strom wieder
ein. Notieren Sie die Kraft und wiederholen Sie die Messung mehrmals.
2. Messung der Steighöhe einer FeCl 3 -Lösung als Funktion der Magnetfeldstärke im homogenen
Feld
• Vorsicht beim Umgang mit der FeCl 3 -Lösung! Benetzen Sie durch Schwenken
das Röhrchen, um Kapillarkräfte zu minimieren.
• Positionieren Sie das U-Rohr so zwischen den Polschuhen, dass das Ende der
Flüssigkeitssäule immer im homogenen Bereich endet (s. Abb. PD.1(b))
• Messen Sie simultan die magnetische Induktion B mit Hilfe der Hall-Sonde.
• Messen Sie mit dem Justierfernrohr die Steighöhe bei Stromstärken 0.6 – 5.4 A in
Schritten von ca. 0.5 A. Das Fernrohr ist mit einem elektronischen Wegaufnehmer
verbunden (Anzeige in mm). Justieren Sie das Fernrohr zuvor (horizontale
Ausrichtung, richtige Position des Wegaufnehmers).
3. Bestimmung der Ortsabhängigkeit des inhomogenen Feldes
a
b
Abbildung PD.1: Anordnung der Proben und der Hallsonde im Magnetfeld: Aluminiumblock
(oder Pd-Draht) im homogenen Feld (a), FeCl 3 -Lösung im Steigrohr (b), Messung der
Ortsabhängigkeit des inhomogenen Felds (c), Kraft auf Bismutprobe (d)
c
d
• Spannen Sie die konische Seite der Polschuhe ein, wiederum mit einem Abstand
von 9.5 mm.
• Eine Entmagnetisierung ist bei den folgenden Messungen nicht mehr nötig. Wieso?
• Messen Sie bei einem Spulenstrom von 4.2 A das B-Feld in Abhängigkeit von
der vertikalen Position x. Variieren Sie dazu die Höhe der Hallsonde in Schritten
von 1 mm, beginnend ca. 2 mm über der oberen Polschuhkante bis ca. 20 mm
nach innen (s. Abb. PD.1(c)).
5. Auswertung
1. Zeichnen Sie ein Diagramm der Abhängigkeit der Steighöhe h(B 2 ) vom Quadrat der
magnetischen Induktion für die FeCl 3 -Lösung. Bestimmen Sie daraus die Massensuszeptibilität
κ von FeCl 3 .
121
122

Fragen zur Auswertung
PD
PD
Para- und Diamagnetismus
2. Zeichnen Sie ein Diagramm der Abhängigkeit der Kraft F(B 2 ) des Pd-Drahtes bzw.
des Al-Blocks. Bestimmen Sie daraus die Suszeptibilität χ von Palladium bzw. Aluminium.
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Literaturwert. Die Dichte von Pd beträgt
ρ Pd = 12.1 g
cm , die von Aluminium ρ 3 Al = 2.7 g
cm . 3
3. Zeichnen Sie in ein gemeinsames Diagramm aus den Messungen der Steighöhe im
inhomogenen Feld in Abhängigkeit der vertikalen Position x:
a) Die magnetische Induktion B(x).
b) Zeichnen Sie zur Kontrolle auch die Lage der Polschuhe ein.
c) Bestimmen Sie den Feldgradienten dB durch grafische Differentiation! Beachten
Sie dabei, dass Ihre Messwerte fehlerbehaftet sind. Streuungen der Messwerte
dx
würden sich bei einer Punkt-zu-Punkt-Differentiation aufschaukeln. Aus diesem
Grund ist zunächst eine realistische Ausgleichskurve B(x) durch die Messwerte
zu zeichnen, von der die Ableitung gebildet wird. Bewährt haben sich hierbei
Polynome nicht zu hoher Ordnung als Ausgleichsfunktion, die symmetrisch
bezüglich der Polschuhmitte sind.
7. Theoretische Grundlagen
Die Kraft F auf ein Probevolumen V endlicher Suszeptibilität χ in einem Magnetfeld ergibt
sich aus dem Gradienten der magnetostatischen Feldenergie W in V (unter Annahme der
Konstanz von H innerhalb V ):
W = − 1 ∫
H · dB = µ 0V H 2
(1 + χ)
2
2
V
Nimmt man die Vakuumenergiedichte als homogen an, so ergibt sich für die Kraft
F = gradW = χµ 0 V H · gradH
In x-Richtung bedeutet das z.B.
F x = χµ 0 V H dH
dx
Damit lässt sich die Suszeptibilität χ von Bismut bestimmen.
Die Kraft auf einen langgestreckten zylindrischen Körper mit dem Querschnitt A im inhomogenen
Feld lässt sich durch Integration längs der Zylinderachse berechnen:
0
F = µ 0 χA
∫ x2
x 1
H dH
dx dx = µ 0χA
∫ H(x2)
H(x 1)
HdH = µ 0χA
(H 2 (x 2 ) − H 2 (x 1 ))
2
ø 13
ø 37
x
Liegt das eine Ende des Zylinders außerhalb H, d.h. H(x 1 ) = 0, so erhält man
F = µ 0χA
H 2 (x 2 )
2
Abbildung PD.2: Gestalt eines Polschuhs, Maßangaben in mm. Linke Seite für homogenes
Magnetfeld, rechte Seite für inhomogenes Magnetfeld
4. Man bestimme die Suszeptibilität χ von Bi (Vorzeichen!). Schätzen Sie den Fehler des
Messwertes ab!
6. Fragen zur Auswertung
7
Man kann auf diese Weise das Feld H an der Stelle x 2 bestimmen, sofern man die Kraft
kennt. Beim Pd-Draht bestimmt man sie direkt, während bei der Steighöhenmethode die
Kraft auf eine Flüssigkeitssäule aus folgender Beziehung gewonnen wird: Bei eingeschaltetem
Feld halten sich die Gewichtskraft F g auf die Säule, die um die Höhe h über die
Referenzfläche gestiegen ist und die magnetostatische Kraft F m auf die gesamte Flüssigkeit
das Gleichgewicht:
F g = ρAhg = F m = µ 0χA
H 2 (x 2 )
2
−→ h = µ 0H 2 χ
2g ρ
Die Massensuszeptibilität κ ergibt sich dann als
Beantworten Sie die folgenden Fragen schriftlich!
• Wie hängt die Suszeptibilität für para-, ferro- bzw. diamagnetische Stoffe von der Temperatur
ab?
κ := χ ρ = 2gh
µ 0 H 2
• Welche Kraft und welches Drehmoment erfährt ein magnetisches Moment ⃗µ in einem
inhomogenen Feld B?
123
124

NR
NR
Natürliche Radioaktivität
NR
Natürliche Radioaktivität
1. Motivation
Seit dem Entstehen von Leben auf der Erde ist dieses ständiger radioaktiver Strahlung ausgesetzt.
Zu dieser natürlichen Belastung hat sich in den letzten hundert Jahren die zivilisatorische
Belastung gesellt, für den Menschen hauptsächlich durch die Medizin, in geringem
Maße auch durch Kernwaffentests und die Kernenergienutzung. Es sollen einige Quellen der
uns umgebenden radioaktiven Strahlung untersucht werden. Nach der Vermittlung physikalischer
Größen des Strahlenschutzes soll mit der Gammaspektroskopie eine wichtige kernphysikalische
Untersuchungsmethode kennengelernt werden. Gammastrahlung wird in der
Regel nach einem Kernzerfall emittiert und kann sowohl zur Nuklididentifizierung wie auch
zur Aktivitätsbestimmung genutzt werden.
Es besteht die Möglichkeit, Proben aus Ihrer Umgebung (Gestein, Nahrungsmittel, alte Uhren...)
mitzubringen und auf ihre eventuelle Radioaktivität zu überprüfen.
2. Literatur zur Vorbereitung
• Skript ”
Grundlagen zum Versuch Natürliche Radioaktivität“ unter
www.pit.physik.uni-tuebingen.de/praktikum/anfaenger
• Musiol/Reif/Seeliger/Ranft: Kern- und Elementarteilchenphysik, VCH, Kap. 5.5 und
9.1;
• Kleinknecht: Detektoren für Teilchenstrahlung, 2. Aufl., Teubner Studienbücher;
• T. Meyer-Kuckuk: Kernphysik, 4. Aufl., Teubner Studienbücher;
• H. Neuert: Kernphysikalische Messverfahren zum Nachweis für Teilchen und
Quanten, Braun-Verlag, Karlsruhe
Fragen zur Vorbereitung:
• Was sind die wichtigsten Quellen der radioaktiven Belastung des Menschen? Welcher
Anteil entsteht dabei durch die zivilisatorische Nutzung der Kernenergie sowie durch
die Nutzung ionisierender Strahlung in der Medizin?
• Wie sind die Größen Aktivität, Energiedosis und Äquivalentdosis definiert?
• Was versteht man unter Nukliden, Isotopen und Isobaren?
• Welche Arten von Kerninstabilität gibt es?
• Nennen Sie die wichtigsten Arten radioaktiver Strahlung!
• Wie lässt sich γ-Strahlung nachweisen?
125
• Machen sie sich mit den wichtigsten Prinzipien zum Nachweis radioaktiver Strahlung
vertraut. Wie funktionieren Geiger-Müller-Zählrohr, Halbleiterzähler und Szintillationsdetektor?
Mit welchen dieser Detektoren lässt sich die Energie von γ-Strahlung
bestimmen?
• Wie funktioniert ein Sekundärelektronenvervielfacher (Photomultiplier)?
• Was wird bei einem Energiespektrum aufgetragen?
3. Versuchsprinzip
Es werden mit einem NaI-Szintillationsdetektor die γ-Energiespektren verschiedener Proben
aufgenommen. Mit einer Probe bekannter γ-Energien lässt sich die Energiekalibrierung
durchführen, womit unbekannte Linien identifizierbar sind. Aus dem Spektrum kann die
Aktivität der Probe wie auch ihre potenzielle Dosisleistung (bei Kontakt oder Inkorporation)
abgeschätzt werden.
4. Versuchsaufbau
4.1. NaI-Detektor
Das Schema des Versuchsaufbaus ist in Abb. NR.2 gezeigt. Die vom Szintillator nach Absorption
der γ-Quanten ausgesandten Lichtblitze treffen auf den Photomultiplier und reagieren
dort auf der Photokathode (1) durch den Photoeffekt. Die dabei freigesetzten Elektronen
werden durch die angelegte Hochspannung (im Versuch ca. 700 V) zur ersten Dynode (2)
beschleunigt und setzen dort weitere (Sekundär-) Elektronen frei. Dies wiederholt sich, bis
schließlich eine Elektronenlawine auf der Anode ein Signal auslöst. Dieses Signal wird von
einem Verstärker weiterverarbeitet (verstärkt und geformt) und dann auf den Eingang des
Analog-Digital-Wandlers (ADC, Steckkarte im PC) gegeben, der es in eine digitale Zahl
wandelt, die vom Computer in eine Häufigkeitsverteilung einsortiert wird (d.h. in ein Spektrum
der Impulshöhen).
5. Messungen
Messen Sie drei γ-Energiespektren: Eine Probe Ihrer Wahl, eine Kalibrierungsprobe sowie
den Untergrund innerhalb der Bleiabschirmung (Leermessung). Die Messzeit sollte jeweils
20 Minuten betragen, bei stärkeren Proben kann sie auch kürzer gewählt werden. Die Reihenfolge
dieser Messungen kann beliebig sein, da nicht alle Proben mehrfach vorhanden
sind. Eine Anleitung zur Bedienung des Messsystems finden Sie im Anhang.
126

Messungen
NR
NR
Natürliche Radioaktivität
NaI-Kristall (thalliumaktiviert)
a
b
PMT
Impulse
Verstärker
grob fein
grob fein
grob fein
a
b
- +
Speicher
CPU
ADC
PMT
NaI
Verstärker
Hochspannung
Hochspannung
Abbildung NR.1: Schema eines Sekundärelektronenvervielfachers (Photomultiplier)
5.1. Einschalten der Apparatur
Im Allgemeinen sind Hochspannungsversorgung und Verstärker bereits eingeschaltet und
eingestellt, verständigen Sie sich also mit dem Assistenten, bevor Sie etwas einschalten
oder verändern. Nur falls Sie ausdrücklich dazu aufgefordert werden:
• Vergewissern Sie sich, dass die Hochspannungsversorgung ausgeschaltet und auf 0
gestellt ist! Die Verstärkung sollte auf ein Minimum eingestellt sein (d.h. Coarse auf
10 und Fine auf 0.5)
• Netzspannungen einschalten
• Hochspannung HV an: Dazu Feststellknopf lösen, Schalter auf ”
ein“, oberen Drehschalter
auf 500 V drehen, anschließend am mittleren Drehschalter auf 700 V hochschalten,
dazu Anzeige am Spannungverteiler beobachten.
• Selbstständig Computer einschalten, Linux booten. Das Programm zur Aufnahme
der Spektren wird mit dem Befehl histuegram auf der Kommandozeile oder durch
Drücken des zugehörigen Icons gestartet. Hinweise zur Bedienung des Programms
finden sich in Abschnitt 8.
5.2. Liste der Messproben
1. Ein Becher mit Kaliumchlorid: KCl, m = 300 g
2. Eine Probe mit 22 Na-haltiger NaCl-Lösung
127
Abbildung NR.2: Versuchsaufbau: anschaulich (oben) und schematisch (unten)
3. Ein Glühstrumpf für Propangaslampen
4. ein kleines Stück Pechblende
5. verschiedene Steine aus dem Schwarzwald
6. Ein uranhaltiges Glas (sog. Annaglas)
7. verschiedene Uhren mit radiumhaltigen Leuchtziffern
8. Sand aus der Region Gomel (Weißrussland, 2004)
5.3. Aufgaben
Die folgenden Messungen können in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden, da insbesondere
die Kalibrierungsproben KCl und NaCl nur jeweils einmal vorhanden sind. Die
Messzeiten können variabel gewählt werden, empfohlen werden 20 min für die KCl-Probe,
10 min für den Untergrund, für die stärkeren Proben genügen meist 5 min. Die unterschiedlichen
Messzeiten müssen bei der Subtraktion des Untergrunds berücksichtigt werden.
1. Führen Sie die Kalibrierung durch Messung einer KCl-Probe durch, bei der Sie den
Vollabsorptionspeak (1460.1 keV) und den β + –Vernichtungspeak (511 keV) im Spektrum
zuordnen können. Alternativ können Sie die Kalibrierung mit der 22 Na-Probe
durchführen. 22 Na ist ein β + -Strahler. Sie finden neben dem β + –Vernichtungspeak
auch eine γ-Linie bei 1275 keV. In allen Fällen finden Sie auch deutlich die Emission
charakterischer Röntgenstrahlung aus der Bleiabschirmung, prominent ist die K α -
Linie bei 77 keV.
128

Auswertung
NR
NR
Natürliche Radioaktivität
2. Messen Sie den Untergrund mit geschlossener Bleitür. Sie benötigen insbesondere bei
der Messung schwacher Quellen dieses Leerspektrum, das sie vom Bruttospektrum
subtrahieren müssen.
3. Nehmen Sie ein γ-Spektrum von einer Probe Ihrer Wahl auf.
4. Bestimmen Sie die natürliche Dosisleistung im Praktikumsraum. Aus Gewichtsgründen
kann die Bleiabschirmung nicht ohne weiteres entfernt werden. Daher ist ein
Untergrundspektrum, welches 2 Stunden ohne Bleiabschirmung aufgenommen wurde,
auf der Festplatte unter dem Namen ”
untergrund.histo“ abgespeichert. Analysieren Sie
das Spektrum in der Auswertung (siehe Hinweise dort).
6. Auswertung
Die Auswertung kann zum großen Teil mit dem Messprogramm während des Versuchstermins
vorgenommen werden. Sie sollten aber auch alle gemessenen Spektren speichern,
per E-Mail, USB-Stick o.ä. nach Hause transferieren und dort mit einem Programm Ihrer
Wahl (z.B. einem Tabellenkalkulationsprogramm) auswerten. Nähere Hinweise zum Messprogramm
”
HisTueGram“ finden Sie im Anhang zu dieser Anleitung.
1. Kalibrierung: Die horizontale Achse ist zunächst nur in äquidistante Kanäle aufgeteilt,
die γ-Energien zugeordnet werden müssen. Da lediglich bekannt ist, dass ein
linearer Zusammenhang E γ = E off + v × c zwischen Kanalnummer c und der Energie
E γ besteht, müssen die unbekannte Verstärkung v und der mögliche Energieoffset E off
(hat elektronische Ursachen) aus Strahlern bekannter Energie bestimmt werden. Mit
zwei bekannten Energien lässt sich bereits eine Kalibrierung durchführen, bei lediglich
einer Energie wird E 0 = 0 angenommen. Der Menüpunkt ”
Kalibrierung“ bietet
zwei Möglichkeiten: Ein Kalibrierungspeak kann mit oder ohne Berücksichtigung des
Untergrundes ermittelt werden. Die erste Variante empfiehlt sich, wenn der Peak auf
einem stark abfallendem Untergrund sitzt.
2. Energiebestimmung: Bestimmen Sie die wichtigsten Peakenergien in der Probe
Ihrer Wahl! Die Energiezuordung ist (sofern Sie weder Hochspannung noch
Verstärkung geändert haben) identisch mit der Kalibrierungsprobe. Welche Nuklide
können Sie identifizieren? Für besonders Sportliche: Unter der Adresse
http://www.nndc.bnl.gov finden Sie NUDAT, die Datenbank für sämtliche
bekannten γ–Linien instabiler Nuklide. Bei der Suche nach einem Nuklid geben Sie
möglichst viele Einschränkungen an (Halbwertszeit, Massenzahl, möglichst genaue
Energie), sonst erhalten Sie zu viele irrelevante Antworten. Da unsere Proben im Wesentlichen
natürliches Uran bzw. Thorium oder 226 Ra (Leuchtziffern) enthalten, sollten
auch diese Nuklide und die Tochterkerne in der jeweiligen Zerfallskette zu finden sein.
3. Aktivitätsbestimmung: Vergleichen Sie gemessene und erwartete Aktivität von 40 K.
Aus dem Spektrum der KCl–Messung (abzüglich der Leermessung) bestimmen Sie
die Anzahl der γ–Quanten an, die aus dem Zerfall von 40 K stammen. Diese kann man
129
vereinfacht durch Integration über das gesamte Spektrum ermitteln. Die erwartete Aktivität
ergibt sich aus der Zerfallsgleichung, wenn man Halbwertszeit und Stoffmenge
berücksichtigt. Wieviele 40 K–Kerne zerfallen pro Sekunde, wieviele davon unter Aussendung
eines γ-Quants? Vergleichen Sie diesen Wert mit dem von Ihnen gemessenen.
Woher kommt der Unterschied? Folgende Vorgehensweise ist empfehlenswert:
• Wieviel Mol K sind in 300 g KCl enthalten? Wieviele Atome sind dies? Der Anteil
der radioaktiven 40 K–Kerne am natürlichen Kalium–Isotopengemisch beträgt
1.17 · 10 −4 .
• Wieviele 40 K–Kerne zerfallen pro Sekunde? (τ 1/2 = 1.28·10 9 a). Wieviele davon
zerfallen unter Aussendung eines γ–Quants?
• Wieviele Zerfälle haben Sie nachgewiesen? Welchem Prozentsatz des theoretischen
Werts entspricht das? Was sind die Ursachen der Reduktion?
• Ein großer Teil der Ursachen kann quantitativ erfasst werden, so dass die Unsicherheit
zum Schluss max. 50 % betragen sollte.
Falls Sie zur Kalibrierung 22 Na verwendet haben, so lassen Sie sich das Kalium-
Spektrum von Ihren Mitarbeitern geben.
4. Dosisabschätzung: Aus dem Spektrum ”
untergrund.histo“ lässt sich die natürliche
Strahlenbelastung (in mSv/a) durch γ–Strahlung bis ca. 2 MeV bestimmen. Gehen Sie
dabei wie folgt vor:
• Die Meßzeit betrug 2 Stunden.
• Nehmen Sie an, dass in dem Kristall jedes γ–Quant nachgewiesen wird und dass
auch der Mensch einen Großteil der niederenergetischen γ–Quanten absorbiert.
• Berechnen Sie die Masse des NaI–Kristalls.
• Die nachgewiesene Gesamtenergie ergibt sich durch Summation über alle
Kanäle:
∑1023
E = N i · E i ,
wobei E i und N i die einzelnen Energien bzw. Inhalte der Kanäle sind.
i=0
Ermitteln Sie zum Vergleich die zusätzliche Jahresdosis, wenn Sie die Probe Ihrer
Wahl (z.B. die Armbanduhr) ständig am Körper tragen würden. Gehen Sie beim NaI-
Detektor von 100 %, beim Ge(Li)-Detektor von 2 % Nachweiswahrscheinlichkeit aus.
Warum unterscheidet man im Strahlenschutz zwischen Ganzkörperdosis und Gewebedosis?
Geben Sie an, welche Art von Dosis Sie ermittelt haben.
7. Fragen zum Versuch
1. Wie ist die Einheit keV in SI-Einheiten definiert?
130

Bedienung des Programms HisTueGram
NR
NR
Natürliche Radioaktivität
2. Wieso haben die im Versuch beobachteten Peaks eine Breite, d.h. warum werden nicht
alle vollständig absorbierten γ–Quanten einer ganz bestimmten Energie in einem ganz
bestimmten Kanal gezählt? Erläutern Sie die physikalischen Ursachen der endlichen
Breite! Was versteht man unter dem Begriff Halbwertsbreite? Ermitteln Sie für eine
Gauß-Verteilung den Zusammenhang zwischen σ und der Halbwertsbreite (engl.
FWHM, full width at half of maximum).
3. In einem frisch gereinigten radioaktiven Präparat wie z.B. Ra steigt die Aktivität
zunächst an. Können Sie sich dieses Verhalten erklären?
4. Wie kann α−, β−, γ−Strahlung abgeschirmt werden? Welche Rolle spielt die Energie
dieser Strahlung? Welcher grundsätzliche Unterschied besteht in der Abschirmung
von Teilchenstrahlung (α, β) und elektromagnetischer (γ) Strahlung? Wie kann man
kosmische Strahlung abschirmen?
5. Wie gefährlich ist natürliche radioaktive Strahlung eigentlich? Schätzen Sie dazu die
Zahl der Personen ab, die in Deutschland pro Jahr an Krebs durch natürliche radioaktive
Strahlung in Deutschland erkranken. Stellen Sie dies der Gesamtrate an Krebserkrankungen
gegenüber. Die stochastische Strahlenwirkung wird hier vereinfacht mit 1
Erkrankung pro 60 Sv angenommen (s.a. Anhang)
6. Warum sieht man beim Zerfall von 232 Th Linien bei 2615 keV, 2104 keV und
1593 keV?
8. Bedienung des Programms HisTueGram
Das Programm HisTueGram, welches 2006 von Hanno Rein speziell für diesen Versuch
entwickelt wurde, ist eine komfortable Software–Version eines Vielkanalanalysators (MCA,
multi channel analyser). Das Spektrum wird erstellt, indem die Signale (d.h. Zahlen), die
vom ADC kommen, proportional zur Signalhöhe verschiedenen Kanälen zugeordnet werden
und der entsprechende Kanalinhalt jeweils um eins erhöht wird. So entsteht während
der Messzeit ein Spektrum der Energieverteilung der in diesem Zeitraum gemessenen γ–
Quanten. Diesen Vorgang kann man am Bildschirm mitverfolgen, alle 256 Ereignisse wird
der Inhalt des Spektrums grafisch dargestellt. In der Versuchsanordnung ist der ADC mittels
einer Steckkarte in den PC integriert. Die im Versuch verwendete Auflösung beträgt 1024
Kanäle, was für die intrinsischen Auflösungen der Detektoren völlig ausreicht.
Der PC wird im Linux-Modus gebootet. Man meldet sich als Nutzer ”
praktikum“ an, das
Passwort wird Ihnen vom Betreuer mitgeteilt. Das Programm wird über ein Icon auf dem
Desktop aufgerufen.
• Start : Start einer Messung. Hier geben Sie lediglich die Messzeit ein, die weiteren
Optionen sind speziellen Aufgaben vorbehalten.
• Zoom in/out/alles : Zoomfunktionen. Haben Sie zuvor mit der linken Maustaste
einen Spektrenbereich markiert, so wird bei ”
Zoom in“ dieser Bereich dargestellt.
• Lineare Darstellung : Hier können Sie zwischen linearer und logarithmischer Darstellung
der Ordinate wählen.
• Kalibrierung : Das Kalibrierungsmenü wird aufgerufen. Die Kalibrierungspunkte
werden tabellarisch dargestellt mit Status, Energie, Kanalnummer, Beschreibung und
Abweichung von der (linearen) Kalibrierungsfunktion.
– Peak finden (ohne Untergrund) fügt einen neuen Kalibrierungspunkt (einen
Peak) hinzu:
1. Peaks mit gedrückter linker Maustaste markieren
2. Im Menü entsprechende bekannte γ–Energie und Bezeichnung eingeben
– Peak finden (mit Untergrund) erfordert zusätzlich zunächst die Markierung
von Untergrundbereichen links und rechts des Peaks.
Um die Kalibrierung auf andere gemessene Spektren anwenden zu können, müssen
Sie die Kalibrierungsfunktion abspeichern (im Menü Kalibrierung, das unkalibrierte
Spektrum messen oder einlesen und anschließend die Kalibrierung wieder laden.
Bei der Speicherung des Spektrums wird die Kalibrierungsfunktion mit abgespeichert,
ebenso wird zu jedem Kanal die zugehörige Energie berechnet.
• Untergrund ermöglicht es, den gemessenen Untergrund abzuziehen. Dabei werden
unterschiedliche Messzeiten automatisch berücksichtigt, die gleiche Kalibrierung wird
vorausgesetzt.
Nach Abschluss der Messungen können Sie Ihre Spektren per E-Mail verschicken. Die Dateien
sind im ASCII-Format abgelegt, ein Tabellenkopf sieht zum Beispiel so aus:
# HisTueGram
# Aufnahme: Freitag 14. Juli 2006 - 14:58:57
# Einstellungen
# Messzeit (s): 600
# Totzeit: 0.04 %
# Eichfunktion: f(x)=-15.413355+2.200318*x
#
# Kanalnummer TAB Ereignisse TAB Energie (laut Kalibrierung)
0 0 -15.41
1 721 -13.21
2 0 -11.01
3 0 -8.81
4 2 -6.61
....
• Stop : (vorzeitiges) Stoppen einer laufenden Messung
131
132

US
US
Ultraschall
US
Ultraschall
4. Grundlagen
1. Vorbereitung
Vorausgesetzt werden Kenntnisse über:
• Interferenz
• Huygens-Fresnelsches Prinzip
• Beugung am Gitter
• Phasengitter, Amplitudengitter
• Schwingungen von Stäben bei verschiedenen Randbedingungen, insbesondere Longitudinalschwingungen
von Stäben
• Piezo-Effekt, inverser Piezo-Effekt
• Ferromagnetismus
• Hysterese
• Magnetostriktion
2. Literatur
Zu diesem Versuch liegt in der Fachbereichsbibliothek eine Praktikumsmappe aus. Zu allen
Punkten, die unter Vorbereitung genannt sind, finden Sie in dieser Mappe oder der Versuchsanleitung
geeignetes Arbeitsmaterial für eine gründliche Vorbereitung. Sie können aber
selbstverständlich auch andere Bücher benutzen.
3. Motivation
Ultraschallwellen finden in der heutigen Zeit vielfältig Anwendung, zum Beispiel als Sonar
(Ortung und Hinderniserkennung durch Richtstrahlreflexion) oder in der Medizin (Messung
von Gewebestärken aus der Laufzeit von Ultraschallwellen). Der Vorteil von Ultraschallwellen
liegt in ihrer Wellenlänge und der daraus resultierenden Möglichkeit zur Bündelung und
in ihrer Ungefährlichkeit.
133
Schallwellen stellen Ausbreitungsvorgänge elastischer Deformationen in Medien aller
Aggregatzustände dar. Das elastische Verhalten eines Mediums kann allgemein durch
den Kompressionsmodul K und den Schub- oder auch Torsionsmodul G beschrieben
werden. Für Gase und Flüssigkeiten ist der Schubmodul immer gleich null, was zur Folge
hat, dass sich in ihnen keine Transversalwellen, sondern lediglich Longitudinalwellen
ausbilden können. Der Kompressionsmodul ist zwar auch für Festkörper definiert, hat
aber nur geringe Bedeutung, da eine reine Kompression praktisch kaum auftritt. Vielmehr
hat man es meistens mit einer Deformation in nur einer Richtung zu tun, die aber bei
einem endlichen Festkörper immer mit einer Querdeformation gekoppelt ist. Aus diesem
Grund treten hier neben Longitudinalwellen immer gleichzeitig Transversalwellen auf. Das
Elastizitätsverhalten bei diesen Vorgängen wird durch den Elastizitätsmodul E beschrieben.
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen gilt:
in Festkörpern (Longitudinalwellen): v =
in Flüssigkeiten: v =
in Gasen: v =
mit:
κ = cp
c v
: Adiabatenexponent
ρ: Dichte
P : Druck
E: Elastizitätsmodul
K: Kompressionsmodul
√
E
ρ
√
K
ρ
√ √
K
= Pκ
ρ ρ
Die Schallgeschwindigkeiten liegen etwa zwischen 200 m/s (in Gasen) und 4000 m/s (in
Festkörpern). Für den Bereich des Ultraschalls (20 kHz bis 200 MHz) ergeben sich daraus
Wellenlängen von 20 cm bis herab zu 1 µm, also gerade bis in die Größenordnung der Wellenlänge
des sichtbaren Lichtes (400..700 nm). Aus der Optik ist bekannt, dass an Objektstrukturen,
deren Größe mit der Lichtwellenlänge vergleichbar ist, Beugung beobachtet werden
kann.
5. Die Ultraschallwelle als Beugungsgitter für Lichtwellen
Beugungsgitter werden in Amplituden- und Phasengitter unterteilt.
Beim Amplitudengitter wird die Amplitude einer durchtretenden Lichtwelle in regelmäßig
angeordneten Bereichen (z.B. lichtundurchlässige Streifen) abgeschwächt, so dass sich direkt
hinter dem Gitter eine periodische Amplitudenverteilung ergibt. Beim Durchgang einer
Lichtwelle durch ein reines Phasengitter wird die Amplitude nicht verringert (d.h. das Gitter
ist für das Auge transparent). Durch einen ortsabhänigen Brechungsindex wird hier aber die
Phase der Lichtwelle unterschiedlich beeinflusst, so dass sich direkt hinter dem Gitter eine
periodische Phasenverschiebung ergibt.
134

Erzeugung von Ultraschallwellen durch einen Piezo-Kristall
US
US
Ultraschall
Abbildung US.1: Glasplatte mit periodischer Struktur als Phasengitter
Ob ein Gitter als Amplituden- oder Phasengitter wirkt (in der Praxis treten oft beide Effekte
nebeneinander auf), lässt sich an dem auftretenden Beugungsmuster nicht ohne weiteres
erkennen, denn für beide Typen gilt für die Winkel, unter denen Intensitätsmaxima auftreten:
sinϕ k = kλ d
für k = 0, 1, 2, ...; d = λ Ultraschall (US.1)
Abbildung US.2: Der Piezoeffekt
O
-
+
Si
+
-
-
+
-
+
Si
+
Abbildung US.3: Der piezoelektrisch angeregte
Quarz
O
-
+
-
+
-
-
+
Eine in einer Flüssigkeit laufende Ultraschallwelle stellt eine elastische Welle dar, bei der in
regelmäßigen Abständen Verdichtungen und Verdünnungen hintereinander her laufen. Der
Abstand zweier aufeinanderfolgender Verdichtungen entspricht der Wellenlänge der Schallwelle.
Für einen bestimmten Zeitpunkt betrachtet hat die Flüssigkeit in Ausbreitungsrichtung
der Schallwelle eine periodisch veränderliche Dichte und damit auch einen periodisch
veränderlichen Brechungsindex. Vergleichen Sie den Effekt mit einer durchsichtigen Platte,
deren eine Oberfläche eine periodische Struktur aufweist (Abb. US.1).
Auf eine senkrecht dazu durchtretende Lichtwelle wirkt diese Anordnung als Phasengitter.
Da die Schallwelle sich aber im Laufe der Zeit fortpflanzt, stellt sie ein sich mit Schallgeschwindigkeit
verschiebendes Phasengitter dar. Aufgrund von Brechung des Lichtes in den
Flüssigkeitsbereichen, in denen sich durch die Schallwelle Dichtegradienten ausbilden (nicht
aufgrund von Amplitudenschwächung!), kann sich zusätzlich noch eine Wirkung als Amplitudengitter
ergeben. Die Bewegung des Phasengitters kann bei Beobachtung der Fraunhofer-
Beugung (d.h. auf einem Schirm, der sehr weit vom Gitter entfernt ist) vernachlässigt werden.
Der auftretende Doppler-Effekt ist wegen des großen Unterschiedes zwischen der Lichtund
der Schallgeschwindigkeit sehr klein. Diese Beugungserscheinung von Lichtwellen an
Ultraschallwellen (erstmals 1932 von Debye und Sears beobachtet) ermöglicht eine einfache
und genaue Messung der Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten. Bei bekannter Dichte der
Flüssigkeit kann daraus der Kompressionsmodul bestimmt werden.
6. Erzeugung von Ultraschallwellen durch einen Piezo-Kristall
Schallwellen werden durch Schwingungen von Festkörpern erzeugt. Im US-Gebiet finden
neben magnetostriktiven hauptsächlich piezoelektrische US-Quellen Verwendung. Um die
Vorgänge bei der Erzeugung von US-Wellen durch einen Piezo-Kristall (meistens Quarz)
zu verstehen, muss man von den Schwingungseigenschaften des Quarzschwingers ausgehen.
In unserem Fall handelt es sich um eine Quarzscheibe, die hier als ein (wenn auch
kurzer) Stab betrachtet wird. Dieser kann neben anderen Schwingungsformen auch Longitudinalschwingungen
ausführen, deren genauere Form von der Art seiner Halterung abhängig
ist. Alle auftretenden Eigenschwingungen können als stehende Schallwellen in ihm betrachtet
werden. Oberhalb einer Grundfrequenz sind weitere diskrete Eigenfrequenzen möglich.
Schwingt der Stab mit zwei freien Enden, so verhalten sich die Wellenlängen λ k der Eigenschwingungen
(k = 0: Grundschwingung, k = 1: erste Oberschwingung usw.) zur Länge l
des Stabes folgendermaßen:
Mit v =
2l
1 + k
λ k =
√
E
für Festkörper und v = λν ergibt sich für die Eigenfrequenzen:
ρ
√
ν k = 1 + k E
2l ρ
(US.2)
(US.3)
Legt man an einen Schwingquarz eine hochfrequente Wechselspannung an, wird dieser
durch den inversen longitudinalen Piezo-Effekt zu erzwungenen Schwingungen angeregt.
Bei Annäherung der anregenden Frequenz an eine Eigenfrequenz nimmt die Schwingungsamplitude
stark zu (Resonanz). Resonanz tritt aber nur bei den Eigenschwingungen auf, bei
denen die Enden des Stabes wie bei der piezoelektrischen Anregung gegeneinander gerichtet
schwingen (Grundschwingung und geradzahligen Oberschwingungen).
Die Beugung von Lichtwellen an den US-Wellen lässt sich am besten in der Nähe der Resonanzfrequenzen
des Piezo-Quarzes beobachten (die Amplitude des Quarzes und damit auch
die der US-Wellen ist maximal). Allerdings tritt bei hohen Amplituden des Quarzes und Frequenzen
über 1 MHz im Resonanzmaximum der ”
Quarzwind“ als störender Nebeneffekt auf.
Er kann aber zur Bestimmung der Resonanzfrequenzen ausgenutzt werden.
Der Quarzwind stellt eine von einem schwingenden Quarz in Flüssigkeiten oder Gasen hervorgerufene,
vom Quarz weggerichtete Strömung der Flüssigkeit oder des Gases dar. Sie
wird durch eine Pumpwirkung des Quarzes verursacht. Bei der Dilatation des Quarzes wird
die vor ihm befindliche Flüssigkeit weggestoßen und komprimiert. Bei sehr schneller Kontraktion
des Quarzes kann die komprimierte Flüssigkeit nicht schnell genug wieder expandieren,
so dass eine Verdünnung entsteht, in die von der Seite her Flüssigkeitsteilchen nachfließen.
Bei der erneuten Ausdehnung werden auch diese Teilchen mit nach vorne weggestoßen.
Durch die permanente Wiederholung des Vorgangs ergibt sich die Pumpwirkung.
Mit der dadurch hervorgerufenen Strömung in der Flüssigkeit oder im Gas ist eine
Schlierenbildung verbunden. In Bereichen, in denen verschieden schnell strömende
135
136

Erzeugung von Ultraschallwellen durch einen Piezo-Kristall
US
US
Ultraschall
Flüssigkeitsteilchen aneinander vorbeigleiten, tritt senkrecht zur Strömungsrichtung ein
Dichtegradient und damit ein Gradient des Brechungsindexes auf. Diese Schlieren lassen
sich optisch einfach durch die Schatten- oder Schlierenmethode nachweisen:
Wird mit einer punktförmigen Lichtquelle ein Schattenbild einer ruhenden Flüssigkeit auf
eine Wand projiziert, ergibt sich überall gleichmäßige Intensität. Treten nun Schlieren auf,
wird in der Schliere das Licht aus seiner ursprünglichen Ausbreitungsrichtung herausgebrochen
und auf dem Schirm erscheint ein, dem Verlauf der Schliere entsprechender, dunklen
Bereich, dem ein Streifen erhöhter Intensität an einer anderen Stelle des Schirmes zugeordnet
ist.
Hinweis: Der nicht aufgeweitete oder ungeschwächte Laserstrahl darf unter keinen
Umständen Ihr ungeschütztes Auge treffen!
6.1. Versuchsdurchführung und Aufgaben
Als Lichtquelle wird ein HeNe-Laser (λ= 632,8 nm) verwendet. Der Schwingquarz befindet
sich in einer Küvette, die mit Ethanol gefüllt wird.
1. Ausmessung der Resonanzfrequenzen des Schwingquarzes mit Hilfe des Schlierenverfahrens.
Hierzu wird zwischen Laser und Küvette eine Linse mit kleiner Brennweite
so eingebracht, dass ein Schatten der Küvette an die Wand geworfen wird. Zur Bestimmung
der Resonanzfrequenzen des Quarzes wird die Anregungsfrequenz langsam über
den ganzen zur Verfügung stehenden Bereich verändert und der sich ausbildende Quarzwind
beobachtet. Durch einfaches Verschieben der Linse lässt sich auf dem Schirm
das durch die Beugung an der Ultraschallwelle entstehende Beugungsbild beobachten.
Wie ändert sich dieses Beugungsbild, wenn man nicht mit der Resonanzfrequenz
erregt? Wie groß ist der Fehler bei der Bestimmung der Resonanzfrequenz?
3. Bestimmung der Schallgeschwindigkeit und des Kompressionsmoduls in Ethanol aus
der Beugung von Lichtwellen an den Ultraschallwellen.
Dazu wird jeweils bei den Resonanzfrequenzen das Fraunhofer-Beugungsbild ausgemessen.
Dazu bringt man in großem Abstand hinter der Küvette einen Beobachtungsschirm
an. Dieser Schirm ist mit einem Fadenkreuz versehen und lässt sich über eine
Mikrometerschraube verschieben. Für die kleinen auftretenden Beugungswinkel
liegen die Intensitätsmaxima in guter Näherung äquidistant. Durch Verschieben des
Schirmes über das Beugungsbild kann die Lage der Intensitätsmaxima bestimmt werden.
Die Bestimmung des Abstandes der einzelnen Maxima erfolgt zweckmäßigerweise
so, dass die Distanz über mehrere Maxima gemessen wird und anschließend durch die
entsprechende Anzahl (der Zwischenräume) geteilt wird. Die Breite der Maxima kann
zur Abschätzung des Fehlers herangezogen werden.
Aus den Abständen der Maxima wird die Gitterkonstante des Beugungsgitters und mit
der in 1. gemessenen Frequenz die Schallgeschwindigkeit und das Kompressionsmodul
berechnet. Fehlerrechnung!
Laser
US-Welle
Küvette
Piezo-Quarz
d
Abbildung US.5: Ultraschallwelle als beugendes Gitter
Laser
Strömung
Piezo
4. Wie unterscheiden sich die Beugungsbilder von Lichtwellen an laufenden bzw. stehenden
Ultraschallwellen? Begründung!
5. Erklären Sie am Beispiel einer stehenden Schallwelle in welchem Zusammenhang
Auslenkung und Dichte stehen. Zeichnen Sie deren Verlauf über eine volle Periode
auf (t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T). Wo sind die Orte größter Dichteänderungen?
Daten:
Abbildung US.4: Schattenwurf bei der Schlierenmethode
2. Bestimmung der Dicke des Quarzes aus den in 1. gemessenen Resonanzfrequenzen.
Beachte: der Piezo ist einseitig eingespannt! Fehlerrechnung!
137
• Dicht von Quarz: ρ = 2, 65 g
cm 3
• Dichte von Ethanol: ρ = 0, 79 g
cm 3
• Elastizitätsmodul von Quarz: E = 8, 6 · 10 10 N m 2
• Wellenlänge des Lasers: λ = 632, 8 nm
138

Magnetostriktion
US
US
Ultraschall
7. Magnetostriktion
n
Ein magnetostriktiver Ultraschallgeber besteht aus einem Stab aus ferromagnetischem Material,
welcher sich innerhalb einer Spule befindet. Fließt ein Strom durch die Spule, wird
ein Magnetfeld parallel zum Stab erzeugt und der Stab wird länger (z.B. Stahl) oder kürzer
(z.B. Nickel). Die elastische Verformung ǫ ist für einen freien Stab gegeben durch
H
ǫ = ∆l
l
= κΓ E H (US.4)
mit:
I
U
l = Länge des Stabes
∆l = Längenänderung des Stabes
E = Elastizitätsmodul des Stabes
H = magnetische Feldstärke
κΓ = Magnetostriktionskonstante
Die Magnetostriktion wird durch die mit zunehmendem Magnetfeld eintretende Ausrichtung
der Weisschen Elementarbezirke und eine damit verbundene Verzerrung des Gitters hervorgerufen.
Das Vorzeichen des Magnetfeldes spielt dabei keine Rolle. Der Effekt ist abhängig
von der magnetischen Vorbehandlung und der Temperatur des Materials.
Bei Anlegen einer Wechselspannung richten sich die Weisschen Bezirke jeweils entsprechend
des Vorzeichens des Magnetfeldes aus. Der Stab schwingt also in Längsrichtung parallel
zum Magnetfeld. Die Schwingungsamplitude des magnetostriktiven Schwingers erreicht
ein Maximum, wenn die Frequenz des Wechselstroms mit der elastischen Eigenfrequenz des
Stabes zusammenfällt. Die elastischen Eigenfrequenzen des Stabes sind durch Gl. (US.2) gegeben.
Auch der magnetostriktive Effekt ist umkehrbar: Eine mechanische Beanspruchung eines
ferromagnetischen Werkstoffs ruft eine Magnetisierung hervor.
Die höchsten mit einiger Intensität erreichbaren Frequenzen liegen bei 60 kHz.
L o
Abbildung US.6: Magnetostriktiver Ultraschallgeber
2. Der Spulenstrom wird von 0 A in 0,1 A Schritten auf 1 A hochgeregelt, wobei die
Längenänderung mit Hilfe der Messuhr bestimmt wird. Anschließend wird der Strom
auf 0 A zurückgeregelt, umgepolt und erneut bis 1 A die Längenänderung gemessen.
Wie groß ist der Fehler bei der Längenmessung?
3. Zeichnen Sie die Längenänderung ∆l als Funktion des Spulenstromes I für beide
Messreihen in zwei getrennte Diagramme (mit Fehlerbalken). Zwischen 0,2 A und
0,6 A ändert sich die Länge des Nickelstabes angenähert linear mit dem Spulenstrom
bzw. dem Magnetfeld. Berechnen Sie aus der maximalen und minimalen Steigung von
∆l über I die Magnetostriktionskonstante κΓ für Nickel. Fehlerabschätzung!
4. Wie groß ist das Verhältnis Erregerfrequenz zu Ultraschallfrequenz bei magnetostriktiven
Ultraschallsendern. Wie lässt sich ein Verhältnis von 1:1 erreichen?
5. Wie groß ist die Grundfrequenz des gegebenen Nickelstabes? Wie lang muss der
Nickelstab sein, damit man eine Grundfrequenz von 60 kHz erhält?
6. Wodurch ist für magnetostriktive Erreger eine obere Grenzfrequenz von etwa 60 kHz
gegeben?
7. Nennen Sie fünf Anwendungsbeispiele für den Ultraschall.
7.1. Versuchsdurchführung und Aufgaben
Gemessen wird die Verformung eines Nickelstabes im Feld einer Spule. Der Stab ist an
einem Ende fest eingespannt, so dass die gesamte Verformung am anderen Ende der Spule
abgelesen werden kann.
1. Netzgerät einschalten und auf 1 A hochregeln. Wie groß ist dabei die relative
Längenänderung? Anschließend herunterregeln und umpolen. Der Nickelstab ist jetzt
vormagnetisiert und die folgenden Messreihen können somit bei gleicher magnetischer
Vorbehandlung des Stabes durchgeführt werden.
139
Daten
• Windungszahl der Spule: N = 5390
• Länge der Spule: L = 39, 7 cm
• Länge des Stabes: l = 44 cm
• Elastizitätsmodul von Nickel: E = 22, 63 · 10 10 N m 2
• Dichte von Nickel: ρ = 8, 88 g
cm 3
140

PT
PT
Potentialtrog
PT
Potentialtrog
3. Motivation und Grundlagen
1. Vorbereitung
Folgende Kenntnisse werden am Versuchstag vorausgesetzt:
Fragen zu den theoretischen Grundlagen:
• Wie ist die elektrische Feldstärke definiert?
• Wie kann man Felder graphisch darstellen?
• Was passiert mit Leitern im elektrostatischen Feld?
• Was sind konservative Kraftfelder? Welche Eigenschaften haben sie?
• Wie ist das elektrische Potential definiert?
• Was sind Äquipotentiallinien?
• Wie bestimmt man das elektrische Feld aus dem Potential?
• Wie lauten die Maxwellrelationen der Elektrostatik (integrale oder differentielle
Form)?
Fragen zum Versuchsaufbau und zur Durchführung:
• Um was für eine Messbrücke handelt es sich?
• Warum bestimmt man das Potential nicht einfach mit einem Voltmeter?
• Wieso ist der Maßstab des Potentialtrogs frei wählbar?
• Welche Anforderungen müssen an den Elektrolyten gestellt werden und, viel wichtiger,
warum?
2. Literaturhinweise
Staudt: Werkheft Experimentalphysik 2: Kapitel 6: Elektrostatik: Abschnitte 6.1.1-6.1.4
Berkeley: Band 2: Elektrizität und Magnetismus: Kapitel 1: Elektrostatik: Ladungen und
Felder: Abschnitte 1.7-1.10; Kapitel 2: Das elektrische Potential: Abschnitte 2.1-2.4;
für Interessierte: Kapitel 2: Das elektrische Potential: Abschnitte 2.7-2.10; 2.13-2.16;
Kapitel 3: Elektrische Felder um Leiter: Abschnitte 3.1-3.3
Gerthsen: Kapitel 6: Elektrizität: Elektrostatik 6.1: Abschnitte 6.1.1-6.1.4;
Gleichströme 6.3: Abschnitt 6.3.4b) Brückenschaltungen
Walcher: Praktikum der Physik: Kapitel 5: Elektrizitätslehre: Abschnitt 5.1.4
141
3.1. Motivation
Der Verlauf der Feldlinien zwischen ladungstragenden Leitern wird bestimmt von der Form
der Elektroden, Menge und Art der Ladung, die auf ihnen liegt und dem Medium, das sie
umgibt.
Die Kenntnis des Feldlinienbildes ist häufig von praktischer Bedeutung, z.B. für die Gestaltung
der Elektroden, die eine elektronenoptische Linse bilden.
3.2. Grundlagen
Für raumladungsfreie [ ρ(⃗r) = 0 ] elektrostatische Probleme erhält man den Potentialverlauf
U(⃗r ) aus der Theorie durch die Lösung der LAPLACE-Differentialgleichung:
∆U(⃗r ) = 0
(PT.1)
unter Berücksichtigung der gegebenen Randbedingungen.
Da nur zu einer sehr begrenzten Anzahl von Geometrien der Ladungsverteilungen geschlossene,
analytische Lösungen existieren, werden heutzutage Aufgaben dieser Art
über Gl. (PT.1) numerisch berechnet. (Ein Verfahren zur Berechnung von Feld- und
Äquipotentiallinien mit dem PC wird Ihnen im zweiten Teil des Versuchs vorgestellt.)
Im Gegensatz dazu stellt die Feldbestimmung mit dem elektrolytischen Trog ein experimentelles
Verfahren dar, mit dem zweidimensionale, ebene Probleme gelöst werden können.
Das Verfahren der Feldbestimmung mit dem elektrolytischen Trog beruht auf folgenden
Punkten:
1. Die Potentialverteilung zwischen mehreren Elektroden, die von einem schwachen
Elektrolyten umgeben sind, ist die selbe wie zwischen der gleichen Elektrodenanordnung
im Vakuum oder einem homogenen Dielektrikum, d.h. es gilt (zumindest
näherungsweise) die Laplace-Gleichung.
2. Die Laplace-DGL ist eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Aufgrund
der Linearität der Laplace-Gleichung ist die relative Feldverteilung nicht vom
räumlichen Maßstab und dem Absolutwert der Potentiale an den Elektroden abhängig.
Um Punkt (1) zu gewährleisten, muss der Stromdurchgang durch den Elektrolyten dem Ohmschen
Gesetz gehorchen, der Elektrolyt einen hohen spezifischen Widerstand haben (geringer
Strom) und homogen sein. Die Stromlinien sind dann identisch mit den Kraftlinien des
elektrischen Feldes. Die in den Trog eingefüllte Flüssigkeit bildet ein Widerstandsfeld, in
dem mit einer Messelektrode und einer empfindlichen Messbrücke die Potentialverteilung
bestimmt werden kann.
Bei Laborversuchen betrug die maximale Genauigkeit bezogen auf die Gesamtspannung
0, 2%.
142

Versuchsdurchführung
PT
PT
Potentialtrog
4. Versuchsdurchführung
Auszumessen ist der Potentialverlauf zwischen drei bzw. vier Elektroden.
4.1. Messprinzip
Die Messbrücke entspricht einer Wheatstoneschen Brückenschaltung. An einem Zehngangpotentiometer
werden die Widerstände R 1 und R 2 eingestellt und damit das aufzufindende
Potential. Dann wird die Messbrücke durch Verschieben der Messsonde im Potentialtrog auf
ein Minimum abgeglichen (ideal: I=0). Der so ermittelte Punkt C hat das am Zehngangpotentiometer
eingestellte Potential.
die Elektrodenform durch vorsichtiges Abtasten mit der Sonde auf das Zeichenblatt zu
übertragen.
Als Elektrolyt wird Leitungswasser verwendet. Dies wird mit einem Schlauch in den Trog
eingelassen. Der Trog sollte nur soweit gefüllt sein, dass die Elektroden- und Isolatorflächen
gerade noch trocken bleiben.
Vor dem Versuch ist zu überprüfen, ob die Sonde senkrecht ins Wasser tauchen wird, ggf.
ausrichten.
Folgende Elektrodenanordnungen wer-
Die zu vermessenden Elektrodenanordnungen:
den am Praktikumsnachmittag vermessen:
R 1 R 2
I I=0
M 4
E 1
A
C
B
M 1
M 2
M 3
E 2
E 3
U
Isolator
Isolator
Abbildung PT.1: Messprinzip des Potentialtrogs (Dipol mit Elektrode A und Elektrode B)
4.2. Apparatur und Messung
Abbildung PT.2: Elektrodenanordnung 1:
Quadrupol: M 1 und M 3 liegen auf einem
Potential von 0 V, M 2 und M 4 liegen auf
einem Potential von 10 V
Abbildung PT.3: Elektrodenanordnung 2:
zwischen den Elektroden E 1 und E 2 liegt
eine Spannung von 10 V, Elektrode E 3
liegt auf einem Zwischenpotential
In die Transistormessbrücke zu diesem Versuch ist neben einem Drehspulmessinstrument eine
Spannungsversorgung integriert, von der 10 V Wechselspannung und 20 V Wechselspannung
sowie mit einem Zehngangpotentiometer und drei Einstellpotentiometern Zwischenwerte
der Gesamtspannung abgegriffen werden können. Vor dem Eingang der Messbrücke
befindet sich ein Verstärker. Dessen Empfindlichkeit kann mit einem Potentiometer geregelt
werden. Bei geringer Empfindlichkeit wird die Apparatur eingeschaltet. Nach dem Einstellen
des gewünschten Potentials am Zehngangpotentiometer wird durch Verschieben der
Sonde im Wasser auf das Minimum am Anzeigeninstrument abgeglichen. Die Empfindlichkeit
wird so nachgeregelt, dass sich das Anzeigeminimum möglichst im oberen Drittel der
Skala befindet. Ist eine Stelle gefunden, an der das vorgegebene Potential vorliegt, wird mit
der 1:1-Zeicheneinrichtung ein Punkt auf das Millimeterpapier gebracht. (Achtung: Nicht zu
fest drücken, sonst knickt die Spitze des Filzstiftes ab). Das Verbinden von Punkten gleichen
Potentials ergibt die gesuchten Äquipotentiallinien.
Elektroden und Zeichenanordung dürfen während einer Messung nicht gegeneinander verschoben
werden. Vor Aufnahme der Potentiallinien ist bei abgeschalteter Messbrücke
143
r 0=0,5cm
d=12cm
M 1
M 2
r
Abbildung PT.4: Elektrodenanordnung 3: Dipol: die Potentialdifferenz beträgt 10 V
144
d-r

Versuchsdurchführung
PT
PT
Potentialtrog
Anleitung zur Einstellung der Anordnung 2: Das Potential an der Elektrode E 2 wird wie folgt
mit Hilfe der Messbrücke eingestellt (wird bei der Einweisung in das Gerät verständlich):
Empfindlichkeitsregler ganz nach links drehen. Kabel von der Messsonde abziehen und mit
dem Stecker der Elektrode E 2 verbinden. Diesen an eines der Einstellpotentiometer anschließen
und das vom Assistenten vorgegebene Zwischenpotential am Zehngangpotentiometer
einstellen. Verstärkung vorsichtig erhöhen bis ein Ausschlag sichtbar wird. Dann mit dem
Einstellpotentiometer auf Minimum abgleichen. Nach dem Abgleich Messeingang wieder
mit der Sonde verbinden.
für kugelförmige Elektroden verglichen (U ∗ = 5 V). Versuchen Sie zu erklären, woher
die Abweichungen kommen.
5. Erläutern Sie die allgemeinen Eigenschaften des Nabla-Operators ⃗ ∇. Zeigen Sie seine
Anwendungsmöglichkeiten anhand von Beispielen auf.
6. Welche wesentlichen Gleichungen der Elektrodynamik kennen Sie? Versuchen Sie,
die Laplace-Dgl. herzuleiten.
4.3. Aufgaben und Fragen zur Bearbeitung am Praktikumsnachmittag und im Protokoll:
1. Auf welchem Prinzip beruht das Messverfahren des elektrolytischen Troges?
5. Die Relaxationsmethode zur Lösung der Laplacegleichung
In einem zweiten kleinen Teil wird Ihnen am Praktikumsnachmittag für ein einfaches Beispiel
eine einfache Methode zur numerischen Lösung der Laplace-Gleichung am PC gezeigt.
2. Wie funktioniert eine Wheatstone-Brücke?
3. Nehmen Sie mit dem Zeichengerät den Potentialverlauf der beiden Elektrodenanordnungen
auf Millimeterpapier auf:
Bei Anordnung 1 (Abb. PT.2) sind die Potentiallinien U=3 V, 4 V, 5 V, 5,5 V, 6 V und
7 V aufzunehmen. (Überlegen Sie sich, ob man zur Vereinfachung vorhandene Symmetrien
ausnutzten kann.)
Bei Anordnung 2 (Abb. PT.3) sind die Potentiallinien von U=1 V, 2 V,.., 9V aufzunehmen.
Legen Sie die Messpunkte so dicht, dass die Kurven gut gezeichnet werden
können. In der Nähe der Spitze von E 2 und auch bei den Isolatoren sind die Punkte
dichter zu legen.
Zeichnen Sie zu Hause für die aufgenommenen Anordnungen die Feldlinien ein. Die
Feldlinien sind so zu zeichnen, dass jeweils 2 Äquipotentiallinien und 2 Feldlinien
angenähert ein Quadrat einschließen. Dann ist die Dichte der Feldlinien ein relatives
Maß für den Betrag der Feldstärke an der betreffenden Stelle.
Kurze Diskussion der Ergebnisse.
4. Bei der Elektrodenanordnung 3 (Abb. PT.4) soll der Potentialverlauf U = f(r)auf der
Achse M 1 − M 2 bestimmt werden. Richten Sie hierzu Trog und Zeicheneinrichtung
so aus, dass sich die Sonde beim Parallelverschieben genau auf der Achse zwischen
den Zylindermitten bewegt. Variieren Sie U von 2 V bis 8 V in Schritten von 0,5 V am
Zehngangpotentiometer.
Die erhaltenen Punkte ermöglichen es Ihnen, zu jedem U ein r zu bestimmen (r =
Abstand von einem Zylindermittelpunkt bis zum Messpunkt). In einem Diagramm
wird der gemessene Potentialverlauf mit den Kurven der theoretischen Näherungen
5.1. Problem:
Es gibt keine allgemeine analytische Methode, um elektrostatische Probleme zu lösen, da
nur für ganz spezielle Situationen analytische Lösungen existieren.
⇒ Notwendig sind numerische Verfahren.
5.2. Formulierung der zu lösenden Aufgabe:
Im Allgemeinen ist die Bestimmung des elektrostatischen Potentials U(⃗r ) (Lösen der
Gleichung: ∆U(⃗r ) = 0) einfacher als die des elektrischen Feldes (Lösen der Gleichnungen:
⃗∇ · ⃗E(⃗r ) = ρ(⃗r )
ǫ 0
und ⃗ ∇ × ⃗ E(⃗r ) = 0 für ρ(⃗r ) = 0 ).
Ursache: das Potential ist ein Skalarfeld, das elektrische Feld ist ein Vektorfeld.
Da das elektrische Feld leicht aus einem gegebenen Potential bestimmt werden kann mit:
wird das Potential numerisch berechnet.
Aufgabe:
⃗E(⃗r ) = −grad U(⃗r )
• Lösung der Laplace-Gleichung in 2 Dimensionen bei gegebenen Randbedingungen
U zyl (r) =
für zylinderförmige Elektroden und
U kug (r) = (
U ∗
ln d−r0
r 0
U ∗
) ·
1
d−r 0
− 1 r 0
r
· ln
d − r + U ∗
( 1
r − 1 )
+ U ∗
d − r
• Berechnung des elektrischen Feldes aus dem Potential U
5.3. Die numerische Berechnung:
Es gilt: Die Lösung der Laplace-Gleichung ist in einem abgeschlossenen Volumen eindeutig
bestimmt, wenn das Potential auf dem Rand gegeben ist (Randwert-Problem).
145
146

Die Relaxationsmethode zur Lösung der Laplacegleichung
PT
PT
Potentialtrog
2-dimensionale Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten:
Diskretisierung der Laplace-Gleichung:
∆U(x, y) = ∂2 ∂2
∂x2U(x, y) +
∂y2U(x, y) = 0
mit:
f ′′ (x) =
f(x + h) + f(x − h) − 2f(x)
h 2 + O(h 2 )
O(h 2 ) = − h2
12 f ′′′′ (x) + ...
• Approximation von U(x, y) auf einem zweidimensionalen Punktgitter mit konstantem
Gitterabstand h;
⇒ Berechnung der Matrix U(x i , y j ) := U(i, j) mit
x i = ih
y j := jh
• Übergang von der Differentialgleichung zu einer Differenzengleichung durch Diskretisierung
der Differentialoperatoren ∂2 und ∂2 :
∂x 2 ∂y 2
– Allgemein: gegeben sei eine beliebige genügend oft differenzierbare Funktion
f(x);
die einfachste Näherungsformel für eine numerische Berechnung der ersten Ableitung
einer Funktion ist:
f ′ (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
⇒ f ′ f(x + h) − f(x)
(x) = + O(h)
h
Eine Taylor-Reihen-Entwicklung der Funktion f(x) liefert für f(x+h) und f(x−
h):
f(x + h) = f(x) + f ′ (x)h + 1 2 f ′′ (x)h 2 + 1 6 f ′′′ (x)h 3 + · · ·
f(x − h) = f(x) − f ′ (x)h + 1 2 f ′′ (x)h 2 − 1 6 f ′′′ (x)h 3 + · · ·
– Daraus erhält man folgendermaßen die Zweipunkt-Formel für die zweite Ableitung:
f(x + h) + f(x − h) = f(x) + f ′ (x)h + 1 2 f ′′ (x)h 2 + · · ·
Daraus erhält man für die zweite Ableitung:
+ (f(x) − f ′ (x)h + 1 2 f ′′ (x)h 2 − · · ·)
= 2f(x) + f ′′ (x)h 2 + 1
12 f ′′′′ (x)h 4 + O(h 6 )
147
• Damit erhält man für die diskretisierte Laplace-Gleichung:
U(i + 1, j) + U(i − 1, j) − 2U(i, j) U(i, j + 1) + U(i, j − 1) − 2U(i, j)
+ = 0
h 2 h 2
(PT.2)
Iterationsvorschrift: Aus Gl. (PT.2) ergibt sich für das Potential auf einem Gitterpunkt
(i, j) folgende Iterationsvorschrift:
U(i, j) =
U(i + 1, j) + U(i − 1, j) + U(i, j + 1) + U(i, j − 1)
4
(PT.3)
Man erhält also das Potential an einem Gitterpunkt (i, j) aus den Potentialen der vier
nächsten Nachbarn.
Berechnung des Potentials: Die Gl. (PT.3) gilt für alle inneren Gitterpunkte U(i, j), die
Randwerte sind gegeben. Zu Lösen ist also ein lineares Gleichungssystem, die Lösung erfolgt
durch Iteration:
1. Vorgabe der Randwerte;
Vorgabe einer vernünftigen Näherungslösung für die inneren Gitterpunkte, also die
unbekannten U(i, j).
2. Aus der Näherungslösung und den gegebenen Randwerten wird eine verbesserte
Näherungslösung für die inneren Gitterpunkte mit Gl. (PT.3) berechnet.
3. Überprüfung, ob die verbesserte Näherungslösung folgendes Konvergenzkriterium
erfüllt:
Die neuen Werte U(i, j) unterscheiden sich von den alten Werten U(i, j) in keinem
Punkt um mehr als einen vorgegebenen Wert ǫ.
Wenn diese Kriterium nicht erfüllt ist, zurück zu Schritt Zwei.
148

EF
EF
Elektronen im elektromagnetischen Feld
EF
Elektronen im elektromagnetischen Feld
-
1. Vorbereitung
y
Folgende Kenntnisse werden am Versuchstag vorausgesetzt:
d
x
• Braunsche Röhre (Erzeugung freier Elektronen, deren Geschwindigkeit in
Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung, Leuchtschirm, Druck in der
Röhre)
-
• Elektrisches Feld
• Feld eines Plattenkondensators (ideal, real)
• Magnetisches Feld, magnetische Induktion, Gesetz von Biot-Savart, Feld einer Spule,
Feld von Helmholtzspulen
• Bahnform von Elektronen im Feld eines Plattenkondensators
• Bahnform von Elektronen im homogenen magnetischen Längs- und Querfeld
• Vergleich Elektronenbahnen - Ionenbahnen
• Fehlerrechnung: gewogenes Mittel, Gaußsche Fehlerfortplanzung
2. Literatur
Staudt: Werkheft Experimentalphysik 2
Gerthsen: 20.Auflage: Kapitel:6.1.2; 7.1.1-7.1.2; 7.2.5; 7.3.1; 8.2.1-8.2.3;
Bergmann-Schäfer: Band 2: Elektrizitätslehre: Kapitel: 2.2; 2.4.1; 3.3; 3.4; 11.1.7; 11.2.3;
Walcher: Praktikum der Physik: Kapitel: 1.2 (Messfehler); 6.1.2;
Berkley: Band 2: Elektrizität und Magnetismus
Abbildung EF.1: Ablenkung im elektrischen Feld
Falls die Ablenkung im homogenen elektrostatischen Feld senkrecht zur Bewegungsrichtung
des Elektrons erfolgt (Abb. EF.1), lässt sich die Bahngleichung des Elektrons mit der
Gleichung für den Plattenkondensator
E = U p
(EF.2)
d
(U p = Kondensatorspannung, d = Plattenabstand), der Gleichung für eine beschleunigte
Bewegung
+
y = 1 2 at2
und der Gleichsetzung der auftretenden Kräfte und Energien
(EF.3)
eE = ma
(EF.4)
1
2 mv2 = eU 0 (EF.5)
(U 0 = Beschleunigungsspannung) zu
y = x2
4d · Up
U 0
(EF.6)
berechnen. Dieser parabelförmige Bahnverlauf soll mit der Versuchsanordnung von
Abb. EF.2 nachgeprüft werden. Der Elektronenstrahl trifft streifend auf einen Leuchtschirm,
auf dem die Koordinaten der Bahnpunkte direkt abgelesen werden können. Der Abstand
zwischen den Kondensatorplatten beträgt d =5,4 cm.
3. Elektrostatische Ablenkung
Ziel dieses Versuchsteils ist die Bestimmung der Bahnform des Elektronenstrahls im elektrischen
Feld. Ein Elektron mit der Elementarladung e erfährt im elektrischen Feld mit der
Feldstärke E ⃗ die Kraft
⃗F = eE
⃗ (EF.1)
149
3.1. Aufgaben und Fragen
1. Lesen Sie die (x,y)-Koordinaten von jeweils 4 Bahnpunkten bei folgenden Spannungen
ab:
a) U 0 = 2 kV; U p = 1 kV und U p = 2 kV
b) U 0 = 3 kV; U p = 3 kV und U p = 5 kV
150

Magnetische Ablenkung
EF
EF
Elektronen im elektromagnetischen Feld
Zur Beachtung: Starke mechanische Belastung der mit der Röhrenwandung verklebten
Kunststoffkappen durch Druck, Zug oder Stoß, sowie Erschütterungen der Röhre bei eingeschalteter
Heizung vermeiden!
d
12V
U p
U 0
0-5kV
- +
0
-
0-5kV
+
Abbildung EF.2: Versuchsaufbau
2. Überprüfen Sie, ob der Quotient y konstant ist (Parabelgestalt). Vergleichen Sie diesen
Quotienten mit dem aus der theoretischen Betrachtung zu erwartenden Wert von
x 2
1 U p
4d U 0
. Erklären Sie eventuell auftretende Abweichungen.
3. Was geschieht mit der Elektronenbahn, wenn U 0 und U p im gleichen Verhältnis
geändert werden ? ( Up
U 0
= const., elektrostatisches Prinzip).
4. Wie würden vergleichsweise Ionenbahnen verlaufen bei gleichem U 0 und U p ?
4. Magnetische Ablenkung
In diesem Teil des Versuchs sollen Sie aus dem Kreisbahnradius r, dem Magnetfeld ⃗ B und
der Beschleunigungsspannung U 0 die spezifische Ladung der Elektronen bestimmen. Auf ein
Elektron mit der Masse m, der Ladung e und der Geschwindigkeit ⃗v wirkt im Magnetfeld
mit der magnetischen Induktion ⃗ B die Lorentzkraft:
⃗F = e⃗v × ⃗ B
(EF.7)
Da die Lorentzkraft stets senkrecht zu ⃗v steht, ändert ⃗v nur seine Richtung, aber nicht seinen
Betrag. Daraus ergibt sich eine konstante Krümmung der Elektronenbahn, also eine
Kreisbahn im Gegensatz zur Parabelbahn bei der elektrostatischen Ablenkung. Den Radius
r der Kreisbahn erhält man durch Gleichsetzen der Lorentzkraft mit der Zentrifugalkraft (für
v⊥B):
evB = mv2
r
Mit Hilfe von (EF.5) lässt sich diese Gl. nach der spezifischen Ladung e m auflösen
(EF.8)
+
0-0.4A
-
4.1. Bestimmung von B:
I
-
U 0
12V0-5kV
+
Abbildung EF.3: Magnetische Ablenkung
Um ein möglichst homogenes Magnetfeld zu erhalten, benutzen wir die Spulenanordnung
nach Helmholtz, vgl. Abb. EF.4. Nach Biot-Savart setzt sich die magnetische Feldstärke ⃗ H
( ⃗ B = µ 0
⃗ H) aus Anteilen d ⃗ H zusammen, die von den einzelnen Längenelementen d⃗s des
Leiters (sog. Stromelemente Id⃗s) herrühren:
dH ⃗ = I d⃗s × ⃗r ·
4π r 3
I ist die elektrische Stromstärke im Leiterelement.
(EF.10)
Durch Integration von Gl. (EF.10) ergibt sich für das Helmholtzspulenpaar die magnetische
Feldstärke auf der Spulenachse zu
R = Spulenradius
n = Windungszahl je Spule
a = halber mittlerer Spulenabstand
nR 2 I
H =
(R 2 + a 2 ) 3 2
(EF.11)
e
m = 2U 0
B 2 r 2
(EF.9)
Für a = R 2 folgt: B = µ 0 H = µ 0 ·
8n
5 √ 5 · I
R
(EF.12)
151
152

Magnetische Linse
EF
EF
Elektronen im elektromagnetischen Feld
4.2. Bestimmung von r:
Der Radius r der Elektronenkreisbahn wird durch Ablesen der Koordinaten der Bahnpunkte
bestimmt. Es gilt die Kreisgleichung (um r verschoben):
x 2 + (y − r) 2 = r 2 ⇒ r = x2 + y 2
2y
(EF.13)
wieder vereinigt werden.
Betrachtet man die Bahn eines Elektrons in einem homogenen magnetischen Längsfeld, so
zeigt sich, dass dieses einfache System bereits abbildende Eigenschaften besitzt.
Alle von dem Punkt P ausgehenden Elektronen gehen nach einer Periode T wieder durch
einen gemeinsamen Schnittpunkt P ′ . Die Abbildung erfolgt im Maßstab 1:1, ist reell und
fehlerfrei (Geschwindigkeitsvektoren beachten). Definitionsgemäß handelt es sich bei einer
solchen Anordnung um eine Linse.
Daten:
Zur Beachtung:
R=6,8 cm, n=320 Windungen je Spule
Der Spulenstrom darf nicht über 1 A erhöht werden.
Der Realfall ist in Abb. EF.6 zu finden. Ebenfalls erfolgt die Abbildung 1:1 und ist reell, sie
besitzt aber sphärische Aberration. Weiter außen auf die Linse treffende Elektronen werden
stärker gebrochen als achsennahe.
4.3. Aufgaben und Fragen
5.2. Theorie
1. Bestimmen Sie die (x, y)-Koordinaten von je zwei Bahnpunkten für die Spannungen
a) U 0 = 2 kV; Spulenstrom I = 0, 2 A und 0, 3 A
b) U 0 = 4 kV; Spulenstrom I = 0, 3 A und 0, 4 A
Wiederholen Sie die Messungen mit umgedrehter Stromrichtung. Für die Spannungsund
Strommessung soll ein relativer Fehler von 2% angenommen werden.
2. Berechnen Sie r aus den (x, y)-Koordinaten nach Gl. (EF.13) und die magnetische
Induktion B nach Gl. (EF.12).
Die Geschwindigkeitskomponente v ⊥ senkrecht zum Magnetfeld bewirkt eine Kreisbewegung
der Elektronen mit der für beliebige Geschwindigkeiten konstanten Umlaufszeit
T = 2πm
eB
(EF.14)
Die Geschwindigkeitskomponente v ‖ führt zu einer Translation in Richtung der z-Achse.
v ‖ ändert sich weder betrags- noch richtungsmäßig, die Elektronen bewegen sich also auf
einer Schraubenbahn. Nach T gehen alle wieder durch einen gemeinsamen Punkt P ′ auf der
optischen Achse. Durch Ausnutzen dieser Beziehung ist
3. Bestimmen Sie e aus den gewonnenen Daten nach Gl. (EF.9).
m
4. Führen Sie exemplarisch für eine Messreihe eine Fehlerrechnung nach der Gaußschen
Methode durch (Hilfe: Umformung von Standardabweichung auf relativen Fehler).
Die Fehler für die restlichen Messreihen erhalten Sie durch Einsetzen. Welche Fehlerquellen
haben Einfluss auf das Messergebnis?
5. Wie würden Ionenbahnen bei gleichem U 0 und bei gleicher Spulenerregung verlaufen?
6. Wie lauten die Maxwellschen Gleichungen in Formeln (dynamische, d.h.
zeitabhängige Form) und was bedeuten die Gleichungen?
5. Magnetische Linse
5.1. Grundlagen
In dieser Versuchsanordnung fliegen Elektronen parallel zum Magnetfeld ein. Dieser einfache
Aufbau stellt im Prinzip schon eine magnetische Elektronenlinse dar. Analog zur Lichtoptik
spricht man in der Elektronenoptik von einer Abbildung, wenn die Elektronen, die von
einem Punkt der Gegenstandsebene ausgehen, in einem zugeordneten Punkt der Bildebene
PP ′ = 2πmv ‖
eB
(EF.15)
und im weiteren durch Umformen eine Gleichung für die spezifische Elektronenladung e m
zu erhalten:
e
m = 8π2 U 0
(EF.16)
B 2 PP ′2
Das Magnetfeld wird durch den Strom I S bestimmt, der durch die Spule fließt. Für die
Magnetfeldstärke gilt:
Daten:
B = µ 0nI S
L
Windungszahl der Spule: n=16400, Länge der Spule: L=16 cm
Somit kann (EF.16) in die Form
gebracht werden.
e
m = C · U0
I 2 S
(EF.17)
(EF.18)
153
154

Magnetische Linse
EF
EF
Elektronen im elektromagnetischen Feld
5.3. Versuchsdurchführung
e
Ziel des Versuchs ist es, bis auf 0.5% genau zu bestimmen. Hierzu ist neben einer ausreichend
hohen Zahl an Einzelmessungen eine geeignete Fehlerrechnung notwendig. Das hier
m
verwendete Gewogene Mittel finden Sie in Walcher, Praktikum der Physik, unter dem Punkt
1.2.9. Die Kenntnis der Gaußschen Fehlerfortpflanzung wird vorausgesetzt und während des
Experiments überprüft.
Im Versuchsaufbau ist eine ausreichend lange Spule (L=16 cm) so über eine Braunsche
Röhre geschoben, dass der von der Anode ausgehende monoenergetische Elektronenstrahl
parallel zum homogenen Magnetfeld verläuft. Die Distanz von P bis zur Mattscheibe beträgt
9 cm.
Durch eine zwischen den Ablenkplatten x a und x b anliegende Wechselspannung erfahren
die Elektronen eine sich mit 50 Hz ändernde Geschwindigkeitskomponente v ⊥ senkrecht
zum Magnetfeld. (Das vertikale Plattenpaar y a −y b ist geerdet.) Die Werte des Spulenstroms
I und der Beschleunigungsspannung U (indirekt, siehe Schaltplan) werden gemessen.
2. Wie groß ist PP ′ bei 45 ◦ und 90 ◦ Drehung (Ohne diese Kenntnis ist die Konstante in
(EF.18) nicht berechenbar.)
3. Auswertung von Aufgabe 1.
Mitteln Sie die Stromwerte von I links und I rechts arithmetisch. Über die damit vorliegenden
20 (U, I)-Wertepaare können Sie 20 e -Werte berechnen. Der relative Fehler
m
bei der Messung von I S sei 2%, bei der Messung von U 0 3%. Somit kann aus (EF.18)
mit Hilfe der Fehlerfortpflanzung der gesamte relative Fehler bestimmt werden. Daraus
können Sie die Standardabweichung der Messung ermitteln. Ein möglichst genaues
Endergebnis bekommt man mit dem Gewogenen Mittel. Eine Anleitung hierzu
finden Sie in Walcher, Praktikum der Physik, Gl. 1.32.
4. Ist die Höhe der Ablenkspannung an x a − x b von Bedeutung?
5.4. Systematische Messfehler
In dem Versuchsaufbau sind verschiedene systematische Messfehler zu finden, die teilweise
minimiert werden können. Dies ist notwendig, um die angesprochene Genauigkeit zu erreichen.
Beschreibung der Justierung: Zunächst wird ohne Spannung an den Kondensatorplatten
x a − x b das Magnetfeld B verändert. Die geringfügig verschiebbare Spule wird so positioniert,
dass der Leuchtpunkt einen möglichst kleinen Drehkreis beschreibt. Weiterhin ist der
Ursprung des verschiebbaren Achsenkreuzes mit dem Punkt zur Deckung zu bringen. Abschließend
wird ohne Magnetfeld die Spannung an den Kondensatorplatten erhöht, und die
x-Achse auf den Strich ausgerichtet. Da alle 3 Parameter voneinander abhängen, ist diese
Justierung ausreichend oft zu wiederholen. Mit dem Helligkeitsregler können Sie das Bild in
Grenzen ändern.
Achtung: Die Heizspannung darf von Ihnen nicht verstellt werden !
5.5. Aufgaben und Fragen
1. Um e über (EF.18) zu erhalten, bestimmen Sie für die 10 Anodenspannungen
m
U 0 = 800 V, 900 V, · · · , 1700 V
(exakte Spannungswerte aufschreiben) den Spulenstrom I S , bei dem der Strich um 45 ◦
sowie 90 ◦ auf dem Leuchtschirm gedreht wird. Polen Sie bei jeder Messung das Feld
um, und wiederholen Sie die Messung, um magnetische Querfelder auszumitteln. Die
Justierung ist für jede Spannung durchzuführen.
155
156

Magnetische Linse
EF
EF
Elektronen im elektromagnetischen Feld
r
R
Röhre
Umschalter
a
Spulenstrom
I S
Helmholtzspule
6.3V
+/-50V
Wechselspannung
-/+50V
0-1.8kV
Abbildung EF.4: Helmholtzspulen
U 0
I 0
R i=40M
Abbildung EF.7: Schaltplan der Anordnung
Bahnen von Elektronen im (genügend
langen) homogenen Magnetfeld, die mit
gleicher v ‖ -Komponente ihrer Geschwindigkeit
unter verschiedener Neigung gegen
die Richtung von B von einem Objektpunkt
ausgehen. Die Abbildung erfolgt
1:1, ist reell und fehlerfrei.
Abbildung EF.5: Idealfall
B
x a
L=9cm
Bahnen von Elektronen im (genügend
langen) homogenen Magnetfeld, die mit
gleichem Betrag der Geschwindigkeit unter
verschiedener Neigung gegen die
Richtung von B von einem Objektpunkt
ausgehen. Die Abbildung erfolgt 1:1, ist
reell, besitzt aber sphärische Abberation.
x b
P
v
Anode
Leuchtschirm
Abbildung EF.8: Prinzipieller Aufbau
v ll
Abbildung EF.6: Realfall
157
158

TE
TE
Thermische Emission
TE
Thermische Emission
3. Motivation
1. Vorbereitung
Folgende Kenntnisse werden am Versuchstag vorausgesetzt:
• Wie sieht die Kennlinie einer Glühdiode aus, und in welche Bereiche unterteilt man
sie?
• Wie lautet in den verschiedenen Bereichen die Beziehung für den Emissionsstrom?
Machen Sie sich klar, welche physikalischen Größen jeweils den Strom begrenzen.
• In welchem Bereich wird in diesem Versuch gemessen?
• Welche Messwerte müssen korrigiert werden, und wie sieht diese Korrektur aus?
Könnte man diesen Messfehler vermeiden und wenn ja, wie?
• Was versteht man unter der Fermikante, und wie ist die Austrittsarbeit definiert?
• Was ist eine Kontaktspannung?
• Was bezeichnet man als Schottky-Effekt?
• Wie lautet das Stefan-Boltzmann Gesetz?
• Was versteht man unter einem schwarzen und unter einem grauen Strahler?
2. Literatur
Zu diesem Versuch liegt in der Fachbereichsbibliothek eine Praktikumsmappe aus. Zu allen
Punkten, die unter Vorbereitung genannt sind, finden Sie in dieser Mappe oder der
Versuchsanleitung geeignetes Arbeitsmaterial für eine gründliche Vorbereitung. Sie können
aber selbstverständlich auch andere Bücher benutzen. In der Praktikumsmappe finden Sie
zusätzliche Informationen zu Oxidkathoden, die u. a. auch in Fernsehern Verwendung finden.
Wenn Sie Aufgabe 4 richtig gelöst haben, wissen Sie, warum das so ist. Dort ist auch
eine Gleichung zur Berechnung des Sättigungsstromes angegeben. Benützen Sie aber zur
Lösung der Aufgabe 4 bitte das Richardson-Dushman-Gesetz aus dieser Anleitung.
In der Praktikumsmappe finden Sie auch Informationen zum grauen Körper und zum Stefan-
Boltzmann-Gesetz.
Der Artikel über Oxidkathoden dient lediglich zu Ihrer Information und wird am Praktikumsnachmittag
nicht abgefragt und auch nicht vorausgesetzt.
159
Strahlen freier Elektronen finden sowohl in der Technik (Elektronenröhren, Elektronenstrahlschweißen,
Röntgengeräte,..) als auch in der Wissenschaft (Beugungsexperimente zur Strukturanalyse,
Elektronenoptik,..) Anwendung.
Möglichkeiten zur Erzeugung freier Elektronen sind z.B. Thermische Emission und Feldemission.
4. Theoretische Grundlagen
Die Gesetzmäßigkeiten der Thermischen Emission bestimmen die Wirkungsweise der
Glühdiode. Im Anlaufstrombereich der Glühdiode hat ein Teil der Elektronen, die aus der
heißen Kathode austreten, eine genügend hohe Energie, um außer dem Austrittspotential
auch noch eine schwache Gegenspannung U AK = ϕ A − ϕ K = −U G (ϕ A , ϕ K : Anoden- und
Kathodenpotential; U G > 0) überwinden zu können. Für diesen Anlaufstrom gilt:
I A (U G , T) = I S (T) · e − eU G
k B T
(TE.1)
Dabei ist I S (T) = I A (0, T) der temperaturabhängige Sättigungsstrom, e die Elementarladung
und k B die Boltzmann-Konstante.
Von Sommerfeld und Nordheim wurde die Abhängigkeit des Sättigungsstromes von der Kathodentemperatur
T und der Kathodenaustrittsarbeit W K berechnet. Ohne äußeres Feld ergibt
sich
I S (T) = A 0 FT 2 · e − W K
k B T
(TE.2)
Dabei ist A 0 eine Konstante und F die Oberfläche der Kathode.
Die Bedingung für die Gültigkeit von Gl. (TE.2) - eine homogene Oberfläche mit temperaturunabhängiger
Austrittsarbeit - ist bei der im Versuch verwendeten Röhre mit dem Radienverhältnis
R ≈ 1, 5 (R = Anodenradius, r = Kathodenradius) näherungsweise erfüllt.
r
Für Kathoden, die diese Bedingung nicht erfüllen, verwendet man i. A. die formal ähnliche
Richardson-Gleichung
I S (T) = A R FT 2 · e − W K
k B T
(TE.3)
Trägt man den natürlichen Logarithmus von I A gegen U G auf, so lässt sich aus der Steigung
der sich ergebenden Geraden die Kathodentemperatur T bestimmen.
Die angelegte Gegenspannung muss aber wegen der folgenden Effekte noch korrigiert werden:
1. Die Raumladung zwischen Kathode und Anode bildet in Kathodennähe einen kleinen
Potentialwall.
2. Die unterschiedlichen Austrittsarbeiten von Kathode und Anode erzeugen eine Kontaktspannung
zwischen Kathode und Anode.
160

Messung
TE
TE
Thermische Emission
Für kleine Stromdichten ist die Raumladung gering und kann darum vernachlässigt werden.
Die effektiv zu überwindende Gegenspannung ist unter Berücksichtigung des Kontaktpotentials
U eff
AK = −U G + 1 e (W K − W A )
Dabei sind W K und W A die Austrittsarbeiten von Kathode und Anode.
Für den Anlaufstrom I A ergibt sich damit
I A (U G , T) = A 0 FT 2 · e − W A +eU G
k B T
(TE.4)
(TE.5)
Ist der Einfluss der Kathodentemperatur T auf die Anodenaustrittsarbeit W A gering, so lässt
sich T aus Gl. (TE.5) bestimmen.
Die Anodenaustrittsarbeit W A ergibt sich dann zu
( )
A0 FT 2
W A = k B T · ln
I A (0, T)
(TE.6)
Die Berechnung der Kathodenaustrittsarbeit W K aus den Sättigungsstromkurven wird nicht
durchgeführt, weil dies nur zu qualitativen Ergebnissen führen würde.
Notieren Sie bei jeder Messreihe den eingestellten Heizstrom I H . Erhöhen Sie dann die Gegenspannung
U G ausgehend von 0 V in ca. 20 gleichmäßigen Schritten, bis Sie einen Anlaufstrom
I A ≤ 2 nA messen. Notieren Sie bei jeder Anlaufstrommessung zusätzlich den
jeweiligen Messbereich bzw. den Innenwiderstand des Digitalmultimeters. Das Multimeter
für die Anlaufstrommessung ist immer im kleinsten noch möglichen Messbereich zu betreiben.
Warten Sie nach dem Einstellen eines neuen Heizstromes mit dem Beginn der Messung so
lange, bis sich in der Röhre ein thermisches Gleichgewicht eingestellt hat. Das Gleichgewicht
liegt vor, wenn der Strom I A stabil ist.
Der Innenwiderstand des Strommessgerätes in Abhängigkeit vom Messbereich ist:
Messbereich Innenwiderstand
1A 0,1Ω
100mA 0,1Ω
10mA
1Ω
1mA
10Ω
100µA 100Ω
10µA 1kΩ
1µA 10kΩ
100nA 100kΩ
5. Messung
Tabelle TE.1: Innenwiderstände des Strommessgerätes in Abhängigkeit vom Messbereich
Überprüfen Sie den Versuchsaufbau anhand der Schaltskizze Abb. TE.1.
Anode
R iJ
Kathode
I A
U G
R iV
R iJ : aus Tabelle
R iV = 10M
Überlegen Sie sich, wie dieser Innenwiderstand bei der Auswertung der Messung zu
berücksichtigen ist! (Sie werden am Praktikumsnachmittag mit dem Assistenten darüber diskutieren.)
6. Aufgaben und Fragen
Kathodenheizung
I H
+ -
10K
Abbildung TE.1: Schaltplan der Messanordnung
Schalten Sie die Geräte erst nach Überprüfung durch den Assistenten ein!
Nehmen Sie anschließend bei mehreren verschiedenen Heizströmen I H die Messreihe
I A = I A (U G ) auf. Die Heizströme werden Ihnen am Praktikumsnachmittag vom Assistenten
mitgeteilt.
1. Durch Logarithmieren von Gl. (TE.5) ergibt sich ein linearer Zusammenhang zwischen
dem natürlichen Logarithmus von I A und der Gegenspannung U G :
ln I A = − e
k B T · U G + ln ( A 0 FT 2) − W A
k B T = m · U G + b
(TE.7)
Aus der Steigung m der Geraden lässt sich die Kathodentemperatur T bestimmen.
Erstellen Sie die Diagramme ln I A = f (U G ) am Computer oder notfalls manuell auf
Millimeterpapier.
Sie sehen anhand der Diagramme, dass bei kleinen Gegenspannungen die Raumladung
noch wirksam ist. Eine sehr hohe Gegenspannung wirkt dagegen als beschleunigende
Spannung für die Elektronen, die aus der verhältnismäßig heißen Anodenoberfläche
austreten. Dies führt bei sehr kleinen Anlaufströmen ebenfalls zu Abweichungen vom
linearen Verlauf der Kurve. Aus dem Kurvenverlauf ist aber zu ersehen, welcher Kurvenbereich
zur Berechnung der Kathodentemperatur herangezogen werden muss.
161
162

Aufgaben und Fragen
TE
FE
Feldelektronenemission
Führen Sie in diesem Bereich mit Hilfe eines geeigneten Programms eine lineare
Anpassung (lineare Regression) durch. Sie können dann aus der Steigung der angenäherten
Geraden die jeweilige Kathodentemperatur berechnen.
2. Berechnen Sie mit Gl. (TE.6) und den entsprechenden Temperaturwerten aus Aufgabe
1 die Anodenaustrittsarbeit W A (k B = 8, 6174 · 10 −5 eV; A A
K 0 = 0, 1 ; F =
cm 2 K 2
1, 26 cm 2 ).
Überlegen Sie sich bitte genau, welchen Wert Sie für I A (0, T) einsetzen.
Zeichnen Sie das Diagramm W A = f (T) (W A in eV; T in K).
Man sieht, dass die Kathodentemperatur einen geringen Einfluss auf die Anodenaustrittsarbeit
W A hat.
3. Erläutern Sie den Schottky-Effekt.
Leiten Sie einen Ausdruck für die Erniedrigung der Austrittsarbeit her.
Wie wirkt sich der Schottky-Effekt auf die Kennlinie einer Glühdiode aus? Geben Sie
die Formel für den neuen Sättigungsstrom an.
4. Von einer Glühkathode wird die Stromdichte j S = 0.5 A
cm 2 verlangt. Wie groß ist der
Emissionswirkungsgrad η
FE
Feldelektronenemission
1. Vorbereitung
Am Praktikumstag werden Kenntnisse vorausgesetzt über
• Tunneleffekt
• Heisenbergsche Unschärferelation
• Potentialtopf
• Austrittsarbeit
• Fermienergie
• Pauli-Prinzip
• Literaturwert für die Austrittsarbeit von Barium
η = Emissionsstrom
Heizleistung
= I S
P H
• Feldelektronenmikroskop
für
2. Literatur
(a) eine Kathode aus Wolfram (A R = 60
(b) eine Oxidkathode (A R = 0.046
A
;
cm 2 K 2
A
;
cm 2 K 2
W K = 4.53 eV)
W K = 1.2 eV)
Die nach dem Stefan-Boltzmann Gesetz abgestrahlte Leistung kann gleich der Heizleistung
gesetzt werden. Für einen schwarzen Körper ist die Konstante des Stefan-
Boltzmann Gesetzes σ = 5.6705 · 10 −12 W . Sowohl die Wolfram- als auch die
cm 2 K 4
Oxidkathode sind aber graue Körper mit einem spektralen Emissionsgrad ǫ von 0.29
bzw. 0.19 (k B = 8.6174 · 10 −5 eV ). K
Lösen Sie die bei der Berechnung der Kathodentemperatur T auftretende transzendente
Gleichung nicht graphisch, sondern iterativ oder numerisch. Dieser Weg ist bedeutend
schneller.
Gerthsen 20.Auflage: Kapitel: 8.1.3; 16.2.2; 16.3.2;
Marmier Kernphysik 1: S.97-102
Demtröder Experimentalphysik 3: Kapitel: 3.3.3; 4.2.3; 13.1;
Stöcker Taschenbuch der Physik: Literaturwert für die Austrittsarbeit von Barium
3. Motivation
Die Feldemission ist ein Anwendungsbeispiel für den quantenmechanischen Tunneleffekt.
Mit der Feldemission ist die Erzeugung freier Elektronen mit einer sehr geringen Energiebreite
möglich, die in der Feldelektronenmikroskopie und für die Rastertunnelmikroskopie
eingesetzt werden.
4. Grundlagen
Die Leitungselektronen sind im Inneren eines Metalls nahezu frei beweglich. Der Austritt in
den Außenraum wird durch einen Potentialanstieg an der Grenzfläche des Metalls verhindert.
Man spricht von einem freien Elektronengas, das in einem Potentialkasten eingeschlossen ist
(siehe Abb. FE.1).
163
164

Grundlagen
FE
FE
Feldelektronenemission
Energie
E F
Metall
Vakuum
Abbildung FE.1: Elektronen im Potentialkastenmodell
In diesem Potentialkastenmodell sind bei der Temperatur T = 0 K alle Zustände bis zur
Fermi-Energie E F mit jeweils zwei Elektronen besetzt (Pauli-Prinzip). Die Energiedifferenz
zwischen der Fermienergie E F und dem Vakuumniveau wird als Austrittsarbeit Φ bezeichnet.
Bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunktes besetzen die freien Elektronen durch
thermische Anregung auch Energieniveaus oberhalb der Fermienergie. Sie gelangen bei sehr
starker Erhitzung sogar in das Energiekontinuum oberhalb des Vakuumniveaus und können
somit den Festkörper verlassen. Man spricht von Glühemission oder thermischer Emission
(vgl. Versuch: Thermische Emission).
Lässt man an der Grenzfläche des Metalls ein starkes elektrisches Feld angreifen, so wird die
Potentialschwelle (Abb. FE.1) zu einem Potentialwall (Abb. FE.2) verbogen.
5. Theorie des Tunneleffekts
Bekanntermaßen kann man jedem Teilchen auch Welleneigenschaften zuordnen. Die korrespondierende
Wellenlänge zu einer Masse m kann man über E = hν = mc 2 erhalten (De
Brogli-Wellenlänge).
Betrachtet man das Leitungselektron eines Metalls als Welle, welche auf einen Potentialwall
der Breite d trifft, so wird ein Teil der Welle reflektiert. Ein anderer dringt in den Wall ein
und wird in seiner Amplitude abgeschwächt. (Eine Änderung der Wellenlänge und der Ausbreitungsgeschwindigkeit
kann auch erfolgen, ist aber für die prinzipielle Erklärung nicht
wichtig.) Die Amplitudenabnahme erfolgt wie bei Absorption üblich exponentiell. Die De
Broglie-Wellenlänge der Metallelektronen, die zur Feldemission beitragen (nahe der Fermiegrenze
E F ) liegt in der Größenordnung einiger 1 nm. Wenn die Wallbreite d = ∆x in
10
derselben Größenordnung liegt, gibt es eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Elektronen
den Potentialwall durchtunneln können.
5.1. Abschätzung der notwendigen Feldstärke und des Krümmungsradius:
d kann bereits rein geometrisch abgeschätzt werden. Nach Abb. FE.2 fällt das Potential im
Außenraum mit −eǫx ab, damit ist ∆x über
∆x = Φ eǫ
zu berechnen. Einsetzen der Wellenlänge λ el :
(FE.1)
Energie
Metall
Vakuum
x
λ el = 0, 5 nm = Φ eǫ
4.5 eV
⇒ ǫ =
0, 5 nm · e = V 1010 m
(FE.2)
(FE.3)
E F
x
-e x
Es sind also enorme Feldstärken notwendig, um Elektronen über den Tunneleffekt aus einem
Leiter zu emittieren. Sie sind praktisch nur mit sehr feinen Metallspitzen zu erreichen.
Bei einem kugelsymmetrischen Feld gilt an einer Spitze mit Radius r:
ǫ = U r
(FE.4)
Abbildung FE.2: Potentialkasten mit anliegendem äußeren Feld ǫ
Bei hohen Feldstärken wird die Wallbreite ∆x auf der Höhe des Fermi-Energie so gering,
dass ein Teil der Elektronen aufgrund des quantenmechanischen Tunneleffekts hindurchtreten
kann. Die Elektronen werden nicht über die Potentialschwelle gehoben, wie bei der
thermischen Emission, sondern sie tunneln durch den Potentialwall hindurch, ihre Energie
wird dabei nicht verändert.
165
also bei z.B.U =2000 V ist r ∼ = 200 nm. Da das in der Anordnung verwendete Feldelektronenmikroskop
im Verhältnis R (R=Radius der Mattscheibe) abbildet, ergibt sich ein Vergrößerungsmaßstab
von
r
0, 1 m
2 · 10 −7 m = 5 · 105 (FE.5)
Damit kommt man in die Größenordnung, die notwendig ist, um (ansatzweise) einzelne Atome
abzubilden.
166

Bestimmung der Austrittsarbeit von Barium
FE
FE
Feldelektronenemission
6. Bestimmung der Austrittsarbeit von Barium
Eines der Ziele des Versuchs ist es, die Austrittsarbeit von Barium zu bestimmen. Hierbei
ist die Fowler-Nordheim-Gleichung hilfreich. Sie stellt den Zusammenhang zwischen der
Stromdichte j auf der emittierenden Spitze und der angelegten Feldstärke E her. Da j ∝ I
(Gesamtemissionsstrom) und E ∝ U, lässt sich diese Gleichung umschreiben in
3
I = P · U2
· e −Q Φ 2Ba
U
Φ Ba
(FE.6)
(P, Q: Konstanten).
Die gesuchte Größe Φ Ba kommt als Argument der Exponentialfunktion sowie als Vorfaktor
vor. Um eine Auswertung vornehmen zu können, trägt man ln ( I
U 2 · const. ) gegen 1 U
auf, und man erhält Geraden mit der Steigung −QΦ 3 2
Ba
, die sogenannten Fowler-Nordheim-
Geraden (Abb. FE.3). Nimmt man eine Fowler-Nordheim-Gerade für eine reine Wolframspitze
(Φ W = 4, 45 eV), und eine weitere für die Bariumspitze auf, so lässt sich aus den
Steigungen der beiden Geraden die Austrittsarbeit von Barium bestimmen.
ln (I U 2 *const)
m /m =
3/2
Ba W Ba /
3/2
W
Ba-Quelle
I
Feldemmissionsspitze
U
Digitales
Micro-Amperemeter
600 M
12V
Hochspannungsnetzgerät
regelbar
Abbildung FE.4: Schaltplan der Versuchsanordnung
die Feldemission beobachtet werden. Das Vakuum des Glaskolbens ist zu ermitteln und der
Wert der Bariumaustrittsarbeit ist zu bestimmen.
1. Vergleichen Sie den Aufbau mit der Schaltskizze Abb. FE.4. Die Inbetriebnahme ist
erst nach der Überprüfung durch den Assistenten erlaubt. Messgerät auf den richtigen
Messbereich stellen.
I H
m W W
3/2
Abbildung FE.3: Fowler-Nordheim-Geraden mit Steigungen m
Wir benutzen die Anordnung des Feldelektronenmikroskops. Eine feine Wolframspitze befindet
sich in einem Glaskolben mit sehr gutem Vakuum (Größenordnung 10 −7 Pa). Zur
Desorption von Restgasen kann die Feldemissionsspitze ausgeheizt werden. Da die Spitze
bei zu hohen Stromstärken zerstört wird und natürlich auch um den Emissionstrom als
Messwert zu erfassen, wird der auf den Leuchtschirm treffende Strom mit einem digitalen
µ-Amperemeter gemessen. Der für die vorliegende Anordnung nach Herstellerangaben maximal
zulässige Emissionsstrom ist 1, 8 µA. Wir bitten um Beachtung. Auf den Zweck des
Bariumvorrats wird weiter unten eingegangen.
6.1. Versuchsdurchführung
Ein Ziel des Versuchs ist es, ein Gefühl für den Tunneleffekt, hier die exponentiell starke
Zunahme des Emissionstromes ab der Schwellenspannung, zu bekommen. Weiterhin soll
m Ba
3/2
Ba
1/U
2. Beobachtung des Emissionsmusters der Feldemissionskathode. Erhöhen Sie langsam
die Saugspannung unter Beobachtung entweder des Emissionsstroms oder auch der
Helligkeit auf dem Bildschirm. Die Höhe der Saugspannung ist hier nicht von Bedeutung.
Im Praktikum wird auf das Zustandekommen des Musters näher eingegangen.
3. Ausheizen der Kathode:
Was ist beim Ausheizen unbedingt zu beachten? (Falls Ihnen dazu nichts einfällt, nicht
weitermachen, und den Assistenten fragen). Heizen Sie die Feldemissionsspitze mit einem
Heizstrom von höchtens 1, 8 A für maximal 30 s aus.
Danach kurz warten, nach dem Herunterregeln des Stroms ist sehr schnell wieder
Raumtemperatur an der Spitze erreicht. Verfahren Sie jetzt erneut wie unter 2. Welchen
Unterschied sehen Sie zu 2., was sind die Folgen des Ausheizens?
4. Bestimmung des Vakuums der Röhre:
Heizen Sie erneut aus und regeln Sie den Feldemissionsstrom auf 1, 5−1, 7 µA ein. Bei
konstant gehaltener Hochspannug ist alle 15 s der Strom festzuhalten, bis dieser Wert
konstant wird. Zur Auswertung tragen Sie die Ergebnisse gegen die Zeit t auf. Ermitteln
Sie den Zeitpunkt, ab dem an die Kurve eine horizontale Tangente anzulegen ist,
ggf. Kurve extrapolieren. Die so erhaltene Zeitspanne ∆t wird als Wiederbedeckungszeit
bezeichnet. Das Vakuum in der Röhre ist durch die Beziehung
p ∼ = 10−4 Pa · s
∆t
zu berechnen. (Eine Fehlerrechnung ist nicht notwendig.)
167
168

Bestimmung der Austrittsarbeit von Barium
FE
FE
Feldelektronenemission
5. Bestimmung der Bariumaustrittsarbeit:
In diesem Abschnitt sind Wertepaare (U, I) zu bestimmen, und über die Gl. (FE.6) die
entsprechende Austrittsarbeit zu berechnen. Wie im betreffenden Abschnitt ausgeführt
sind nicht nur (U, I) Barium
-Werte, sondern auch (U, I) Wolfram
-Werte notwendig. Diese
werden zuerst erfasst.
Zuerst wird die Spitze neu ausgeheizt. Regeln Sie den Feldemissionsstrom auf
1, 5..1, 8 µA ein. Der Wert der Saugspannung kann auf 50 V aufgerundet werden. Senken
Sie jetzt die Spannung in 10 Schritten à 50 V und halten Sie die korrespondierenden
Stromwerte fest.
Nachdem Sie erneut ausgeheizt haben, ist die Messreihe ein zweites und danach ein
drittes Mal zu wiederholen. Um die (U, I) Barium
-Wertepaare aufzunehmen, ist zuerst
vom Assistenten die Spitze zu bedampfen.
Experimentell konnte gezeigt werden, dass eine monoatomare Schicht Barium auf
Wolfram etwa die gleiche Austrittsarbeit besitzt wie elementares Barium. Da technisch
der Aufbau einer Bariumspitze mit den oben abgeschätzten Abmessungen aufwendig
ist, wurde in die Anordnung eine Bariumquelle eingebaut, welche die Generation einer
solchen Monolage ermöglicht und für etwa 50 Aufdampfungen ausreicht.
Durch die Schicht wird die Austrittsarbeit soweit herabgesetzt, dass der maximal
zulässige Stromwert bereits bei 1800 V..2500 V zu erreichen ist. Gehen Sie nun erneut
wie bei den (U, I) Wolfram
-Werten vor.
Das Entfernen des Bariums kann abschließend durch vorsichtiges Erhitzen unter Aufsicht
des Assistenten erfolgen. Auf jeden Fall ist ganz am Schluss ein letztes Mal
auszuheizen.
5. Wie sieht Ihrer Meinung nach die schärfste Spitze aus, die technisch machbar ist?
6. Wie lässt sich die Abschätzung d ∼ = λ für einen merklichen Tunnelstrom erklären?
6.2. Aufgaben und Fragen
1. Die vorne gegebene Erklärung für den Tunneleffekt ist nur eine von mehreren. Suchen
Sie nach einer anderen und geben Sie sie mit Ihren eigenen Worten wieder.
2. Berechnen Sie das Vakuum wie oben unter 6.1.4 ausgeführt. Warum ist hier ein gutes
Vakuum (geringer Druck) wichtig?
3. Zur Bariumaustrittsarbeit:
Mit Hilfe der unter 6.1.5 gewonnenen Wertepaare des Emissionsstromes I und der
Hochspannung U stellen Sie Tabellen auf für die Quotienten I und 1 . Auf halblogarithmischem
Papier werden dann die 3 + 3 Fowler-Nordheim-Geraden gezeichnet
U 2 U
und die Steigungen der Geraden ermittelt, einmal für die reine Wolframspitze und dann
für die mit Barium bedampfte Spitze (Ahrrenius-Auftragung). Sie können alternativ lineares
Papier verwenden, wenn Sie ln I gegen 1 auftragen. Mitteln Sie arithmetisch
U 2 U
über jeweils 3 Steigungswerte. Über das Verhältnis der Steigungen erhalten Sie die
Austrittsarbeit für Barium.
Führen sie abschließend eine Fehlerrechnung durch, indem Sie aus den Schwankungsbreiten
der Steigungswerte auf ∆Φ Ba schließen.
4. Erklären Sie das (hier grüne) Aufleuchten der inneren Beschichung der Mattscheibe
bei Elektronenbeschuss.
169
170

HG
HG
Holographie
HG
Holographie
Negativ
Positiv
1. Vorbereitung
Folgende Kenntnisse werden am Versuchstag vorausgesetzt
• Laser
• Mathematische Darstellung einer Welle, Amplitude und Phase
• Interferenz
• Kohärenz von Licht
• Fresnelsche Zonenplatte
• Beugung
2. Literatur
E. Hecht Optik: Kapitel: 2; 9.1; 9.2; 10; 14.3;
Bergmann-Schäfer Band III: Kapitel: 3.1; 3.8, 3.14; 7.9;
H. Kiemle und D. Röss Einführung in die Technik der Holographie
Spektrum der Wissenschaft Holographie, Lehrbuchsammlung L 6002, Seite 13-16
3. Grundlagen
Die Holographie ist ein zweistufiges Verfahren, mit dem es gelingt, dreidimensionale Wellenfelder
auf zweidimensionalen Speichermedien aufzunehmen und später wieder originalgetreu
zu rekonstruieren. Prinzipiell entstehen Wellenfelder durch Überlagerung vieler verschiedener
Wellen, die sich im Raum ausbreiten. Jedes Wellenfeld kann stets als eine Superposition
von Kugelwellen dargestellt werden. Eine ebene Welle kann als Kugelwelle mit
sehr weit entfernter Quelle betrachtet werden.
Holographie lässt sich mit verschiedenen Wellentypen betreiben, z.B. Schallwellen, Teilchenstrahlen
(welche nach De Broglie auch Welleneigenschaften besitzen) oder auch mit
elektromagnetischen Wellen. Als ein Teilbereich der elektromagnetischen Wellen haben insbesondere
die Lichtwellen große Bedeutung. Von der Existenz und über die Gestalt eines
Gegenstands erfährt der Mensch (wenn er nicht gerade körperlichen Kontakt hat) nur etwas,
weil von dem Gegenstand ein Lichtwellenfeld ausgeht, das er mit den Augen registrieren
kann.
Oft ist es wünschenswert, einen solchen Sinneseindruck zu konservieren. Dies ist dadurch
möglich, dass man Informationen über das Wellenfeld speichert und es später rekonstruiert.
Dann wird nicht mehr der Gegenstand, sondern nur noch sein Bild betrachtet.
171
P 1
P 2
P 3
Lochblende
Aufnahme
P 1
P 3
P 2
ursprüngliches Wellenfeld
P`3
P`2
P`
1
Beleuchtung
Reproduktion
P`3
P`2
P`1
reproduziertes Wellenfeld
Abbildung HG.1: Photographie
Durch die Fotografie kann ein Wellenfeld wenigstens teilweise gespeichert werden. Sie liefert
von einem dreidimensionalen Objekt ein zweidimensionales (ebenes) Bild. Dieses stellt
eine Zentralprojektion des räumlichen Gegenstandes auf die Photoplatte dar. Bei der Wiedergabe
wird die Platte (Dia) wieder beleuchtet. Dabei entsteht ein rekonstruiertes Wellenfeld,
das von dem gespeicherten ebenen Bild ausgeht. Dieses Wellenfeld stimmt mit dem
ursprünglichen nicht mehr überein. Für einen menschlichen Betrachter hat ein so erhaltenes
Bild trotzdem sehr viel Ähnlichkeit mit dem Gegenstand. Der Grund hierfür liegt darin, dass
im Auge auch immer nur eine zweidimensionale Projektion auf die Netzhaut erfasst werden
kann.
Abb. HG.1 zeigt die Entstehung eines zweidimensionalen Bildes bei der Photographie. Der
Verlust an Information über die dritte Dimension, nämlich der Verlust der Phase, geschieht
schon bei der Aufnahme!
Die Holographie dagegen leistet in einem ebenfalls zweistufigen Verfahren die vollständige
(originalgetreue) Rekonstruktion eines Wellenfeldes. Der Mensch kann nicht erkennen, ob er
ein durch die Holographie entstandenes Bild oder den tatsächlichen Gegenstand beobachtet.
Nur die Polarisation der Lichtwellen geht verloren, dies kann aber vom Auge nicht registriert
werden.
4. Das Prinzip der Holographie
Trifft eine monochromatische Kugelwelle, die von einem punktförmigen Gegenstand G
ausgeht, auf eine ebene Fläche F (siehe Abb. HG.2), dann bilden die Kurven gleicher Phase
für einen festen Zeitpunkt konzentrische Kreise auf dieser Fläche. Der Mittelpunkt ist durch
das Lot von G auf F gegeben. Die Lage dieser Kreisringe und die Abnahme ihres Abstandes
nach außen hängt von der Lage des Punktes G relativ zur Fläche ab.
Aus einem solchen Ringsystem, oder auch nur einem Ausschnitt daraus, lässt sich eindeutig
der Quellenort relativ zu dieser Fläche bestimmen. Man könnte also eine Kugelwelle
dadurch speichern, dass man die momentanen Schnittkurven ihrer Phasenflächen (Flächen
gleicher Phase) mit einer Beobachtungsfläche aufzeichnet. Dies ist aber technisch nicht
172

Das Prinzip der Holographie
HG
HG
Holographie
möglich, denn alle Aufnahmemedien, die für eine Speicherung von Strahlungsfeldern in
Frage kommen (wie z.B. Photoplatten), reagieren nur auf die während einer endlichen
Belichtungszeit eingefallene Lichtenergie pro Flächeneinheit. Diese Lichtenergie ist proportional
zu der mittleren im Beobachtungszeitraum auf das Flächenelement eingefallenen
Intensität.
Lässt man die oben beschriebene Kugelwelle auf eine Photoplatte fallen, so erzeugt sie
(von der 1 - Abnahme der Amplitude bei einer Kugelwelle abgesehen) eine konstante
r
Schwärzung, da sich wegen der Ausbreitung der Welle während des Belichtungszeitraumes
überall die gleiche Intensität ergibt.
G
F
ter. Wird der Kugelwelle auf der Registrierfläche eine zweite, zu ihr kohärente Welle
überlagert, dann ergibt sich im Überlagerungsbereich eine zeitunabhängige (stationäre) Intensitätsverteilung
(Abb. HG.3).
Die Intensität in der Beobachtungsebene variiert dabei mit der Phasendifferenz der beiden
Wellen. Die minimale und maximale Intensität sind von den Amplituden der beiden Wellen
abhängig. Solche stationären Intensitätsverteilungen können auf Photoplatten registriert
werden - und damit auch indirekt die Kurven gleicher (bezogen auf die zweite Welle) Phase
der Kugelwelle. Man nennt deshalb die zweite Welle Bezugswelle oder auch Referenzwelle.
Für die folgenden Betrachtungen soll die Referenzwelle immer eine ebene Welle sein, die
senkrecht auf die Registrierfläche fällt. Eine von einem punktförmigen Gegenstand ausgehende
Kugelwelle erzeugt dann ein Interferenzbild, das einer FRESNELschen Zonenplatte
entspricht.
Räumlich ausgedehnte Gegenstände kann man sich in sehr viele, einzelne Gegenstandspunkte
aufgelöst denken, von denen nach dem HUYGENSschen Prinzip elementare Kugelwellen
ausgehen. Jeder Kugelwelle ist auf der Photoplatte eine Fresnelsche Zonenplatte zugeordnet.
Da die Kugelwellen miteinander interferieren, ergibt sich für einen ausgedehnten Gegenstand
ein sehr komplexes Interferenzbild, das Hologramm. Es hat mit dem Gegenstand
keine Ähnlichkeit mehr. (Subjektiv ähnelt es teilweise der Maserung von Holz).
Aus dem beschriebenen Prinzip der Holographie folgt, dass sich nicht alle Wellenfelder holographieren
lassen, sondern nur solche zu denen ein kohärentes Referenzwellenfeld zur
Verfügung steht.
Abbildung HG.2: Enstehung der Kurven gleicher Phase (System aus konzentrische Kreisen)
beim Auftreffen einer von G ausgehenden monochromatischen Kugelwelle auf eine ebene
Beobachtungsfläche F für einen festen Zeitpunkt t
G
F
Abbildung HG.3: Bei der Überlagerung einer Kugelwelle mit einer ebenen, senkrecht einfallenden
Referenzwelle entsethen Kurven maximaler Intensität, die mit Kurven gleicher Phase
übereinstimmen
Hier hilft die Ausnutzung der Erscheinung der Interferenz zweier kohärenter Wellen wei-
173
Abbildung HG.4: Fresnelsche Zonenplatte
Erst mit Erfindung des Lasers hat die Holographie an praktischer Bedeutung gewonnen, denn
nur diese Lichtquelle stellt bei den erforderlichen Intensitäten ausreichend kohärentes Licht
zur Verfügung.
Die Rekonstruktion der aufgenommenen Gegenstandswelle ist dadurch möglich, dass das
Hologramm mit der Referenzwelle genauso wie bei der Aufnahme beleuchtet wird. Dabei
wirkt das Hologramm als ein Beugungsgitter mit örtlich variabler Gitterkonstanten, an dem
die Wiedergabewelle gebeugt wird.
Zunächst soll die Beugung einer ebenen Welle an einer Fresnelschen Zonenplatte, das
heißt an dem Hologramm eines einzelnen Gegenstandspunktes, betrachtet werden. Die
174

Das Prinzip der Holographie
HG
HG
Holographie
Zonenplatte bildet ein Gitter, an dem bei senkrechtem Einfall der Wiedergabewelle eine
Ordnung von der Achse weg (+1. Ordnung) und die andere zur Achse hin (−1. Ordnung)
gebeugt wird (siehe Abb. HG.5).
P 1 P 1
P 2 P 2
Hologramm Dia-Positiv
direkter
Bildpunkt
+1.Ordnung
0. Ordnung
-1.Ordnung
konjugierter
Bildpunkt
Abbildung HG.6: Rekonstruktion bei der Holographie und bei der Photographie
Wiedergabewelle
Hologramm
Abbildung HG.5: Beugung einer ebenen Wiedergabewelle an dem Hologramm eines einzelnen
Gegenstandspunktes
Nach außen nimmt die Gitterkonstante ab und damit der Beugungswinkel zu, und zwar gerade
so, dass die +1. Ordnung immer aus dem Ort des ursprünglichen Gegenstandspunktes
zu kommen scheint. Diese +1. Ordnung ist die rekonstruierte Gegenstandswelle. Man nennt
sie direkte Welle und den Punkt, der ihre Quelle zu sein scheint, direkten Bildpunkt. Er stellt
ein virtuelles Bild des Gegenstandspunktes dar. Die −1. Ordnung, die konjugierte Welle,
wird entsprechend zur Achse hin gebeugt und ergibt dort den konjugierten Bildpunkt. Geht
man nun zum Gegenstand über, der in viele Einzelpunkte aufgelöst ist, dann ergeben sich
bei der Rekonstruktion hinter dem Hologramm (entsprechend den 0. und 1. Ordnungen) drei
Wellenfelder:
1. Die abgeschwächte Wiedergabewelle:
Sie stellt die ungebeugte 0. Beugungsordnung dar. In ihr steckt etwa 90% der Intensität.
2. Die direkte Welle:
Blickt ein Beobachter entgegengesetzt zu ihrer Ausbreitungsrichtung durch das Hologramm,
so sieht er ein dreidimensionales virtuelles Bild, das er vom (mit Laserlicht
beleuchteten) Gegenstand nicht unterscheiden kann.
3. Die konjugierte Welle:
Symmetrisch zum Hologramm entwirft sie ein reelles Bild.
Anmerkungen zur Beobachtung eines dreidimensionalen Bildes: Wie schon erwähnt,
registriert das Auge nur eine zweidimensionale Projektion eines räumlichen Objektes. Deshalb
kann die dritte Dimension nur dadurch wahrgenommen werden, dass man sich das Objekt
aus verschiedenen Perspektiven anschaut. Dies wird durch gleichzeitiges Beobachten
175
mit beiden Augen oder durch Verändern des Beobachtungsstandpunktes erreicht. Eine gewisse
Möglichkeit die Tiefe eines Gegenstandes zu erfassen, ist zusätzlich dadurch gegeben,
dass sich das Auge auf verschiedene Entfernungen akkomodieren kann.
5. Theoretische Grundlagen
Für den Fall einer ebenen Welle als Gegenstandswelle und einer zweiten ebenen Welle als
Referenzwelle lassen sich die bisher anschaulich erhaltenen Ergebnisse auch mathematisch
beschreiben.
Eine ebene Welle lässt sich allgemein in folgender Form darstellen:
wobei:
A : (konstante) Amplitude
Ψ (⃗r, t) = Ae i(⃗ k⃗r+ωt+ϕ)
⃗ k : Wellenvektor (Vektor in Ausbreitungsrichtung der Welle mit dem Betrag
∣ ∣∣ ⃗ k
∣ ∣∣ =
2π
λ )
w : Kreisfrequenz
ϕ : Phase für ⃗r = (0, 0, 0), t = 0
Wir definieren die Gegenstands- und die Referenzwelle:
Ψ G (⃗r, t) = A G e i(⃗ k G⃗r+ω Gt+ϕ G)
Ψ R (⃗r, t) = A R e i(⃗ k R⃗r+ω Rt+ϕ R)
Aus der Überlagerung von Gegenstands- und Referenzwelle entsteht die Welle Ψ H (⃗r, t), die
auf die Photoplatte fällt. Ψ G (⃗r, t), Ψ R (⃗r, t) und Ψ H (⃗r, t) seien skalare Funtionen. Diese
176

Theoretische Grundlagen
HG
HG
Holographie
Darstellungsweise ist ausreichend, wenn man annimmt, dass alle Wellen gleich polarisiert
sind. Auf der Photoplatte ergibt sich die Intensität I (⃗r, t):
I (⃗r, t) = |Ψ H (⃗r, t)| 2 = Ψ H (⃗r, t) Ψ ∗ H (⃗r, t)
I (⃗r, t) = (Ψ G (⃗r, t) + Ψ R (⃗r, t)) · (Ψ G (⃗r, t) + Ψ R (⃗r, t)) ∗
mit cos (z) = eiz +e −iz
2
ergibt sich:
I (⃗r, t) = A 2 G + A 2 R + 2A G A R cos
[(
⃗kG − k ⃗ )
]
R ⃗r + (ω G − ω R )t + (ϕ G − ϕ R )
Für die Holographie benötigt man zwei kohärente Wellen, das heißt: ω G = ω R =: ω Dann
fällt die Zeitabhängigkeit heraus:
[(
I (⃗r) = A 2 G + A 2 R + 2A G A R cos ⃗kG − k ⃗ ) ]
R ⃗r + (ϕ G − ϕ R )
Dies ist eine stationäre ( Intensitätsverteilung. Die räumliche Abhängigkeit der Intensität
steckt in dem Term ⃗kG − k ⃗ )
R · ⃗r.
Nach der Belichtung der Platte durch diese Intensität wird eine Umkehrentwicklung durchgeführt.
Man hat dann an Stellen hoher Intensität keine Schwärzung und an Stellen geringer
Intensität starke Schwärzung. Die Lichtdurchlässigkeit (Transmission) variiert mit dem Grad
der Schwärzung. Die Transmission ist etwa proportional zur Intensität und kann durch die
Funktion angegeben werden, die Werte zwischen Null (an Stellen maximaler Schwärzung)
und Eins (an Stellen ohne Schwärzung) annehmen kann.
T (⃗r) =
I (⃗r)
(A G − A R ) 2
Bei der Rekonstruktion ergibt sich hinter dem Hologramm ein Wellenfeld Ψ (⃗r, t) das sich
aus dem Produkt von Rekonstruktionswelle und Transmissionsfunktion berechnen lässt:
Ψ (⃗r) =
Ψ (⃗r, t) = T (⃗r) Ψ (⃗r, t)
(
[(
A 2 G + A2 R + 2A GA R cos ⃗kG − k ⃗ )
])
R · ⃗r + (ϕ G − ϕ R )
(A G − A R ) 2 · Ψ R (⃗r, t)
mit cos (z) = eiz +e −iz
2
kann dieser Ausdruck in drei Anteilen zerlegt werden:
• Die abgeschwächte Wiedergabewelle:
• Die direkte Welle:
• Die konjugierte Welle:
Ψ a (⃗r, t) = A2 G + A2 R
(A G + A R ) 2A R · e i( k ⃗ R⃗r+ωt+ϕ R)
Ψ d (⃗r, t) =
Ψ k (⃗r, t) =
A 2 R
(A G + A R ) 2A G · e i( k ⃗ G⃗r+ωt+ϕ G)
A 2 R
(A G + A R ) 2A G · e i((2 k ⃗ R−k ⃗ G)⃗r+ωt+2ϕ R−ϕ G)
177
Laser
5.1. Versuchsaufbau
R
St
O 1
G
G
S 2
Abbildung HG.7: Versuchsaufbau für die Auflicht-Holographie
Der Laserstrahl wird im Raumfilter R aufgeweitet und am Strahlteiler St in zwei Teilstrahlen
aufgespalten. Ein Teilstrahl wird am Spiegel S 1 umgelenkt und beleuchtet den Gegenstand.
Der andere dient als Referenzwelle.
Das durch Streuung und Reflexion am Gegenstand entstehende Wellenfeld Ψ G (⃗r, t) und
die Referenzwelle Ψ R (⃗r, t) werden einander auf der Photoplatte überlagert. Beide Wellen
müssen (z.B. durch abschwächen der einen) auf etwa gleiche Intensität eingestellt werden.
Hinweis: Der nicht aufgeweitete oder ungeschwächte Laserstrahl darf unter keinen
Umständen Ihr ungeschütztes Auge treffen!
5.2. Versuchsdurchführung und Aufgaben
1. Direkt nach dem Laser ist der in Abb. HG.8 gezeigte Raumfilter R aufgebaut. Welchem
Zweck dient er?
2. Nach dem Strahlteiler St haben die beiden Teilstrahlen bei uns im Experiment nicht
die gleiche Intensität. Welche Konsequenz hat das im Folgenden? Ist davon was zu
beobachten?
3. Was beobachten Sie auf dem Monitor, wenn Sie einen der beiden Umlenkspiegel in
der Vertikalen verschieben und den Laserstrahl nachführen? Geben Sie eine allgemeingültige
Beschreibung des Effekts.
4. Bestimmung des für Hologrammaufnahmen notwendigen Linienauflösungsvermögen
von Photoplatten.
Als Träger für Hologramme dienen i.A. Photoplatten. Diese haben wegen der Kornstruktur
der lichtempfindlichen Emulsion ein begrenztes Auflösungsvermögen. Bei der
Aufzeichnung eines Hologrammes muss das Auflösungsvermögen mindestens so groß
178
O 2
R
S 1
F

Theoretische Grundlagen
HG
HG
Holographie
sein, dass zwei nebeneinanderliegende Interferenzstreifen getrennt aufgenommen werden.
Wählt man als Objekt- und als Referenzwelle jeweils eine ebene Welle, erhält
man als Interferenzbild parallele, äquidistante Streifen. Ihr Abstand ist durch den
Überkreuzungswinkel der beiden Wellen und durch die Wellenlänge des verwendeten
Lichtes gegeben.
(a) Dieser Streifenabstand wird im Versuch mit einem Beobachtungsmikroskop vermessen.
Das Mikroskop bildet eine Ebene ab, die etwa 1-2mm vor dem Objektiv
liegt. Dort müssen die beiden Wellen zur Überlagerung gebracht werden. Das
Objektiv bildet das Interferenzbild in eine Zwischenbildebene ab, wo eine CCD-
Kamera das Bild aufnimmt und auf einem Monitor und einem Videoprinter ausgibt.
Vermessen Sie den Abstand von 10-20 Streifen mit Hilfe des Referenzmaßstabs.
(b) Alternativ dazu ist der Überkreuzungswinkel α geometrisch zu bestimmen und
das Ergebnis der direkten Messung gegenüberzustellen. Hierbei gilt: Steht die
Photoplatte senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Referenzwelle, dann ergibt
sich ein theoretischer Streifenabstand d von
f 1 f 2
d =
λ
sin (α)
Mit beiden Verfahren ist der Streifenabstand d für zwei verschiedene Winkel zu
messen. Wie groß muss das Auflösungsvermögen einer Photoplatte mindestens
sein? (Einheit: Linien pro Millimeter). Vergleichen Sie: Die in der Gebrauchsphotographie
verwendeten Filme lösen 30 - 100 Linien pro Millimeter auf.
Welches der beiden im Praktikum eingesetzten Verfahren ist genauer und warum?
Laser
Blende
0,5 m
d 2
5. Die in Aufgabe 4 zu beobachtenden Interferenzstreifen verschwimmen, wenn Sie sich
auf der Grundplatte des Versuchsaufbaus aufstützen. Bitte beschreiben Sie die Ursache.
6. Rekonstruktion und Beobachtung von Hologrammen. Vergleich mit photographischen
Aufnahmen. Rekonstruktion aus kleinen Hologrammausschnitten.
Linse1
Abbildung HG.8: Raumfilter
Linse2
7. 18 cm senkrecht über dem Mittelpunkt einer kreisförmigen Photoplatte liegt ein
punktförmiger Gegenstand. Wie groß muss das Auflösungsvermögen der Platte sein,
um, bei senkrecht einfallender ebener Referenzwelle, auf der ganzen Fläche das Hologramm
aufzeichnen zu können?
8. Beschreiben Sie kurz den Aufbau und die Funktionsweise eines Helium-Neon-Lasers.
179
180