Vierte Uebung

Mathematik 3, Übungen Nr. 4 Joachim Schneider 20. November 2007Aufgaben1. Man berechneI =2. Man berechneI =3. Man zeige4. Man zeige∫ 1 ∫ 1/20 x/2∫ 1 ∫ 20 0∫ π/2 ∫ π/60 0∫ 1 ∫ 1−x0 05. Man zeigexy dy dx .(x 2 + y 2 ) dy dx .sin x cos y dx dy = 1 − 1 2√3.(x + y) 2 dy dx = 1 4 .∫ π ∫ sin y0 0dx dy = 2.6. Man berechne(a)(b)∫ 1 ∫ 20 0(x + 2y) 2 dx dy .∫ 2 ∫ 10 0(x + 2y) 2 dy dx .7. Sei R der Quadrant x ≥ 0, y ≥ 0 der xy-Ebene. Man berechne∫∫I = e −(x2 +y 2) dx dy,Rund als Nebenresultat zeige man, daß∫ ∞0e −x2 dx = 1 2√ π.Dabei gehe man in folgenden Schritten vor:

Mathematik 3, Übungen Nr. 4 Seite 2 von 2 20. November 2007(a) Führen Sie Polarkoordinaten ein:x = r cos θy = r sin θBerechnen Sie das Volumenelement in Polarkoordinaten, indem sie die totalen Differentialevon dx und dy mit Hilfe des Dachproduktes ∗ ausmultiplizieren:dx dy := dx ∧ dy = . . .Zeigen Sie so daß dx dy = dx ∧ dy = r dr ∧ dθ = r dr dθ.(b) Zeigen Sie, daß I so in das Integral∫∫e −r2 r dr dθR ′überführt wird, wobei R ′ der unendlich lange Streifen 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π/2 derrθ-Ebene ist.(c) Berechnen Sie dieses Integral als Mehrfachintegral.(d) Beweisen Sie das Nebenresultat indem Sie das Ausgangsintegral I als ein Produktzweier Integrale darstellen.∗ Das Dachprodukt ist ein formales Produkt für Differentiale, daß folgenden Regeln genügt1. da ∧ db = −db ∧ da (Antisymmetrie)2. da ∧ da = 0 (Das folgt aus der vorigen Regel)3. da ∧ (db + dc) = da ∧ db + da ∧ dc (Distributivgestz)4. da ∧ µdb = µda ∧ db (Homogenität)