Klausur zur Mathematik 1 Studiengang Maschinenbau 08. Februar ...

Mathematik 1, Klausur Dr. Joachim Schneider 08. Februar 2007
Klausur zur Mathematik 1
Studiengang Maschinenbau
08. Februar 2007
Name, Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikel-Nr: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 (Zusatzaufgabe) Gesamt
Max. Punktzahl 11 8 11 8 10 39 87
Davon erreicht
Note: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bitte beachten Sie folgende Hinweise:
1. Es werden 5 reguläre Aufgaben gestellt. Außerdem gibt es eine Zusatzaufgabe: Von
dieser werden nicht mehr als 24 Punkte angerechnet; mit ihr können bei anderen Aufgaben
fehlende Punkte ausgeglichen werden — bearbeiten Sie die Zusatzaufgabe also
möglichst am Ende.
2. Die Klausur ist bestanden, wenn mindestens 24 Punkte erreicht wurden.
3. Erlaubte Hilfsmittel sind:
(a) Ein Lehrbuch oder eine Formelsammlung.
(b) Ein selbst geschriebenes (nicht vervielfältigtes) Formelblatt (DIN A4).
4. Der Lösungsweg zu allen Aufgaben muß klar erkennbar, vollständig und einfach nachvollziehbar
angegeben sein.
5. Die Bearbeitungszeit beträgt maximal 90 Minuten.
6. Schreiben Sie auf jedes Blatt, das Sie abgeben, Ihren Namen und Ihre Matrikel-Nr.
und numerieren Sie die Blätter mit 1 beginnend fortlaufend durch.
7. Viel Erfolg!

Mathematik 1, Klausur Seite 2 von 5 08. Februar 2007
Einige nützliche Formeln
1. Umfang U eines Kreises vom Radius r: U = 2πr
2. Fläche A eines Kreises vom Radius r: A = πr 2
3. Volumen V einer Kugel vom Radius r: V = 4 3 πr3
4. sin 30 o = 1/2
5. cos 30 o = √ 3/2
6. Eine kleine Integraltabelle:
Funktion f(x)
Stammfunktion F (x)
f(x) = F ′ (x) F (x) = ∫ f(x ′ )dx ′
x n , n ≠ −1
1
n+1 xn+1
1 x
1
x
e x
sin x
cos x
ln |x|
e x
− cos x
sin x
1
arctan x
1+x 2
1 √
1−x 2
1
cos 2 x
7. Einige Ableitungen
arcsin x
tan x
Funktion f(x)
Ableitung f ′ (x)
f(x) f(x) ′
x r , r ∈ Q rx r−1
1 0
ln(x)
1
x
e x
sin x
cos x
e x
cos x
− sin x
arctan x
1
1+x 2

Mathematik 1, Klausur Seite 3 von 5 08. Februar 2007
Klausur
1. Skalar- und Vektorprodukt
In dieser Aufgabe seinen ⃗a = (3, 2, 1) T und ⃗ b = (2, −2, 1) T
(a) (2Pt.) Berechnen Sie das Skalarprodukt ⃗a ·⃗b der Vektoren ⃗a und ⃗ b.
(b) (2Pt.) Berechnen Sie das Vektorprodukt ⃗a × ⃗ b der Vektoren ⃗a und ⃗ b.
(c) (2Pt.) Berechnen Sie die Beträge |⃗a| und ∣ ⃗ b∣ der Vektoren ⃗a und ⃗ b.
(d) (2Pt.) Berechnen Sie den Kosinus des Winkels θ zwischen den Vektoren ⃗a und ⃗ b.
(e) (2Pt.) Ermitteln Sie den Sinus des Winkels θ zwischen den Vektoren ⃗a und ⃗ b aus
den Ergebnissen von (b) und (c); kürzen Sie das Resultat so weit wie möglich.
(f) (1Pt.) Schreiben Sie den Vektor 8⃗e 1 + 2⃗e 2 + 7⃗e 3 in Komponentenform (x 1 , x 2 , x 2 ).
2. Lineare Gleichungssysteme
(a) (8Pt.) Lösen Sie das Gleichungssystem
x 1 + x 2 + x 3 = 7
3. Vektorrechnung
−x 1 + x 2 + x 3 = 7
−2x 1 − x 2 + 2x 3 = 14
In einem kartesischen x-y-z-Koordinatensystem betrachten wir einen Mast mit dem Fußpunkt
O(0, 0, 0) und der Spitze P (0, 0, 8m), der von zwei Seilen, die von den Bodenpunkten
A(−4m, −4m, 0) und B(−4m, 4m, 0) bis zur Mastspitze P gespannt sind abgestützt
wird. Auf die Mastspitze P wirkt die Kraft ⃗ f = (800N, 0, 0).
Berechnen Sie die Seilkräfte s A und s B und die Reaktionskraft q in der Mastspitze.
Gehen Sie dabei so vor:
(a) (3Pt.) Setzen Sie für die Seilkräfte an ⃗s A = α −→ P A und ⃗s B = β −→ P B mit den Unbekannten
α und β. Für die Reaktionskraft ⃗q des Mastes in der Mastspitze machen
Sie den Ansatz ⃗q = γ −→ OP mit der Unbekannten γ. Schreiben Sie ⃗s A , ⃗s B und ⃗q in
Komponentenform auf.
(b) (3Pt.) In der Mastspitze stehen die Kräfte ⃗s A , ⃗s B , ⃗q und ⃗ f im Gleichgewicht:
⃗0 = ⃗s A + ⃗s B + ⃗q + ⃗ f
Stellen Sie das daraus entstehende lineare Gleichungssystem für α, β und γ auf.
(c) (3Pt.) Lösen Sie das Gleichungssystem aus (b) nach α, β und γ auf; Hinweis: Lösen
Sie zunächt die y-Komponente nach α auf und setzen Sie das Ergebniss in die x-
Komponente der Gleichung ein.
(d) (2Pt.) Bestimmen Sie s A = |⃗s A | und s B = |⃗s B | sowie q = |⃗q|.

Mathematik 1, Klausur Seite 4 von 5 08. Februar 2007
4. Funktionen
Unter Wasser nimmt die Helligkeit L von ihrem Wert an der Oberfläche L 0 in Abhängigkeit
von der Tiefe h nach einem Gesetz der Form
L = L 0 exp(−kh)
ab. In einem Gewässer sei bekannt, daß die Helligkeit in der Tiefe h 1
2
Hälfte abgenommen hat.
= 10m um die
(a) (3Pt.) Berechnen Sie aus h 1 die Konstante k.
2
(b) (3Pt.) Ein Taucher mißt eine Helligkeit von L = 1 L 100 0. In welcher Tiefe befindet
er sich?
(c) (2Pt.) Verwenden Sie die Approximation ln 100 ≈ ln 128 um einen Zahlenwert für
diese Tiefe anzugeben.
5. Differentialrechnung
In einen halbkreisförmigen Tunnel mit dem Radius r sollen Seitenwände mit der Höhe
h und eine Decke mit der Breite b so eingepaßt werden, daß der entstehende rechteckige
Querschnitt A eine maximale Größe erreicht.
(a) (2Pt.) Drücken Sie die die Breite b als Funktion der Höhe h aus.
(b) (2Pt.) Stellen Sie damit A als Funktion von h dar.
(c) (4Pt.) Ermitteln Sie den Wert von h, der A zum Maximum macht.
(d) (2Pt.) Berechnen Sie den zugehörigen Wert von b unter Verwendung von a) und c)
und damit den maximalen Querschnitt A max .

Mathematik 1, Klausur Seite 5 von 5 08. Februar 2007
6. Zusatzaufgabe
(a) Berechnen Sie folgende Integrale:
∫ 6
dr
i. (3Pt.)
ii. (3Pt.)
1 r 2
∫ π/2
0
cos (x) dx
(b) (3Pt.) Beobachtet man den Frankfurter Fernsehturm von der Fachhochschule aus
über den ausgestrekten Arm (Länge 80cm) mit abgespreiztem Daumen (Breite
1.5cm), so wird die Strecke vom Korb des Fernsehturms bis zu seiner Spitze (80m)
gerade vom Daumen abgedeckt. Wie weit ist der Fernsehturm entfernt?
(c) (3Pt.) Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · ·
(d) Berechnen Sie folgende Dualzahlen:
i. (2Pt.) III00
ii. (2Pt.) I0I0I0.I0I0
(e) Berechnen Sie folgende Logarithmen:
i. (1Pt.) log √2 1
2
ii. (1Pt.) log 3 81
iii. (1Pt.) log 9 3
(f) (8Pt.) Durch Erwärmen vergrößert sich der Radius einer Kugel von r 1 = 2.000cm
auf r 2 = 2.020cm. Wie groß ist die relative ∗ Zunahme des Kugelvolumens?
(g) (6Pt.) Ermitteln Sie die Taylorreihe der Funktion y = exp(x) um den Entwicklungspunkt
x 0 = 0.
(h) (6Pt.) Geben Sie einen einfachen Beweis des Satzes von Pythagoras.
∗ Unter der relativen Änderung einer Größe U versteht man die Änderung (den Zuwachs) der Größe
dividiert durch die Größe selbst, also
∆U
U .