Zugehoerige Loesungen

Mathematik 3, Klausurübungen Joachim Schneider 9. Dezember 20071. Es istarcsin x =∫ x0dt√1 − t2Ermitteln Sie aus diesem Ausdruck die ersten drei Glieder der Taylorentwicklung vony = arcsin x indem Sie die Taylorreihe von y = (1 + x) r , nämlicheinsetzen.Lösung:(1 + x) r = 1 + rx +r(r − 1)x22!+r(r − 1)(r − 2)x33!+ · · ·arcsin x =∫ x0[1 + 1 2 × t2 + 1 2 × 3 2 × 1 2 × t4 ]dt= x + 1 6 x3 + 340 x5 + · · ·2. Bei der Serienschaltung von N Widerständen R i wird der Gesamtwiderstand R ausR =N∑i=1R iberechnet. Der relative Fehler dR iR ihabe für alle R i den kleinen Wert ɛ. Berechnen Siemit Hilfe des totalen Differentials den relativen Fehler von R, also dR.RLösung: Es ist dR Rzu ermitteln:dR =N∑i=1∂R∂R idR i =N∑dR i ,i=1also istdR =N∑ɛR i = ɛR,i=1woraus sich schließlich der relative Fehler von R ergibt:dRR = ɛ.3. Die Winkelablenkung θ des Elektronenstrahls in einer Kathodenstrahlröhre ist durch dieGleichungθ = K HLU 1/2

Mathematik 3, Klausurübungen Seite 2 von 2 9. Dezember 2007bestimmt, wobei H die Magnetfeldstärke, L die Weglänge des Elektronenstrahls, U dieBeschleunigungsspannung und K eine Apparatekonstante ist.Jede der Größen H, L und U sei mit einer Genauigkeit von ±0.2% bekannt. BerechnenSie den größten möglichen prozentualen Fehler von θ mit Hilfe des totatlen Differentials.Lösung: Zur Bestimmung des prozentualen Fehlers berechnen wir dθ aus dem totalenθDifferential:dθ = KL HdH + KU1/2U dU − 1 1/2 2 K HL dUU3/2Alsodθθ = dH H + dL L − 1 dU2 UMit ɛ := 0.2% = 0.2 = 1 folgt also:100 500dθθ = ±ɛ + ±ɛ − 1 2 ± ɛDaher ist der größte prozentuale Fehler von θ durch 5ɛ = 1 × 1 also durch 0.5% gegeben.2 2 1004. Gegeben sei ein Rotationsellipsoidx 2 /a 2 + y 2 /a 2 + z 2 /b 2 = 1.Berechnen Sie die Flächennormale ⃗n für einen beliebigen Punkt P (x, y, z) auf der Oberflächesowie speziell für die Punkte P (a/ √ 2, a/ √ 2, 0), P (a/ √ 3, a/ √ 3, b/ √ 3) und P (0, 0, b).Lösung: Der Rotationsellipsoid ist eine Niveaufläche zu ϕ(x, y, z) = x 2 /a 2 + y 2 /a 2 +z 2 /b 2 . Der Gradient von ϕ wird:grad ϕ = (2x/a 2 , 2y/a 2 , 2z/b 2 ),und der Betrag des Gradienten ergibt sich zu| grad ϕ| = √ (2x/a 2 ) 2 + (2y/a 2 ) 2 + (2z/b 2 )) 2Für ⃗n ergibt sich so⃗n(x, y, z) == 2 √ x 2 /a 4 + y 2 /a 4 + z 2 /b 4(x/a 2 , y/a 2 , z/b 2 )√x2 /a 4 + y 2 /a 4 + z 2 /b 4 .Und an den angegebenen Punkten folgt:⃗n(a/ √ 2, a/ √ 2, 0) = ( √ 1 1, √ , 0) 2 2⃗n(a/ √ 3, a/ √ 3, b/ √ 3) =( 1, 1, 1)a b c√1+ 1 + 1 a 2 a 2 c 2⃗n(0, 0, b) = (0, 0, 1)