Eine Einführung in die elementare Zahlentheorie

4.7 Ausblick: Der Quantencomputer - gibt es die absolute Sicherheit?
und n, der private aus d und n. So, nun möchten wir gerne die Nachricht m = 10 (m muss kleiner oder
gleich n, also 91 sein). Also berechnen wir c = 10 77 mod 91 = 82. Der Geheimtext lautet demzufolge
82. Jetzt lasst uns mal schauen, ob wir auch wieder den ursprünglichen Klartext erhalten 5
m ′ = 82 29 mod 91.
Es ergibt sich m ′ = 10 und m ′ = m. Es hat also geklappt. Aber wichtig ist: So ist das in der Praxis
natürlich nicht aus. Wegen der Größe der Zahlen lässt sich die Nachricht nicht so leicht bestimmten.
Sicherheit von RSA:RSA stützt seine gesamte Sicherheit darauf, dass aus dem Modulus n und dem öffentlichen
Schlüssel e keine Rückschlüsse auf den geheimen Schlüssel d gezogen werden können und dass
die Faktorisierung von n (d.h. die Zerlegung von n in die Primzahlfaktoren p und q) so schwierig bleibt
wie sie heute ist. Unglücklicherweise kann man jedoch nicht einmal beweisen, dass es sich bei der Faktorisierung
von n um ein solch komplexes Problem handelt (man nimmt allerdings an, dass es so ist).
Wie bereits gesagt, benötigt man für RSA lange Schlüssel. Das sind nicht etwa Zahlen im Milliardenoder
Billionen-Bereich, sondern riesengroße Zahlen mit mehreren hundert Stellen. Das Problem ist, dass
a) die Rechenleistung stark ansteigt und b) man neue Möglichkeiten zur Faktorisierung der Zahlen finden
könnte. Das beste Verfahren für Zahlen mit mehr als ca. 110 Stellen ist momentan das allgemeine
Zahlkörpersieb. Die Schwere dieses Problems wird dann deutlich, wenn man sich einmal vor Augen hält,
welche Aussagen über die Faktorisierung gemacht wurden. 1977 sagte Ron Rivest, die Faktorisierung einer
125-stelligen Zahl dauere 40 Billiarden Jahre. 17 Jahre später, 1994, wurde eine 129-stellige Zahl faktorisiert!
Das zeigt nur, wie schwer es ist, auch nur annähernd genaue Aussagen zu treffen. Auf jeden Fall
kann man wohl mit Gewissheit sagen, dass 512-Bit-Schlüssel schon l¨ngst nicht mehr ausreichen. 1024 Bit
sollten das absolute Minimum sein. Man sollte aber mindestens 2048 Bit verwenden, um noch über einen
längeren Zeitraum euren Schlüssel verwenden zu können.
4.7 Ausblick: Der Quantencomputer - gibt es die absolute Sicherheit?
Auf Grundlage der Forschung im Bereich der Quantenmechanik sind nicht nur Protokolle zur absolut
sicheren (One-Time-Pad-ähnlichen) Ver- bzw. Entschlüsselung möglich geworden, sondern auch sogenannte
Quantencomputer, die zum Brechen von modernen Verfahren wie RSA eingesetzt werden. RSA
findet mittlerweile in unzähligen Computer-Applikationen Verwendung. Die Sicherheit von RSA beurht
bekanntlich auf der Schwierigkeit, das Produkt zweier Primzahlen p und q zu faktorisieren; das heißt,
die Entschlüsselung ohne Kenntnis der Faktoren p und q ist ungleich schwerer als die nur relativ wenige
Rechenoperationen erfordernde Verschlüsselung. Gebe ich z.B. die Zahl 221 müsstet ihr erstmal überlegen,
wie die Primfaktorzerlegung davon aussieht. (es stecken die Primzahlen 13 und 17 dahinter) Je
größer die Zahl, desto schwieriger ist es. Und Computer müsstet ewig lang rechnen, um alle möglichen
Kombinatione auszuprobieren. Mit Hilfe der Quantenkryptographie versucht man nun, einen Algorithmus
zu entwerfen, der eine Primzahl genauso leicht ermitteln kann wie zwei Faktoren, deren korrekte
Multiplikation eben diese Zahl ergeben würde. Gelänge es, eine derartige Möglichkeit zu finden, wären
Verfahren wie RSA, denen das Faktorisierungs-Problem zugrunde liegt, nicht mehr ausreichend für
das Verschlüsseln geheimer Botschaften. Ein solcher Quantencomputer, wenn er denn je gebaut würde,
macht sich ebenfalls die Prinzipien der Quantenmechanik zunutze. Ein Quanten-Teilchen wie ein Photon
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