RechnergestÃ¼tzte Analyse technischer Systeme

Rechnergestützte Analyse technischer Systeme 

Joachim Schneider ‡ 

Juni 2004 

Zusammenfassung 

Dieser Vortrag soll anhand von Aufgaben aus der angewandten Mathematik 

und Mechanik einen Einblick in die Anwendung der numerischen 

Programmsysteme Matlab und Octave geben. 

Dafür wird die Software Octave (http://www.octave.org) eingesetzt. 

GNU Octave ist eine interaktive Hochsprache für numerische Berechnungen, 

die weitgehend kompatibel zu Matlab ist. 

1 Einführung 

Octave und Matlab sind Werkzeuge zur interaktiven oder skriptgesteuerten 

numerischen Berechnung und zur Visualisierung von Berechnungsergebnissen 

und Daten. 

Beide sind für die heute üblichen Betriebssysteme (verschiedene UNIX- 

Derivate und Microsoft-Windows) verfügbar. 

Matlab ist für Studenten sehr günstig zu erwerben, ansonsten sind die Lizenzen 

recht teuer. Octave steht unter der GNU General Public License 

und ist deshalb frei und im Quelltext erhältlich. 

Die Eingabesyntax der beiden Systeme ist weitgehend zueinander kompatibel, 

so daß die umfangreiche Literatur zu Matlab ( [1], [2], [3], [7]), [4] auf 

beide Systeme anwendbar ist. Octave ist in [5] dokumentiert. 

‡ Q2, 11-12 

68161 Mannheim 

email: joachim@hal.rhein-neckar.de 

1

2 VISUALISIERUNG 2 

2 Visualisierung 

Die einfache Visualisierung des Verlaufs von Funktionen kann in Ihrer Bedeutung 

kaum unterschätzt werden. Als Beispiel soll die Sinus-Funktion zusammen 

mit Ihren ersten Taylor-Polynomen “geplottet” werden. 

Die folgende einfache Eingabedatei wird erstellt, sie könnte aber ebenso am 

Matlab(Octave)-Prompt eingegeben werden: 

%% 

% Taylorpolynome des Sinus plotten 

%% 

% x-Werte definieren (Das ist ein Vektor!): 

x = (-pi: 0.01: pi); 

% Taylorpolynome des Sinus 

% 

% Octave(Matlab) rechnet "am liebsten" mit 

% Vektoren bzw. Matrizen. 

% ’.’ = Komponentenweise 

% Anwendung eines Operators 

% 

T1 = x; 

T3 = T1 - x.^3/6.0; 

T5 = T3 + x.^5/120.0; 

sinvec = sin(x); 

%% 

%plot(x, [sinvec; T1; T3; T5]) 

%% 

hold on 

plot(x, sinvec) 

plot(x, T1) 

plot(x, T3) 

plot(x, T5) 

pause


%% 

% EOF 

%% 

Sie erzeugt dann die folgende Bildschirmdarstellung: 

Man kann die Ausgabe noch etwas verbessern, indem die Plot-Befehle verfeinert 

werden: 

%% 


%% 


x = (-pi: 0.1: pi); 


% 

% Octave(Matlab) rechnet "am liebsten" mit




% Anwendung eines Operators 

% 

T1 = x; 

T3 = T1 - x.^3/6.0; 

T5 = T3 + x.^5/120.0; 


% x-y-Achsenabschnitte spezifizieren 

axis([-pi, pi, -1.8, 1.8]); 

% Augabefenster putzen 

clearplot; 

xlabel(’X-Achse’); 

ylabel(’Y-Achse’); 

title(’Taylorpolynome des Sinus’); 

grid on 

% Alles in einen Plot 

hold on 

plot(x, sinvec, "+r;sin;") 

plot(x, T1, "*g;T1;") 

plot(x, T3, "ob;T3;") 

plot(x, T5, "xm;T5;") 

hold off 

pause 

%% 

% EOF 

%%


Zugehörige Bildschirmdarstellung: 

Auffällig ist hier, daß die Plot-Befehle auf Vektoren (bzw. auf Matrizen arbeiten). 

Natürlich lassen sich auch Ausgaben in Grafikformate erzeugen, bei Octave 

erzeugen die Befehle 

%% 


%% 


x = (-pi: 0.1: pi); 


% 

% Octave(Matlab) rechnet "am liebsten" mit 



% Anwendung eines Operators


% 

T1 = x; 

T3 = T1 - x.^3/6.0; 

T5 = T3 + x.^5/120.0; 


% 

% Keine Bildschirmausgabe, dafuer JPEG-file 

% erzeugen: Octave-spezifisch! 

% 

%gset term jpeg large; 

gset term jpeg giant; 

gset output ’num-oct-04.jpeg’; 

% x-y-Achsenabschnitte spezifizieren 

axis([-pi, pi, -1.8, 1.8]); 

xlabel(’X-Achse’); 

ylabel(’Y-Achse’); 

title(’Taylorpolynome des Sinus’); 

grid on 

% 

% Gnuplot-Ausgabe-Befehle --- Octave-spezi- 

% fisch. Gnuplot plottet bei 2D-Plots 

% defaultmaessig die ersten beiden Spalten 

% einer uebergebenen Matrix (daraus wird 

% intern ein Datenfile gemacht). Deshalb 

% muessen die Zeilenvektoren noch 

% transponiert werden. 

% 

d_sin = [x’, sinvec’]; 

d_T1 = [x’, T1’]; 

d_T3 = [x’, T3’]; 

d_T5 = [x’, T5’]; 

% Matlab/Octave-Fortsetzungszeilen: ... 

gplot d_sin t "sin" with lines, ... 

d_T1 t "T1" with points, ... 

d_T3 t "T3" with linespoints, ...


d_T5 t "T5" with dots; 

%% 

% EOF 

%% 

das JPEG-File num-oct-04.jpeg, das hier eingebunden ist: 

Dreidimensionale Grafiken sind auch möglich. Die Befehlsfolge 

% 

% Plotten einer 3-D-Funktion 

% 

% 

% Gitter erzeugen: 

% 

x = (-3:0.1:3);


y = (-3:0.1:3); 

[X, Y] = meshgrid(x, y); 

% Paare (x_ij, y_ij) aus (X, Y) enthalten 

% jetzt die Gitterkoordinaten 

% X = ( x, x, x, ..., x )’ 

% Y = ( y, y, y, ..., y ) 

% 

% Funktion definieren 

% 

alpha = 0.5; 

r2 = X.^2 + Y.^2; 

f = sin(alpha*r2) .* r2 .* exp(-sqrt(r2)); 

% 

% Funktion plotten 

% 

title("sin(0.5*(x^2+y^2))*(x^2+y^2)*exp(-sqrt(x^2+y^2))"); 

%gset term jpeg large; 

gset term jpeg giant; 

gset output ’plot-3d-00.jpeg’; 

grid on 

mesh(x, y, f); 

% 

% EOF 

%

3 TASCHENRECHNER MIT VEKTORARITHMETIK 9 

erzeugt folgende Ausgabe: 

3 Taschenrechner mit Vektorarithmetik 

Zunächst sei erwähnt, daß sich Octave wie ein üblicher wissenschaftlicher 

Taschenrechner einsetzen läßt. Die Eingabeaufforderung von Octave bzw. 

von Matlab ist >>. 

>> 

>> b = 0.7 

b = 0.70000 

>> alpha = pi/3 

alpha = 1.0472 

>> y = b * sin(alpha) 

y = 0.60622 

>> 

>> % Komplexe Zahlen gehen auch: 

>>


>> exp(2*pi*i) 

ans = 1.0000e+00 - 2.4492e-16i 

>> 

>> (100-10)*(100+10) 

ans = 9900 

>> 

>> 

>> 

>> % Vektor definieren 

>> 

>> v = [ 1.0, 1.5, 2.0 ]; 

>> 

>> sin(v) 

ans = 

0.84147 0.99749 0.90930 

>> % Wird komponentenweise ausgewertet! 

>> 

>> 

Octave verügt über leistungsfähige eingebaute Vektor- und Matrixoperationen. 

Damit ist es einfach, lineare Gleichungssysteme zu lösen, wie sie zum 

Beispiel in der Statik bei der Berechnung des Gleichgewichts eines Systems 

starrer Körper auftreten. Ein Standardproblem ist dabei die Berechnung der 

Auflagerkräfte (Zwangskräfte) und -Momente bei gegebenen Lasten (eingeprägte 

Kräfte und Momente). Nachdem die Körper “freigeschnitten” wurden, 

also das System in Einzelkörper zerlegt wurde, und an den Schnittstellen die 

inneren Kräfte und Momente mit den zugehörigen Gegenkräften eingetragen 

wurden, müssen jetzt für jeden Körper die Gleichgewichtsbedingungen 

∑ 

⃗F i = 0, 

i 

∑ −−→ 

P A i × F ⃗ i = 0 

i 

erfüllt sein (“Summe der Kräfte gleich 0 und Summe der Momente gleich 

0”); die Kraft ⃗ F i hat dabei den Angriffspunkt A i . 

Offensichtlich bilden diese Gleichungen ein inhomogenes lineares Gleichungssystem 

zur Berechnung der Auflagerkräfte, da ja darin die Lasten gegeben 

sind. 

(1)


Betrachtet man etwa den dargestellten ebenen Dreigelenkbogen 

G 

o............................... 

/.\ /|\ 

/ \ | 

/ . \ | 

/ \ | 

|F / . \ | 

| / \ | 

| / . \ | 

| / \ | 

\|// . \ | 

/ \ | 

/ . \ F | 2a 

/ \


|G_V 

| 

\|/ G_H 

oo 

| / /|\ 

| / | \ 

I \|// | \ 

/ | \ 

/ G_V| \ 

/ \ 

/ \ 

/ \ 

/ \ II 

/ \ 

/ \ F 

/ \ o \ 

/|\ \ 

| \ 

| \ 

| y /|\ \ B_H 

A_V| | \ 

| o x | 

|B_V 

(nach [9] Kapitel 2.4), so kann man für die Körper I und II die Gleichgewichtsbedingungen 

formulieren:


1. Körper I x-Komponenten der Kräfte: 

A H − G H = 0 (2) 

2. Körper I y-Komponenten der Kräfte: 

A V − F − G V = 0 (3) 

3. Körper I Moment um A: 

−aF − 2aG V + 2aG H = 0 (4) 

4. Körper II x-Komponenten der Kräfte: 

G H − F − B H = 0 (5) 

5. Körper II y-Komponenten der Kräfte: 

B V + G V = 0 (6) 

6. Körper II Moment um B : 

aF − 2aG H − 2aG V = 0 (7) 

Daraus folgt nach Division durch a und F das Gleichungssystem (unbekannt: 

A H , A V , B H , B V , G H , G V ; bekannt: F ) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 0 0 −1 0 

0 1 0 0 0 −1 

0 0 0 0 2 2 

0 0 −1 0 1 0 

0 0 0 1 0 1 

0 0 0 0 −2 −2 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

A H /F 

A V /F 

B H /F 

B V /F 

G H /F 

G V /F 

⎞ 

⎛ 

= 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

0 

1 

1 

1 

0 

−1 

⎞ 

, (8) 

⎟ 

⎠ 

von der Form Ax = b, das man so direkt in Matlab eintippen kann: 

>> 

>> A = [ 1, 0, 0, 0, -1, 0; ...


A = 

0, 1. 0, 0, 0, -1; ... 

0, 0, 0, 0, 2, -2; ... 

0, 0, -1, 0, 1, 0; ... 

0, 0, 0, 1, 0, 1; ... 

0, 0, 0, 0, -2. -2 ] 

1 0 0 0 -1 0 

0 1 0 0 0 -1 

0 0 0 0 2 -2 

0 0 -1 0 1 0 

0 0 0 1 0 1 

0 0 0 0 -2 -2 

>> 

>> det(A) 

ans = 8 

>> 

>> 

>> b = [0, 1, 1, 1, 0, -1]’ 

b = 

0 

1 

1 

1 

0 

-1 

>> 

>> 

>> x = A\b 

x = 

0.50000 

1.00000 

-0.50000 

0.00000 

0.50000 

0.00000

4 OCTAVE/MATLAB ALS PROGRAMMIERSPRACHE 15 

>> 

>> 

>> 

Wir haben uns noch durch Berechnen der Determinate der Systemmatrix 

davon überzeugt, daß die Gleichung eindeutig lösbar ist. Man erhält so 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

A H /F 

A V /F 

B H /F 

B V /F 

G H /F 

G V /F 

⎞ 

⎛ 

= 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

0.5 

1.0 

−0.5 

0.0 

0.5 

0.0 

⎞ 

. (9) 

⎟ 

⎠ 

4 Octave/Matlab als Programmiersprache 

Neben der interaktiven Nutzung können Octave und Matlab als Laufzeitumgebung 

für Matlab-Programme verwendet werden. 

Matlab ist eine prozedurale Programmiersprache. Sie hat Kontrollstrukturen 

und Operatoren wie die Programmiersprache C Die Art der Indizierung 

von Feldern lehnt sich an die Programmiersprache Fortran an 

Eine wesentliche Erweiterung gegenüber diesen Sprachen ist die in die Sprache 

integrierte Vektor- und Matrixarithmetik. Die aritmetischen Operationen 

+, -, . . . sind also direkt auf diese Objekte anwendbar. Man wird — im Gegensatz 

zu C und Fortran nur selten auf einzelne Vektor- oder Matrixkomponenten 

zugreifen. Vektoren und Matrizen können an Funktionen übergeben 

und von diesen zurückgeliefert werden. 

Für die “höheren” Matrixoperationen, wie zum Beispiel die Inversion 

(Ax = b, x = A\b) verwenden Matlab und Octave intern Lapack. 

Lapack (Linear Algebra Package) ist ein frei verfügbares (public domain) 

Softwarepacket von Fortran 77 Unterprogrammen mit deren Hilfe man viele 

Standard-Probleme der Linearen Algebra numerisch lösen kann. Dadurch 

werden diese Operationen sehr performant ausgeführt. 

Zur Ein- und Ausgabe stehen Funktionen zur Verfügung, die denen der C- 

StandardIO-Bibliothek nachempfunden sind. 

Als Beispiel soll hier ein Programm vorgeführt werden, das die Aufgabe löst, 

Flächenträgheitsmomente “beliebig vorgegebener” ebener Figuren zu berechnen. 

Genauer soll in einer Datei durch eine Folge von (x, y)-Paaren ein Polygonzug 

als Randkurve der Figur spezifiziert werden. Das Programm soll


dann den Schwerpunkt und die Flächenträgheitsmomente um den Schwerpunkt 

berechnen, die Figur und die berechneten Werte plotten. 

Das Programm ist in der Datei traegmom.m angehängt. 

Hier die Rechenbeispiele: 

% Rechteck, (x,y)-Koordinaten 

0.0 0.0 

2.0 0.0 

2.0 1.0 

0.0 1.0 

% EOF 

% Dreieck, (x,y)-Koordinaten 

0.0 0.0 

4.0 0.0 

3.0 2.0 

% EOF


% T-Traeger, (x,y)-Koordinaten 

-2.5 -2.5 

2.5 -2.5 

2.5 -1.5 

0.5 -1.5 

0.5 1.5 

2.5 1.5 

2.5 2.5 

-2.5 2.5 

-2.5 1.5 

-0.5 1.5 

-0.5 -1.5 

-2.5 -1.5 

% EOF

5 AUSBLICK 18 

5 Ausblick 

So wie man im Bereich der linearen Algebra Matlab und Octave als eine 

sehr angenehme Schnittstelle zu den Lapack-Fortran-Routinen ansehen 

kann, so gibt es auch für andere Aufgaben der numerischen Mathematik 

wie zum Beispiel die Integration oder das Lösen von Differentialgleichungen 

Fortran-Unterprogramme, die von der Octave/Matlab-Laufzeitumgebung 

aus aufgerufen werden können.

5 AUSBLICK 19 

Außerdem ist es möglich diese Sammlung von kompilierten Unterprogrammen 

selbst zu erweitern. Dadurch kann man von den Vorteilen einer interpretierten 

Sprache profitieren und trotzdem an den wichtigen Stellen schnell 

sein.

LITERATUR 20 

Literatur 

[1] Beucher, O.: MATLAB und Simulink — Grundlegende Einführung. 

München: Addison-Wesley/Pearson Studium, 2002. 

[2] Nowottny, D.: Mathematik am Computer. Berlin, Heidelberg, New 

York: Springer-Verlag, 1999. 

[3] Gramlich, G. u. Werner, W.: Numerische Mathematik mit Matlab. Heidelberg: 

dpunkt.verlag, 2000. 

[4] Überhuber, C. u. Katzenbeisser, S.: MATLAB 6 — eine Einführung. 

Wien, New York: Springer, 2000. 

[5] Eaton, J. W.: GNU Octave Manual. Network Theory Limited, 2000. 

[6] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis — Teil 1. Stuttgart,Leipzig: B.G. 

Teubner, 1998. 

[7] Chapra, S.C. u. Canale R.P.: Numerical Methods for Engineers. Boston, 

. . . : Mc Graw-Hill, 2002. 

[8] Collatz, L.: Differentialgleichungen. Stuttgart: B. G. Teubner, 1990. 

[9] Hagedorn, P.: Technische Mechanik — Band 1: Statik. Frankfurt am 

Main: Verlag Harri Deutsch, 1989. 

[10] Hagedorn, P.: Technische Mechanik — Band 2: Festigkeitslehre. Frankfurt 

am Main: Verlag Harri Deutsch, 1990.

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