Joachim Schneider

Mathematik 1Joachim Schneider5. Januar 20091

Inhaltsverzeichnis1 Mengen, Zahlen Geometrie 131.1 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.2.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.2.1.1 Anzahl der n-Tupel . . . . . . . . . . . . 161.1.2.1.2 Variationen mit Wiederholung . . . . . . 161.1.2.1.3 Variationen ohne Wiederholung . . . . . 161.1.2.1.4 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . 161.1.2.1.5 Die Anzahl der n-elementigen Teilmengeneiner k-elementigen Menge A . . . . 171.1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.3.1 *Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . 221.2 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 261.2.1 *Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.1.1 Rechenregeln für die Arithmetik mit natürlichenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

INHALTSVERZEICHNIS 31.2.2 *Erweiterungen des Zahlenbereichs . . . . . . . . . . . . . 301.2.2.1 Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.2.2 Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.3 Rechenregeln für die Arithmetik mit rationalen Zahlen . . 341.2.3.1 Die Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.3.2 Die Ordungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.3.3 Betrag einer Zahl und Abstand zweier Zahlen . . 361.2.3.4 Rechenregeln für Ungleichungen . . . . . . . . . . 381.2.3.5 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.3.6 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.2.3.7 Löcher in den rationalen Zahlen . . . . . . . . . . 471.2.4 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2.4.1 Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.2.4.2 Näherungswerte für die fehlenden Zahlen . . . . . 501.2.4.3 Darstellung der reellen Zahlen als Vektoren aufder Zahlengeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.3.1 Das Summen und das Produktzeichen . . . . . . . . . . . . 521.3.2 Die binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.3.3 Die Bernoullische-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 541.4 Folgen (von Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.4.1 Beispiel: Approximation der Wurzel . . . . . . . . . . . . . 561.4.2 Definition des Begriffs “Folge” . . . . . . . . . . . . . . . . 601.4.3 *Beweis, daß obige Wurzelapproximation konvergiert . . . 62

INHALTSVERZEICHNIS 41.4.4 Beispiele von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.4.1 Die Folge (x n ) n∈N : x, x 2 , x 3 , . . . . . . . . . . . . . 631.4.4.2 Die Folge (( 1 n ) p q )n∈N für p ∈ N, q ∈ N . . . . . . . 631.4.4.3 Die Folge (n p q )n∈N für p ∈ N, q ∈ N . . . . . . . . 631.4.4.4 Die Folge ( n√ a) n∈N für a > 0 . . . . . . . . . . . . 641.4.5 Rechenregeln für Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.4.6 Die geometrische Summe und die geometrische Reihe . . . 661.4.7 *Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.4.8 *Zusatz: Anmerkungen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . 761.4.8.1 Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen . . . . . 761.5 Die Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.5.1 Erinnerung an die euklidische Geometrie . . . . . . . . . . 801.5.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.5.1.1.1 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.5.1.1.2 Euklids Postulate . . . . . . . . . . . . . 821.5.1.2 Einige fundamentale geometrische Sätze . . . . . 831.5.2 Kartesische Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . 871.5.2.1 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.5.2.1.1 Sinus und Cosinus am rechtwinkligenDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.5.2.2 Koordinatentransformation und Drehungen . . . 951.5.2.2.1 Drehung des Koordinatensystems (“passiveDrehungen”). . . . . . . . . . . . . . 951.5.2.2.2 Drehung der Ebene (“aktive Drehungen”). 961.5.2.2.3 Das Additionstheorem für die trigonometrischenFunktionen. . . . . . . . . . . . 97

INHALTSVERZEICHNIS 52 Funktionen 1012.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.2 Einfache Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.2.1 Die Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.2.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.2.3 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 1052.3 Der Begriff der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.4 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.5 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.6 Die Trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.6.1 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.6.2 Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.6.2.1 Bedeutung im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . 1102.6.2.1.1 Tangens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.6.2.1.2 Cotangens. . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.6.2.2 Bedeutung am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . 1122.6.2.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.7 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . . . . 1142.7.1 Einige Beziehungen zwischen den Arcusfunktion . . . . . . 1182.8 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.8.1 Motivation: Ungebremstes Wachstum . . . . . . . . . . . . 1222.8.2 Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . 1242.8.2.1 Das Additionstheorem der Exponentialfunktion . 124

INHALTSVERZEICHNIS 62.8.2.2 expx = e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.8.2.3 Vorzeichen, Wert an der Stelle 0, ... . . . . . . . . 1282.8.2.4 Die Reihendarstellung der Exponentialfunktion . 1282.8.2.4.1 Noch einmal exp(x + y) = exp(x)exp(y): 1302.8.2.4.2 Noch einmal exp(x) = e x : . . . . . . . . 1312.9 Der natürliche Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.10 Die Potenz mit rellem Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.11 Logarithmus zu beliebiger positiver reller Basis a . . . . . . . . . 1333 Komplexe Zahlen 1413.1 Cardanos Formel für Gleichungen dritten Grades . . . . . . . . . 1413.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.1.2 Noch einmal die n-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.1.3 Herleitung der Cardanischen Formel . . . . . . . . . . . . . 1443.1.4 Beispiele und Aufgaben zur Cardanischen Formel . . . . . 1473.2 Die Komplexen Zahlen und ihre Rechenregeln . . . . . . . . . . . 1503.3 Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen . . . . . . . . 1563.3.1 Die Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.3.2 Interpretation der Addition als Vektoraddition . . . . . . . 1593.3.3 Interpretation der Multiplikation als Drehstreckung . . . . 1613.4 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.4.1 Die Formel von De Moivre i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.4.2 Die Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

INHALTSVERZEICHNIS 74 Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit 1674.1 Topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.2 Funktionsgrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795 Differentialrechnung 1825.1 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion . . . . . . . . . . . 1825.1.1 Definition der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.1.2 Geometrische Bedeutung der Ableitung . . . . . . . . . . . 1855.1.3 Die Ableitung als beste lineare Approximation an eineFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.1.3.1 Folgerungen aus der linearen Approximation . . . 1875.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . 1885.2 Differentiationsregeln mit Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . 1885.2.1 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.2.2 Die Ableitung bekannter Funktionen . . . . . . . . . . . . 1905.3 Der Mittelwertsatz von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 2016.1 Matrizen ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.1.2 Grundbegriffe, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

INHALTSVERZEICHNIS 86.1.3 Rechenregeln für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.1.3.1 Einfache Operationen . . . . . . . . . . . . . . . 2076.1.3.2 Matrix Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . 2086.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2.2 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2.3 Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 2166.2.5 Das Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.2.6 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.2.7 Die Determinante einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 2236.2.8 Die Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287 Weitere Aufgaben — zum Teil mit Lösungen 234

LITERATURVERZEICHNIS 10[13] Hans-Joachim Kowalsky: Lineare Algebra. Berlin: Walter de Gruyter, 1979.[14] Walter R. Fuchs: Knaurs Buch der Denkmaschinen. München/Zürich: DroemerKnaur, 1968.[15] Fritz Reinhardt: dtv-Atlas Schulmathematik. München: Deutscher TaschenbuchVerlag, 2003.[16] Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas Mathematik; Band 1. München:Deutscher Taschenbuch Verlag, 2001.[17] Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas Mathematik; Band 2. München:Deutscher Taschenbuch Verlag, 2003.[18] James Glyn et al.: Modern Engineering Mathematics. Harlow: Pearson Education,2001.[19] Leslie Lamport: L A TEX — A Document Preparation System. User’s Guideand Reference Manual. Reading, Ma.: Addison-Wesley, 1994.[20] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Wiesbaden:Vieweg.[21] I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew [Begr.]; Grosche, Günther [Bearb.];Zeidler, Eberhard [Hrsg.]: Teubner Taschenbuch der Mathematik. Stuttgart,Leipzig: B.G. Teubner, 1996.[22] Kurt Meyberg und Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1 — DifferentialundIntegralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung. Berlin [u.a.]: Springer,2003.[23] Klaus Weltner: Mathematik für Physiker 1 — Basiswissen für das Grundstudiumder Experimentalphysik. Berlin [u.a.]: Springer, 2006.[24] K. Denecke und K. Todorov: Algebraische Grundlagen der Arithmetik. Berlin:Heldermann Verlag, 1994.[25] T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelhorn, K. Lichtenegger,H. Stachel: Mathematik. Heidelberg: Spektrum, 2008.

LiteraturDas obige Literaturverzeichnis gibt die von mir bei der Herstellung der Vorlesungverwendeten Quellen an. Einiges davon ist auch begleitend zur Vorlesung zuempfehlen:• Man sollte eines der Lehrbücher [18], [7], [2], [3], [12], oder [20] neben derVorlesung durcharbeiten. Da sowohl die mathematischen Vorkenntnisse, alsauch die Vorlieben für die Art der Darstellung mathematischer Sachverhaltesehr unterschiedlich sind, wird hier keine Empfehlung für ein bestimmtesBuch abgegeben.• Zum Auffrischen von verschüttetem Wissen aus der Schulmathematik eignetsich [15] sehr gut: es ist deutlich mehr als eine Formelsammlung; diewichtigen Begriffe und Strukturen werden gut erklärt.• Als Formelsammlung kann [10] oder auch der Klassiker [21] dienen.11

Verwendete ZeichenGriechische Kleinbuchstabenα (alpha) θ (theta) o (o) υ (upsilon)β (beta) ϑ (theta) π (pi) φ (phi)γ (gamma) ι (iota) ̟ (pi) ϕ (phi)δ (delta) κ (kappa) ρ (rho) χ (chi)ǫ (epsilon) λ (lambda) ̺ (rho) ψ (psi)ε (epsilon) µ (mu) σ (sigma) ω (omega)ζ (zeta) ν (nu) ς (sigma)η (eta) ξ (xi) τ (tau)Griechische GroßbuchstabenΓ (Gamma) Λ (Lambda) Σ (Sigma) Ψ (Psi)∆ (Delta) Ξ (Xi) Υ (Upsilon) Ω (Omega)Θ (Theta) Π (Pi) Φ (Phi)12

Kapitel 1Mengen, Zahlen Geometrie1.1 Mengen und Abbildungen1.1.1 MengenDefinition: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmtenwohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkenszu einem Ganzen.Diese informelle Festlegung des Mengenbegriffs stammt von Georg Cantor (1895).Mengen werden durch Großbuchstaben bezeichnet, die “Objekte” aus obiger Definitionheißen die Elemente der Menge. Wir schreiben a ∈ A, wenn a ein Elementvon A ist, a ∉ A, wenn das nicht der Fall ist.Beschreibung von Mengen:• Durch Aufzählung der Elemente:Beispiel:A = {a 1 , a 2 , . . . , a n }A = {2, 4, 6, 8}.13

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 14• Durch Angabe einer definierenden Eigenschaft:A = {x ∈ Ω|x hat die Eigenschaft E}Beispiel:A = {n ∈ N|n ist gerade und kleiner als 10}Bezeichnungen:• Die Menge, die kein Element enthält, heißt die leere Menge und wird mit ∅bezeichnet.• Ist jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B, so heißt Aeine Teilmenge von B und man schreibt A ⊂ B.• Ist A eine Teilmenge von B, aber ungleich B, so heißt A eine echte Teilmengevon B.1.1.2 MengenoperationenAus je zwei Mengen A und B lassen sich neue Mengen durch die Operationendes Durchschnitts, A ∩ B, der Vereinigung, A ∪ B und des Komplements, A \ B,bilden, die wie folgt definiert sind:A ∩ B := {x|x ∈ A und x ∈ B},A ∪ B := {x|x ∈ A oder x ∈ B},A \ B := {x|x ∈ A und x ∉ B}.Die Mengenoperationen kann man durch die sogenannten Venn-Diagrammeveranschaulichen:

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 15Abbildung 1.1: Venn-DiagrammeAls kartesisches Produkt A × B der Mengen A und B bezeichnet man die Mengeder PaareA × B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B},entsprechend geht das auch für mehr als zwei Mengen:A 1 × A 2 × · · · × A n := {(a 1 , a 2 , . . . , a n )|a j ∈ A j , für j = 1, 2, . . .,n}ist die Menge aller n-Tupel (a 1 , a 2 , . . . , a n ), sowieA n :=}A × A ×{{· · · × A}.n malBeispiel: Versieht man die Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem, soistR 2 := R × R = {(x, y)|x und y sind die Koordinnaten von P = P(x, y)}Y/|\|

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 16|Y |......... x P = P(X, Y)| .| .| .|-----------------------> XX1.1.2.1 Kombinatorik1.1.2.1.1 Anzahl der n-Tupel Sind in A 1 ×A 2 ×· · ·×A n die Mengen A j , j ∈N endliche Mengen mit k j Elementen, so gibt es offenbar k 1 ·k 2 · · · k n verschiedenen-Tupel (a 1 , a 2 , . . . , a n ), das ist also die Anzahl der Elemente von A 1 ×A 2 ×· · ·×A n .1.1.2.1.2 Variationen mit Wiederholung Sind A 1 = A 2 = . . . = A n = Aund hat A k Elemente, so ergibt sich für die Anzahl der n-Tupel aus A n :A(n, k) = k n .1.1.2.1.3 Variationen ohne Wiederholung Sei wieder A 1 = A 2 = . . . =A n = A und A mit k Elementen. Es ist nach der Anzahl der n-Tupel gefragt,die auf allen Plätzen verschiedene Elemente haben — in (a 1 , a 2 , . . . , a n ) sei alsoa i ≠ a j für i ≠ j. für diese Anzahl ergibt sich unter der Voraussetzung n ≤ k:V (n, k) = k · (k − 1) · · · (k − (n − 1)) =k!(k − n)! ,wobei r! für r ≥ 2 für das Produkt 1 · 2 · · · r steht und man 0! := 1 sowie 1! := 1setzt.1.1.2.1.4 Permutationen Für k = n erhält man unter den Variationen ohneWiederholung als Spezialfall die Permutationen i . Es handelt sich um diejenigen n-Tupel, bei denen n paarweise verschiedenen Elemente auf n Plätze verteilt werden.i Der Begriff steht fr Vertauschung

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 17Für die Anzahl der Permutationen der n Elemente einer Menge erhält manP(n) = n!.1.1.2.1.5 Die Anzahl der n-elementigen Teilmengen einer k-elementigen Menge A Diese Anzahl bezeichnen wir mit T(n, k) und erhaltensie aus folgender Überlegung: Aus jeder dieser Teilmengen kann man n! verschiedenen-Tupel bilden. Damit erhält man alle die n-Tupel aus A k , die auf allen Plätzenverschiedene Elemente haben (Variationen ohne Widerholung), deren Anzahl istaber V (n, k). Also ist T(n, k) · n! = V (n, k). Einsetzen und Umformen ergibtT(n, k) =k!n! · (k − n)! . (1.1)Bemerkung: Den hier auf der rechten Seite auftretenden Ausdruck bezeichnetman als Binomialkoeffizient ( kn), gelesen “k über n”. Es ist( k k · (k − 1) · · · (k − (n − 1))= (1.2)n)1 · 2 · · · n1.1.3 AbbildungenA und B seine Mengen. Eine Abbildung (oder Funktion) f von A nach B, inZeichen f : A → B, A ∋ x ↦→ f(x) ∈ B, ist eine Vorschrift, die jedem Elementx ∈ A genau ein Element f(x) ∈ B zuordnet. Dabei heißt A der Definitionsbereichder Abbildung f, und die Elemente von A heißen die Argumente der Abbildung f.f(x) ∈ B heißt der Funktionswert von f an der Stelle x. Die Menge aller dieserFunktionswerte, alsof(A) := {f(x)|x ∈ A} ⊂ B,heißt der Wertebereich von f.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 18Abbildung 1.2: AbbildungenWerden unterschiedliche Elemente x, y des Definitionsbereiches stets auf unterschiedlicheBilder f(x), f(y) abgebildet, so heißt die Abbildung f injektiv, sieheAbbildungen 1.3 und 1.4.Abbildung 1.3: Injektive AbbildungAbbildung 1.4: Nicht injektive AbbildungIm allgemeinen werden von der Abbildung (Funktion) f, f : A → B nicht alleElemente von B “erreicht”, so wie das in Abbildung 1.5 dargestellt ist, es ist

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 19also f(A) ⊂ B aber f(A) ≠ B. In dem speziellen Fall, daß f(A) = B heißt dieAbbildung f surjektiv.Abbildung 1.5: Nicht surjektive AbbildungEine Abbildung die sowohl injektiv als auch surjektiv ist wird bĳektiv genannt.Dann gibt es zu jedem y ∈ B ein und nur ein (“genau ein”) x ∈ A, so daßy = f(x) gilt. Dieses eindeutig bestimmte x bezeichnet man als x = f −1 (y). Dieso definierte Abbildung f −1 : B → A heißt Umkehrabbildung von f.Beispiel: Zur Erläuterung der Bedeutung dieser Begriffe sehen wir uns als Beispieldie Funktion y = x 2 an:• Betrachten wir sie als Abbildung f,f : (−∞, ∞) → [0, ∞),(−∞, ∞) ∋ x ↦→ x 2 ∈ [0, ∞),so ist f surjektiv aber nicht injektiv, weil ja f(−x) = f(x) ist.• Durch Einschränkung des Definitionsbereiches auf (−∞, 0] ergibt die Abbildungg,g : (−∞, 0] → [0, ∞),(−∞, 0] ∋ x ↦→ x 2 ∈ [0, ∞),die surjektiv und injektiv ist. Die Abbildung kann umgekehrt werden durchy = − √ x, also genauer durch die Abbildungg −1 : [0, ∞) → (−∞, 0], [0, ∞) ∋ x ↦−→ − √ x ∈ (−∞, 0].

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 20• Durch Einschränkung des Definitionsbereiches auf [0, ∞) ergibt die Abbildungh,h : [0, ∞) → [0, ∞),[0, ∞) ∋ x ↦→ x 2 ∈ [0, ∞),die surjektiv und injektiv ist. Die Abbildung kann umgekehrt werden durchy = √ x, also genauer durch die Abbildungh −1 : [0, ∞) → [0, ∞),[0, ∞) ∋ x ↦−→ √ x ∈ [0, ∞).3y = x 2y = ± √ x21Y-Achse0-1-2-3-3 -2 -1 0 1 2 3X-AchseAbbildung 1.6: y = x 2 ist – betrachtet als auf R definierte Funktion — nicht(eindeutig) Umkehrbar.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 213y = x 2y = ± √ x21Y-Achse0-1-2-3-3 -2 -1 0 1 2 3X-AchseAbbildung 1.7: y = x 2 betrachtet als auf (−∞, 0] definierte Funktion und dieUmkehrfunktion y = − √ x.3y = x 2y = ± √ x21Y-Achse0-1-2-3-3 -2 -1 0 1 2 3X-AchseAbbildung 1.8: y = x 2 betrachtet als auf [0, ∞) definierte Funktion und die Umkehrfunktiony = √ x.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 221.1.3.1 *Mächtigkeit von MengenZwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, in Zeichen A ∼ B, wenn eine bĳektiveAbbildung zwischen Ihnen besteht. Z.B. sind die Mengen A := {a, b, c} und B :={1, 2, 3} gleichmächtig, denn man kann z.B. man die durch die Wertetabellex f(x)a 1b 2c 3definierte Abbildung verwenden. Offensichtlich sind zwei endliche Mengen genaudann gleichmächtig, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben.Die so definierte Realtion ∼ zwischen Mengen ist eine Äquivalenzrelation, d.h. sieist reflexiv (A ∼ A), symmetrisch (A ∼ B ⇔ B ∼ A) und transitiv (Ist A ∼ Bund B ∼ C, so gilt auch A ∼ C).Bei nicht-endlichen Mengen treten neue Effekte auf: Dazu sehen wir uns die MengenundA := {2, 4, 6, 8, . . .}B := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}an. Offensichtlich ist A — die Menge der geraden Natürlichen Zahlen — eine echteTeilmenge von B — der Menge der natürlichen Zahlen. Trotzdem sind A und Bgleichmächtig. Um das nachzuweisen, müssen wir einfach eine bĳektive Abbildungf zwischen A und B angeben:f : A → B,f(n) = n/2.Diese Erscheinung ist typisch für nicht endliche Mengen, deshalb definiert man

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 23Definition: Eine Menge heißt unendlich, wenn sie gleichmächtig zu einer ihrerechten Teilmengen ist. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig zurMenge N der natürlichen Zahlen ist.Beispiel: Die Menge der Brüche Q,Q := {x|x = p q ,p, q ∈ Z},ist abzählbar, es gibt also genau so viele Brüche wie natürliche Zahlen! Um daseinzusehen, zerlegen wirQ = Q − ∪ {0} ∪ Q + ,Q ± := {x ∈ Q|x > < 0}.Jetzt schreiben wir Q + als “unendliche Matrix” auf:⎡⎤1/1 1/2 1/3 · · ·2/1 2/2 2/3 · · ·A = (a ij ) ij = ⎢⎣ 3/1 3/2 3/3 · · · ⎥⎦ ,. . ....Also a ij = i/j.Dann zählen wir Q + ab:a 11 → a 12 → a 21 → a 31 → a 22 → a 13 → . . .

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 24Q + ist also abzählbar, wie folgende Tabelle zeigt:Q + [N] N1/1 1 11/2 2 22/1 3 33/1 4 42/2 5 11/3 6 54/1 7 63/2 8 72/3 9 81/4 10 9...Hier haben wir zunächst die Brüche durchgezählt ([N]), und dann die Abzählungso geändert, daß die “kürzbaren” Brüche (z.B. 2/2 = 1) nur einmal gezählt werden,womit sich die Abzählung verschiebt und die “N”-Spalte ergiebt.Damit ist dann auch eine Abzählung von Q konstruierbar:0 → q (1)+ → q (1)− → q (2)+ → q (2)− → · · · ,Dabei ist q (i)± das i-te Element von Q ± .AufgabenAufgabe 1: Es sei in der folgenden Aufgabe R die Menge der reellen Zahlen, alsodie Punkte auf der Zahlengerade; darauf wird später noch genauer eingegangen.Es seienundA = {x ∈ R|x ≤ 0}, B = {x ∈ R|x > 1}

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 25C = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}.Bestimmen Sie A ∩ B, A ∪ B ∪ C, A \ C und B \ C (aus [7]).Aufgabe 2: Es seien A und B Mengen. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke(aus [7]):(a) A ∩ A;(b) A ∪ ∅;(c) A ∩ (A ∪ B);(d) A ∩ (B \ A);Aufgabe 3: Veranschaulichen Sie das DistributivgesetzA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).Aufgabe 4: Veranschaulichen Sie die FormelA \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).Aufgabe 5: Wir betrachten die Funktion y = x 2 auf verschiedenen Definitionsbereichen.Ermitteln Sie jeweils ob die Abbildung injektiv oder surjektiv ist.Falls die Abbildung injektiv und surjektiv (also bĳektiv) ist, bestimmen Sie dieUmkehrabbildung. Mit R bezeichnen wir die reellen Zahlen, mit R + 0 die positivenreellen Zahlen mit Einschluß der Null.(a) f : R → R, x ↦−→ x 2 ,

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 26(b) f : R → R + 0 , x ↦−→ x 2 ,(c) f : R + 0 → R, x ↦−→ x 2 ,(d) f : R + 0 → R + 0 , x ↦−→ x 2 .Aufgabe 6: Herr Moosbacher hat ein Kleiderproblem. Er besitzt 3 Jacken, 4Hosen und 3 Krawatten und möchte an keinem Tag im Monat gleich gekleidet imBüro erscheinen. Ist das möglich?Aufgabe 7: Beim 11er-Fußballtoto entscheidet man sich bei jedem der 11 Tippsfür eine der drei Möglichkeiten 0, 1 oder 2 (Unentschieden, X gewinnt, Y gewinnt).Wie viele verschiedene Tipps könnte man abgeben?Aufgabe 8: Beim Lotto 6 aus 49 kreuzt man 6 von 49 Zahlen an. Wie vieleverschiedene Tipps könnte man abgeben?Aufgabe 9: Wie oft kann man die vier Buchstaben a, b, c und d ohne (mit)Buchstabenwiederholungen zu einem 4-buchstabigen “Wort” zusammensetzen?Aufgabe 10: Geben Sie eine Abzählung der ganzen Zahlen Z an!1.2 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen1.2.1 *Die natürlichen ZahlenDie Zahlen 1, 2, 3, . . ., die man zum Zählen verwendet, heißen natürliche Zahlen: N.Fügt man zu diesen die Zahl 0 hinzu, so schreibt man N 0 (“N mit Null”).Abstrakter lassen sich die natürlichen Zahlen als Klassen gleichmächtiger endlicherMangen auffassen: So repräsentierenDie Zahl ’1’ die Klasse der Mengen, die nur ein einziges Element enthalten, alsou.a. folgende Mengen:{a}, {rot}, {I, }, {Italien}.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 27Die Zahl ’2’ die Klasse, bei der die Elemente aus denen der Klasse ’1’ durchHinzufügen eines weiteren Elementes hervorgehen, es sind in der Klasse ’2’also u.a. die Mengen{a, b}, {rot, grün}, {I,II}, {Italien, Schweiz}.Die Zahl ’3’ die Klasse, bei der die Elemente aus denen der Klasse ’2’ durchHinzufügen eines weiteren Elementes hervorgehen, es sind in der Klasse ’3’also u.a. die Mengen{a, b, c}, {rot, grün, blau}, {I,II,III}, {Italien, Schweiz, Deutschland}.Der Übergang von einer zur nächsten Klasse ist also das “Weiterzählen um 1”bzw. die “Addition von 1”. Durch endliche Wiederholung dieses Weiterzählenskann aus der 1 jede natürliche Zahl n ∈ N erzeugt werden:n := 1 + 1 + · · · 1} {{ }n malIn Verallgemeinerung definiert man so die Addition zweier natürlicher Zahlen mund n:m + n := 1 + 1 + · · · 1} {{ }n malDas sind die Regeln des “Rechnens mit Fingern”. Hierauf aufbauend lassen sichrasch die übrigen Grundrechenarten und einige darauf aufbauende Begriffe definieren:Die Größer-Relation a ist größer als b, in Zeichen a > b, genau dann, wenneine Zahl m ∈ N existiert, so daß a = b + m. Weiter verwenden wira ≥ b: a > b oder a = b.a < b: b > a.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 28a ≤ b: a < b oder a = b.Die Subtraktion als Umkehrung der Addition:a − b ist die Zahl x ∈ N 0 , für die gilt b + x = a.Also ist a − b genau dann definiert, wenn a ≥ b.Die Multiplikation als Abkürzung für wiederholt ausgeführte Addition:1 · b = ba · b = b + b + · · · + b} {{ }a-malfür a ∈ N \ {1}.Die Division als Umkehrung der Multiplikation:a : b ist die natürliche Zahl x, für die gilt b · x = a.Daher ist a/b nur dann definiert, wenn b ≠ 0 und a ein Vielfaches von b ist.Es gibt auch eine ganzzahlige Division mit Rest, die für alle b ≠ 0 definiertist:a : b = x Rest rmit 0 ≤ r < bbedeutet a = b · x + r. Für den Divisionsrest r schreibt man auch r = a % b,“r ist gleich a modulo b”.Berechnet wird das durch fortgesetzte Subtraktion, wie der folgende imPseudocode beschriebene Algorithmus zeigt:Algorithmus 1 DivisionPrecondition: b ≠ 0% Divison mit Rest: a : b = x Rest r1: x ← 02: while a ≥ b do3: a ← a − b4: x ← x + 15: end while6: r ← a

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 291.2.1.1 Rechenregeln für die Arithmetik mit natürlichen ZahlenFür natürliche Zahlen a, b, c ∈ N 0 folgen die Rechenregeln:(A1) Kommutativgesetze: a + b = b + a und ab = ba.(A2) Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c.(A3) Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac(A4) Existenz neutraler Elemente: Es ex. 0 (“Null”) und 1 (“Eins”) mit 0 ≠ 1,so daß für jedes a gilt:a + 0 = a und a · 1 = aDie “Größer-Kleiner-Beziehung” gehorcht den folgenden Regeln:(A6) Trichotomiegesetz: Für je zwei Zahlen gilt genau eine der drei Beziehungena < b, a = b, a > b.(A7) Transitivitätsgesetz: ist a 0.Anmerkung: Allein aus diesen Rechenregeln folgen die “Kürzungsregeln” fürGleichungen:unda + c = b + c ⇒ a = b (1.3)ac = bc, und c ≠ 0 ⇒ a = b. (1.4)Denn wäre a ≠ b, also etwa nach (A6) a < b, so wäre nach (A8) a + c < b + c,was nach (A6) insbesondere a + c ≠ b + c impliziert. Der zweite Teil folgt analog.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 301.2.2 *Erweiterungen des ZahlenbereichsBeim Messen von Strecken legt man ausgehend von einem Ursprung O einen Maßstab,die Einheitsstrecke E so lange an, bis die abzumessende Strecke abgetragenist. Die Häufigkeit des Anlegens ist dann die Maßzahl der StreckeE---------->|----------+---------+---------+--0 1 2 31.2.2.1 Die ganzen ZahlenWill man sowohl Strecken rechts als auch links des Ursprungs ausmessen können,so führt man für die Meßpunkte links des Ursprungs die negativen Zahlen ein,denen man ein “−” vorsetzt:-E E--+--------+---------+---------|---------+---------+---------+---3 -2 -1 0 1 2 3Da in diesem geometrischen Bild die Addition dem Hintereinanderlegen vonStrecken entspricht, wobei natürliche Zahlen durch Anlegen von E nach rechtsund die negativen Zahlen durch Anlegen von −E nach links erzeugt werden, ergibtsich die Rechenregela + (−a) = 0,für a ∈ NDefiniert man nun noch für eine negative Zahl a die Zahl −a als die natürlicheZahl n, für die −n = a gilt (also etwa −(−3) := 3) so gilt obige Regel sowohlfür positive als auch für negative Zahlen und auch für die Null, für die −0 := 0festgelegt wirda + (−a) = 0, für a ∈ Z,

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 31wobei Z := N ∪ {−n|n ∈ N} ∪ {0} den neu eingeführten Zahlenbereich der ganzenZahlen bezeichnet. Für jede Zahl x ∈ Z gibt es damit eine zu ihr negative Zahl−x, nämlich die Zahl, die spiegelbildlich zum Ursprung liegt. Es ist −(−x) = x.Die zu einer Zahl negative Zahl: Die zu einer Zahl a ∈ Z negative Zahl −aist diejenige Zahl, die zu a addiert Null ergibt.−a heißt das Additive Inverse zu a.Die Rechenregeln für die so neu eingeführten Zahlen werden so aufgestellt, daßweiterhin die Gesetze (A1) bis (A8) gelten. Dann müssen zwingend die Vorzeichenregelngelten:“Minus mal Plus gibt Minus”: Es ist doch0 = a · 0= a · (b + (−b))= a · b + a · (−b)und auch0 = a · b + (−(a · b))alsoa · b + a · (−b) = a · b + (−(a · b))Die Kürzungsregel lieferta · (−b) = −(a · b)“Minus mal Minus gibt Plus”: Zunächst ist nach dem letzten Schritt (−a) ·(−b) = −((−a) · b) was nochmals unter Anwendung des letzten Schrittes gleich−(−(a · b)) ist; das ist aber gleich a · b.Wir hatten a − b als die Zahl x definiert, für die gilt b + x = a. In den ganzenZahlen ist diese Gleichung immer durch x = (−b) + a lösbar.Die Definition der “Größer-Relation kann unverändert übernommen werden:a ∈ Z ist größer als b ∈ Z, in Zeichen a > b, genau dann, wenn eineZahl m ∈ N existiert, so daß a = b + m.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 32a ist also größer als b, wenn es “rechsts von” b liegt.1.2.2.2 Die rationalen ZahlenAuf die rationalen Zahlen wird man geführt, wenn man auch das Abmessen vonBruchteilen der Einheitsstrecke E beschreiben will.Ist n ∈ N so teilt man dir Einheitsstrecke in n gleiche Teile ein. Man erhältPunkte, die wir der Reihe nach mit1n , 2 n , 3 n , . . . , n − 1n , n n = 1bezeichnen.Beispiel n = 4:0 1/4 2/4 3/4 4/4|----------+---------+---------+--------->Beispiel n = 2:E0 2/4 4/4|--------------------+------------------->EAlle diese Zahlen — und noch viel mehr – erhält man auch durch Aneinanderlegen(in beide Richtungen) des n-ten Teils der Einheitsstrecke:Beispiel n = 4:

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 33-1/4 0 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4+---------|----------+---------+---------+---------+---------+-E/4 E/4Diese Zahlen haben die Form = ± m n mit n ∈ N und m ∈ N 0.Rationale Zahlen, Brüche: Die neu eingeführte Zahl x, x = m nund m ∈ Z, sei die Zahl, die mit n multipliziert m ergibt.mit n ∈ Z\{0}Eine solche Zahl nennen wir einen Bruch oder auch eine rationale Zahl (Verhältniszahl).Ist z ∈ Z und m ein z-faches von n, m = z · n, so stellt der Bruch x = m die Zahlnz dar, denn es ist ja x · n = m und z · n = m, also n = x Die ganzen Zahlen sindalso Teil der Brüche.Wir bezeichnen die Menge der Brüche mit Q.Direkt aus der Definition folgtn : n = n mfür n, m ∈ Z und m ≠ 0.Die Rechenregeln für die Brüche folgen daraus, daß man fordert, daß die Regeln(A1)–(A8) gültig bleiben sollen (a, b, c, d ∈ Z, b ≠ 0, d ≠ 0):Goldene Regel: a = ηa für η ∈ Z \ {0}.b ηbDenn sei x = a und x ′ = ηa , so ist b · x = a und ηb · x′ = ηa, alsob ηbb · x ′ = a also b · x = b · x ′ also x = x ′ ; hier wurde mehrfach die Kürzungsregel(Gleichung1.4) angewendet.Addition Sei x = a und y = c , so ist x · b = a und y · d = c also xbd = ad undb dydb = cb also (x + y)bd = ad + cb; das heißt x + y = ad+bc:bdab + c dad + bc= .bd

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 34Existenz des Additiven Inversen: Die Additionssregel zeigt, daß für allex ∈ Q stets ein additives Inverses −x existiert, so daß x + (−x) = 0: Fürx = a −aist −x = .b bMultiplikation Sei x = a und y = c , so ist x·b = a und y ·d = c also xbyd = ac,b doder auch (xy) · (bd) = ac und damitab · cd = acbd .Existenz des Multiplikativen Inversen: Die Multiplikationsregel zeigt, daßfür alle x ∈ Q\{0} stets ein multiplikatives Inverses x −1 existiert, so daß x·x −1 =1: Für x = a b ist x−1 = b a .Damit ist in Q die Division durch von Null verschiedene Zahlen uneingeschränktdurchführbar, denn x = q : r bezeichnet diejenige Zahl x, für die r · x = q ist.Man setze x = r −1 · q.Die Definition der “Größer-Relation muß angepasst werden:a ∈ Q ist größer als b ∈ Q, in Zeichen a > b, genau dann, wennZahlen m, n ∈ N existien, so daß a = b + m/n.a ist also größer als b, wenn es “rechsts von” b liegt.Eine Zahl a > 0 heißt positiv, eine Zahl a < 0 heißt negativ; deshalb heißt eineZahl a ≥ 0 nichtnegativ.1.2.3 Rechenregeln für die Arithmetik mit rationalen ZahlenFür rationale Zahlen a, b, c ∈ Z folgen die Rechenregeln:

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 351.2.3.1 Die Körperaxiome(A1) Kommutativgesetze: a + b = b + a und ab = ba.(A2) Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c.(A3) Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac(A4) Existenz neutraler Elemente: Es ex. 0 (“Null”) und 1 (“Eins”) mit 0 ≠ 1,so daß für jedes a gilt:a + 0 = a und a · 1 = a(A5) Existenz inverser Elemente: Zu jedem a gibt es eine Zahl −a mita + (−a) = 0;ferner gibt es zu jedem von 0 verschiedenen a eine reelle Zahl a −1 mita · a −1 = 1.1.2.3.2 Die OrdungsaxiomeDie “Größer-Kleiner-Beziehung” gehorcht den folgenden Regeln:(A6) Trichotomiegesetz: Für je zwei Zahlen gilt genau eine der drei Beziehungena < b, a = b, a > b.(A7) Transitivitätsgesetz: ist a 0.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 36(A9) Der Satz von Archimedes:Analytische Formulierung Hat man zwei Zahlen y > x > 0, so existierteine natürliche Zahl n ∈ N mit der Eigenschaft, daß nx > y.Geometrische Deutung Geometrisch läßt sich das Axiom derart interpretieren:Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man diegrößere von beiden (y) übertreffen, wenn man die kleinere (x) nur oftgenug (n-mal) abträgt.Einfachere analytische Formulierung Gleichwertig zum Satz von Archimedesist die etwas kürzere FassungJede Zahl wird von einer natürlichen Zahl übertroffen: Zu jedemx existiert ein n ∈ N so, daß n > x.Damit sind die Rechenregeln für die rationalen Zahlen zusammengestellt. Neu gegenüberden Gesetzen für die natürlichen Zahlen ist (A5) — die Existenz inverserElemente — die durch Erweiterung des Zahlenbereiches erreicht wurde und (A9),der Satz von Archimedes, den man so einsieht: Seien x und y auf gleichen Nennergebracht. y = q/r, x = p/r mit r > 0. Dann muss n ∈ N so gewählt werden, daßn · p > q. n := q : p + 1 (ganzzahlige Division mit Rest) leistet das gewünschte.1.2.3.3 Betrag einer Zahl und Abstand zweier ZahlenWir definieren den Betrag |x| einer Zahl x als{x, x ≥ 0|x| :=−x, x < 0Das ist also der positiv gemessene Abstand dieser Zahl zur Null. Der Abstandzweier Zahlen a und b ist dann durch |a − b| gegeben.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 37Abbildung 1.9: {x| |x| < ε}Wie Abbildung 1.9 illustriert, heißt |x| < ε, daß x zwischen −ε und ε liegt:−ε < x < ε.Abbildung 1.10: {x| |x − b| < ε}Abbildung 1.10 zeigt, daß |x − b| < ε bedeutet, daß x zwischen b − ε und b + εliegt: b − ε < x < b + ε.Satz: Für den Betrag einer Zahl gelten* |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0.* |cx| = |c| |x|* |x + y| ≤ |x| + |y| Das ist die Dreiecksungleichung

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 381.2.3.4 Rechenregeln für UngleichungenAus den Ordnungsaxiomen ergeben sich folgende Rechenregeln für Ungleichungen:x < y, a ≤ b ⇒ x + a < y + b (1.5)x < y, 0 < a ⇒ xa < ya (1.6)x < y ⇔ −y < −x (1.7)0 < x < y ⇔ 0 < 1 y < 1 x(1.8)Auf beiden Seiten von x < y addiert man −y + (−x), womit sich die Äquivalenz(1.7) ergibt; analog folgt (1.8) durch Multiplikation mit y x .Beispiel zum Auflösen von Ungleichungen: −3a − 2 ≤ 5 ≤ −3a + 4 ⇔(−3a ≤ 7 und 1 ≤ −3a) ⇔ (a ≥ − 7 und a ≤ 3 −1 ), also:3− 7 3 ≤ a ≤ −1 3 .1.2.3.5 PotenzenDas Potenzieren ist eine Abkürzung für wiederholte Multiplikation, zumindestensdann, wenn die Hochzahl eine natürliche Zahl n ist:a n = a · a · · · · · a } {{ }n-mala heißt Basis und n heißt Exponent.(1.9)Für natürliche Exponenten gilt:a n · a m = a } · a ·{{ · · · · a}n-malIst außerdem n > m, so gilt:a na m =n-mal{ }} {a · a · · · · · aa · a · · · · · a } {{ }m-mal·a · a · · · · · a } {{ }m-mal= a } · a ·{{ · · · · a}= a n−m(n − m)-mal= a } · a ·{{ · · · · a}= a n+mn + m-mal

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 39Wir haben also die Rechenregelna n · a m = a n+munda na m = an−m . (1.10)Wir wollen nun diese Gleichung für a ≠ 0 auf beliebige ganzzahlige Exponentenerweitern. Dann folgen:a 0 = a n−n = ana n = 1 (1.11)a −n = a 0−n = a0a n = 1 a n (1.12)Direkt aus der Definition (1.9) macht man sich zunächst für natürliches n dieRegelna n · b n = (ab) n , (1.13)(a n ) m = a nm (1.14)klar, die auch für beliebige ganzzahlige Exponenten gelten.Erweiterung auf rationale Exponenten: Für a > 0 und n ∈ N wollen wirzunächst versuchen, dem Ausdruck a 1 n einen Sinn zu geben: Setzen wir x := a 1 n,so folgt x n = (a 1 n) n = a 1 n n = a 1 1 = a, wobei wir die Regel (1.14) verwendet haben.Es sei also a 1 n die positive Zahl, die n-mal mit sich selbst malgenommen die Zahla ergibt — also die n-te Wurzeln √ a aus a:n√ √ a · na · · · n√ a· = a} {{ }n-malEs ist für a > 0, n ∈ N und z ∈ Za 1 n =n √ a und a z n = (n √ a) z (1.15)Zum Beispiel sind8 1 3 = 2, 823 = 4

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 40Es kann höchstens eine positive Zahl x geben, für die x n = a gilt, denn gäbe eszwei — etwa x 1 und x 2 , so wäre etwa x 1 < x 2 und daher folgt aus Gleichung (1.7)x 2 1 < x 1 · x 2 < x 2 2x 3 1 < x 1 · x 2 2 < x 3 2.(1.16)x n 1 < x n 2also a < a, was dem Trichotomiegesetz (A6) widerspricht.Wir haben aber nicht gezeigt, daß a 1 n existiert. Tatsächlich ist es so, a 1 n in denmeisten Fällen nicht in den rationalen Zahlen existiert — wir müssen den Zahlenbereichalso erweitern. Das wird weiter unten geschehen. Hier wollen wir zunächstunbekümmert weiterrechnen.Anmerkung: x = n√ a ist also die positive Lösung der Gleichung x n = a. Darausfolgt zum Bespiel, daß √ u 2 = |u| ist und nicht etwa √ u 2 = u! Denn die Gleichungx 2 = u 2 hat die Lösungen x 1,2 = ± |u| und die Wurzel ist die positive dieserLösungen!1.2.3.6 LogarithmenFür a > 0 ist y = log a (x), der Logarithmus von x zur Basis a, die Zahl y, für diegilt a y = x:Beispiely = log a (x) heißt a y = x. (1.17)log 8 (2) = 1 3denn 8 1 3 = 2.Die Basis a des Logarithmus ist positiv und nicht gleich Eins, im allgemeinengrößer als Eins.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 41Ist u = log a (x) und v = log a (y), so sind a u = x und a v = y und x · y = a u · a v =a (u+v) und daher log a (x · y) = log a (a (u+v) ) = u + v = log a (x) + log a (y). Es folgtalso die Funktionalgleichung des Logarithmuslog a (x · y) = log a (x) + log a (y). (1.18)Wegen a 0 = 1 und a 1 = a folgen die speziellen Funktionswertelog a (1) = 0 und log a (a) = 1 (1.19)so daß mit y = 1 xfür x ≠ 0 aus Gleichung(1.18) die wichtige Beziehunglog a ( 1 x ) = −log a(x) (1.20)folgt. Aus a y = x folgt x r = a ry und deshalb log a (x r ) = r · y = r log a (x) alsolog a (x r ) = r log a (x) (1.21)Logarithmen und Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen: Setztman y = a x und x = log a (y) wechselseitig ineinander ein, so folgt:1. y = a log a (y) .2. x = log a (a x ).Logarithmen zu verschiedenen Basen sind proportional: Aus y = log b (x)erhalten wir b y = x und von dieser Gleichung bilden wir den Logarithmus zurBasis a und wenden dann Gleichung (1.21) an:log a (x) = log b (x) · log a (b). (1.22)Der Zusammenhang zwischen den Potenzfunktionen zu verschiedenenenBasen: Ist u = a x und v = b x so ist ja log a (u) = x = log b (v), alsov = b log b(v) = b log a(u) und die eben gewonnene Umrechnungsformel für Logarithmenzu verschiedenen Basen liefert v = b log b (u)·log a (b) = (b log b (u) ) log a (b) = u log a (b) .Einsetzen von u und v liefert:b x = a xlog a (b) (1.23)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 4254y = (1/2) xy = 2 xy = log 1/2 (x)y = log 2 (x)3Y-Achse2100 1 2 3 4 5X-AchseAbbildung 1.11: Potenzen und LogarithmenAufgabe 11: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen:(a) 5 − 3(a − 2),(b) 5 − (a − 2) − 3,(c) 3ab − 2(7ac − 5ba),(d) y − 3(x − y),(e) x − (a − (x − y)) + a,(f) −2zx + (6ya + 2xz).Aufgabe 12: Schreiben Sie die folgenden Summen als Produkt, in dem Sie allegemeinsamen Terme ausklammern (Faktorisieren)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 43(a) ax + ay,(b) x(a + b) − y(a + b),(c) a(u − v) + b(v − u),(d) (x − y)(3a + b) − (2a − b)(x − y)Aufgabe 13: Multiplizieren Sie aus(a) (x + y)(x − y),(b) (b − a)(a − b),(c) (x − y)(x 2 + xy + y 2 ),(d) a(4a − b)(3b − a).Aufgabe 14: Leiten Sie durch Ausmultiplizieren die binomischen Formel her für(a) (a + b) 3 ,(b) (a + b) 4 ,(c) (a + b + c) 2 .Aufgabe 15: Addieren Sie die folgenden Brüche1(a) 4 9 15 16(b)518 24 30(c)2x 3x x+1ab(d) + xy , cd uv1(e) − 1 . x x−2Aufgabe 16: Schreiben Sie mit nur einem Bruchstrich(a)(b)ab · xy , cd uvab · x+y , cd u+v4(c) 1 ,a +1 b3(d) b .a − a b

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 44Aufgabe 17: Kürzen Sie die folgenden Brüche, wenn dies möglich ist(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)(j)(k)(l)a 2 b, 2aba 2 b, a 2 +aa 2 b, a 2 +ba 2 b, a 2 b+ba+b, a−ba+b, b+aa−b, b−aa+b,b 2 +a 2a+b,b 2 −a 2(a+b) 2a 2 −b 2 ,(a+b) 2a 2 +b 2 ,uva · a2 uv ,(m)u 2 −v 22mn 3 · abm2 n2(u+v) .Aufgabe 18: Faktorisieren Sie(a) 2ax − 2ay + bx − by − cx + cy,(b) axnd − axnc + abnd − abnc.Aufgabe 19: Fassen Sie zusammen 3u 2 v 3 − 5u 3 v 2 + 8v 3 u 2 − 2u 3 v 2 + 9uv 3 .Aufgabe 20: Schreiben Sie als Dezimalzahl (ohne Taschenrechner lösen):(a) 2 10 ,(b) 2 13 ,(c) 2 −3 ,(d) 5 −2 ,

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 45(e) 8 1 3 ,(f) 16 1 2 .Aufgabe 21: Schreiben Sie als Zehnerpotenz der Einheit m (die einzige Ziffervor dem Komma soll keine Null sein)(a) 0.048mm,(b) 37451km,(c) 0.4256cm.Aufgabe 22: Beseitigen Sie die negativen Exponenten:(a) a −3 ,(b) a 2 b −1 ,(c) a −3 /b −5 .Aufgabe 23: Schreiben Sie mit einem Exponenten (a > 0, b > 0):(a) a 4 b 4 ,(b)a 29b 29 ,(c) a √ a,(d) b 2 3√ b,(e) √ a 3 ,3√(f) a5 ,(g) ( 3√ a) 5 ,(h)3 √ a 5√ a.Aufgabe 24: Ziehen Sie (sofern möglich) die Wurzel (a > 0, b > 0) — BeachtenSie, daß x und y sowohl negativ als auch positiv sein können und daß die n-teWurzel einer (nicht negativen) Zahl r als die positive Lösung x der Gleichungx n = r definiert ist; verwenden Sie den Betrag einer Zahl.(a) √ 4a 2 b 3 ,

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 46(b)4 √ x 2 y 4 ,(c) √ a 2 + b 2 ,(d) √ a 2 + 2ab + b 2 ,(e) √ a 2 − 2ab + b 2 .Aufgabe 25: Wann ist y = 3 x − 3 x 2 negativ?Aufgabe 26: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen(a)23 − 1 2 x < 1 3 x − 1 2 ,(b) 1 − 3 4 x ≥ −1 2 ,(c) 9x 2 − 25 < 0,(d) x 2 − 8x + 8 > 1.Aufgabe 27: Bestimmen Sie folgende Logarithmen:(a) log 2 (16),(b) log 3 (27),(c) log 5 ( √ 5),(d) log 5 (1/5),(e) log 2 (1/4),(f) 10 log 10 (8) ,(g) 3 log 3(5) .Aufgabe 28: Bestimmen x in:(a) 3 x = 5,(b) 4 x = 8,(c) 5 x = 2,(d) 2 x = 0.2.Tipp: beide Seiten zur Basis 10 logarithmieren. Ermitteln Sie gegebenenfalls dennumerischen Wert mit dem Taschenrechner. Machen Sie die Probe.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 47Aufgabe 29: Formen Sie mit Hilfe der Logarithmengesetze um:(a) log a ( x2 y 3u 4 v ),(b) log a ( 4√ a 3 ),(c) log a (u) − 2 log a (v) + 4 log a (z),(d)log a (x 3 )log a ( 4√ x) .Aufgabe 30: Wenn eine Volkswirtschaft jedes Jahr um 3 Prozent wächst, wannhat sie sich dann verdoppelt?Aufgabe 31: (a) Wie muß man E wählen, damit sich 9w 2 − 480w + E alsQuadrat schreiben läßt? E ist die quadratische Ergänzung. Tipp: BinomischeFormel!(b) Lösen Sie mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Gleichung x 2 +6x−5 =0.Aufgabe 32: Bestimmen Sie den Parameter t so, daß die Gleichung 2x 2 +4x = tgenau eine Lösung hat.1.2.3.7 Löcher in den rationalen ZahlenZunächst scheint es, daß wir mit den rationalen Zahlen alle gewünschten Streckenausmessen können, denn• in der Mitte zwischen zwei rationalen Zahlen liegt jeweils noch eine andere:Sei y > x. Dann gilt für z := y+x2 :* y > z > x* |z − y| = |z − x| = 1 |y − x|2Denn y = y+y2> y+x2> x+x2= x und |z − y| = y − z = y−x2= |y−x|2. . . .

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 48• In jeder beliebigen Nähe einer rationalen Zahl r liegt noch eine andere:Man wählt ein festes n ∈ N. Mit Hilfe des Satzes von Archimedes sieht man,daß ein z ∈ Z existiert, so daß z − 1 < r · n < z + 1. Also istα n := z n − 1 n < r < z n + 1 n =: β n,Und |β n − α n | = 2/n.Die rationalen Zahlen füllen also die Zahlengerade dicht aus.Abbildung 1.12: Satz des Pythagoras: (a + b) 2 = c 2 + 4 · ab2 ⇒ a2 + b 2 = c 2 .Trotzdem kann nicht jede Strecke als rationale Zahl ausgedrückt werden; die Diagonaleeines Rechteckes der Seitenlänge 1 hat nach dem Satz des Pythagoras eineLänge l, für die gilt l 2 = 1 + 1 = 2 und das ist für keine rationale Zahl l möglich(“ √ 2 ist keine rationale Zahl”):

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 49Nehmen wir an, l wäre eine rationale Zahl, l = a bDann wäre also a 2 /b 2 = 2, alsomit natürlichen Zahlen a und b.a 2 = 2b 2und daher a 2 > b 2 >0; die rechte Seite obiger Gleichung ist gerade, also ist a 2gerade und dann muß auch a gerade sein (weil das Quadrat einer ungeraden Zahlimmer ungerade ist — siehe Aufgabe1.45). Also ist a = 2c für eine positive ganzeZahl c und obige Gleichung wird zuoder4c 2 = 2b 2b 2 = 2c 2und daher b 2 > c 2 > 0. Wir sind nun genau so weit wie ooben, nur daß a durch bund b durch c ersetzt wurde. Wir können beliebig weit fortfahren und erhaltenunda 2 = 2b 2 , b 2 = 2c 2 , c 2 = 2d 2 , d 2 = 2e 2 , . . .a 2 > b 2 > c 2 > d 2 > e 2 > . . . > 0.Aber jede absteigende Folge natürlicher Zahlen muß endlich sein, was aber derTatsache widerspriocht, daß sich obige Folge beliebig fortführen läßt.Also kann l keine rationale Zahl sein!□1.2.4 Die reellen ZahlenWir haben gesehen, daß die rationalen Zahlen zur Beschreibung von Längen nichtausreichen!Trotzdem können wir die “fehlenden Zahlen”, zum Beispiel die Zahl √ 2 — vonder wir ja gerade gesehen haben, daß es keine rationale Zahl ist — mit beliebigerGenauigkeit berechnen! Dazu erinnern wir uns an die

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 501.2.4.1 DezimalzahlenGrundidee: Im täglichen leben wird das Dezimalsystem verwendet. Das Zahlensymbol123 steht dabei für die Summe:1 · 10 2 + 2 · 10 1 + 3 · 10 0 .Ferner entspricht das Symbol 2.43 der Summe2 · 10 0 + 4 · 10 −1 + 3 · 10 −2 .1.2.4.2 Näherungswerte für die fehlenden ZahlenMit Hilfe dieser Zahlendarstellung berechnen wir Näherungswerte für √ 2:In einer ersten groben Abschätzung erhält man leicht: 1 ≤ √ 2 ≤ 2,denn 1 2 = 1; 2 2 = 4.Die erste Stelle hinter dem Komma könnte besetzt sein mit einer derZiffern 0, 1, 2, . . . , 9. Gesucht ist die größte Ziffer z, bei der gilt 1.z 2 ≤2.Durch Probieren findet man: 1.4 ≤ √ 2 ≤ 1.5, denn 1.4 2 = 1.96 und1.5 2 = 2.25.Entsprechend geht man bei der 2., 3. und den folgenden Stellen vor:1 ≤ √ 2 ≤ 21.4 ≤ √ 2 ≤ 1.51.41 ≤ √ 2 ≤ 1.421.414 ≤ √ 2 ≤ 1.415(1.24).....Auf diese Weise läßt sich die Zahl√2 = 1.4142135623730950488...

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 51beliebig genau durch rationale Zahlen fassen und wir wollen das Symbol1.4142135623730950488... als Abkürzung für die Zahl x auffassen, die der unendlichenUngeleichungskettegenügt.α 0 :=1 ≤ x < 1 + 10 −0 =: β 0α 1 :=1.4 ≤ x < 1.4 + 10 −1 =: β 1α 2 :=1.41 ≤ x < 1.41 + 10 −2 =: β 2(1.25)α 4 :=1.4142 ≤ x < 1.4142 + 10 −4 =: β 4α 3 :=1.414 ≤ x < 1.414 + 10 −3 =: β 3Solche Zahlen, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen, aber durchrationale Zahlen beliebig genau angenähert werden können, nennen wir irrationaleZahlen.Nehmen wir diese Zahlen zu den rationalen Zahlen hinzu, so erhalten wir dieReellen Zahlen R.Relle Zahlen: Reelle Zahlen sind all die Zahlen, die sich durch Folgenα 1 , α 2 , α 3 , . . . von rationalen Zahlen α j , die sich auf einen Punkt zusammenziehen,darstellen lassen.Vollständigkeit der reellen Zahlen: Die reellen Zahlen sind vollständig,d.h.jede Folge von rellen Zahlen ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 , . . ., die sich auf einen Punkt zusammenzieht,stellt wieder eine relle Zahl dar — man erreicht damit keine neuenZahlen!Satz: Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellungendlich oder periodisch ist.1.2.4.3 Darstellung der reellen Zahlen als Vektoren auf der ZahlengeradenAuf der von links nach rechts wachsenden Zahlengeraden, auf der ein Punkt Oals Ursprung ausgezeichnet und ein Längenmaßstab gewählt wird, lassen sich dierellen Zahlen und ihre Operationen wie folgt darstellen:

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 521. Jeder rellen Zahl a wird ein Pfeil mit Fußpunkt und Spitze zugeordnet:• Die Länge des Pfeils ist gleich dem Betrag |a| von a.• Der Pfeil zeigt nach rechts, wenn a positiv ist, und nach links, wenn anegativ ist.• Der Pfeil ist auf der Zahlengerade verschiebbar; in der konventionellenDarstellung werden die Fußpunkte nach O gelegt.2. Zwei Zahlen a und b werden addiert, indem der Fußpunkt von b an dieSpitze von a verschoben wird. Es resultiert ein Pfeil dessen Fußpunkt beidem Fußpunkt von a liegt und dessen Spitze bei der neuen Lage der Spitzevon b liegt.3. Zwei Zahlen a und b werden multipliziert, indem die Länge des Pfleils vona mit |b| multipliziert wird. Ist b negativ, so erhält darüberhinaus der resultierendePfeil a · b eine zu a engegengesetzte Richtung.1.3 Folgerungen1.3.1 Das Summen und das ProduktzeichenFür die Summe und das Produkt der Zahlen a m , a m+1 ,. . . , a n (mit m ≤ n) schreibtman:a m + a m+1 + · · · + a n =:n∑a k , a m · a m+1 · · · a n =:k=mn∏a k . (1.26)Leere Summen (m > n) werden dabei als 0 definiert und Leere Produkte (m > n)als 1; diese Definitionen erweisen sich als sinnvoll um lästige Fallunterscheidungenzu vermeiden.k=m

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 531.3.2 Die binomische FormelFür beliebige Zahlen a, b und jede natürliche Zahl n ∈ N 0 giltn∑( n(a + b) n = ak)n−k b k . (1.27)k=0Begründung: Beim Ausmultiplizieren von(a + b) · (a + b) · · · (a + b)} {{ }n Faktorengibt es so viele Summanden a n−k b k in der zunäcchst ungeordneten Form wie etwaa · a · b · a · · · · b wie man k Werte b auf die n Stellen eines solchen Produktes ausa- und b-Werten verteilen kann; das ist aber gerade die Anzahl der k-elementigenTeilmengen einer n-elementigen Menge, die — wie wir wissen — durch ( nk)gegebenist.Eine weitere wichtige Beziehung erhält man, wenn man für n ≥ 1 und a ≠ B denQuotienten an −b na−bentwickelt ii :a n − b na − b= a n−1 + an − b n − a n−1 (a − b)a − b= a n−1 + b an−1 − b n−1a − bJetzt “iterieren”: an−1 −b n−1a−bdurch die rechte Seite mit n → n − 1 ersetzen= a n−1 + b(a n−2 + b an−2 − b n−2(1.28))a − b= a n−1 + ba n−2 + b 2an−2 − b n−2)a − b.= a n−1 + ba n−2 + b 2 a n−3 + · · · + ab n−2 + b n−1ii Das ist eine “Polynomdivision” nach der Variablen a.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 54Es folgt die für alle a, b gültige Formel:a n − b n = (a − b)n∑a n−j b j−1 (1.29)j=1Wir wollen diese Formel noch einmal mit der eventuell aus der Schule bekanntenPolynomdivision nach der Variablen a herleiten:(a^n - b^n) : (a - b) = a^(n-1) + ba^(n-2) + b^2a^(n-3) + ... + b^(n-1)- (a^n - ba^(n-1))----------------------b(a^(n-1) - b^(n-1))- b(a^(n-1) - b^(n-2))----------------------b^2(a^(n-2) - b^(n-2))- b^2(a^(n-2) - b^(n-3))------------------------b^3(a^(n-3) - b^(n-3))...------------------------b^n(a^(n-n) - b^(n-n))1.3.3 Die Bernoullische-UngleichungDie Bernoulli-Ungleichung iii behauptet, daß für n ∈ N 0 und a > −1(1 + a) n ≥ 1 + nagilt. Sie ist offensichtlich für n = 0 und n = 1 richtig. Der allgemeine Fall läßtsich durch vollständige Induktion nachweisen:iii Nach Jakob Bernoulli (1654–1705).

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 55Induktionsanfang: (1 + a) 1 ≥ 1 + 1 · a.Induktionsvoraussetzung: (1 + a) m ≥ 1 + ma für ein m ∈ N.Induktionsschritt:(1+a) m+1 = (1+a)(1+a) m ≥ (1+a)(1+ma) = 1+ma+a+ma 2 ≥ 1+(m+1)aFür a ≥ 0 folgt die Ungleichung auch einfach aus der binomischen Formel(1 + a) m =m∑k=0= 1 + ma +( mk)1 m−k a km(m − 1)a 2 + · · ·2AufgabenAufgabe 33: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Scheitert derBeweis von „2n + 1 ist für alle n ≥ 100 eine gerade Zahl“ am Induktionsanfang,am Induktionsschritt oder an beidem?Hinweis: Überprüfen Sie, ob sich der Induktionsschritt vollziehen lässt, ob alsoaus der Ungeradheit von 2n + 1 auch die Ungeradheit von 2(n + 1) + 1 folgenwürde. Ist die Aussage für n = 100 wahr?Aufgabe 34: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Beweisen Siemittels vollständiger Induktion für alle natürlichen n:n∑(2k + 1) = n (n + 2)k=1Hinweis: Das Vorgehen erfolgt analog zu dem für die arithmetische Summenformel.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 56Aufgabe 35: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Beweisen Siefür n ∈ N ≥2 :n∏(k − 1) = (n − 1)!k=2Hinweis: Induktionsbeweis mit Induktionsanfang bei n = 2 oder Beweis perIndexverschiebung.1.4 Folgen (von Zahlen)1.4.1 Beispiel: Approximation der WurzelDie folgende Iterationsvorschrift nähert für x ≥ 0 √ x an:u 0 := 1,u n+1 = 1 2 (u n + x ) für n ∈ N 0 .u nMittels dieser rekursiven Definition kann man jedes Glied der Folge berechnen:• Start ist bei u 0 = 1. Dann geht es weiter:• u 1 = 1(u 2 0 + x u 0),• u 2 = 1(u 2 1 + x u 1),• u 3 = 1(u 2 2 + x u 2),so daß man die Zahlen u 0 , u 1 , u 2 , . . . nacheinander berechnen kann.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 57Spezielle Werte für x1. x = 1:u 0 = 1u 1 = 1.2. x = 1/2:u 0 = 1u 1 = 3/4u 2 = 17/24.3. x = 4:u 0 = 1u 1 = 5/2u 2 = 41/20.4. x = 2:u 0 = 1u 1 = 3/2u 2 = 17/12.Aufgabe 36: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner die ersten 6 Glieder derdurch u 0 = 1 und u n+1 := 1 2 (u n + xu n) rekursiv definierten Folge für

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 58(a) x = 1,(b) x = 1/2,(c) x = 4,(d) x = 2und vergleichen Sie die sich ergebenden Werte mit √ xWird diese Aufgabe mit Matlab gelöst, so erhält man:1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 % Folge zur Berechnung der Wurzel / GNU Octave: http://www.octave.org3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 %5 % Funktion definieren:6 >> f = @ (x , u) 1/2∗(u + x/u ) ;7 %8 % Funktion testen:9 >> f (2 ,1)10 ans = 1.500011 %12 % Groessere Stellenzahl:13 >> format long14 %15 % sqrt(2)16 %17 % Startwert18 >> u=119 u = 120 % Rekursive Berechnung der anderen Werte21 >> for j = ( 1 : 1 0 )22 > u=f (2 , u )23 > end24 u = 1.5000000000000025 u = 1.4166666666666726 u = 1.4142156862745127 u = 1.41421356237469

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 5928 u = 1.4142135623730929 u = 1.4142135623730930 u = 1.4142135623730931 u = 1.4142135623730932 u = 1.4142135623730933 u = 1.4142135623730934 %35 % sqrt(1/2)36 %37 % Startwert38 >> u=139 u = 140 % Rekursive Berechnung der anderen Werte41 >> for j = ( 1 : 1 0 )42 > u=f (1/2 , u )43 > end44 u = 0.75000000000000045 u = 0.70833333333333346 u = 0.70710784313725547 u = 0.70710678118734548 u = 0.70710678118654749 u = 0.70710678118654750 u = 0.70710678118654751 u = 0.70710678118654752 u = 0.70710678118654753 u = 0.70710678118654754 %55 % sqrt(4)56 %57 % Startwert58 >> u=159 u = 160 % Rekursive Berechnung der anderen Werte61 >> for j = ( 1 : 1 0 )62 > u=f (4 , u )63 > end64 u = 2.50000000000000

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 6065 u = 2.0500000000000066 u = 2.0006097560975667 u = 2.0000000929222968 u = 2.0000000000000069 u = 270 u = 271 u = 272 u = 273 u = 274 >>75 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%76 % EOF77 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Wenn(!) u n in irgend einem vernünftigen Sinn gegen einen Wert u läuft, dann giltu = 1 2 (u + x u )⇔u =x u⇔u 2= xIn den Fällen1.: u = 1,2.: u = 1/ √ 2,3.: u = 2,4.: u = √ 2.1.4.2 Definition des Begriffs “Folge”Unter einer Folge (u n ) n∈N von rellen Zahlen versteht man eine Abbildung, diejeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl u n zuordnet.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 61Die Folge kann einfach aufgezählt werden:(u n ) = (1, 2, 4, 8, . . .),wie in obigem Beispiel rekursiv definiert werdenu 0 := 1,u n+1 = 1 2 (u n + x ),u noder durch eine “Formel” beschrieben werden:u n = a n a ∈ R und n ∈ N. (1.30)Man sagt, eine Folge (a n ) n∈N konvergiert gegen eine Zahl a ∈ R wenn |a − a n | mitwachsendem n beliebig klein gemacht werden kann, d.h. zu jeder vorgegebenenreellen Zahl ǫ > 0 existiert eine Zahl N = N(ǫ) ∈ N so, daß |a − a n | < ǫ für alledie n ∈ N, die größer oder gleich N sind (n ≥ N(ǫ)). Man schreibt dannoder auchlim a n = a.n→∞a n → a,n → ∞Eine Folge, die nicht konvergiert, wird divergent genannt.Man schreibtlim a n = ∞,n→∞wenn es zu jeder vorgegebenen (beliebig großen) reellen Zahl r ein N = N(r) ∈ Ngibt, so daß a n ≥ r für alle n ≥ N.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 621.4.3 *Beweis, daß obige Wurzelapproximation konvergiertEs ist für x ≥ 0u 0 = 1u n+1 = 1 2 (u n + x/u n )Daraus folgt zunächst, daß u j > 0 für alle j ∈ N 0 . Wir setzen u n =: √ x + ǫ n , sodaß ǫ n die Abweichung von u n von √ x mißt. Dann formt man so um:√ x + ǫn+1 = 1 2 (√ x + ǫ n + x/( √ x + ǫ n ))ǫ n+1 = 1 2 (ǫ n − √ x + x/( √ x + ǫ n ))= 1 2 ( ǫ 2 nǫ n + √ x )Ist ǫ n + √ x > 0, so ist ǫ n+1 > 0. Also gilt ǫ 1 > 0, ǫ 2 > 0, . . . . Daher giltǫ n + √ x > ǫ n > 0, für n ≥ 1Somit folgt für n ≥ 1:ǫ n+1 < 1 2 ǫ n,woraus sichǫ n < 12 n−1ǫ 1, für n ≥ 2ergibt. Daraus folgt die Behauptung, da an anderer Stelle lim n→∞ (1/2) n = 0gezeigt wird.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 631.4.4 Beispiele von Folgen1.4.4.1 Die Folge (x n ) n∈N : x, x 2 , x 3 , . . .1) x = 1: ⇒ x n = 1.2) x = 0: ⇒ x n = 0.3) |x| > 1: Dann ist |x| = 1+ǫ mit ǫ > 0 und aus der Bernoulli-Ungleichungfolgt iv |x| n > 1 + nǫ → ∞ für n → ∞.4) |x| < 1 und x ≠ 0: Dann ist 1 > 1 und nach dem unter 3) Gesagten gilt|x|( ) n1 1|x n | = → ∞, n → ∞.|x|Das heißt aber |x n | → 0, n → ∞, also x n → 0 für n → ∞.1.4.4.2 Die Folge (( 1 n ) p q )n∈N für p ∈ N, q ∈ NDiese Folge konvergiert gegen Null: Nach dem Satz von Archimedes (A9) existiertzu einem vorgegebenen ǫ > 0 eine natürliche Zahl N > 1 . Also gilt für n ≥ N:ǫ q/p ∣∣∣(1/n) p q ∣∣pp− 0 = (1/n)q ≤ (1/N)q < ǫ.1.4.4.3 Die Folge (n p q )n∈N für p ∈ N, q ∈ NNach dem soeben Bewiesenen konvergiert diese Folge gegen Unendlich.iv Im letzten Schritt wird der Satz von Archimedes verwendet.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 641.4.4.4 Die Folge ( n√ a) n∈N für a > 0Es gilt lim n→∞n √ a = 0.Begründung: Sei x n := n√ a. Dann ist x n > 0. Mit der Bernoulli-Ungleichungfolgt:a = x n n = (1 + (x n − 1)) n ≥ 1 + n(x n − 1).Sei zunächst a ≥ 1. Dann ist auch x n ≥ 1 und|x n − 1| = x n − 1 ≤ (a − 1) 1 n→ 0 (n → ∞).Für 0 < a < 1 ist 0 < x n < 1 und1x n= n √1a → 1(n → ∞),womit wir folgern:|x n − 1| = |x n |∣ 1 − 1 ∣ ∣∣∣ ≤x n∣ 1 − 1 ∣ ∣∣∣→ 0x n(n → ∞).1.4.5 Rechenregeln für FolgenSind (x n ) und (y n ) Folgen mit den Grenzwerten x und y, dann existieren auch diefolgenden Grenzwerte:lim λx n = λxn→∞lim x n ± y n = x ± yn→∞lim x n · y n = x · yn→∞lim x n/y n = x/y, falls y ≠ 0n→∞limn→∞ xp/q n = x p/q für p ∈ N und q ∈ N

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 65Gilt ab einem gewissen m ∈ N x n ≤ y n für n ≥ m, so ist auch x ≤ y.Aus diesen Rechenregeln kann man für viele Folgen die Grenzwerte berechnen.Beispiel: Sei x n = 3n2 +2n+15n 2 +4n+2 . Gesucht ist der Grenzwert von (x n). Durch Kürzenvon n 2 erhalten wirx n =3 + 2/n + 1/n25 + 4/n + 2/n 2und damit sind alle Summanden in Zähler und Nenner konstant oder Nullfolgen,so daß sich durch Anwenden der Rechenregelnlim x n = lim n→∞(3 + 2/n + 1/n 2 )n→∞ lim n→∞ (5 + 4/n + 2/n 2 ) = 3 + lim n→∞ 2/n + lim n→∞ 1/n 25 + lim n→∞ 4/n + lim n→∞ 2/n = 3 2 5 .Aufgabe 37: Untersuchen Sie die Folgen (a n ), (b n ), (c n ) und (d n ) mit den untenangegebenen Gliedern auf Konvergenz.n2a n =n 3 − 2c n = n − 1b n = n3 − 2n 2d n = b n − c nHinweis: Formen Sie die Ausdrücke so um, dass in Zähler und Nenner nur bekannteNullfolgen oder Konstanten stehen und wenden Sie die Rechenregeln an.Aufgabe 38: Berechnen Sie jeweils den Grenzwert der Folge (x n ), falls dieserexistiert:(a) x n = 1 − n + n2n(n + 1)(b) x n = n3 − 1n 2 + 3 − n3 (n − 2)n 2 + 1(c) x n = √ n 2 + n − n(d) x n = √ 4n 2 + n + 2 − √ 4n 2 + 1Hinweis: Kürzen Sie höchste Potenzen in Zähler und Nenner. Bei (b) könnenSie x n /n 2 betrachten. Bei Differenzen von Wurzeln führt das Erweitern mit derSumme der Wurzeln zum Ziel.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 661.4.6 Die geometrische Summe und die geometrische ReiheLegt man am Anfang jeden Jahres eine feste Geldsumme T (z.B. T = 1000C– )zu einem konstanten Zinssatz Z (z.B. Z = 3/100) an, so hat man am Ende desN-ten Jahres (z.B. N = 5) die Geldmenge G N angehäuft:G N = T ∗ (1 + Z) + T ∗ (1 + Z) 2 + · · · + T ∗ (1 + Z) NUnter der geometrischen Summe versteht man die Summe S NS N = S N (x) :=N∑x k = 1 + x + x 2 + · · · + x N . (1.31)k=0Hierbei ist x ∈ R und N eine natürliche Zahl.Bei obigem Geldproblem setzen wir x = (1 + Z) und erhaltenG N = T ∗ S N (1 + Z) − T = T ∗ (S N (1 + Z) − 1).Wir können nun die Summe (1.31) “ausrechnen”:1 + xS N = S N+1 = S N + x (N+1)⇒(1 − x)S N = 1 − x (N+1)⇒S N (x) = 1 − x(N+1)1 − xfür x ≠ 1. (1.32)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 67Für obiges Beispiel folgt also:G 5 = 1000C– (S 5 (103/100) − 1)( 103) 6100 −103100= 1000C–3100( (103= 1000C– 1003100= 1000C– ∗ 5.468 = 5468C–) ) 6− 103100Es ist nun die Frage naheliegend, wie sich die Geometrische Summe verhält, wennN gegen unendlich strebt:∞∑x k ;k=0solche unendlichen Reihen behandelt man, indem man die Folge Ihrer Partialsummen— also hier der S N betrachtet. Weil für |x| < 1 die Beziehung x N → 0,N → ∞ gilt, können wir aus (1.32) schließen, daß gilt:limN→∞N∑x k :=k=0∞∑k=0x k = 11 − xfür |x| < 1.Aufgabe 39: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BestimmenSie die Menge M aller x ∈ I, für die die Reihen( ∞)∑(a) (sin2x) n I = (−π, π),(b)konvergieren.n=0(∑ ∞(x 2 − 4 ) )nn=0I = R

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 68Aufgabe 40: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Wir betrachtenein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a. Nun wird ein neues Dreieck konstruiert,dessen Seiten genauso lang sind, wie die Höhen des ursprünglichen Dreiecks.Dieser Vorgang wird iterativ wiederholt.Bestimmen Sie den Gesamtumfang und den gesamten Flächeninhalt all dieserDreiecke.Hinweis: Bestimmen Sie Umfang und Flächeninhalt der ersten drei oder vierDreiecke und versuchen Sie ein Schema zu erkennen.Aufgabe 41: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Eine Aufgabefür die Weihnachtszeit: Eine Gruppe von Freunden möchte eine Weihnachtsfeierveranstalten. Dafür werden 5 Liter Glühwein gekauft. Die 0.2-Liter-Becher stehenbereit, und es wird rundenweise getrunken. Die Freunde sind aber vorsichtig, dahertrinken sie nur bei der 1. Runde einen ganzen Becher, in der 2. Runde nur nocheinen halben, danach einen viertel Becher, usw.Wie groß muss die Gruppe mindestens sein, damit alle 5 Liter Glühwein verbrauchtwerden? Wie viele Runden müssen bei dieser minimalen Zahl von Freundengetrunken werden?Hinweis: Verwenden Sie die geometrische Reihe.1.4.7 *Cauchy-FolgenWir hatten oben von Folgen gesprochen, die sich “auf einen Punkt zusammenziehen”.Hier folgt die exakte Definition:Eine Folge (a n ) n∈N heißt Cauchy-Folge v , wenn sie sich “beliebig dicht” zusammenzieht. D.h., zu jedem vorgegebenen Wert ǫ > 0 gibt es eine Zahl N(ǫ) ∈ N so, daß|a n − a m | < ǫ für alle n, m ≥ N(ǫ).v Augustin Louis Cauchy, 1789–1857; zunächst Ingenieur

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 69Beispiel: a n = 1 n :a n − a m = m − nmn|n| + |n||a n − a m | ≤|n| |m|≤ 1|m| + 1|n|≤ 2 1 N .Die “Wurzelfolge” ist eine Cauchy Folge: Wir berechnen obige Wurzelfolge(u 0 = 1 und u n+1 = 1 2 (u n + x/u n ) für x = 7:n u n0 1.0001 4.0002 2.6553 2.6464 2.646Aufgabe 42: Aufgabe: Zeichnen Sie dazu ein Diagramm, in dem auf der x-Achsen und auf der y-Achse u n aufgetragen wird.Satz: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.Beispiel: DualbruchentwicklungDualzahlen:I0II = 1 ∗ 2 0 + 1 ∗ 2 1 + 0 ∗ 2 2 + 1 ∗ 2 3= 1 + 2 + 8 = 11.Dualzahlen mit Nachkommastellen:I0II.III = 11 + 1 ∗ 2 −1 + 1 ∗ 2 −2 + 1 ∗ 2 −3 .

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 70Ein (unendlicher) Dualbruch d hat die Form( N)∑∞∑d = (±1) g k 2 k b k+ , mit g2 k k ∈ {0, 1}, b k ∈ {0, 1}.k=0k=1dabei ist g := ∑ Nk=0 g k2 k der ganzzahlige Teil.Damit ist eigentlich eine Zahlenfolge gemeint (wir schreiben nur den Fall d ≥ 0hin:d 0:= gd 1 := g +d 2 := g +d 3 := g +. .1∑k=12∑k=13∑k=1b k2 kb k2 kb k2 kZum Beispiel ist mitI.0I00II000III0000IIII00000IIIII...

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 71die Zahlenfolged 0 := 1d 1 := 1 + 0 ∗ 1 2 1d 2 := 1 + 0 ∗ 1 2 1 + 1 ∗ 1 2 2d 3 := 1 + 0 ∗ 1 2 1 + 1 ∗ 1 2 2 + 0 ∗ 1 2 3d 4 := 1 + 0 ∗ 1 2 1 + 1 ∗ 1 2 2 + 0 ∗ 1 2 3 + 0 ∗ 1 2 4d 5 := 1 + 0 ∗ 1 2 1 + 1 ∗ 1 2 2 + 0 ∗ 1 2 3 + 0 ∗ 1 2 4 + 1 ∗ 1 2 5..gemeintWir schauen uns die Teilsummen von d − g an: s n = ∑ n b kk=1. Im Falle der2 kKonvergenz von (s n ) n∈N ist d = g + s mit s = lim n→∞ s n .

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 72Für n ≥ m ≥ N rechnet man so:s n − s m =|s n − s m | ≤|s n − s m | ≤=n∑k=mn∑k=m∞∑k=m∞∑k=0b k2 k12 k12 km−112 − ∑ 1k 2 kk=0) m= 2 − 1 − ( 121 − 1 2( m 1= 22)( ) N 1≤ 2 →2 }{{} 0.N→∞Also sind (unendliche) Dualbrüche Cauchy-Folgen!*Entwicklung einer vorgegebenen Zahl x ∈ R in einen Dualbruch:Wir zerlegen zunächstx = (±1)(n + f) n ∈ N 0 und 0 ≤ f < 1.Als erstes berechnen wir die Dualdarstellung von n mit folgenden Algorithmus:

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 73Algorithmus 2 Dualdarstellung einer ganzen ZahlPrecondition: n ∈ N 01: if n = 0 then2: Print(n)3: end if4: while n ≠ 0 do% “%”: Modulo, Rest bei ganzzahliger Division:% 7 % 5 = 2, 3 % 2 = 1, . . .5: s ← n % 26: n ← n/27: Print(n)8: end whileDas gibt die dualen Stellen von n von rechts nach links aus.Beispiel n = 10:s := 10 % 2 = 0n := 10 / 2 = 5s := 5 % 2 = 1n := 5 / 2 = 2s := 2 % 2 = 0n := 2 / 2 = 1s := 1 % 2 = 1n := 1 / 2 = 0Das heißt: 10 = I0I0.Warum geht das? Durch vollständige Induktion läßt sich zeigen, daß sich jedenatürliche Zahl n in der Formn =N∑g k 2 k (1.33)k=0darstellen läßt.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 74“Zu Fuß” sieht man das so: Man sucht die größte natürliche Zahl k 1 , so daß 2 k 1≤ nist. Dann sucht man die größte natürliche Zahl k 2 , so daß 2 k 2≤ n − 2 k 1. Dannsucht man die größte natürliche Zahl k 3 , so daß 2 k 3≤ n − 2 k 1− 2 k 2.Beispiel n = 13: k 1 = 3, da 2 3 = 8 und 2 4 = 16. Nun ist 13 − 2 3 = 5 und k 2 = 2,weil 2 2 = 4 ≤ 5 < 2 3 = 8. Schließlich wird k 3 = 0, weil 13 − 2 3 − 2 2 = 1 = 2 0 .Also ist 13 = 2 0 + 2 2 + 2 3 .Mit der Darstellung (1.33) rechnet man dann so weitern =N∑g k 2 kk=0n % 2 = g 0N∑n/2 = g k 2 k−1 =k=1N−1∑j=0g j+1 2 j ,was den angegebenen Algorithmus bestätigt.Man kann ich klarmachen, daß eine Zahl f, die zwischen 0 und 1 liegt (0 ≤ f < 1als f = ∑ ∞ g kk=1darstellbar ist:2 kf ≥ 1 2 ⇔ g 1 = 1f − g 12 ≥ 1 4 ⇔ g 2 = 1f − g 12 − g 24 ≥ 1 8 ⇔ g 3 = 1.Es ist0 ≤ f ≤∞∑k=012 k − 1 = 1.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 75Deshalb existiert ein k ∈ N mit g k = 0, denn es ist ja 0 ≤ f < 1!Es ist nun2f =∞∑k=1g k2 k−1 = g 1 +∞∑k=2g k2 k−1 = g 1 +∞∑j=1g j+12 j .Bezeichnung: Zu jeder Zahl x ∈ R existiert wegen des Satzes von Archimedeseine eindeutig bestimmte Zahl m ∈ Z so daßm ≤ x < m + 1;Diese Zahl m bezeichnen wir mit floor(x).Damit folgt der Algorithmus zur Bestimmung der Dualdarstellung des nichtganzzahligenTeils von x also von f := x − floor(x):Algorithmus 3 Dualdarstellung einer Zahl f zwischen 0 und 1Precondition: 0 < f < 11: while f > 0 do2: f ← 2f3: s ← floor(f)4: f ← f − s5: Print(s)6: end whileDas liefert die dualen Nachkommastellen von f von links nach rechts.Beispiel: f = 1/2 + 1/8 = 5/8:f := 5/4s := 1f := 1/4f := 1/2s := 0f := 1s := 1f := 0

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 76Also ist f = 0.I0I.1.4.8 *Zusatz: Anmerkungen zu den reellen ZahlenFormal drückt man die Vollständigkeit der reellen Zahlen so aus:(A10): Jede Cauchy-Folge konvegiert gegen eine reelle Zahl.Das heißt also das alle “vernünftig konstruierten” Folgen reeller Zahlen, die zurApproximation eines Wertes verwendet werden (wie etwa obige Wurzelfolge), gegeneine reelle Zahl konvergieren; wichtig: wir wissen, daß sie gegen eine Zahl inR laufen, ohne diese Zahl zu kennen.Wir hatten gezeigt, daß man für jedes x ∈ R eine gegen x konvergierende Dualbruchentwicklungkonstruieren kann. Andererseits hatten wir gesehen, daß jederDualbruch ein Cauchy-Folge ist.Daher kann R also auch als die Menge der unendlichen Dualbrüche vi aufgefaßtwerden.1.4.8.1 Die Überabzählbarkeit der reellen ZahlenR ist nicht abzählbar: Angenommen man könnte die Zahlen im Intervall [0, 1]durch Dualbrüche abzählen:1 z 1 = 0. b 11 b 12 b 13 . . .2 z 2 = 0. b 21 b 22 b 23 . . .3 z 3 = 0. b 31 b 32 b 33 . . .. . . . . .n z n = 0. b n1 b n2 b n3 . . .......(1.34)vi Das geht natürlich alles auch mit den Dezimalbrüchen.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 77Wir konstruieren nun eine relle Zahl x mit der Dualdarstellungx = 0. x 1 x 2 x 3 . . . ,die in der Abzählung (1.34) nicht enthalten ist:Sei dazu x i = (b ii + 1) % 2, alsox i ={ 1 : bii = 00 : b ii = 1(1.35)Dann ist x nicht in der obigen Abzählung enthalten, denn sonst gäbe es einenatürliche Zahl n derart, daß x = z n ; dann müßte aber x n = b nn sein, was aberwegen (1.35) sicherlich nicht der Fall ist!Anmerkung: Algebraische Zahlen sind die Lösungen x von Polynomgleichungena 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n = 0,wobei die a j ∈ Q rationale Zahlen sind.Das sind also die rationalen Zahlen und auch so Konstruktionen wie√1 + √ 2 + √ 3. Da jede solche Gleichung höchstens n Lösungen besitzt (später. . . ) und es höchstens abzählbar viele solcher Gleichungen gibt, gibt es auchnur abzählbar viele algebraische Zahlen.Die rellen Zahlen sind also viel mehr vii .AufgabenAufgabe 43: Berechnen Sie folgende Logarithmen:(a) log 2 8(b) log 214vii Das oft gebrauchte Argument von der fehlenden √ 2 ist also zur Einführung der reellenZahlen etwas schwachbrüstig.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 78(c) log 21 √2(d) log 3 81(e) log 9 3(f) log 4 0.5Aufgabe 44: Berechnen Sie mit dem oben angegebenen Algorithmus für ganzzahligeDivision mit Rest 9 : 4. Gehen Sie den Algorithmus Schritt für Schrittdurch und geben Sie die jeweiligen Werte von a, b, x und r an.Aufgabe 45: Warum ist das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade?Aufgabe 46: Fassen Sie folgende Ausdrücke zu einem Bruch zusammen undvereinfachen Sie soweit wie möglich:(a) A 0 = x+a4π + a−22y − xyπy ,(b) A 1 = 1x+1 − 1x+2 + 1x+3 ,(c) A 2 = π2 /c/ bcπab x .abAufgabe 47: Bei Hintereinanderschaltung zweier Widerstände R 1 und R 2 istder Gesamtwiderstand R ges = R 1 + R 2 , bei der Parallelschaltung von Widerständengilt für den Gesamtwiderstand R ges ,1R ges= 1 R 1+ 1 R 2. Ermitteln Sie denGesamtwiderstand der unten stehenden Schaltung:________ ________------|__R1__|------|__R3__|------___||___| ________ ________ |------|__R2__|------|__R4__|------Aufgabe 48: Weisen Sie die Dreiecksungleichung für den Betrag nach, indemSie die vier Fälle(i) x ≥ 0, y ≥ 0(ii) x < 0, y < 0

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 79(iii) x ≥ 0, y < 0(iv) x < 0, y ≥ 0gesondert untersuchen. Hinweis: In den Fällen (iii) und (iv) wird noch eine weitereFallunterscheidung nötig sein.Aufgabe 49: Beweisen Sie, daß keine rationale Zahl l existiert, die die Gleichungl 3 = 2 erfüllt, indem Sie so wie in der Vorlesung vorgehen.Aufgabe 50: Man ermittle die Lösungsmenge folgender Ungleichungen:(a) 3 − x < 4 − 2x,(b) ||x| − |−5|| < 1,(c) 6x 2 −13x+6 < 0; Hinweis: Verwenden Sie die quadratische Ergänzung oderzerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren (rechnerische Methoden) oderfertigen Sie eine Skizze von y = 6x 2 − 13x + 6 an (zeichnerische Methode).(d)3−x1+x> 1; Hinweis: Fallunterscheidung.Aufgabe 51: Berechnen Sie √ 3 mit dem in der Vorlesung dargestellten Iterationsverfahrenmit einer Genauigkeit von 2 Dezimalstellen.Aufgabe 52: Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · ·Aufgabe 53: Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + · · ·Aufgabe 54: Berechnen Sie bis auf zwei Dezimalstellen genau die Fläche desQuadrates über der Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1.0.Aufgabe 55: Berechnen Sie folgende Dualzahlen:(a) III00(b) I0I0I0.I0I0

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 80Aufgabe 56: Geben Sie die Dualdarstellung von 13 an.Aufgabe 57: Geben Sie die Dualdarstellung von 0.7 an.Aufgabe 58: Geben Sie die Dualdarstellung von 10.7 an.Aufgabe 59: Wandeln Sie den unendlichen Dezimalbruch 3.12678678678 · · · ineinen Bruch um.1.5 Die Ebene1.5.1 Erinnerung an die euklidische Geometrie1.5.1.1 GrundlagenIn der euklidischen Geometrie bezeichnen wir Punke mit Großbuchstaben A, B,. . . , die Verbindungsstrecken zweier Punkte A und B mit AB oder mit einemKleinbuchstaben, etwa a. Unendlich ausgedehnte Strecken nennen wir Geraden.Abbildung 1.13: Winkelmessung

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 811.5.1.1.1 Winkel Zwei Strecken PA, PB, die sich im Punkt P treffen bildendort den Winkel APB, der in Abbildung 1.13 mit α bezeichet ist. Dieser Winkelwird so gemessen: Man faßt P als Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius 1auf. Die Länge des ausgeschnittenen Kreisbogesn sei l. Wir nennen l bzw. −ldas Bogenmaß des Winkels α und schreiben α = l, bzw. α = −l, wenn im mathematischpositiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) bzw. im im mathematischnegativen Sinn (im Uhrzeigersinn) gemessen wird.Man kann den ausgeschnittenen Kreisbogen auch dadurch messen, daß man denVollkreis gleichmäßig in 360 Teile unterteilt. Ein solches Teil nennt man ein Winkelgrad(1 o ). Nennt man den Umfang des Vollkreises 2π so hat daher 1 o dasBogenmaß1 o = 2π360 = π180 .Bemerkung: Man kann zur Winkelmessung auch einen Kreis mit von Eins verschiedenemRadius r verwenden. Dann ist der Winkel α durchgegeben viii .α = BogenstückRadius= ±lrEin rechter Winkel unterteilt den Einheitskreis in vier gleiche Teile, er hat als90 o = π/2. Zwei Strecken, die einen recxhten Winkel bilden stehen aufeinandersenkrecht.viii Das ist eigentlich eine Folgerung aus dem unten stehenden Ähnlichkeitsgesetz der euklidischenPostulate.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 82Abbildung 1.14: Die zwei Formen des Parallelenpostulates1.5.1.1.2 Euklids Postulate Sie besagen im wesentlichen, daß• Zu zwei Punkten A und B eine eindeutig bestimmte gerade Strecke ABgehöhrt,• Die Ebene beliebig ausdehnbar und ohne Lücken ist,• Die Ebene Symmetrieeigenschaften besitzt:– Die Ebene ist homogen (alle Orte sind gleichwertig) — eine Figur aneinem Ort hat also dieselben geometrischen Eigenschaften, wie die aneinen anderen Ort verschobene Figur.– Die Ebene ist isotroph (alle Richtungen sind gleichwertig) — eine Figurhat dieselben geometrischen Eigenschaften, wie die gedrehte Figur.– Es gilt folgendes Ähnlichkeitsgesetz: Verändert man alle Längen umeinen festen Betrag, so bleiben die Winkel gleich und umgekehrt: BeiFiguren mit gleichen einander entsprechenden Winkeln unterscheidensich die Längen um einen festen Skalierungsfaktor λ.• Es gilt das Parallelenpostulat (Abbildung 1.14), daß in zwei (äquivalenten)Formen ausgesprochen werden kann:

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 831. Sind die Geraden a und b zwei Transversalen zu einer dritten Geradec, so daß die inneren Winkel, an denen a und b c treffen sich zu wenigerals zwei rechten Winkeln (180 o ) addieren, so werden sich a und b aufdieser Seite von c schneiden.2. Ist a eine Gerade in der Ebene und P ein Punkt der Ebene, der nichtauf a liegt, so gibt es genau eine Parallele zu a (eine Gerade b, die anicht schneidet) durch P.1.5.1.2 Einige fundamentale geometrische SätzeWinkel an ParallelenAbbildung 1.15: Winkel an Parallelen: Die beiden parallelen Geraden g 1 und g 2werden von einer dritten Geraden h geschnitten, dann gilt für die dabei auftretendenWinkel:γ = β, σ = δ, und β + δ = 180 o .Denn γ + δ = 180 o = α + β, also ist (α + γ) + (β + δ) = 360 o , daher mußα + γ = 180 o = β + δ, da sich andernfalls g 1 und g 2 nach dem Parallelenpostulatauf einer der Seiten von h schneiden müßten.Es ist also β + δ = 180 o sowie nach Konstruktion γ + δ = 180 o und σ + β = 180 o ,woraus das Ergebnis folgt.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 84Die Winkelsumme im DreieckAbbildung 1.16: Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180 o : Wir verlängernCA über A hinaus nach E und legen eine Parallele zu CB durch A. Nachdem Satz über Winkel an Parallelen (Abbildung 1.15) sind die mit “×” und “◦”bezeichneten Winkel gleich. Die Winkel am Punkt A summieren sich zu 180 o , alsoauch die Innenwinkel des Dreiecks.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 85Die StrahlensätzeAbbildung 1.17: Da nach dem Satz über Winkel an Parallelen (Abbildung 1.15)die Winkel ACO und BDO sowie die Winkel OAC und OBD gleich sind, sind dieDreiecke OAC und OBD ähnlich, d.h es existiert ein Steckungsfaktor λ so daßman das eine Dreieck aus dem anderen erhält, indem alle Strecken um λ gestrecktwerden:OAOB = ACBD = CODO(= λ).

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 86Der Satz des PythagorasAbbildung 1.18: Satz des Pythagoras: (a + b) 2 = c 2 + 4 · ab2 ⇒ a2 + b 2 = c 2 .Wie Abbildung 1.18 zeigt, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck mit den EckpunktenA, B und C dem rechten Winkel bei BCA und den Seiten c = AB (“Hypothenuse”),a = BC (“Ankathede”) und b = CA (“Gegenkathede”) der Satz desPythagoras a 2 + b 2 = c 2 .

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 871.5.2 Kartesische KoordinatensystemeAbbildung 1.19: Ein kartesisches KoordinatensystemIn einer Ebene E, entsteht ein kartesisches Koordinatensystem ix (Abbildung 1.19)durch Vorgabe eines Punktes O und zweier aufeinander senkrecht stehender Zahlengeraden,der x- und der y-Achse (“Koordinatenachsen”), deren Nullpunkt jeweilsin O liegt. Dabei muß die y-Achse durch eine positive Drehung (gegen denUhrzeigersinn) um 90 o aus der x-Achse hervorgehen.Ausgehend von einem beliebigen Punkt P 0 ∈ E zieht man Parallelen zur x- bzw.zur y-Achse . Deren Schnittpunkte mit der y- bzw. x-Achse legen dort die y- bzwx-Koordinaten y 0 bzw. x 0 fest. Man schreibt P 0 = (x 0 , y 0 ). Der Punkt O = (0, 0)heißt Nullpunkt oder Ursprung des Koordinatensystems.Nach Festlegung eines kartesischen Koordinatensystems gibt es zu jedem Zahlenpaar(x, y) ∈ R 2 genau einen Punkt X ∈ E mit X = (x, y) — und umgekehrt.Man kann damit Teilmengen von R 2 als Punktmengen von E veranschaulichenund umgekehrt geometrische Gebilde durch Zahlen (-Paare) beschreiben.ix Benannt nach René Descartes, 1569-1650)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 881.5.2.1 Sinus und CosinusAbbildung 1.20: Die Definition von Cosinus und Sinus am Einheitskreis: x =x(α) = cos(α), y = y(α) = sin(α)Wird in der mit kartesischen (x, y)-Koordinaten versehenen Ebene der vom Ursprungzum Punkt (1, 0) weisende Zeiger um den Winkel α gedreht, dann bewegtsich die Spitze auf dem Einheitskreis um O bis zu einem Punkt P, dessen Koordinatenmit cosα, sinα bezeichnet werden:P = (cosα, sin α).Die derart für alle α ∈ R erklärten Funktionen α ↦−→ cosα, α ↦−→ sin α heißenCosinus- bzw. Sinusfunktion.Periodizität: Da Vorwärts oder Rückwärtsdrehen um den Winkel 2π die geometrischeSituation unverändert läßt gilt offensichtlichcos(α ± 2π) = cosα,sin(α ± 2π) = sinα,

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 89das bedeutet unter anderem auch, daß ein Ausschnitt der Länge 2π bereits dengesamten Funktionsverlauf bestimmt.10.5y = cos(x)y = sin(x)Y-Achse0-0.5-10 1 2 3 4 5 6X-Achse: 0 ≤ x < 2πAbbildung 1.21: Der Verlauf der Funktionen y = cos(x), y = sin(x) im Intervall0 ≤ x < 2π

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 9010.5y = cos(x)y = sin(x)Y-Achse0-0.5-1-3 -2 -1 0 1 2 3X-Achse: −π ≤ x < πAbbildung 1.22: Der Verlauf der Funktionen y = cos(x), y = sin(x) im Intervall−π ≤ x < π1.5.2.1.1 Sinus und Cosinus am rechtwinkligen Dreieck Verlängert manin Abbildung 1.20 alle Seiten des ausgeschnittenen Dreiecks um den Faktor r, soergibt sich das Dreieck aus Abbildung 1.23.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 91Abbildung 1.23: Sinus und Cosinus am rechtwinkligen DreieckAufgrund der Änhlichkeit der Dreiecke ∆(ORP) und ∆(OSQ) liegt die Spitze Qdieses Dreiecks in Q = (a, b) mita = r cosα,b = r sinα.Das bedeutet, daß im rechtwinkligen Dreieck ∆(OSQ) mit der Hypothenuse r,der Ankathete a und der Gegenkathete b die Beziehungengelten.ar = cosα,br = sinα(*)Aufgabe 60: Begründen Sie die folgenden Aussagen über die trigonometrischenFunktionen (Winkelfunktionen) durch geeignete Betrachtungen am Einheitskreis— Verwenden Sie also die oben gegebene Definition der trigonometrischenFunktionen durch die Koordinaten eines Punktes am Einheitskreis (machenSie entsprechende Zeichnungen!):(a) sin(−x) = −sin(x)(b) cos(−x) = cos(x)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 92(c) sin(x + π/2) = cos(x)(d) cos(x + π/2) = −sin(x)(e) cos(x + π) = −cos(x)(f) sin(x + π) = −sin(x)(g) sin(x + 3π/2) = −cos(x)(h) cos(x + 3π/2) = sin(x)(i) sin(x ± n2π) = sin(x)(j) cos(x ± n2π) = cos(x)(k) sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1(l) sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ √ 2(m) sin(π/3) = √ 3/2, cos(π/3) = 1/2. Anleitung: Konstruieren Sie ein geeignetesgleichseitiges Dreieck im ersten Quadranten, verwenden Sie dann denSatz des Pythagoras und den Satz über die Winkelsumme im Dreieck.(n) sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = −1(o) cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1, cos(3π/2) = 0(p) −1 ≤ sin(x) ≤ 1, −1 ≤ cos(x) ≤ 1(q) Für kleine |α| gilt sin(α) ≈ α und cos(α) ≈ 1.(r) Unter Verwendung des für |x| ≪ 1 gültigen Näherungsausdrucks für √ 1 + xnämlich √ 1 + x ≈ 1 + x/2 x und von Teil (1.60.k) zeigem Sie, daß “für kleinex” cos(x) ≈ 1 − x 2 /2 gilt.x Dieser Ausdruck ergibt sich als erstes Folgenglied in obiger Iterationsvorschrift zur Bestimmungder Wurzel

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 933y = cos(x)y = arccos(x)2.521.5Y-Achse10.50-0.5-1-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3X-Achse: −π ≤ x < πAbbildung 1.24: Für 0 ≤ x < π ist die Cosinus Funktion umkehrbar — DerVerlauf der Funktionen y = cos(x), y = arccos(x)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 941.5y = sin(x)y = arcsin(x)10.5Y-Achse0-0.5-1-1.5-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5X-Achse: −π/2 ≤ x < π/2Abbildung 1.25: Für −π/2 ≤ x < π/2 ist die Sinus Funktion umkehrbar — DerVerlauf der Funktionen y = sin(x), y = arcsin(x)Die Arcusfunktionen: Die Abbildungen 1.24 und 1.25 zeigen, daß die trigonometrischenFunktionen bei geeigneter Einschränkung Ihres DefinitsionsbereichsUmkehrbar sind. Die Umkehrfunktionen heißen Arcuscosinus bzw. Arcussinusund werden durch Spiegelungh an der Winkelhalbierenden (y = x) aus Sinus undCosinus gewonnen. Mit Ihnen kann man aus den Werten der trigonometrischenFunktionen die Winkel berechnen.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 951.5.2.2 Koordinatentransformation und DrehungenAbbildung 1.26: Koordinatentransformation1.5.2.2.1 Drehung des Koordinatensystems (“passive Drehungen”).Das kartesische (x ′ , y ′ )-Koordinatensystem entstehe aus dem (x, y)-System durcheine Drehung um den Ursprung mit dem Winkel α (Abbildung 1.26). Hat einPunkt X im ursprünglichen Koordinatensystem die Koordinaten (x, y) und imgedrehten System die Darstellung X = (x ′ , y ′ ), so gelten die Transformationsformelnx = x ′ cosα − y ′ sinαy = x ′ sin α + y ′ cosαx ′ = x cosα + y sinαy ′ = −x sin α + y cosα(1.36)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 96Begründung: OQ = x ′ , QX = y ′ ,x = OS − RS = x ′ cosα − y ′ sinαy = RT + TX = x ′ sinα + y ′ cosα.Eine Drehung um −α führt vom (x ′ , y ′ )-System zum (x, y)-System zurück; deshalbergibt sich das rechte Formelpaar aus dem linken durch Vertauschen von x mit x ′ ,y mit y ′ und der Vertauschung von α mit −α. Man beachte dabei cos(−α) = cosαund sin(−α) = −sin α.□1.5.2.2.2 Drehung der Ebene (“aktive Drehungen”). Wir halten nundas kartesische Koordinatensystem fest und bilden jeden Punkt X = (x, y) durcheine Drehung mit Winkel α um den Ursprung auf X ′ = (x ′ , y ′ ) ab. Dieser Bildpunktbesitzt in dem (gedachten) Koordinatensystem, das sich mit derselben Drehungaus dem (x, y)-System ergäbe, die (unveränderten) Koordinaten (x, y); demnachfolgt aus Gleichung 1.36 durch Vertauschung von x mit x ′ und y mit y ′ :Die Abbildung, die jeden Punkt X = (x, y) der Ebene in den um den Winkel αim Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung gedrehten Punkt X ′ = (x ′ , y ′ ) überführtwird durch die Gelcihungenx ′ = x cosα − y sin αy ′ = x sin α + y cosα(1.37)beschrieben.Aufgabe 61: Berechnen Sie exakt xi das Resultat der Drehung um α = 45 o desQuadrates X 1 (1, −1), X 2 (3, −1), X 3 (3, 1), X 4 (1, 1); skizzieren Sie das Quadratund das gedrehte Quadrat.(*)Aufgabe 62: Für die durch Gleichung 1.37 beschriebenen aktiven Drehungengilt offensichtlich, daß eine Drehung um den Winkel α + β denselben Effekthat wie zwei hintereinander ausgeführte Drehungen mit den Winkeln α bzw. β.xi analytisch, also insbesondere ohne Rechner

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 97Betrachtet man also den Punkt X = (1, 0) auf dem Einheitskreis, so entstehtdaraus durch Drehung um den Winkel β der Punkt X ′ = (cosβ, sin β) auf demEinheitskreis. Dreht man nun diesen Punkt X ′ weiter um den Winkel α so entstehtder Punkt X ′′ = (x ′′ , y ′′ ) = (cos(α + β), sin(α + β)) auf dem Einheitskreis.Andererseits können die Punkte X ′ und X ′′ nach Gleichung 1.37 berechnet werden:X → X ′X ′ → X ′′Drehung um βDrehung um αBerechnen Sie auf diese Weise den Punkt X ′′ und setzen Sie das Ergebnis mitX ′′ = (x ′′ , y ′′ ) = (cos(α + β), sin(α + β)) gleich. Sie erhalten so ein neues Gesetzfür die trigonometrischen Funktionen!1.5.2.2.3 Das Additionstheorem für die trigonometrischen Funktionen.Das in Aufgabe 1.62 hergeleitete Resultat ist:cos(α + β) = cosαcosβ − sin α sinβsin(α + β) = sin α cosβ + cosαsinβ(1.38)Folgerungen aus dem Additionstheorem Produkte TrigonometrischerFunktionen: Wir schreiben die Gleichungen noch einmal zusammen mit denenfür β → −β auf:cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβsin(α + β) = sin α cosβ + cosαsinβcos(α − β) = cosαcosβ + sin α sinβDann liefern(II+IV)/2:sin(α − β) = sin α cosβ − cosα sinβsinαcosβ = 1 [sin(α + β) + sin(α − β)]2

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 98(II-IV)/2:cosα sinβ = 1 [sin(α + β) − sin(α − β)]2(III+I)/2:cosα cosβ = 1 [cos(α + β) + cos(α − β)]2(III-I)/2:sinαsinβ = 1 [cos(α − β) − cos(α + β)]2Das sisnd die Formeln für die Produkte trigonometrischer Funktionen.Anwendung: Amplitudenmodulation (AM): Ein Amplitudenmoduliertes SignalU(t) besteht aus einem hocchfrequenten SIgnal (Kreisfrequenz ω) desssenAmplitude im Takt eines niederfrequenten (Ton-) Signals (Kreisfrequenz Ω)schwankt:U(t) = A[1 + ǫ cos(Ωt)] cos(ωt)Anwendung obiger Formel liefert die Darstellung:U/A = cos(ωt) + 1 2 ǫ cos((ω − Ω)t) + 1 ǫ cos((ω + Ω)t)2Zur Übertragung eines Tonfrequenzbandes der Breite B muß also ein Hochfrequenzkanal;der Breite 2B reserviert werden.Überlagerung trigonometrischer Funktionen unterschiedlicher Phaseund Amplitude: Wir betrachten die Funktionf(x) =n∑A k sin(x + φ k ) + B k cos(x + φ k )i=1Durch Anwendung der Additionstheoreme läßt sich das zunächst in die Formf(x) = Asin(x) + B cos(x)

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 99bringen. Für (A, B) ≠ (0, 0) setzen wira =A√A2 + B 2 b =B√A2 + B 2Dann liegt P = P(a, b) auf dem Einheitskreis (dazu berechne man den Abstandvon P zum Ursprung O mit dem Satz von Pythagoras), also existiert ein Winkel ϕ,so daßalso ist(a, b) = (cosϕ, sinϕ),f(x) = √ A 2 + B 2 [cos(ϕ)sin(x) + sin(ϕ)cos(x)]und das Additionstheroem liefert mit C = √ A 2 + b 2 die Darstellungf(x) = C sin(x + ϕ).Jede Überlagerung trigonometrischer Funktionen unterschiedlicher Amplitude undPhasenlage ergiebt wieder eine Trigonometrische Funktion.AufgabenAufgabe 63: Gegeben sei folgende Situation: OC = 2cm, OA = 4cm, AC =3.2cm Gesucht sind die Strecken OD und BD.

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 100Aufgabe 64: In einem rechtwinkligen Dreieck mit c als Hypotenuse sind gegeben:Die Länge der Seite b = 9cm sowie q = 12cm. Bestimmen Sie die Länge derübrigen Seiten.Aufgabe 65: Aus einem Kreis mit Radius 3cm wird ein Sektor mit dem Öffnungswinkel74 o ausgeschnitten. Wie lang ist der Bogen des Sektors und wie großist der Öffnungswinkel im Bogenmaß; wie groß ist die Fläche des Sektors?Aufgabe 66: Bestimmen Sie die Bogenmaße der Winkel 30 o , 45 o , 60 o , 90 o , 120 o ,135 o , 150 o , 180 o in Bruchteilen von π.Aufgabe 67: Bestimmen Sie die Winkel im Dreieck aus Aufgabe 1.64.Aufgabe 68: Eine Seilbahn überwindet auf einer Strecke von 350m (längs desSeils gemessen) den Höhenunterschied von 260m. Wie groß ist der Steigungswinkel?Aufgabe 69: Berechnen Sie die fehlende Seite in einem Parallelogramm, wenndie Grundlinie AB = 8cm, der Winkel bei B mit 42 o und die Länge der von Aausgehenden Diagonalen mit 12.5cm angegeben ist.Aufgabe 70: Eine regelmäßige quadratische Pyramide habe die Grundkantea = 4cm und die Seitenkante s = 8cm. Berechnen Sie ihre Höhe, ihr Volumenund ihre Oberfläche.Anmerkung: Für das Volumen verwenden Sie die für jeden Kegel mit beliebigerGrundfläche gültige Formel Grundfläche × Höhe/3, die man sich durch Zerlegungin zur Grundfläche parallele Scheiben klarmachen kann.

Kapitel 2Funktionen2.1 EinführungAls relle Funktion bezeichnen wir eine Vorschrift, die allen “x-Werten” aus einernichtleeren Teilmenge D der reellen Zahlen dem Definitionsbereich der Funktioneine relle Zahl als ”y-Wert” zuordnet.Es soll zu jedem x-Wert genau einen, nicht mehrere y-Werte geben. Beim Vorliegenvon mehreren y-Werten, hat man keine Funktion sondern die Beschreibung einerPunktmenge in der x-y-Ebene, meistens einer Kurve.Wir schreiben dann y = f(x) oder y = y(x) und auch f : D → R. Die Mengealler y-Werte, die von f erreicht werden, ist der Bildbereich von f:B := {y ∈ R|Es existiert ein x ∈ D so, daß y = f(x)}.f kann als “Formel” gegeben sein, z.B. f(x) = x 2 + 1 oder auch durch eineVorschrift wie⎧⎨ x : x > 0f(x) := 0 : x = 0⎩−x : x < 0101

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 1022.2 Einfache Funktionen2.2.1 Die IdentitätDas ist die Funktion, die jedem x den Wert y = x zuordnet der Funktionsgraph({(x, y)|y = f(x)} ist also die Winkelhalbierende durch den dritten und erstenQuadranten.2.2.2 PolynomeDie einfachsten Funktionen sind die Polynome (auch ganze rationale Funktionen)y = p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n ,mit n ≥ 0 und a n ≠ 0 falls n > 0. Die Zahl n heißt der Grad des Polynoms:n = Grad(p).Beispiel: y = f(x) = x 2 .Sie sind für die Praxis vor allem deshalb wichtig, weil alle “vernünftigen” Funktionendurch Polynome angenähert werden können (→ Finite Elemente Methode).Eine Funktion bei der das nicht möglich ist:{ 1 : x rationalf(x) :=0 : x irrationalHäufig interessiert man sich für die Nullstellen von Polynomen. Bei Polynomenzweiten Grades y = x 2 + px + q kommt man mit quadratischer Ergänzung zurbekannten Lösungsformel:x 2 + px + q = x 2 + 2 p 2 x + (p 2 )2 + q − p24= (x + p 2 )2 − ( p24(2.1)− q) (2.2)

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 103Polynome kann man multiplizieren, d.h. hat p(x)b den Grad m und q(x) den Gradn so ist r(x) := p(x)(q(x) ein Polynom vom Grad n · n.Man bei Polynomen auch eine Divison mit Rest, die sogennante Polynomdivisiondurchführen: Seip(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a m x m ,q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · + b n x nMit m ≥ n und q nicht identisch gleich Null (q ≢). Dann rechnet man so:p(x)q(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a m x mb 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · + b n x nwobei= a mx m + a m−1 x m−1 + · · · + a 0b n x n + b n−1 x n−1 + · · · + b 0= a mx m−n + a mx m + a m−1 x m−1 + · · · + a 0 − a mbnx m−n × (b n x n + b n−1 x n−1 + · · · + b 0 )b n b n x n + b n−1 x n−1 + · · · + b 0= a mx m−n + a m−1x m−1 + · · · + a 0 − a mbnx m−n × (b n−1 x n−1 + · · · + b 0 )b n b n x n + b n−1 x n−1 + · · · + b 0= a mx m−n + p m−1(x),b n q(x)(2.3)p m−1 (x) := a m−1 x m−1 + · · · + a 0 − a mb nx m−n × (b n−1 x n−1 + · · · + b 1 x + b 0 )ein Polynom mit Grad nicht größer als m − 1 (Grad(p m−1 ≤ m − 1) ist.Jetzt muß also p m−1berechnet werden. man wendet wieder das für p eingesetzteqqVerfahren an. So erhält man Polynomep m−1 (x), p m−2 (x), . . . , r(x),wobei schließlich Grad(r) < Grad(q) ist und es folgt:p(x)q(x)= s(x) +r(x)q(x) ,s(x) = a mb nx m−n + · · · + s 0 , Grad(r) < Grad(q).

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 104Das Polynom r heißt (falls ≢ 0) Divisionsrest. p heist teilbar durch q, falls r ≡.Polynomdivision: Das eben skizzierte Verfahren ist gerade der Algorithmus des“schriftlichen Dividierens”:1. Ordnen von Divident (p(x) und Divisor (q(x)) nach fallenden Potenzen.2. 1. Glied Dividend durch 1. Glied Divisor ergibt 1. Glied Quotient.3. Rückmultiplikation mit Divisor4. Subtraktion, bis die Differenz Null wird bzw. ein Rest bleibt.Beispiel (wir betrachten a als unabhängige Variable):5b(4a^2 b - 2ab + 3b) : (2ab + b) = 2a - 2 + ----------(4a^2 b + 2ab)2ab + b----------------------- 4ab + 3b-(- 4ab - 2b)---------------5b (Rest)Satz: Ist a eine Nullstelle des Polynoms p(x) so ist p (ohne Rest) durch x − ateilbar.Den es ist ja p(x) = s(x) + r mit einer Konstanten r (da Grad(r) < 1), alsox−ap(x) = s(x)(x − a) + r. Da p(x) = 0 gilt, muß also r = 0 sein.□Diesen Zusammenhang kann man manchmal verwenden, um dir Nullstellen vonPolynomen dritten (oder höheren) Grades zu bestimmen: Man versucht eine Nullstelleraten und dividiert diese dann weg.Beispiel: x 3 − x 2 − 4x + 4 = 0. Geratene Nullstelle x = 1.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 105( x^3 - x^2 - 4x + 4) : (x - 1) = x^2 - 4-( x^3 - x^2 )------------------------ 4x + 4-(- 4x + 4)-----------0Die Nullstellen von x 2 − 4 sind x 1,2 = ±2. Damit sind die Nullstellen von p(x)durch −2, 1 und 2 gegeben.2.2.3 Gebrochen rationale FunktionenSo bezeichnet man Funktionen der Formy = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x nb 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · + b m x mdas sind also Quotienten von Polynomen.Sie sind für alle x ∈ R bis auf höchstens m Ausnahmestellen, die Pole (nichthebbare Nullstellen des Nenners) definiert.Beispiel: y = 1/(1 + x), D = R \ {−1}.2.3 Der Begriff der UmkehrfunktionIst eine Funktion – eventuell nach Einschränkung auf eine kleinere DefinitionsmengeD — streng monoton steigend (f(x 2 ) > f(x 1 ) für x 2 > x 1 ) oder strengmonoton fallend (f(x 2 ) < f(x 1 ) für x 2 > x 1 ), so kann die Funktion auf dieserDefinitionsmenge umgekehrt werden, weil genau dann zu jedem y-Wert, genauein x-Wert existiert, es existiert also die Zuordnungsforschrift x = f −1 (y) mit derUmkehrfunktion f −1 zu f.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 106Die Umkehrfunktion f −1 zu f dient vor allem dazu, eine Gleichung der Formv = f(u) nach u aufzulösen: u = f −1 (v); so ergeben sich z.B. die Auflösungen(siehe unten)v = f(u) = u 2 ⇒ u = f −1 (v) = ± √ vv = f(u) = tan(u) ⇒ u = f −1 (v) = arctan v ± n ∗ π, n ∈ N 0Bildet f D auf B ab (f : D → B ⊂ R), so bildet f −1 B auf D ab: f −1 : B →D ⊂ R).Da man traditionell die unabhängige Variable mit x und die abhängige Variablemit y bezeichnet, ergibt sich nach Vertauschung von x und y dasRezept: Man erhält die Umkehrfunktion zu einer Funktion y = f(x), indemman y und x vertauscht (x = f(y)) und dann die entstehende Gleichung nach yauflöst. Durch die Auflösung von x = f(y) ergibt sich dann y = f −1 (x) i . Die sogewonnene Umkehrfunktion ist auf B definiert und das Bild von B unter f −1 istD.Geometrisch erhält man die Umkehrfunktion durch Spiegelung des Funktionsgraphen({(x, y)|y = f(x)} an der Winkelhalbierenden y = x ii .Zum Beispiel ist die Funktion y = f(x) = x 2 auf den Intervallen iii D 1 := (−∞, 0]und D 2 := [0, ∞) streng monoton fallend, bzw. streng monoton steigend, alsoi Man verwechsle die Umkehrfunktion f −1 nicht mit der Funktion 1 f— das ist etwas völliganderes: Zu y = f(x) = x 2 ist für x ≥ 0 die Umkehrfunktion y = f −1 (x) = √ x, währendy = 1f(x) = 1 ist.x 2ii Das läßt sich so begründen: Die Spiegelung bildet ⃗e x auf ⃗e y und ⃗e y auf ⃗e x ab. Daher wirdP(x,y) auf P ′ (y,x) abgebildet.iiiIntervalle: Mit Intervallen bezeichnet man Strecken auf der Zahlengeraden:[a,b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b},(a,b] := {x ∈ R|a < x ≤ b},(a,b) := {x ∈ R|a < x < b},(a,b) := {x ∈ R|a < x < b}.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 107existiert für beide Intervalle eine Umkehrfunktion. Es ist B 1 :=f(D 1 ) = [0, ∞) undB 2 :=f(D 2 ) = [0, ∞). Zum Intervall (−∞, 0] gehört die Umkehrfunktion y = − √ xdie von B 1 nach D 1 , also von [0, ∞) nach (−∞, 0] abbildet und zum Intervall[0, ∞) gehört die Umkehrfunktion y = √ x, die [0, ∞) nach [0, ∞) abbildet.Setzt man die Funktion in die Umkehrfunktion ein, so ergibt sich die Identitätund ebenso beim Einsetzen der Umkehrfunktion in die Funktion:f −1 (f(x)) = x im Beispiel − √ x 2 = − |x| = x x ∈ (−∞, 0],( √ )f(f −1 2(x)) = x im Beispiel − x = x x ∈ [0, ∞).Satz: Die Umkehrfunktion ist genau dann (streng) monoton steigend bzw. fallend,wenn die Funktion (streng) monoton steigend bzw. fallend ist.2.4 Implizite FunktionenIst der Zusammenhang zwischen x und y nicht nach y aufgelöst, so spricht manvon einer implizit definierten Funktion also etwax 2 + 1 + (x − 3)y 2 = 0. (2.4)allgemein hat man die DarstellungF(x, y) = 0, (2.5)mit einer Funktion F die von S × T ⊂ R 2 in die rellen Zahlen abbildet. ImBeispiel wäre also F(x, y) = x 2 + 1 + (x − 3)y 2 . Für eine explizite Darstellungmuß dann F(x, y) = 0 nach y aufgelöst werden. Das ist im allgemeinen nur danneindeutig möglich, wenn x und y von vorneherein auf einen Bereich x ∈ S, y ∈ Teingeschränkt werden. So ist die Gleichung (2.4) nur für x ≠ 3 nach y 2 auflösbar:y 2 = x2 + 13 − x

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 108Diese Gleichung kann wiederum nur für x < 3 bestehen. Schlïeßlich muß mansich für eine der möglichen Lösungen für y entscheiden, so daß man also hier etwaS = (∞, 3), T = [0, ∞) wählen kann und schließlich die aufgelöste Form√x2 + 1y = , x ∈ (−∞, 3)3 − xerhält. Hier ist übrigens D = (−∞, 3) und B = (0, ∞).2.5 Algebraische FunktionenHierunter versteht man die Funktionen, die implizit durch eine Gleichung derFormP 0 (x) + P 1 (x)y + P 2 (x)y 2 + · · · + P n (x)y n = 0mit Polynomen P j gegeben sind.Auch die bisher behandelten Funktionstypen lassen sich hierunter subsummieren.Beispiel: Das turbulente Geschwindigkeitsprofil im kreisrunden Rohr genügt näherungsweisedem Gesetz1 − r ( ) 7 w(r)R − = 0.wmaxDabei ist R der Rohr-Durchmesser, r der Abstand von der Rohr-Mitte und w(r)die über den Winkel gemittelte Geschwindigkeit in Richtung der Rohrachse, wmaxist ihr Maximalwert.Für das laminare Geschwindigkeitsprofil im kreisrunden Rohr erhält man (exakt)( r) 2 w(r)1 − −R wmax = 0.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 1092.6 Die Trigonometrischen Funktionen2.6.1 Sinus und Cosinus. . . haben wir früher schon am Einheitskreis eingeführt. Dort wurden die Funktioneny = sin(x) und y = cos(x) iv als die Koordinaten eines Punktes auf demEinheitskreis eingeführt, der den positiv orientierten Winkel x mit der x-Achsebildet. Dieser Winkel kann beliebige Werte aus R annehmen, was am Einheitskreisbeliebigen Umdrehungen im- bzw gegen den Uhrzeigersinn bedeutet.Hier sind noch einmal die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen zusammengefasst:1. sin(−x) = −sin(x)2. cos(−x) = cos(x)3. sin(x + π/2) = cos(x)4. cos(x + π/2) = −sin(x)5. cos(x + π) = −cos(x)6. sin(x + π) = −sin(x)7. sin(x + 3π/2) = −cos(x)8. cos(x + 3π/2) = sin(x)9. sin(x ± n2π) = sin(x)10. cos(x ± n2π) = cos(x)11. sin 2 (x) + cos 2 (x) = 112. sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ √ 2iv ungewöhnlich — man hätte ja lieber cos(α) und sin(α) gesehen — es ist aber konsistent zuden in diesem Abschnitt verwendeten Bezeichnungen.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 11013. sin(π/3) = √ 3/2, cos(π/3) = 1/214. sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = −115. cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1, cos(3π/2) = 016. −1 ≤ sin(x) ≤ 1, −1 ≤ cos(x) ≤ 117. Für kleine |α| gilt sin(α) ≈ α und cos(α) ≈ 1.18. Es gelten die Additionstheoremecos(x + y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)2.6.2 Tangens und CotangensWir definieren nochundtan(x) := sin(x)cos(x) , x ∈ R \ {±π 2 , ±3π 2 , ±5π 2 , . . .}.cot(x) := cos(x) , x ∈ R \ {0, ±π, ±2π, ±3π, . . .}.sin(x)2.6.2.1 Bedeutung im rechtwinkligen DreieckAusfolgen:Cosinus = AnkathedeHypothenuseSinus = GegenkathedeHypothenuse

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 1112.6.2.1.1 Tangens. Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Tangens alsTangens = GegenkathedeAnkathede .2.6.2.1.2 Cotangens. Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der CotangensalsCotangens =AnkathedeGegenkathede .

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 1122.6.2.2 Bedeutung am EinheitskreisAbbildung 2.1: Tangens und Cotangens am EinheitskreisAus Abblildung 2.1 entnimmt man:1. Wegen des Strahlensatzes istsin αcosα = tan α1

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 1132. Man erhält den Tangens — tan α —eines Winkels α, indem die den Winkelα mit der x-Achse bildende Strecke mit der Geraden x = 1 zum Schnittgebracht wird. Dann ist die y-Koordinate des Schnittpunktes der Tangensdes Winkels α.3. Ist umgekehrt der Tangens y eines Winkels α gegeben — y = tan α — sogibt es dazu zwei mögliche Winkel, die man so erhält:(a) Man trägt y an der Geraden x = 1 ab. Durch diesen Punkt und den UrsprungO legt man eine Gerade, die in zwei von O ausgehende Strahlenzerfällt. Jeder dieser Strahlen bildet einen Winkel mit der x-Achse.Für den Cotangens gelten analoge Überlegungen.2.6.2.3 EigenschaftenWegen cos(x + π) = −cos(x) und sin(x + π) = −sin(x) sind diese Funktionenperiodisch mit der Periode π.Außerdem folgt aus sin(x+π/2) = cos(x) (3) und cos(x+π/2) = −sin(x) (4) dieBeziehungtan(x + π ) = −cot(x). (2.6)2

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 11410y = tan(x)y = cot(x)5Y-Achse0-5-10-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4X-Achse: −3/2π ≤ x < 3/2πAbbildung 2.2: Tangens und Cotangens2.7 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischenFunktionenDie Umkehrfunktioenen der trigonometrischen Funktionen werden Arcusfunktionenvon lateinisch Arcus “der Bogen”. Da bei diesen Funktionen zu einem y-Wertunendlich viele x-Werte gehören, kann es Umkehrfunktionen nur für eingeschränkteDefinitionsbereiche geben. Man muß sich auf Bereiche einschränken, auf denendie Funktion streng monoton ist. Auch davon gibt es bei den trigonometrischenFunktionen unendlich viele — und damit eigentlich auch unendlich viele Umkehrfunktionen.Glücklicherweise reicht die Kenntniss einer dieser Funktionen um die

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 115anderen zu berechnen.1. Die Cosinus-Funktion cos ist im Intervall [0, π) streng monoton fallend, alsoumkehrbar. Ihre Umkehrfunktion in diesem Intervall ist die ArcuscosinusFunktion arccos.Sie ordnet jedem Cosinuswert (aus [−1, 1]) einen Winkel aus dem Intervall[0, π) zu. Was ist zu tun wenn eine Winkel in [π, 2π) gewünscht ist? Dannist eine andere Umkehrfunktion zuständig, die aber keinen eigenen Namenhat, aber so ermittelt wird: Wir nennen vorübergehend die Umkehrfunktionfür [π, 2π) U.Sei x ∈ [0, π). In cos(x) = cos(2π − x) (→ Einheitskreis) setzen wir x =arccos(y) ein und erhalten y = cos(2π − arccos(y)). Darauf wenden wir Uan und erhalten U(y) = 2π − arccos(y). Damit folgt (nach Änderung derNotation):Satz: Die Umkehrfunktion des Cosinus zum Intervall [π, 2π) ist durchgegeben.y(x) = 2π − arccos(x)2. Die Sinus-Funktion sin ist im Intervall [−π/2, π/2) streng monoton steigend,also umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion in diesem Intervall ist die ArcussinusFunktion arcsin.Sie ordnet jedem Sinuswert (aus [−1, 1]) einen Winkel aus dem Intervall[− π, π) zu. Was ist zu tun wenn eine Winkel in 2 2 [π, 3 π) gewünscht ist? Dann2 2ist eine andere Umkehrfunktion zuständig, die aber keinen eigenen Namenhat, aber so ermittelt wird: Wir nennen vorübergehend die Umkehrfunktionfür [ π, 3 π) U.2 2Sei x ∈ [− π, π ). In sin(x) = sin(π − x) (→ Einheitskreis) setzen wir x =2 2arcsin(y) ein und erhalten y = sin(π − arcsin(y)). Darauf wenden wir Uan und erhalten U(y) = π − arcsin(y). Damit folgt (nach Änderung derNotation):

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 116Satz: Die Umkehrfunktion des Sinus zum Intervall [ π, 3 π) ist durch2 2gegeben.y(x) = π − arcsin(x)3. Für x ∈ (− π, π ) ist die Tangensfunktion tan streng monoton wachsend und2 2wird durch die Arcustangensfunktion arctan umgekehrt, die jedem Tangensaus R einen Winkel in (− π, π ) zuordnet. Da die Funktion tan die Periode π2 2hat, deckt diese Umkehrfunktion — anders als im Cosinus/Sinus-Fall — einegesamte Periode der Funktion ab. Um Winkel in anderen Bereichen zu erhalten,addiere man auf das Resultat von arctan entsprechende ganzzahlicheVielfache von π.4y = tan(x)y = arctan(x)y = x321Y-Achse0-1-2-3-4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4X-Achse: −3/2π ≤ x < 3/2πAbbildung 2.3: Tangens und Arcustangens im Bereich zwischen −270 o und 270 o

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 117Die Abbildung 2.3 zeigt wie der Arcustangens durch Spiegelung an derWinkelhalbierenden y = x aus dem Tangens entsteht. Es sind sowohl der“Hauptzweig” — der eigentliche Arcustangens (y = arctan x) als auch diedarüber aund darunter liegenden Nebenzweige (y = arctan x±π) dargestellt.3y = tan(x)y = arctan(x)21Y-Achse0-1-2-3-3 -2 -1 0 1 2 3X-Achse: −π ≤ x < πAbbildung 2.4: Tangens und Arcustangens im Bereich zwischen −180 o und 180 oDie Abbildung 2.4 zeigt den Tangens und die “Arcustangenszweige” im interessantenIntervall [−π, π]: Man sieht hier, wie für einen vorgegebenenWinkel α ∈ [−π, π], der vom Tangens in einen Wert w = tan α abgebildetwird, die zugehörige Umkehrfunktion zu wählen ist:(a) α ∈ [−π, −π/2): α = arctan(tan(α)) − π(b) α ∈ [−π/2, π/2): α = arctan(tan(α))

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 118(c) α ∈ [π/2, π): α = arctan(tan(α)) + π4. Für x ∈ (0, π) ist die Cotangensfunktion cot streng monoton fallend undwird durch die Arcuscotangensfunktion arccot umgekehrt, die jedem Cotangensaus R einen Winkel in (0, π) zuordnet. Da die Funktion cot die Periodeπ hat, deckt diese Umkehrfunktion — anders als im Cosinus/Sinus-Fall —eine gesamte Periode der Funktion ab. Um Winkel in anderen Bereichen zuerhalten, addiere man auf das Resultat von arccot entsprechende ganzzahlicheVielfache von π.2.7.1 Einige Beziehungen zwischen den ArcusfunktionSatz: Zwischen den Arcusfunktionen gelten (unter anderem) folgende Beziehungenarcsin(x) + arccos(x) = π 2 , (2.7)arctan(x) + arccot(x) = π 2 . (2.8)Die Gleichung (2.7) erhält man, indem man x = arccos(y) in die Identität sin(x+) = cos(x) einsetzt (⇒ x ∈ [0, π)), womit sichπ2y = sin(arccos(y) + π 2 ) (2.9)ergibt. Da nun arccos(y) + π ∈ 2 [π, 3 π) ist die “zuständige” Unkehrung der sin-2 2Funktion U(y) = π − arcsin(y). Wendet man U auf (2.9) an, so folgt nach Umstellungder Gleichung und Austausch von x und y (x ↔ y) (2.7) □Die Gleichung (2.8) erhält man, indem man x = arccot(y) in die Identitätcot(x) = −tan(x+ π) = 2 tan(−x−π) einsetzt, woraus sich y = 2 tan(−arccot(y)−π)2ergibt. Das Argumment dieser tan-Funktion liegt im Intervall (− 3π, 2 −π ). Da tan2die Periode π hat, kann zum Funktionsargument π addiert werden, ohne denFunktionswert zu ändern, womit y = tan( π − arccot(y)) folgt. Das Argument der2tan-Funktion liegt jetzt im Intervall (− π, π ); dann aber ist arctan die “zuständige”Umkehrfunktion, deren Anwendung auf die letzte Gleichung die behauptete2 2Identität (2.8) (wieder nach Umstellung und Austausch von x und y) ergibt □

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 119AufgabenAufgabe 1: Führen Sie folgende Divisionen aus:(a) (24x 3 + 50x 2 + x − 30) : (2x + 3)(b) (3x 2 − 5x + 8) : (x − 2)(c) (x 3 − y 3 ) : (x − y)Aufgabe 2: Bestimmen Sie Q:(a) (x 3 − y 3 ) = Q(x − y)(b) Q : (u 2 + v) = u 2 v − 2(c) (a 5 − b 5 ) : (a − b) = QAufgabe 3: Bestimmen Sie zeichnerisch die Umkehrfunktion(en) zu y = x 2 .Aufgabe 4: (Aus [3]) Gegeben ist die Funktion y = f(x) = 1/(1 + x), D =R \ {−1}.(a) Skizzieren Sie die Funktion.(b) Bestimmen Sie B = f(D).(c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion.Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden y = ax + b durch diePunkte P 1 (x 1 , y 1 ) und P 2 (x 2 , y 2 ).Aufgabe 6: (Aus [3]) Man bestimme die Gleichung der Parabel mit der Achseparallel zur y-Achse, die durch die Punkte P 1 (3, 7), P 2 (5, 9) und P 3 (−2, 4)?Anleitung: eine solche Parabel hat die Form y = a + b(x − c) 2 . Lösung: y =0.0571x 2 + 0.543x + 4.857.Aufgabe 7: (Aus [3]) Wie lautet die Gleichung der Parabel aus Aufgabe (2.6),wenn die Achse der Parabel als parallel zur x-Achse vorgegeben ist? Anleitung:eine solche Parabel hat die Form x = a + b(y − c) 2 . Lösung: x = −1.333y 2 +3.13y − 12.40.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 120Aufgabe 8: (Aus [3]) Der Scheitelpunkt der Wurfparabel y = x tan α −[g/(2v 2 0 cos 2 α)]x 2 ist zu berechnen. Dabei ist α der Abwurfwinkel gegen die Waagrechte,v 0 die Anfangsgeschwindigkeit und g = 9.81 m s 2 die Fallbeschleunigung.Lösung: Scheitel v2 02g (sin(2α), sin2 (α)). Wurfweite: x W = (v 2 0/g)sin(2α).Aufgabe 9: Aus ([3]) Die Druckverteilung in der Atmosphäre bis zu h = 11kmHöhe kann durch die Funktion( ) 2p 31km − h=p 0 31km + hbeschrieben werden (p 0 Bodendruck, p Luftdruck in der Höhe h). Man zeichne einDiagramm. In welcher Höhe beträgt der Druck die Hälfte des Bodendrucks?Aufgabe 10: In welchen Punkten schneiden sich der Kreis x 2 +y 2 = 25 und dieHyperbel x2 − y2= 1?4 9Aufgabe 11: Es ist die Gleichung tan α = 2 gegeben.(a) Ermitteln Sie α ∈ (− π, π ) als Lösung der Gleichung.2 2(b) Ermitteln Sie α ∈ ( π, 3 π) als Lösung der Gleichung.2 2(*)Aufgabe 12: Es ist die Gleichung cosα = 0.7 gegeben.(a) Ermitteln Sie α ∈ [0, π) als Lösung der Gleichung.(b) Ermitteln Sie α ∈ [π, 2π) als Lösung der Gleichung.(*)Aufgabe 13: Es ist die Gleichung sinα = 0.7 gegeben.(a) Ermitteln Sie α ∈ (− π, π ) als Lösung der Gleichung.2 2(b) Ermitteln Sie α ∈ ( π, 3 π) als Lösung der Gleichung.2 2Aufgabe 14: Man bestimme x aus der Gleichung 0.8 sin(x) − 0.7 cos(x + 1) =0. Anleitung: Mit Hilfe des Additionstheorems für den Cosinus wird cos(x + 1)zerlegt. Die darin auftretende sin-Funktion wird über sin 2 + cos 2 = 1 durch cosausgedrückt. Es ergeben sich zwei mögliche (±) Gleichungen für cos(x) aus demman den cos(x) und schließlich x errechnet. Es ist eine Probe erforderlich!

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 121Aufgabe 15: Man bestimme die Werte von x ∈ [0, 2π), die die Gleichung3 sin(x) + 5 cos(x) − 4 = 0 erfüllt ist. Anleitung: Drücken Sie sin durch cos aus(sin 2 + cos 2 = 1), lösen Sie nach cos(x) auf. Für jede Lösung zu cos gibt es wiederzwei mögliche x-Werte — bedenken Sie daß es zwei Umkehrfunktionen zum Cosinusim Intervall [0, 2π) gibt, sodaß man vier mögliche Werte für x erhält. Daherist eine Probe erforderlich.Aufgabe 16: Lösen Sie die Gleichung tanx = 2x, x > 0 auf eine Dezimalstellegenau. Anleitung(a) Zeichnen Sie ein Diagramm für 0 < x < π mit y = tanx und y = 2x. BestimmenSie x 0 als x-Wert des Schnittpunktes der beiden2Funktionsgraphen.(b) Setzen Sie y(x) = tan x − 2x. Ausgehend von x 0 bestimmen Sie durch Ausprobierenbenachbarter Werte auf dem Taschenrechner Werte x n , so daßy(x n ) “möglichst gut” zu Null wird.(c) Das Verfahren aus (2.16.b) läßt sich systematisieren: Sei dazu y n := y(x n ).Liegen dann y n und y n−1 auf verschiedenen Seiten der Null, so wählt manx n+1 = x n+x n−1, ansonsten als x2 n+1 = x n+x n−2(Regula Falsi).2Aufgabe 17: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P für die dieSumme der Abstände zu zwei Punkten F 1 und F 2 , die den Abstand 2e haben, eineKonstante, nämlich 2a mit a > e, ist. Liegt F 1 F 2 parallel zur x-Achse, der Ursprungin F 1 und bezeichnet ϕ den Winkel mit der x-Achse und r(ϕ) den Abstandeines Punktes auf der Ellipse vom Ursprung, so gilt die Brennpunktsdarstellungpr(ϕ) =1 − ǫ cos(ϕ) ,wobei p und ǫ durchp = a2 − e 2, ǫ = e a agegeben sind.Zwei Satelliten kreisen um die Erde. Bahndarstellung:p 1r 1 (ϕ) =1 − ǫ 1 cos(ϕ − α 1 )p 2r 2 (ϕ) =1 − ǫ 2 cos(ϕ − α 2 )

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 122Durch welche Gleichung ist eine mögliche Kollision bestimmt? Wie viele Kollisionspunktesind maximal möglich?Zahlenbeispiel:α 1 = 0 o , α 2 = 60 o ,ǫ 1 = 0.1, ǫ 2 = 0.8,p 1 = 400Km,p 2 = 600Km.2.8 Die Exponentialfunktion2.8.1 Motivation: Ungebremstes WachstumWir betrachten eine Population aus N Individuen. Im (kleinen) Zeitraum ∆tändert sich N um ∆N, wobei diese Änderung proportional zu N und zu ∆t ist.Den Proportionalitätsfaktor nennen wir α. Dann hat man also für einen “kleinen”Zeitraum ∆t das Gesetz∆N = αN∆t. (2.10)Durch dieses Gesetz wird zum einen etwa das Wachstum von Bakterienkulturenbei ausreichender Nahrungszufuhr beschrieben — dann ist α > 0, zum anderenbeschreibt es für α < 0 auch den radioaktiven Zerfall von N Atomen, aber auch dieAbkühlung eines heißen Körpers der Temperatur ϑ auf die Umgebungstemperaturϑ 0 , denn auch hier ist die Abnahme der Temperatur ϑ im Zeitraum ∆t, die wirmit ∆ϑ bezeichnen, proportional zu ∆t und zu ϑ − ϑ 0 , es gilt also∆ϑ = α(ϑ − ϑ 0 )∆t.Nennt man nun N := ϑ − ϑ 0 und beachtet, daß — da ϑ 0 eine Konstante ist —die Änderung von ϑ, die wir ∆ϑ genannt hatten, gleich der Änderung von ϑ − ϑ 0 ,also gleich der Änderung von N ist, die wir ∆N genannt hatten, so erhält manwieder die Gleichung (2.10).

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 123Schreibt man (2.10) etwas ausführlicher auf, so ergibt sichN(t + ∆t) = N(t) + αN(t)∆t= N(t)(1 + α∆t).Um Aussagen für beliebig große Zeiträume τ zu treffen, unterteilt man τ in sehrviele (n) kleine Teile, auf die dann das Gesetz (2.10) anwendbar ist: τ = n∆t| |--|----|----|----|----|----|----|----|----|--| dt |T = 6*dtAuf jeden Zeitschritt wenden wir (2.10) an und erhalten:N(t + 1 ∗ ∆t) = (1 + α∆t)N(t)N(t + 2 ∗ ∆t) = (1 + α∆t)N(t + 1 ∗ ∆t).= (1 + α∆t) 2 N(t).N(t + n ∗ ∆t) = (1 + α∆t) n N(t).und mit n∆t = τ folgt:(N(t + τ) = 1 + ατ ) nN(t). (2.11)nWir lassen die Unterteilung immer feiner werden (n → ∞) und definieren(exp(ατ) := lim 1 + ατ ) n.n→∞ nDie Funktionexp(x) := lim(1 + x ) n(2.12)n→∞ n

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 124heißt Exponentialfunktion.Wir haben also gezeigt, daß aus der “Differentialgleichung”∆N(t) = αN(t)∆tdie GleichungN(t + τ) = exp(ατ)N(t) (2.13)folgt, die es gestattet, N zu jedem anderen Zeitpunkt t + τ zu berechnen, wennes nur zu einem Zeitpunkt t bekannt ist.Setzt man in (2.13) t = 0, definiert N 0 :=N(0), so erhält man N(τ) = exp(ατ)N 0 ,also nach τ ↔ t die fundamentale Gleichung für Wachstums-, Zerfalls- und DämpfungsprozesseN(t) = exp(αt)N 0 (2.14)2.8.2 Eigenschaften der Exponentialfunktion2.8.2.1 Das Additionstheorem der ExponentialfunktionSetzt man (2.14) in (2.13) ein und nennt x := αt und y := ατ, so folgtexp(x + y) = exp(x) ∗ exp(y). (2.15)Da dieses Additonstheorem hier quasi “vom Himmel fällt” wird es im folgendennoch auf zwei andere Arten begründet werden.2.8.2.2 expx = e xWir definieren zunächste := exp(1) = limn→∞(1 + 1 n) n

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 12532.82.6Y-Achse: (1 + 1 n )n2.42.221.81.60 10 20 30 40 50X-Achse: n = 1,2, 3, . . .( )Abbildung 2.5: e = lim n→∞ 1 +1 nnund entnehmen Abbildung 2.5, daß diese Folge offenbar gegen eine Zahl e ≈ 2.7 —die sogenannte Eulersche Zahl (benannt nach Leonhard Euler, (1707 – 1783))konvergiert.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 126Abbildung 2.6: Leonhard Euler, (1707 – 1783)Die Konvergenz der Folge a n := (1 + 1/n) n läßt sich auch sauber mit der BernoullischenUngleichung (1 + a) n ≥ 1 + an nachweisen, in der wir a = −1/n 2verwenden:(a n = 1 − 1 ) n≥ 1 − 1 n 2 n( ) n ( ) n≥ 1 − 1 n1 − 1 n( n − 1n1 + 1 n) n (1 + 1 ) n≥ n − 1n n(1 + 1 ) n≥ n − 1n n( )n nn−1 n − 1 + 1(n − 1) = = a n n−1n − 1Wir haben zunächst, daß die Folge (a n ) n∈N monoton wächst, daß also a n ≥ a n−1für n ≥ 2. Genau so kann man für die Folge b n := (1 + 1/n) n+1 ausgehend von

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 127der Bernoulli-Ungleichung, in der wir diesmal a = 1 setzen, zeigen, daß sien 2 −1monoton fällt (solange umformen, bis b n−1 ≥ b n dasteht). Nun ist2 = a 1 ≤ a n ≤ b n ≤ b 1 = 4, (2.16)und die gesamte Folge (a n ) n∈N liegt links von der Folge (b n ) n∈N und für die Differenzfolgeb n − a n gilt0 ≤ b n − a n = (1 + 1/n) n (1 + 1/n − 1) = a n1n≤ 4/n → 0, n → ∞, (2.17)Die beiden Folgen laufen also aufeinander zu, sie müssen ein und denselben Grenzwertbesitzen, nämlich die Zahl e.Für rationales und positives x = p/q rechnen wir dann so weiter:exp(x) = limn→∞(1 + x n= limn→∞(1 + 1 nx) n= limn→∞( (1 + 1 nx) nx x) n) xxMit n := r · p ⇔ n = r · q =: mx((= lim 1 + 1 ) m ) xm→∞ m= e xDamit hat man die Gleichung exp(x) = e x für rationales und positives x begründet;es läßt sich zeigen, daß sie für alle x ∈ Q gilt v .Damit ist auch das Additionstheorem der Exponentialfunktion (für rationale Argumente)noch einmal gezeigt.v Etwa indem man 1 e = lim n→∞(1 − 1 n )n nachweist und dann wie eben argumentiert:Es ist doch offenbar exp(0) = 1 und damit wäre wegen des Additionstheorems exp(−x) ·

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 1282.8.2.3 Vorzeichen, Wert an der Stelle 0, ...1. exp(0) = 1 folgt aus der Definition2. exp(x) > 0 für alle x ∈ R. Zunächst folgt aus der Definition, daß exp(x) ≥ 0;wäre exp(x 0 ) = 0, so wäre wegen des Additionstheorems1 = exp(0) = exp(x 0 )exp(−x 0 ) = 0 ∗ exp(−x 0 )3. exp(x) ≥ 1 + x; das folgt aus der Bernoullischen Ungleichung, wegen (1 +x/n) n ≥ 1 + x.4. Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend, und es giltlim x→∞ exp(x) = ∞ und lim x→−∞ exp(x) = 0. Das folgt aus dem Additionstheoremund den vorigen Resultaten.2.8.2.4 Die Reihendarstellung der ExponentialfunktionAusmultiplizieren des in der Definition der Exponentialfunktion (2.12) auftretendenProduktes mittels der in Abschnitt 1.3.2 behandelten binomischen Formelexp(x) = 1, was aber hier auch direkt begründet werden kann:(exp(−x) · exp(x) = lim 1 − x n (· lim 1 +n→∞ n) x n→∞ n(= lim 1 − x ) n (1 + x ) nn→∞ n n( ( ) x 2 n= lim 1 −n)n→∞( ) n= lim 1 − (x2 /n)n→∞ n(Bernoulli-Ungl.: 1 − x 2 /n ≤= 1.) n1 − (x2 /n)n) n≤ 1Damit folgt exp(−x) = 1exp(x) und insbesondere Damit folgt 1 e = exp(−1) = lim n→∞(1 −1/n) n .

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 129liefert zusammen mit der Betrachtung des Grenzwertes n → ∞ die Darstellung(0! := 1 und n! := n ∗ (n − 1) ∗ · · · ∗ 2 ∗ 1)exp(x) =∞∑n=0x nn! . (2.18)Begründung:(1 + x/n) n ====→n∑( n xkk)k=0n∑k=0n∑k=0n kn! x kn k (n − k)! k!n(n − 1) · · · (n − k + 1)n kn∑k−1∏(1 − ρ n )k=0 ρ=0∞∑k=0} {{ }}{{} → 1n→∞x kk!x kk! , n → ∞x kk!Hier ist eine genauere Betrachtung erforderlich . . .Aus dieser Reihendarstellung gewinnt man noch einmal die wichtigen Eigenschaftender Exponentialfunktion:

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 1302.8.2.4.1 Noch einmal exp(x + y) = exp(x)exp(y): Es wirdexpx + y ===∞∑k=0∞∑k=0∞∑k=0r=01(x + y)kk!1k!k∑r=0k∑r=0x rr!( kr)x r y k−ry k−r(k − r)!Vertauschung der Summationsreihenfolge∞∑ ∞∑ x r y k−r=r! (k − r)!r=0 k=r∞∑ x r ∞∑ y k=r! (k)!k=0Das Additionstheorem ist damit für alle Zahlen, für die die Gleichung(2.18) gültigist, und die den Körperaxiomen genügen, nachgewiesen.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 131Abbildung∑2.7: Vertauschung der Summationsreihenfolge:∞k=r .∑ ∞r=0∑ ∞k=0∑ kr=0=2.8.2.4.2 Noch einmal exp(x) = e x : Sei zunächst x ∈ Q; mit n ∈ N 0 undz ∈ Z \ {0} kann man x = n schreiben und es folgtzexp(x) = exp( n z ) = exp(1 z + · · · + 1 [) = exp( 1 ] n} {{ z}z ) , (2.19)n-malwobei sich die letzte Gleichung durch wiederholte Anwendung des Additionstheorems(2.15) ergibt.Definiert man nune := exp(1), (2.20)so liefert (2.19) mit 1 = z z die Gleichung e = [exp(1/z)]z , also ist exp(1/z) = e 1 zund aus (2.19) folgt schließlichexp( n z ) = e n z .

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 132Satz: Für rationales x ∈ Q giltexp(x) = e x . (2.21)2.9 Der natürliche LogarithmusAufgrund der oben genannten Eigenschaften der Exponentialfunktion, existiertihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus y(x) = ln(x).Satz: Eigenschaften des natürlichen Logarithmus:1. Der Logarithmus bildet die positiven rellen Zahlen auf die reellen Zahlenab.2. ln(exp(x)) = x für alle x ∈ R.3. exp(ln(x)) = x für alle x ∈ R mit x > 0.4. ln(1) = 0. Das folgt aus exp(0) = 1.5. ln(e) = 1. Das folgt aus exp(1) = e.6. ln(x) → ∞ für x → ∞.7. ln(x) → −∞ für x → 0.8. y = ln(x) ist streng monoton wachsend.9. Der Logarithmus erfüllt die Funktionalgleichungln(u ∗ v) = ln(u) + ln(v)Um das nachzuweisen, setzt man in dem Additionstheorem der Exponentialfunktionx = ln(u) und y = ln(v) ein, womit sich exp(ln(u)+ln(v)) = u∗vergibt, worauf noch einmal ln() angewendet wird.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 13310. ln(x 1 /x 2 ) = ln(x 1 ) − ln(x 2 ). Um das einzusehen, setze man in der Funktionalgleichungu = x 2 und v = x 1 /x 2 .11. Aus der Funktionalgleichung folgt für x ∈ R mit x > 0 und q ∈ Qln(x q ) = q ln(x).12. Es gilt die Ungleichung ln(x) ≥ 1 − x, die aus x = e y ≥ 1 + y folgt.2.10 Die Potenz mit rellem ExponentenWir hatten oben im Abschnitt 1.2.3.5 gesehen, wie man die für reelles a > 0 undrationales q die Potenz a q definiert. Wir haben nun die Gleichungsskettea q = exp(ln(a q )) = exp(q ln(a))In die letzte Gleichung kann aber ohne Schaden auch ein relles q eingesetzt werden.Für relles β definieren wir deshalba β := exp(β ln(a)) (2.22)Nimmt man auf beiden Seiten den Logarithmus dieser Gleichung, so sieht mandass auch für relles βgilt.ln(a β ) = β ln(a) (2.23)2.11 Logarithmus zu beliebiger positiver rellerBasis aWir definieren die Umkehrfunktion der Funktiony(x) = a x ,a ∈ R, a > 0 x ∈ R

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 134als den Logarithmus log a zur Basis a:y = a x ⇔ x = log a (y) (2.24)Anwendung des natürlichen Logarithus auf y = a x ergibt lny = x ln a andererseitsist nach Definition x = log a y woraus sichlog a y = ln yln aergibt. Es fogt derSatz: Alle Logarithmen unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren undlassen sich ineinander umrechnen, es gilt nämlichlog a ylog b y = ln blna .Insbesondere nennen wirlog(x) := log 10 (x)ln(x) := log e (x)ld(x) := log 2 (x)AufgabenAufgabe 18: Berechnen Sie e = exp(x) auf zwei Arten:(a) Indem Sie (1 + 1 n )n für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen.(b) Indem Sie S n := ∑ nj=01für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen.j!Tragen Sie die Werte in eine Tabelle ein. Welche Folge konvergiert schneller?Aufgabe 19: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke(a) (a 2 ) 3 + a 2 ∗ a 3 + (a 3 ) 2

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 135(b) a 7x /a 3x(c) (e 3 ) 2(d) exp(3 2 )(e) √ e xAufgabe 20: Berechnen Sie folgende Logarithmen ohne einen (Taschen)rechnerzu verwenden:(a) log 2 8(b) log 214(c) log 21 √2(d) log 3 81(e) log 9 3(f) log 4 0.5Aufgabe 21: Drücken Sie die folgenden Terme als Terme in ln x und lny aus:(a) ln(x 2 y)(b) ln √ xy(c) ln(x 5 y 2 )Aufgabe 22: Drücken Sie die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmusaus:(a) ln14 − ln21 + ln6(b) 4 ln2 − 1 2 ln25(c) 1.5 ln9 − 2 ln 6(d) 2 ln(2/3) − ln(8/9)Aufgabe 23: Vereinfachen Sie die Ausdrücke(a) exp { 1ln [ ]}1−x2 1+x(b) e 2ln x

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 136Aufgabe 24: Zeichen Sie die folgenden Funktionen jeweils in einen Graphen(a) y = 2 x und y = log 2 x(b) y = e x und y = lnx(c) y = 10 x und y = log xAufgabe 25: Bei der Radiokarbonmethode nutzt man die Tatsache aus, daßdas radioaktive Kohlenstoff-Isotop 14 C mit einer Halbwertszeit T 1 von 5730a (1a2= 1 Jahr) unter β-Zerfall zu Stickstoff ( 14 N) zerfällt. Für das Verhältniss γ von14 C zu 12 C gilt ein Gesetzγ = γ Luft ∗ e −λt ,wobei t die Zeit beschreibt.Bestimmen Sie λ aus der angegebenen Halbwertszeit T 1, die ja angibt, nach welcherZeit die Hälfte des Stoffes zerfallen2ist.Bei einer Probe wurde γ = 0.19γ Luft gemessen. Wie alt ist die Probe?Aufgabe 26: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BestimmenSie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmtx −2 −1 0 1p(x) −3 −1 −1 3Hinweis: Einsetzen der angegebenen Stellen in einen Ansatz der Form p(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 liefert die Koeffizienten.Aufgabe 27: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Jede Nullstelleˆx eines Polynoms p mitp(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n (a n ≠ 0)lässt sich abschätzen durch|ˆx| < |a 0| + |a 1 | + . . . + |a n ||a n |.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 137Zeigen Sie diese Aussage, indem Sie die Fälle |ˆx| < 1 und |ˆx| ≥ 1 getrenntbetrachten.Hinweis: Setzen Sie eine Nullstelle ˆx ins Polynom ein und vergessen Sie nicht dieIdentität |a n||a n | = 1.Aufgabe 28: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BegründenSie die Monotonie der Logarithmusfunktion, das heißt, es giltlnx < lny für 0 < x < y .Hinweis: Nutzen Sie sowohl die Abschätzung lnz ≤ z −1 für eine geeignete Zahlz > 0 als auch die Funktionalgleichung des Logarithmus.Aufgabe 29: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zeigen Sie,dass log 2 3 irrational ist.Hinweis: Für n, m ∈ N ist 2 n gerade, aber 3 m ungerade.Aufgabe 30: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Entwickeln Siedas Polynome p um die angegebene Stelle x 0 , das heißt, finden Sie die Koeffizientena j zur Darstellung p(x) = ∑ nj=0 a j(x − x 0 ) j ,(a) mit p(x) = x 3 − x 2 − 4x + 2 und x 0 = 1,(b) mit p(x) = x 4 + 6x 3 + 10x 2 und x 0 = −2.Hinweis: Ersetzen Sie x = (x − x 0 ) + x 0 .Aufgabe 31: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zerlegen Siedie Polynome p, q, r : R → R in Linearfaktoren:p(x) = x 3 − 2x − 1q(x) = x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6r(x) = x 4 − 6x 2 + 7Hinweis: Auswerten der Polynome an Stellen wie 0, 1, −1 und/oder quadratischeErgänzung liefert Nullstellen. Durch Polynomdivision lassen sich die Polynomedann in Faktoren zerlegen.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 138Aufgabe 32: (+ + +) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BetrachtenSie die beiden rationalen Funktionen f : D f → R und g : D g → R, diedurchf(x) = x3 + x 2 − 2xx 2 − 1, g(x) = x2 + x + 1x + 2definiert sind. Geben Sie die maximalen Definitionsbereiche D f ⊆ R und D g ⊆ Ran und bestimmen Sie die Bildmengen f(D f ) und g(D g ). Auf welchen Intervallenlassen sich Umkehrfunktionen zu diesen Funktionen angeben?Hinweis: Für die Definitionsbereiche bestimme man die Nullstellen der Nenner.Außerhalb dieser Nullstellen müssen wir versuchen die Gleichungen y = f(x) bzw.y = g(x) nach x aufzulösen, um die Bildmengen und die Umkehrfunktionen zubestimmen.Aufgabe 33: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BerechnenSie folgende Zahlen ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners:√e3ln 4,mit x > 0 .12 log 2(4 e 2 ) − 1ln2 ,x √ e (2+x)2 −4Hinweis: Nutzen Sie die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und/oderdes Logarithmus und die Umkehreigenschaften der beiden Funktionen.Aufgabe 34: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] VereinfachenSie für x, y, z > 0 die Ausdrücke:(a) ln(2x) + ln(2y) − lnz − ln4(b) ln(x 2 − y 2 ) − ln(2(x − y))(c) ln(x 2 3) − ln( 3√ x −4 )Hinweis: Verwenden Sie die Funktionalgleichung des Logarithmus.(*)Aufgabe 35: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Der Sinushyperbolicus ist gegeben durchsinhx = ex − e −x,2e x

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 139der Cosinus hyperbolicus durchcoshx = ex + e −x,2und der der Tangens hyperbolicus durchtanh x = sinhxcoshx .• Verifizieren Sie die Identitättanh x 2 =sinhxcoshx + 1 .• Begründen Sie, daß für das Bild der Funktion gilttanh(R) ⊆ [−1, 1].• Zeigen Sie, daß durchartanh x = 1 ( ) 1 + x2 ln 1 − x.die Umkehrfunktion artanh: [−1, 1] → R, der Areatangens hyperbolicusFunktion gegeben ist.Hinweis: Verwenden Sie die Definitionen von sinh und cosh und binomischeFormeln.Aufgabe 36: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zeigen Siedie Identitätencos(arcsin(x)) = √ 1 − x 2undsin(arctan(x)) =x√1 + x2 .Hinweis: Verwenden Sie in beiden Fällen die Beziehung sin 2 x + cos 2 x = 1 unddie Umkehreigenschaft der jeweiligen Arkus-Funktion.

KAPITEL 2. FUNKTIONEN 140Aufgabe 37: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Die Lichtempfindlichkeitvon Filmen wird nach der Norm ISO 5800 angegeben. Dabei istzum einen die lineare Skala ASA (American Standards Association) vorgesehen,bei der eine Verdoppelung der Empfindlichkeit auch eine Verdoppelung des Wertsbedeutet. Zum anderen gibt es die logarithmische DIN-Norm, bei der eine Verdoppelungder Lichtempfindlichkeit durch eine Zunahme des Werts um 3 Einheitengegeben ist. So finden sich auf Filmen Angaben wie 100/21 oder 200/24für die ASA und DIN Werte zur Lichtempfindlichkeit. Finden Sie eine Funktionf : R >0 → R mit f(1) = 1, die den funktionalen Zusammenhang des ASA Wertsa zum DIN Wert f(a) (gerundet auf ganze Zahlen) beschreibt.Hinweis: Bestimmen Sie aus den Angaben zur Verdoppelung der Lichtempfindlichkeitund der Funktionalgleichung des Logarithmus eine Basis b für die Funktionf(x) = log b x + c.

Kapitel 3Komplexe Zahlen3.1 Cardanos Formel für Gleichungen drittenGrades3.1.1 VorbemerkungWir können die Nullstellen von Polynomen zweiten Grades mit Hilfe der QuadratischenErgänzung bzw. der daraus folgenden “p − q-Formel” ermittlen.Hat man bei Polynomgleichungen dritten Grades irgendwie eine Nullstelle ermittlet,so kann diese durch Polynomdivision abgespalten werden, und dann bleibt fürdie anderen Nullstellen eine Gleichung zweiten Grades übrig.Hat man also eine Nullstelle einer Gleichung dritten Grades gefunden, so ergibtsich der Rest “von selbst”. Neben dem Raten einer Nullstelle, gibt esaber auch noch die berühmte Cardanische Formel von Geronimo (Girolamo)Cardano (1501 – 1576) i , die dieser von Niccolo Fontana genannt Tartaglia(1499/1500 – 1557) erhalten hatte, ursprünglich aber wohl von Scipione daFerro (1465 – 1526) stammt.i war als Student Rektor der Universität von Padua und als Greis Insasse des Gefängnissesvon Bologna, wurde 1570 der Ketzerei angeklagt, weil er das Horoskop Jesu Christi veröffentlichthatte; seinen Lebensabend bestritt er mit einer Pension des Papstes.141

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 1423.1.2 Noch einmal die n-te WurzelIm Abschnitt 1.2.3.5 hatten wir für nicht nicht negatives x die n-te Wurzel (n ∈ N)durchy = n√ x := x 1 nals die positive Lösung x der Gleichungy n = xcharakterisiert; dabei hatten wir in den Überlegungen zur Gleichung (1.16) gesehen,daß es höchstens eine Lösung dieser Gleichung geben kann, weil die Potenzfunktiony = x n , (3.1)deren Umkehrfunktion die n-te Wurzel ist, auf dem Intervall [0, ∞) streng monotonwachsend ist, d.h. es giltx 1 < x 2 ⇒ y(x 1 ) < y(x 2 ).Da nun für die Potenzfunktionn gerade: y(−x) = y(x), Wertebereich: [0, ∞),n ungerade: y(−x) = −y(x), Wertebereich: (−∞, ∞)gilt, hat die Potenzfunktion für ungerades n den Wertebereich R und ist aufganz R steng monoton wachsend. Deshalb kann in diesem Fall die n-te Wurzelfür alle x ∈ R definiert werden.Den Anschluß an die Potenzdarstellung erhalten wir dadurch, daß für negativesw = −a mit a > 0n√ w =n √ −a := (−1)a 1 n

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 143wird, also mit der Signum-Funktion⎧⎪⎨ 1, x > 0sgn(x) := 0, x = 0⎪⎩−1, x < 0(3.2)die n-te Wurzel für ungerades n durchn√ w := sgn(w) |w|1ndargestellt werden kann.Für ungerade Wurzelexponenten n laßt sich so die Wurzelfunktion auf ganz Rdefinieren, die Wurzel sollte aber nicht mehr als Potenz w 1 n geschrieben werden,da die Potenzgesetze nicht mehr gelten(!) wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:(−1) = 3√ −1 = (−1) 1 3 = (−1)26 = (−1)2· 16 = ((−1) 2 ) 1 6 = 116 = 1.Wurzelgesetz: Wir betrachten für n ∈ N die Gleichung(n√ an √ b) n= ab,die offensichtlich immer dann gilt, wenn die entsprechenden Wurzeln definiertsind. Wir unterscheiden ungerades und gerades n:n ungerade: Die Gleichung ist für a, b ∈ R definiert und zugleich ist y n = x fürjedes x eindeutig durch y = n√ x lösbar, deshalb giltn√ an √ b = n√ ab, für alle a, b ∈ R. (3.3)n gerade: Die Gleichung ist für a, b ∈ [0, ∞) definiert und zugleich hat y n = x fürx ∈ [0, ∞) die eindeutig bestimmte ii nicht negative Lösung y = n√ x, deshalbgiltn√ an √ b = n√ ab, für alle a, b ∈ [0, ∞). (3.4)ii weil wir uns auf nicht negative Lösungen beschränken

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 144Mit dieser Erweiterung gelten folgende Aussagen (n ∈ N):1. Ist n ungerade, so ist die Gleichung x n = r für jedes r ∈ R eindeutig durchlösbar.x = n√ r2. Ist n gerade, so die Gleichung x n = r für jedes nicht negative r ∈ R diebeiden Lösungenx 1,2 = ± n√ r,während es für negatives r keine Lösung gibt.3. In beiden Fällen gilt für relles nicht negatives αn√ αr =n √ α n√ r. (3.5)“Nicht negative Faktoren können aus der Wurzel gezogen werden”. Bei ungerademWurzelexponenten können sogar beliebige Faktoren aus der Wurzelgezogen werden (vergl. (3.3)).Was haben wir hier getan? Wir haben die n-te Wurzel als Umkehrfunktion vony = x n auf dem größtmöglichen Definitionsbereich definiert. Nun ist y = x n fürungerades n auf (−∞, ∞) bĳektiv, für gerades n aber nur bei Einbschränkungauf (−∞, 0] oder auf [0, ∞). Die Potenzgesetze gelten nur bei Einschränkung aufeinen gemeinsamen, dann aber notwendig kleineren Definitionsbereich.3.1.3 Herleitung der Cardanischen FormelWir betrachten die Gleichungx 3 + rx 2 + sx + t = 0. (3.6)

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 145Die Identität (binomische Formel für (x + r 3 )3 verwenden)(x 3 + rx 2 = x + r ) ( 3 ( r) 2 ( ) r 3− 3 x +3 3 3)zeigt, daß mit Hilfe der Substitutionen x = y − r/3 undp := s − r23q := 2r327 − s · r3 + tdie sogenannte reduzierte Formy 3 + py + q = 0 (3.7)entsteht. Für diese machen wir den Ansatz y =: u + v, der zur Gleichungu 3 + v 3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0führt. Wenn(!) nun u und v so bestimmt werden können, daß die beiden Gleichungenu 3 + v 3 = −quv = − p 3(3.8)erfüllt sind, so ist die Gleichung gelöst.Zwischenbetrachtung: Die Gleichungen von Vieta: Die Gleichungz 2 + βz + γ = 0hat die Lösungenz 1,2 = − β √β2 ± 24 − γund daher gelten für diese Lösungen die Gleichungen von Vietaz 1 + z 2 = −βz 1 · z 2 = γ

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 146Schreiben wir nun die Gleichung (3.8) zuu 3 + v 3 = −q( p 3u 3 v 3 = −3)um, so sehen wir, daß, wenn β = q und γ = − ( p 33)gesetzt werden, die Größen uund v durchu 3 = z 1 = − q √ (q ) 2 ( p 32 + +2 3)v 3 = z 2 = − q √ (q ) 2 ( p 32 − +2 3)bestimmt sind, so daß schließlich eine Lösung von Gleichung (3.7) durch die CardanischeFormel√y = 3 − q √√(q ) 2 ( p) 32 + 3+ + − q √ (q ) 2 ( p) 32 3 2 − + (3.9)2 3geliefert wird.Nachweis der Richtigkeit der Cardanischen Formel durch Einsetzen: Sei√y = 3 a + √ b +√a 3 − √ b.Wir berechnen y 3 nach der binomischen Formel:y 3 = a + √ √b + 3 3 a + √ √b 3 a + √ √b 3 a − √ √b + 3 3 a + √ √b 3 a − √ b√a 3 − √ b + a − √ b√= 2a + 3 3 a + √ b 3√ √a 2 − b + 3 3 a 2 − √ b√a 3 − √ b= 2a + 3 3√ a 2 − by.Mit a = − q und b = ( q 2 (2 2)+p) 3,3 also b = a 2 + ( p 33)erhalten wir:( p) 3y,y 3 = −q + 3√−3 3alsoy 3 + py + q = 0.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 1473.1.4 Beispiele und Aufgaben zur Cardanischen FormelEinige Beispiele mögen das illustrieren; die Gleichungen sind bereits in der reduziertenForm:y 3 − 4y − 15 = 0: Die Lösungsformel liefert wegen p = −4 und q = −15√q24 + p327 = √ 11 ∗ 23 2 /(2 2 ∗ 3 3 )= 23 √11/36√15y = 3 2 + 23√√3 15 11/3 +6 2 − 23 √11/3 (3.10)6und numerisch(!) bestätigt man y = 3, was eingesetzt in die Gleichung3 3 − 4 ∗ 3 − 15 = 27 − 12 − 15 = 0 ergibt. Abspalten der Nullstelle:y^3 - 4y - 15 : (y - 3) = y^2 + 3y + 5-(y^3 - 3y^2)-----------------------3y^2 - 4y - 15-(3y^2 - 9y)-----------------5y - 15-(5y - 15)----------0Das Polynom y 2 + 3y + 5 hat die Nullstellen − 3 2 ± √ 9/4 − 5 — also keineweiteren rellen Nullstellen.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 14830z = y 3 − 4y − 1520100Z-Achse-10-20-30-40-50-60-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Y-AchseAbbildung 3.1: z = y 3 − 4y − 15y 3 − 6y − 9 = 0: Hier ist p = −6 und q = −9, also ist eine Lösung durch√ √√√ √√(9 ) 2 ( ) √√√ √3 (9 ) 2 ( 396y = 3 2 + − + 3 962 3 2 − −2 3)also durch√√√√9 81y = 3 2 + 4 − 8 + 9 8132 − 4 − 8also durchy = 3 √92 + 7 2 + 3 √92 − 7 2 = 3√ 8 + 3√ 1 = 3.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 149y 3 − 6y + 4 = 0: Hier ist p = −6 und q = 4, also isty = 3 √−2 + √ 4 − 8 + 3 √−2 − √ 4 − 8 = 3 √−2 + √ −4 + 3 √−2 − √ −4Verwenden wir auch hier die Regel der Gleichung (3.5) in der Form√ −a =√ a√−1 für a ≥ 0und schreiben√−4 = 2√−1,so wirdy = 3 √−2 + 2 √ −1 + 3 √−2 − 2 √ −1 (3.11)Eine kurze Zwischenrechnung mit der Binomischen Formel zeigt uns(1 ± √ −1) 3 = 1 ± 3 √ −1 + 3( √ −1) 2 ± ( √ −1) 3= 1 ± 3 √ −1 − 3 ∓ √ −1= −2 ± 2 √ −1(3.12)also isty = 1 + √ −1 + 1 − √ −1 = 2. (3.13)Diese Lösung bestätigt man auch durch Einsetzen in die Gleichung.Wir haben hier im Verlauf der Rechnung zwischenzeitlich mit der Zahl √ −1operiert, der wir einen besonderen Namen geben wollen.Imaginäre Einheit: Als imaginäre Einheit j wollen wir die im Verlauf derobigen Rechnung aufgetauchte Zahl bezeichnen:j := √ −1. (3.14)Für diese Zahl giltj 2 = (−1) (3.15)

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 150daher kann sie nicht in den reellen Zahlen liegen, denn aus dem Monotoniegesetz(A8) folgt für jedes x ∈ R iii :0 < x ⇒ 0 < x 2 ,x < 0 ⇒ 0 < −x ⇒ 0 < (−x)(−x) = x 2 ,0 = x ⇒ 0 = x 2 .3.2 Die Komplexen Zahlen und ihre RechenregelnWir fügen die imagaginäre Einheit j — die in der mathematischen Literaturmeistens mit dem Buchstaben i bezeichnet wird — in folgender Weise zu denrationalen Zahlen hinzu:1. j ist eine neue (nicht-reelle) Zahl, die die Eigenschaftbesitzt.j 2 = (−1) (3.16)2. j kann durch Multiplikation und Addition mit rellen Zahlen verknüpft werden:iii Wir verwenden hier (−x)(−x) = x 2 , was mitund0 = 1 + (−1) | · (−1)⇒ 0 = (−1) + (−1)(−1) | + 1⇒ 1 = 1 + (−1) + (−1)(−1)⇒ 1 = (−1)(−1)0 = 1 + (−1) ⇒ 0 = x + (−1)x ⇒ (−1)x = (−x)aus den Körperaxiomen folgt.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 151• j · b• j + b• a + jbDerartige Gebilde z = x+jy mit x, y ∈ R wollen wir komplexe (zusammengesetzte)Zahlen nennen: z = x + jy ∈ C. Dabei bezeichnetC = {z|z = y + jy, x, y ∈ R}die Menge der komplexen Zahlen.3. Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten die üblichen Rechenregeln— nämlich• Kommutativgesetz,• Assoziativgesetz,• Distributivgesetz,• Existenz neutraler Elemente für– Addition — die Zahl 0,– Multiplikation — die Zahl 1,und die neue — charakteristische – Rechenregelj 2 = (−1). (3.17)4. Für die Quadratwurzel einer reellen Zahl r ∈ R setzen wir die Regel√ r = :={r 1 2, r ≥ 0j(−r) 1 2, r < 0(3.18)fest. Dann gilt jedenfalls( √ r) 2 = rund die Gleichung x 2 = r hat für jedes r ∈ R die beiden Losungenx 1,2 = ± √ r.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 152Quadratische Gleichungen: x 2 + px + q = 0 sind jetzt immer lösbar:x 1,2 = − p √ (p 22 2) ± − q} {{ }8( (p) 12 2 (>: j q − ( )1)p 2 2 (, p) 22 2 − q < 0Realteil, Imaginärteil, konjugiert komplexe Zahl und Betrag: Für einekomplexe Zahl z = x + jy, x, y ∈ R definiert manRealteil: Re z := x,Imaginärteil: Im z := y,Konjugiert Komplexe Zahl: z := x − jy,Betrag: |z| := √ x 2 + y 2 ;• Das führt für reelles z (also y = 0) auf die frühere Definition desBetrages,• Es gilt |z| ≥ 0 und• |z| = |z|.|z| = 0 ⇔ x = 0 und y = 0.• |z| 2 = zz, denn (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 liefertBeispiel: Für z = 3 + j4 istRe z = 3,Im z = 4,z = 3 − j4zz = (x + jy)(x − jy) = x 2 − (jy) 2 = x 2 + y 2 = |z| 2 .|z| = √ 3 2 + 4 2 = 5, zz = (3 + j4)(3 − j4) = 3 2 − (j4) 2 = 3 2 + 4 2 = 25.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 153Gleichheit, Addition/Subtraktion, Multiplikation und Division: Für zweiZahlen z 1 = x 1 + jy 1 und z 2 = x 2 + jy 2 erhalten wirz 1 = z 2 : Gleichheit gilt, wenn Real- und Imaginärteile übereinstimmen: x 1 = x 2und y 1 = y 2z 1 ± z 2 : Addition/Subtraktion nach den Körperaxiomen führt zur Addition vonReal- und Imaginärteilen:z 1 ± z 2 = x 1 + jy 1 ± (x 2 + jy 2 )= x 1 ± x 2 + jy 1 ± jy 2= (x 1 ± x 2 ) + j(y 1 ± y 2 )Beispiel:1 + j2 + 3 + j4 = 4 + j6.z 1 · z 2 : Multiplikation nach den Körperaxiomen mit Berücksichtigung von j 2 =(−1):z 1 · z 2 = (x 1 + jy 1 ) · (x 2 + jy 2 )= x 1 x 2 + x 1 jy 2 + jy 1 x 2 + j 2 y 1 y 2= (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + j(x 1 y 2 + x 2 y 1 )Wichtig: Diese Regel nicht merken, sondern einfach wie üblich rechnen undj 2 = (−1) beachten.Beispiel:(1 + j2)(3 + j4) = 3 + j4 + j6 − 8 = −5 + j10,(3 + j4) 2 = 3 2 + 2 · 3 · j4 + (j4) 2 = −7 + j24.Das zweite Beispiel illustriert, daß alle Folgerungen aus den Körperaxiomen,wie z.B. die binomische Formel, auch für komplexe Zahlen gelten.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 154z 1 /z 2 : Wir setzen z 2 ≠ 0 voraus und verwenden dann den Trick, den Bruch z 1 /y 2mit z 2 zu erweitern:z 1z 2= z 1z 2z 2 z 2= z 1z 2|z 2 | 2= (x 1x 2 + y 1 y 2 ) − j(x 1 y 2 − x 2 y 1 )x 2 2 + y 2 2= (x 1x 2 + y 1 y 2 )x 2 2 + y 2 2+ j (x 2y 1 − x 1 y 2 )x 2 2 + y 2 2Wichtig: Auch diese Regel nicht merken, sondern nur den Trick — dasErweitern mit dem kongugiert Komplexen des Nenners — merken und danneinfach wie üblich rechnen und j 2 = (−1) beachten.Beispiel:(1 + j2)(3 + j4)(1 + j2)(3 − j4)=2511 + j2=25= 1125 + j 225 .Aufgabe 1: Lösen Sie die Gleichung y 3 − 3y + 2 = 0 mit der CardanischenFormel. Raten Sie eine weitere Nullstelle und dividieren Sie beide Nullstellennacheinander vom Polynom ab, so daß Sie schließlich das Polynom als Produktseiner Nullstellen darstellen können.Hinweis: Polynome mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten haben häufig kleineganze Zahlen als Nullstellen.Aufgabe 2: Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichung y 3 + 3y = 4 mit der CardanischenFormel. Formen Sie soweit um, daß das Resultat keine Wurzeln mehrenthält!Tipp: Berechnen Sie (1± √ 5) 3 und verwenden Sie dieses Zwischenresultat um dasErgebnis zu vereinfachen.(*)Aufgabe 3: Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichung y 3 − 15y − 4 = 0 mitHilfe der Cardanischen Formel. Bei der auftretenden Quadratwurzel aus einer

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 155negativen Zahl √ −a mit a > 0 verwenden Sie die Rechenregel√ −a =√ a√−1 = j√ a für a ≥ 0Vereinfachen Sie das Endresultat so weit wie möglich, indem Sie als Zwischenrechnung(2 ± √ −1) 3mittels der Binomischen Formel berechnen.Aufgabe 4: Sei z 1 = −5 −3j, z 2 = 1 +j. Wie lauten z 1 + z 2 , z 1 −z 2 , z 1 z 2 sowiez 1 /z 2 ?Aufgabe 5: Bestimmen Sie |j|, |1 + j|, |1 − j|, |j n | (n ∈ N).Aufgabe 6: Prüfen Sie die sogenannte Dreiecksungleichung|z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |mit den komplexen Zahlen j, 1 ± j, −j.(*)Aufgabe 7: (a) Weisen Sie die Regelnz 1 · z 2 = z 1 · z 2z 1 + z 2 = z 1 + z 2(3.19)nach, indem Sie z 1,2 = x 1,2 + jy 1,2 einsetzen und beide Seiten berechnen.(b) Zeigen Sie1z = 1 z , (3.20)indem Sie Zähler und Nenner mit einer geeigneten Zahl multiplizieren.(*)Aufgabe 8: Mit dem Resultat der Aufgabe 3.7 und der Darstellung |z| =√zz weisen Sie die Regel|z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 | (3.21)nach, indem Sie beide Seiten berechnen.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 156(*)Aufgabe 9: Zeigen SieRe z = z + z2undIm z = z − z2jAufgabe 10: Wie lautet die zu 1+j1−jkonjugiert komplexe Zahl?Aufgabe 11: Bestimmen Sie54−3j .Aufgabe 12: Finden Sie die Lösungen der Gleichung(a) x 2 + 2x + 2 = 0.(b) x 3 + 8 = 0.Aufgabe 13: Mit z = 2 − j3 bestimmen Sie(a) jz(b) z(c)1z(d) zAufgabe 14: Drücken Sie in der Form x + jy mit reellen x und y aus:(a)1−j1+j(b)15−j3 − 15+j3(c) (1 − j2) 23.3 Geometrische Interpretation der komplexenZahlen3.3.1 Die Gaußsche ZahlenebeneBei einer komplexen Zahl z = x + jy mit x, y ∈ R interpretieren wir x und y alsdie Koordinaten eines Punktes P = P(x, y) der Ebene — siehe Abbildung 3.2:

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 157Abbildung 3.2: Gaußsche Zahlenebene mit z = x + jy, |z| = √ x 2 + y 2 , x =|z|cosϕ, y = |z| sinϕDer Abbildung entnehmen wir1. Der Betrag |z| der komplexen Zahl z ist der durch den Satz von Pythagorasals x 2 + y 2 bestimmte Abstand von z vom Ursprung.2. Eine komplexe Zahl z = x + jy kann auch durch den Polarwinkel ϕ, derkonventionell im Intervall [−π, π) angesiedelt wird, und den Betrag |z| eindeutigcharakterisiert werden, das ist die sogenannte Polardarstellung. DerWinkel ϕ heißt das Argument oder auch die Phase der komplexen Zahl z:arg z := ϕ.Mit ϕ ist auch ϕ ± n2π für n ∈ N ein Argument von z. Um Eindeutigkeitzu erreichen definert man ϕ als Hauptwert, wenn −π ≤ ϕ < π.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 158(a) Umrechnung von der Polardarstellung in die kartesische Darstellung:x = |z| cosϕ,y = |z| sinϕ.(3.22)(b) Umrechnung kartesischer Darstellung in die Polardarstellung:|z| = √ x 2 + y 2⎧⎪⎨ arctan(y/x), x > 0ϕ = arctan(y/x) + π x < 0, y > 0 .⎪⎩arctan(y/x) − π x < 0, y ≤ 0(3.23)3. Die konjugiert komplexe Zahl z ergibt sich durch Spiegelung an der reellenAchse.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 1593.3.2 Interpretation der Addition als VektoradditionAbbildung 3.3: z 1 = 3 + j, z 2 = 1 + 2j und z 3 = 3 − 2j. Die Zahlen z 1 + z 2 sowiez 3 − z 2 entstehen durch vektorielle AdditionDie Abbildung 3.3 zeigt wie die Addition als vektorielle Addition aufgefaßt wird:• Ein Zahlenpar (x, y) charakterisert in der Ebene nicht nur den Punkt P(x, y)sondern in erweiterter Interpretation die Translation (Verschiebung) vomUrsprung O zum Punkt P, die wir als den Vektor −→ OP bezeichnen.Dieser Vektor wird zunächst durch einen von O nach P weisenden Pfeildargestellt.• Die Erweiterung besteht nun darin, daß bei der Translation jeder Punkt derEbene transformiert wird; der Bildpunkt Q ′ eines Punktes Q wird ermittelt,indem der Vektor −→ OP so parallel verschoben wird, daß sein Fußpunkt mitQ zur Deckung kommt. Seine Spitze zeigt dann auf den Bildpunkt Q ′ .

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 160Vektoren sind daher frei parallel verschiebbar und die Vektorkomponentena x und a y eines Vektors ⃗a = (a x , a y ) werden als die Differenzen der (x, y)-Koordinaten der End- und Fußpunkte einer konkreten Verschiebung, bei der⃗a Fußpunkt P und Spitze Q hat aufgefaßt:⃗a = −→ PQ mit P = P(x 1 , y 1 ), Q = Q(x 2 , y 2 )⇒ −→ PQ = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) = (a x , a y )Der Betrag |⃗a| = √ a 2 x + a 2 y ist die nach dem Satz des Pythagoras ermittelteLänge des Vektorpfeiles.• Die Addition von Vektoren wird definiert als die Hintereinanderausführungder zugehörigen Verschiebungen: Durch Parallelverschiebung findenwir Punkte P, Q und R so, daß⃗a = −→ PQ unddann wird−→PQ + −→ QR = −→ PR,⃗ b = −→ QR,geometrisch werden also die Vektorpfeile nach Parallelverschiebung aneinandergelegt,hier wird also der Fuß von ⃗ b an die Spitze von ⃗a gelegt. MitP = P(x 1 , y 1 ), Q = Q(x 2 , y 2 ) und R = (x 3 , y 3 ) gilt−→PQ = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 )−→QR = (x 3 − x 2 , y 3 − y 2 )−→PR = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 ),Nun ist−→PR = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 ) = ([x 3 − x 2 ] + [x 2 − x 1 ], [y 3 − y 2 ] + [y 2 − y 1 ]),die Komponenten eines Summenvektors ⃗c :=⃗a + ⃗ b entstehen also durch Additionder entsprechenden Komponenten der Summanden:⃗a = (a x , a y ), ⃗ b = (b x , b y ), ⃗c = ⃗a + ⃗ b ⇒ ⃗c = (a x + b x , a y + b y ).

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 161• Da die Addition komplexer Zahlen als komponentenweise Additon eingefuhrtwurdez 1 + z 2 = x 1 + x 2 + j(y 1 + y 2 )⇔(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ),sehen wir jetzt, daß die Addition komplexer Zahlen — wie in Abbildung 3.3dargestellt — als vektorielle Addition aufgefaßt werden kann:– Parallelverschieben der Pfeile,– Addition: Fuß auf Spitze,– Subtraktion: Spitze auf Spitze.3.3.3 Interpretation der Multiplikation als DrehstreckungAbbildung 3.4: Multiplikation von v = 5/4+j/2 und w = 3/2+j: vw = 11/8+2j.Es ist α = arg v, β = arg w und γ = arg vw sowie γ = β + δ.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 162Abbildung 3.4 zeigt die Multiplikation zweier komplexer Zahlen v und w.Multiplikation der Beträge: Schauen wir uns zunächst die Beträge an, sorechnet man|vw| 2 = vwvw = vvww = |v| 2 ∣ ∣w 2∣ ∣ ⇒ |vw| = |v| |w| . (3.24)Addition der Argumente: In Abbildung 3.4 sind die Dreiecke ∆(O, 1, v) und∆(O, w, vw) ähnlich, die Seitenlängen des zweiten Dreiecks sind also ein Vielfachesder Seitenlängen des ersten Dreiecks:|vw|= |w||v||w||1| = |w||vw − w||v − 1|=|(v − 1)w||v − 1|= |w| .(3.25)Dann müssen aber auch alle Dreieckswinkel übereinstimmen, d.h. insbesondereist δ = α und damit γ = α + β, d.h.:arg vw = arg v + arg w. (3.26)Damit haben wir folgendes Resultat erhalten:Komplexe Multiplikation: Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werdendie Beträge multipliziert und die Argumente addiert:v = |v| (cosα + j sinα), w = |w| (cosβ + j sinβ)⇒ vw = |v| |w| (cos(α + β) + j sin(α + β)).(3.27)Rein Rechnerische Herleitung dieses Sachverhaltes: Mitv = |v|cosα + j |v| sinα undw = |w| cosβ + j |w| sinβmultiplizieren wir v und w aus: Es ergibt sichvw = |v| |w| (cosαcosβ − sinαsinβ + j[cosα sinβ + sinαcosβ]).

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 163Hier setzten wir das Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen, nämlichGleichung (1.38) ein und erhaltenvw = |v| |w| (cos(α + β) + j sin(α + β)).Das bedeutet aber auch: Man hätte das Additionstheorem für die trigonometrischenFunktionen auch als Folgerung der geometrischen Interpretation der komplexenMultiplikation erhalten können!Beispiel: Wegen j = cos 90 o +j sin90 o und |j| = 1 entspricht eine Multiplikationmit j einer Drehung um 90 o .3.4 Folgerungen3.4.1 Die Formel von De Moivre ivWir gehen aus von Gleichung (3.27) in die wirv = coskα + j sinkα undw = cosα + j sinαmit k ∈ N einsetzen:(coskα + j sin kα)(cosα + j sinα) = cos(k + 1)α + j sin(k + 1)αDas verwenden wir um nacheinander die Potenzen von (cosα + j sinα) bis zurn-ten Potenz (n ∈ N) zu berechnen:(cosα + j sinα) 2 = (cosα + j sinα)(cosα + j sinα)(cosα + j sinα) 3 = (cosα + j sinα) 2 (cosα + j sinα)= cos 2α + j sin2α= cos 3α + j sin3α.(cosα + j sinα) n = (cosα + j sinα) (n−1) (cosα + j sinα) = cosnα + j sinnαSo folgt die Formel von De Moivre:(cosα + j sin α) n = cosnα + j sinnα für alle n ∈ N und α ∈ R (3.28)iv Abraham de Moivre, 1667-1754

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 1643.4.2 Die Eulersche FormelIn die Formel von De Moivre, Gleichung (3.28) setzen wir α = ϕ und erhaltennzunächst( ( ϕ( ϕ)) ncosϕ + j sinϕ = cos + j sin(3.29)n)nDa die linke Seite nicht von n abhängt, kann man auf der rechten Seite den Grenzwertn → ∞ bilden. Beachtet man nun die für kleine ǫ gültigen Darstellungencosǫ ≈ 1 und sin ǫ ≈ ǫ,wobei hier ǫ = ϕ/n zu setzen ist, so liegt die Gültigkeit voncosϕ + j sinϕ = limn→∞(1 + jϕ n) nnahe — für einen Beweis müßte hier genauer gearbeitet werden. Die rechte Seiteder obigen Gleichung erkennt man unschwer als eine der Darstellungen derExponentialfunktion, so daß schließlich die Eulersche Formeloder auchcosϕ + j sinϕ = exp(jϕ), (3.30)cosϕ + j sinϕ = e jϕ , (3.31)wobei e w für komplexes w eben durch die Reihendarstellung oder die Grenzwertdarstellungder Exponentialfunktion definiert wird.Folgerungen:• Komplexkonjugation:e jϕ = cosϕ − j sinϕ = e −jϕ (3.32)• Darstellungen der trigonometrischen Funktionen durch die Exponentialfunktion:cosϕ = Ree jϕ = ejϕ + e −jϕ2undsinϕ = Im e jϕ = ejϕ − e −jϕ2j(3.33)

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 165Exponentialdarstellung komplexer Zahlen: Mit der Eulerschen Formel wirddie Polardarstellung komplexer Zahlen und ihr Multiplikationsgesetz (3.27) ganzeinfach: Seien v und w komplexe Zahlen mit arg v = ϕ und arg w = ψ. Dann giltv = |v|e jϕ , w = |w| e jψ und vw = |v| |w| e j(ϕ+ψ) . (3.34)Das Multiplikationsgesetz komplexer Zahlen erscheint dann als Folge des Additionstheoremsder Exponentialfunktion (Gleichung (2.15)).Aufgabe 15: Wie lauten die Polardarstellungen von j, −1, 1 ± j?Aufgabe 16: Bestimmen Sie54−3jin Polardarstellung.Aufgabe 17: z = − 3 − 4 j liegt im dritten Quadranten. Wie lautet die Polardarstellung?Machen Sie die Probe, ob sie daraus wieder die kartesische Darstellung5 5gewinnen.(*)Aufgabe 18: Reihendarstellung der triginometrischen Funktionen:Die zur Eulerschen Formel äquivalente Beziehungcosϕ = Ree jϕ und sinϕ = Ime jϕkann man verwenden, um aus der bekannten Reihendarstellung der Exponentialfunktion∞∑e x x k=k!i=0die Reihendarstellungen für die trigonometrischen Funktionen zu erhalten.(a) Geben Sie so die Näherungspolynome der Ordnung 5 bzw. 4 für Sinus bzw.Cosinus an.Skizzieren Sie die Polynome zusammen mit den zugehörigen Funktionen imIntervall [−π, π).(b) Geben Sie geschlossene Formeln der Reihendarstellungen für Sinus und Cosinusan.

KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN 166Aufgabe 19: Drehstrom oder auch Dreiphasenstrom läßt sich über drei komplexeSpannungen U i , i = 1, 2, 3 mitU 1 = Ue j(2πft)U 2 = Ue j(2πft+2π/3)U 3 = Ue j(2πft+4π/3) .beschreiben. Dazu kommt noch der Nulleiter, der die Spannung U 0 = 0 trägt.Dabei ist f die Frequenz des Stromes — z.B. f = 50Hz und U die für allePhasen identische Scheitelspannung — z.B. U = √ 2 × 220V . Die physikalischenSpannungen der Einzelnen Phasen ergeben sich als die Realteile der U i .(a) Für die oben angegebenen Werte von U und f und die Zeitpunkte t = 0sund t = 1/400s stellen Sie die zu U i (i = 0, 1, 2, 3) gehörigen Vektoren(“Zeiger”) in der Gaußschen Zahlenebene dar.(b) Berechnen Sie allgemein und für den oben angegeben Wert von U die Scheitelspannungenzwischen den Phasen als1. |U 1 − U 0 |2. |U 2 − U 0 |3. |U 3 − U 0 |4. |U 2 − U 1 |5. |U 3 − U 2 |6. |U 1 − U 3 |• Zeichnen Sie die zugehörigen Vektoren in obiges Diagramm ein.• Berechnen Sie auch die Effektivwerte als Scheitelwert/ √ 2.Aufgabe 20:Trigonometrische Formeln: Setzen Sie ine j3ϕ = (e jϕ ) 3die Eulersche Formel ein. Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil ergibt sicheine Formel für cos3ϕ bzw. sin3ϕ, bei der im Argument der trigonometrischenFunktionen nur noch der einfache — nicht mehr der dreifache — Winkel steht.Vereinfachen Sie den entstehenden Ausdruck noch mittels cos 2 + sin 2 = 1.

Kapitel 4Funktionsgrenzwerte undStetigkeit4.1 Topologische BegriffeMit Intervallen bezeichnet man Strecken auf der Zahlengeraden. Seien a, b ∈ Rund a < b. Dann sind[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b},(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b},[a, b) := {x ∈ R|a ≤ x < b},(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}.(4.1)Läßt man für a und b auch die Werte −∞ bzw. ∞ zu, so spricht man von uneigentlichenIntervallen.167

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 168Abbildung 4.1: Umgebungen im Reellen und im Komplexenǫ-Umgebung: U ǫ (x) := {u| |x − u| < ǫ}. Dabei ist x ∈ R (bzw. x ∈ C) und ǫ > 0.Das ist in Abbildung 4.1 veranschaulicht.Offene Menge: Eine offene Menge A ⊂ R (bzw. A ⊂ C) ist eine Menge mit derEigenschaft, daß für jedes x ∈ A auch eine ganze ǫ-Umgebung von x zu Agehört:x ∈ A ⇒ Es gibt ein ǫ > 0 so, daß U ǫ (x) ⊂ A.Intervalle der Form (a, b) sind offene Mengen.Abgeschlossene Menge: Eine Menge A ⊂ R (bzw. A ⊂ C) heißt abgeschlossen,wenn das Komplement von A, nämlich R \A (bzw. C \A) abgeschlossen ist.Intervalle der Form [a, b] sind abgeschlossene Mengen.Das Innere ˚I eines Intervalls I: Ist I eines der obigen Intervalle, so sei ˚I das Intervall(a, b). Das sind alle die x ∈ I, für die noch eine ganze ǫ-Umgebungin I liegt.Abgeschlossenen Mengen und Folgen: Liegt eine Folge (a n ) n∈N in einer abgeschlossenenMenge A und konvergiert gegen den Grenzwert a, so muß a in Aliegen: Wenn nicht, läge a im Komplement von A und damit auch eine ganze Umgebungvon a, die aber alle bis auf endlich viele Glieder der Folge (a n ) enthaltenmüßte.

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 1694.2 FunktionsgrenzwerteGegegeben sei en I ⊂ R ein Intervall, a ∈ I ∪ {−∞, ∞} und eine Funktionf : I \ {a} → R.Auch, wenn f an der Stelle x = a erklärt ist, interessiert uns dieser Wert zunächstnicht. Wir fragen vielmehr nach dem Verhalten der Funktionswerte von f, wennsich x mit x ≠ a der Stelle x = a nähert:Definition: f(x) hat für x gegen a den rechtsseitigen Grenzwert (bzw. linksseitigenGrenzwert) c, in Zeichenlim f(x) = c bzw. limx→a+f(x) = cx→a−wenn für jede Zahlenfolge (x n ) n∈N mitx n ∈ I, x n > a für alle n undlim x n = an→∞bzw. mitx n ∈ I, x n < a für alle n undlim x n = an→∞gilt:lim f(x n) = c.n→∞Diese Definition gilt nicht nur für endliche Werte von a und x, sondern auch füra, c ∈ {−∞, ∞}.f(x) hat für x gegen a den Grenzwert c, in Zeichenwenn giltlim f(x) = cx→alim f(x) = lim f(x) = c.x→a+ x→a−

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 170Allgemeiner, weil z.B. auch im Bereich der komplexen Zahlen gültig, ist die Festlegung,daßlim f(x) = c :⇔ lim f(x n) = cx→a n→∞für jede Folge (x n ) n∈N mit lim x n = a und x n ≠ a für alle n ∈ N.n→∞Diese Situation ist in Abbildung 4.2 dargestellt.Abbildung 4.2: Die Funktion f hat für x → ˆx den Grenzwert y

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 171Abbildung 4.3: lim x→ˆx f(x) = y nach der “ǫ-δ-Definition”Satz: lim x→a f(x) = c gilt genau dann, wenn zu jeder vorgegebenen U ǫ (c) eineU δ (a) existiert, so daß f(x) ∈ U ǫ (c) für alle x ∈ U δ (a) \ {a}.Andernfalls gäbe es nämlich eine ǫ-Umgebung von c für die man eine Folge (x n ) n∈Nkonstruieren könnte, die gegen a konvergiert (lim n→∞ x n = a), für die aber allef(x n ) außerhalb von U ǫ (c) lägen; insbesondere würde (f(x n )) n∈N nicht gegen ckonvergieren.Die Entier-Funktion: Zu x ∈ R bezeichne floor(x) oder auch [x] die größteganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Z.B. ist [0.5] = 0, [3.8] = 3, [−2.7] = −3.

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 1722y = [x]1.510.5Y-Achse0-0.5-1-1.5-2-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2X-AchseAbbildung 4.4: Die Entier Funktion y = floor(x)Dann gilt für jede Zahl m ∈ Z:lim [x] = m − 1, und lim [x] = m.x→m− x→m+

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 1731.5y = sin(1/x)10.5Y-Achse0-0.5-1-1.5-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2X-AchseAbbildung 4.5: y = sin(1/x) hat für x → 0 keinen Grenzwert1.5y = x sin(1/x)1Y-Achse0.50-0.5-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2X-AchseAbbildung 4.6: y = x sin(1/x) hat für x → 0 den Grenzwert 0Beispiel: Die für alle x ≠ 0 erklärte Funktion f(x) = sin 1 (Abbildung 4.5) hatxfür x → 0 weder einen rechtsseitigen noch einen linksseitigen Grenzwert. Dagegen

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 174gilt für die ebenfalls für x ≠ 0 erklärte Funktion g(x) = x sin 1 x : lim x→0 g(x) = 0(Abbildung 4.6).Grenzwert-Rechenregeln: Aus lim x→a f(x) = c und lim x→a g(x) = d mit c, d ∈R folgt:1. limx→a[f(x) ± g(x)] = c ± d.2. limx→af(x)g(x) = cd.3. limx→aαf(x) = αc, α ∈ R.4. limx→af(x)/g(x) = c/d, falls d ≠ 0.Diese Regeln gelten auch für a = ±∞ und für die einseitigen Grenzwerte“lim x→a± ”.(*)Aufgabe 1: Die Funktion y = f(x) sie durchgegeben.f(x) =√x2 − x 3xx ≠ 0 und x ∈ (−∞, 1),(a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.(b) Berechnen Sie die Grenzwerte lim x→0− f(x) und lim x→0+ f(x).(c) Existiert der Grenzwert lim x→0 f(x)?4.3 StetigkeitDefinition: Sei I ⊂ R ein Intervall. Man nennt eine Funktion f : I → R an derStelle x 0 ∈ I stetig, wenn bei der Annäherung x → x 0 die Funktionswerte f(x)gegen f(x 0 ) streben, alsof in x 0 stetig :⇔ limx→x0f(x) = f(x 0 ).

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 175Die Funktion f heißt auf I stetig, wenn sie in jedem Punkt x 0 ∈ I stetig ist. DieStetigkeit von f : I → R auf I bedeutet anschaulich, daß der Graph y = f(x)über I eine zusammenhängende Linie darstellt (ohne Lücken und Sprünge); erkann aber durchaus Spitzen besitzen.Die Stetigkeit einer reellen Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 bedeutet also1. f ist an der Stelle x 0 definiert: “Keine Definitionslücke”,Gegenbeispiel: y = 1/x und x 0 = 0.2. Die rechtsund linksseitigen Grenzwerte lim x→xo ± f(x) exisitieren:Gegenbeispiel: y = sin 1 x und x 0 = 0.3. lim f(x) = lim f(x) = f(x 0) : Keine Sprungstelle,x→x− x→x+Gegenbeispiel: y = √ x 2 −x 3und xx 0 = 0.Beispiele:1. f(x) = [x] ist auf allen offenen Intervallen (m, m + 1) mit m ∈ Z stetig undhat bei x = m ∈ Z Unstetigkeitsstellen.2. Die Funktion y = |x| ist auf R stetig.3. Die Funktion y = √ x ist auf [0, ∞) stetig: Für x 0 ≠ 0 folgt das aus∣ √ x − √ x 0∣ ∣ =|x − x 0 |√ x +√x0≤ |x − x 0|√x04. Die Funktion y = sinx ist an der Stelle x = 0 stetig, da sinx für kleine xdurch x approximiert wird und sin0 = 0 gilt.5. Daraus folgt mit Hilfe der Additionstheoreme die Stetigkeit von Sinus undCosinus.6. Die Exponentialfunktion ist an der Stelle x = 0 stetig: exp(x) = 1 + x + · · ·und es ist exp(0) = 1.

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 1767. Mit Hilfe von exp(x + y) = exp(x)exp(y) folgt daraus die Stetigkeit derExponentialfunktion auf ganz R — sogar mit dem gleichen Argument aufganz C.{sin xx ≠ 0,x8. f(x) =1 x = 0 ist stetig auf R, denn aus sinx = ejx −e −jxfolgt,2jsinx = x − x 3 sin x/6 + · · · und damit lim x→0 = 1, also limxx→0 f(x) = f(0).Diese stückweise definierte Funktion ist bei 0 deshalb stetig, weil f(0) geeignet— nämlich als f(0) := lim x→0 f(x) — festgelegt wurde!Rechenregeln für stetige Funktionen:1. Sind f und g auf dem Intervall I stetig, so gilt das auch für f+g, αf (α ∈ R)und fg. Ferner ist f/g stetig in allen x ∈ I mit g(x) ≠ 0; das folgt aus denRechenregeln für Grenzwerte.2. Sind f : I ∈ R und g : D ∈ R stetig mit g(D) ⊂ I, dann ist auch diezusammengesetzte Funktion h(x) := f(g(x)) auf I stetig.Damit folgt aus der Stetigkeit von y(x) = x sofort die Stetigkeit von Polynomenund rationalen Funktionen auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich.Hauptsatz über stetige Funktionen: Für jede auf einem abgeschlossenen IntervallI = [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}stetige Funktion f gilt:Schrankensatz: f ist auf I beschränkt, d.h. es gibt eine Zahl K ∈ R derart, daß|f(x)| ≤ K für alle x ∈ I.

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 177Satz vom Maximum und Minimum: Es gibt Werte x 0 und x 1 in [a, b] so, daßf(x 0 ) ≤ f(x) ≤ f(x 1 ) für alle x ∈ [a, b].“Die Funktion f nimmt Minimum (f(x 0 )) und Maximum (f(x 1 )) an”.Schreibweise:f(x 0 ) = minx∈[a,b] f(x) und f(x 1) = maxx∈[a,b] f(x)Zwischenwertsatz: Zu jedemc ∈ [f(a), f(b)]c ∈ [f(b), f(a)]bzw.(falls f(a) ≤ f(b)(falls f(b) < f(a))existiert ein ¯x ∈ [a, b] so, daß f(¯x) = c.“f nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.”Abbildung 4.7:Der Sachverhalt ist in Figur 4.7 dargestellt. ii Dieser Satz läßt sich auch in den folgenden äquivalenten Formulierungen aussprechen:

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 178• Zu jeder Zahl c mit f(x 0 ) ≤ c ≤ f(x 1 ) existiert mindestens ein ¯x ∈ [a,b] so, daß f(¯x) = c:“Jeder Wert zwischen Minimum und Maximum wird angenommen”.• (Satz von Bolzano)f(a) · f(b) < 0 ⇒ Es existiert ein ξ ∈ (a,b) so, daß f(ξ) = 0.In dieser Form läßt sich der Satz durch Konstruktion einer Intervallschachtelung beweisen:Algorithmus 4 Nullstellensuche mit dem ZwischenwertsatzPrecondition: a < b, f(a) · f(b) < 0% Bisektionsverfahren1: α = a, β = b2: k = 03: I k = [α, β]4: γ = α+β25: while f(α) · f(β) < 0 do6: if f(α) · f(γ) < 0 then7: β = γ8: else if f(γ) · f(β) < 0 then9: α = γ10: end if11: γ = α+β212: k = k + 113: I k = [α, β]14: end whileEnweder bricht das Verfahren ab, dann ist α oder β eine Nullstelle von f. Oder es entstehteine Folge von IntervallenI 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ · · ·deren Länge sich jeweils halbiert. Die linken bzw. rechten Endpunkte dieser Intervallebilden dann jeweils eine Cauchy-Folge (α n ) n∈N bzw. (β n ) n∈N mit gleichem Grenzwert ξundf(α n ) < 0 und f(β n ) > 0 für alle n ∈ N,

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 1794.4 AufgabenAufgabe 2: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Welche derfolgenden Aussagen über eine Funktion f : (a, b) → R sind richtig, welche sindfalsch.(a) f ist stetig, falls für jedes ˆx ∈ (a, b) der linksseitige Grenzwert limmit dem rechtsseitigen Grenzwert lim f(x) übereinstimmt.x→ˆx+x→ˆx− f(x)(b) f ist stetig, falls für jedes ˆx ∈ (a, b) der Grenzwert limx→ˆxf(x) existiert undmit dem Funktionswert an der Stelle ˆx übereinstimmt.(c) Falls f stetig ist, ist f auch beschränkt.(d) Falls f stetig ist und eine Nullstelle besitzt, aber nicht die Nullfunktion ist,dann gibt es Stellen x 1 , x 2 ∈ (a, b) mit f(x 1 ) < 0 und f(x 2 ) > 0.(e) Falls f stetig und monoton ist, wird jeder Wert aus dem Bild von f angenau einer Stelle angenommen.Hinweis: Wenn Sie vermuten, dass eine Aussage falsch ist, versuchen Sie einexplizites Beispiel dafür zu konstruieren.Aufgabe 3: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Wie mussjeweils der Parameter c ∈ R gewählt werden, damit die folgenden Funktionenfalls f(a) < 0 ist, ansonsten (f(a) > 0) istf(α n ) > 0 und f(β n ) < 0 für alle n ∈ N.Mit ξ := lim n→∞ α n folgt dann aus der Stetigkeit von f (wir schreiben den Fall f(a) < 0auf):0 ≤ limn→∞ f(α n) = f(ξ) = limn→∞ f(β n) ≤ 0,also f(ξ) = 0.

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 180f : D → R stetig sind?(a) D = [−1, 1],{x 2 +2x−3xf(x) =+x−2c, x = 1(b) D = (0, 1],{x 3 −2x 2 −5x+6, x ≠ 1xf(x) =−xc, x = 1Hinweis: Nullstellen der Nenner bestimmen, Polynomdivision.Aufgabe 4: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Berechnen Siedie folgenden Grenzwerte:(a)(b)(c)(d)x 4 − 2x 3 − 7x 2 + 20x − 12limx→2 x 4 − 6x 3 + 9x 2 + 4x − 122x − 3limx→∞ x − 1( √x √ )lim + 1 − xx→∞( 1limx→0 x − 1 )x 2Hinweis: (a), (b) Polynomdivision (bei (b) mit Rest), (c) dritte binomische Formel,(d) als ein Bruch schreiben.Aufgabe 5: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BestimmenSie die globalen Extrema der folgenden Funktionen.(a) f : [−2, 2] → R mit f(x) = 1 − 2x − x 2(b) f : R → R mit f(x) = x 4 − 4x 3 + 8x 2 − 8x + 4Hinweis: Ű(*)Aufgabe 6: Weisen Sie nach, dass es zu jedem Ort auf dem Äquator einenzweiten Ort auf der Erde gibt, an dem die Temperatur dieselbe ist – mit der

KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT 181möglichen Ausnahme von zwei Orten auf dem Äquator. Nehmen Sie dazu an,dass die Temperatur stetig vom Ort abhängt.Hinweis: Betrachten Sie nur den Äquator. Nutzen Sie aus, dass die Erde rundist, d. h., die Temperatur auf dem Äquator ist periodisch. Gibt es Extrema derTemperatur?

Kapitel 5Differentialrechnung5.1 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion5.1.1 Definition der AbleitungBezeichnungen: Unter dem Zuwachs ∆f einer Funktion f an der Stelle x beiÄnderung der unabhängigen Variablen x um ∆x ∈ R verstehen wir∆f = ∆f(x; ∆x) := f(x + ∆x) − f(x).Definition: Die Funktion f sei auf dem Intervall I ⊂ R definiert und x 0 ∈ I.f heißt in x 0 differenzierbar, wenn der Differenzenqotient∆f∆x (x 0) := f(x 0 + ∆x) − f(x 0 )∆x(= f(x) − f(x 0)x − x 0mit x := x 0 + ∆x) (5.1)für ∆x → 0 (bzw. für x → x 0 ) einen endlichen Grenzwert besitzt.Dieser Grenzwert wird mitdfdx (x 0), f ′ (x 0 ) oder auch mit df(x)dx182∣∣x=x0

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 183bezeichnet.Ist f für alle x ∈ I differenzierbar, so ist f ′ : I → R eine auf I erklärte Funktion,die man die Ableitung von f nennt.Den Übergang f → f ′ nennt man Differenzieren oder AbleitenBeispiele:f(x) = c = const: f ′ (x) = 0: Direkt aus der Definition.f(x) = ax + b: f ′ (x) = a: Aus der Definition da ∆f∆x = a.f(x) = x n : f ′ (x) = nx n−1 für n ∈ N; dennf(x + ∆x) − f(x)n∑= (x + ∆x) n−j x j−1 → nx n−1 für ∆x → 0.∆xj=1Hier wurde die weiter oben hergeleitete Formeln∑a n − b n = (a − b) a n−j b j−1verwendet.f(x) = 1 x : f ′ (x) = (−1)x 2 :∆f =⇒j=11x + ∆x − 1 x =−∆xx(x + ∆x)dfdx = lim −1∆x→0 x(x + ∆x) = (−1)x . 2f(x) = √ x: f ′ (x) = 12 √ xfür x > 0:√x + ∆x −√ x∆x= (√ x + ∆x − √ x)( √ x + ∆x + √ x)∆x( √ x + ∆x + √ x)=1√x + ∆x +√ x

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 184f(x) = exp(x): f ′ (x) = exp(x) Die Exponentialfunktion reproduziert sich alsobeim Differenzieren! Wir rechnen so:exp(x + ∆x) − exp(x)= exp(x) exp(∆x) − 1∆x∆x= exp(x) 1 + ∆x + 1 2 (∆x)2 + · · · − 1= exp(x)(1 + 1 ∆x2 (∆x) + · · · )(*)Aufgabe 1: Mit Hilfe des Additionstheorems für die trigonometrischenFunktionen (siehe Gleichung 1.38, es wurde nur noch sin ±β = ±sin β berücksichtigt)cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβsin(α ± β) = sin α cosβ ± cosα sinβund den für kleine ∆x gültigen Beziehungen (die auch aus den in der Vorlesungbehandelten Reihendarstellungen für Sinus und Cosinus folgen)cos ∆x = 1 − (∆x) 2 /2 + O((∆x) 3 ),sin∆x = ∆x + O((∆x) 2 ),wobei das Landau-Symbol O((∆x) n ) Terme beschreibt, die für ∆x ∈ U ǫ (0) kleinerals eine Konstante mal |∆x| n sind|O((∆x) n )| ≤ const |∆x| nfür kleine ∆x,bestimme man die Ableitungen von(a) y = cosx,(b) y = sin x.

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 1855.1.2 Geometrische Bedeutung der AbleitungAbbildung 5.1: Sekante und Tangente: ∆y: Zuwachs der Sekante, dy: Zuwachsder TangenteBezüglich kartesischer (x, y)-Koordinaten wird die Kurve y = f(x) in der Nähevon x = x 0 betrachtet: Die Sekante durch (x 0 , f(x 0 )) und (x, f(x)) — wobeix = x 0 + ∆x bildet den Steigungswinkel ϕ mit der x-Achse und der Tangens desSteigungswinkels wird als Steigung bezeichnet (z.B. bedeuten 10% Steigung, daßtan ϕ = 10% = 10 . Daher hat die Sekante die Steigung100∆y∆x = ∆f∆x (x 0)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 186Ist f in x 0 differenzierbar, so gibt der Grenzwertdf∆fdx ∣ = lim∆x→0x=x0∆x (x 0)den Anstieg der Kurventangente in (x 0 , f(x 0 )) als “Grenzlage der Sekantensteigungen”an.Dann ist die Tangente an den Graphen y = f(x) an der Stelle (x 0 , f(x 0 )) durchdie Gleichung y = t(x) mitt(x) = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ) (5.2)gegeben: Sie geht durch (x 0 , f(x 0 )) und es ist ∆t/∆x = f ′ (x 0 ).5.1.3 Die Ableitung als beste lineare Approximation aneine FunktionZu einer differenzierbaren Funktion f : I → R wird diejenige Geradeg(x) = m(x − x 0 ) + f(x 0 )durch (x 0 , f(x 0 )) gesucht, die f in der Nähe von x 0 am besten approximiert. Nebeng(x 0 ) = f(x 0 ), was durch obigen Ansatz für g schon erfüllt ist, soll auch nochf(x) − g(x)lim = 0x→x 0 x − x 0gelten, also sogar der durch x − x 0 dividierte Fehler für x → x 0 gegen 0 gehen.Substituert man hierin g(x) = m(x−x 0 )+f(x 0 ), so erkennt man, daß m = f ′ (x 0 )zu wählen ist:f(x) ≈ f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ) bzw. f(x 0 + ∆x) ≈ f(x 0 ) + f ′ (x 0 )∆x (5.3)ist nahe x 0 die beste lineare Approximation an f.Genauer gilt mitǫ f (x; ∆x) :=f(x + ∆x) − f(x)∆x− f ′ (x)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 187lim ǫ f(x; ∆x) = 0 und f(x + ∆x) = f(x) + [f ′ (x) + ǫ f (x; ∆x)]∆x.∆x→0Häufig schreibt man nur ǫ(∆x) und dann giltf(x + ∆x) = f(x) + [f ′ (x) + ǫ(∆x)]∆x (5.4)bzw. mit dem Zuwachs ∆f = ∆f(x; ∆x) := f(x + ∆x) − f(x):∆f = [f ′ (x) + ǫ(∆x)]∆x (5.5)Differential: Den in ∆x linearen Teil des Zuwachses von f, nennt man das Differentialdf von f:Dann giltdf = df(x; ∆x) := f ′ (x)∆x. (5.6)∆f = df + ǫ(∆x)∆x. (5.7)Dieser Zusammenhang ist (mit ∆f → ∆y und df → dy) auch in der Abbildung 5.1ersichtlich.Wenn angezeigt werden soll, daß ∆x so klein ist, daß der Term ǫ(∆x)∆x zuvernachlässigen ist, schreibt man∆x = dx und ∆f ≈ df = f ′ (x) dx . (5.8)5.1.3.1 Folgerungen aus der linearen ApproximationDefinition “lokales Extremum”:• f hat ein lokales Minimum in x ∈ ˚I wenn f(x + ∆x) ≤ f(x) also ∆f ≤ 0für alle hinreichend kleinen ∆x.• f hat ein lokales Maximum in x ∈ ˚I wenn f(x + ∆x) ≥ f(x) also ∆f ≥ 0für alle hinreichend kleinen ∆x.Aus Gleichung (5.5) folgt dann sofort derSatz: Hat f ein lokales Extremum in x ∈ ˚I so gilt f ′ (x) = 0.Satz: Ist f ′ (x 0 ) > 0 bzw. f ′ (x 0 ) < 0, so ist f in einer ǫ-Umgebung von x 0 strengmonoton wachsend bzw. fallend.

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 1885.1.4 Differenzierbarkeit und StetigkeitSatz: Ist f an der Stelle x 0 differenzierbar, so ist f an der Stelle x 0 stetig, dennf(x) − f(x 0 )lim = f ′ (x 0 )x→x 0 x − x 0⇒ limx→x0(f(x) − f(x 0 )) = limx→x0(x − x 0 ) f(x) − f(x 0)x − x 0= 0 · f ′ (x 0 ) = 05.2 Differentiationsregeln mit Anwendungen5.2.1 DifferentiationsregelnMultiplikatorregel: Ist y = f(x) und k eine Konstante, so giltd(ky) = kdydx dx = kf ′ (x). (5.9)Summenregel: Ist u = f(x) und v = g(y) so giltd du(u + v) =dx dx + dvdx = f ′ (x) + g ′ (x). (5.10)Produktregel: Ist u = f(x) und v = g(x) so giltd(uv) = udvdx dx + vdu dx = f(x)g′ (x) + g(x)f ′ (x). (5.11)Quotientenregel: Ist u = f(x) und v = g(x) so giltd( u)= v du − u dvdx dxdx v v 2= g(x)f ′ (x) − f(x)g ′ (x)[g(x)] 2 . (5.12)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 189Kettenregel: Ist z = g(x) und y = f(z), so kann g in f eingesetzt werden und esgiltdydx = dy dzdz dx = f ′ (z)g ′ (x). (5.13)In Worten: “Äußere Ableitung mal innere Ableitung”Ist insbesondere z eine lineare Funktion von x, d.h. y = f(ax + b) mitKonstanten a und b, so giltdydx = af ′ (ax + b).Ableitung der Inversen: Ist y = f −1 (x) die Umkehrfunktion von f, also x =f(y), so gilt, wenn f ′ (y) ≠ 0 ist,dydx = 1dx/dy = 1f ′ (y) = 1f ′ (f −1 (x) .Begründung der Regeln: Die Multiplikatorregel und die Summenregel folgendirekt aus den Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte angewendet auf die Differenzenquotienten.Die anderen Regeln sieht man so:Produktregel: Mitf(x + ∆x) = f(x) + (f ′ (x) + ǫ f )∆x,g(x + ∆x) = g(x) + (g ′ (x) + ǫ g )∆x,wobei ǫ f → 0 und ǫ g → 0 für ∆x → 0, folgtf(x + ∆x)g(x + ∆x) − f(x)g(x)∆x= f(x)g ′ (x) + g(x)f ′ (x) + f(x)ǫ g + g(x)ǫ f + (f ′ (x) + ǫ f )(g ′ (x) + ǫ g )∆x,und ∆x → 0 liefert das Resultat.

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 190Kettenregel: Mit z = g(x) und y = f(z) gilt∆y = (f ′ (z) + ǫ f )∆z und ∆z = (g ′ (x) + ǫ g )∆xwobei ǫ g → 0 für ∆x → 0 sowie ǫ f → 0 für ∆z → 0. Das kann ineinandereingesetzt werden:∆y = (f ′ (z) + ǫ f )(g ′ (x) + ǫ g )∆xDa nun mit ∆x → 0 auch ∆z → 0 (siehe obige Gleichung für ∆z) folgt dieBehauptung nach Division durch ∆x und ∆x → 0.Quotientenregel: Sie ergibt sich durch Anwendung der Produktregel auf u 1 und vdarauffolgende Anwendung der Kettenregel auf ( 1v)wobei die oben berechneteAbleitung von y = 1 verwendet wird.xAbleitung der Inversen: Ist y = f −1 (x) so setzen wir zunächst z = f(y) undberechnen nach der Kettenregeldzdx = dz dydy dxHier ist aber z = f(y) = f(f −1 (x)) = x, also dzdxdydx = 1dz/dy = 1dx/dy = 1f ′ (y) .= 1! Daher folgtDie Rechnung ist “erlaubt”, weil aus f ′ (y) ≠ 0 durch Betrachtung des Differenzenquotientendie Differenzierbarkeit von f −1 an der Stelle x = f(y)gezeigt werden kann.5.2.2 Die Ableitung bekannter FunktionenMit den Differentiationsregeln kann die Ableitung vieler Funktionen berechnetwerden:

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 191y = ln(x): Es ist x = e y , also dxdy = ey und daher mit der Regel zur Ableitung derInversen:dydx = 1 e y = 1 x .y = x r : Es ist y = e ln(xr) = e r ln(x) und mit der Kettenregel und der Konstantenregelfolgt:dydx= erln(x)dr lnxdx= rx r−1 .Damit ist die Regel für r ∈ R begründet.Wir gewinnen hiermit insbesondere für y = √ xy = x 1 2 und y ′ = 1 2 x−1 2 =12 √ x .y = a x : Es ist a x = e xln(a) , alsoy ′ = ln(a)a x .y = cosx und y = sinx: Wir verwenden die Darstellungencosx = Ree jx = ejx + e −jx2Damit folgty = cosx: Es istundsinx = Im e jx = ejx − e −jx2jy = sin x: Es isty ′ = j ejx − e −jx2= − ejx − e −jx2j= −sin x.y ′ = j ejx + e −jx2j= ejx + e −jx2= cosx.

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 192y = tan x: Anwendung der Qutotientenregel auf y = tany = sin xcos x liefertdydx=cosxcosx + sinxsinxcos 2 x= 1cos 2 x = 1 + tan2 x.y = arctan x: Also ist x = tan y und wir rechnendydx = 1dx/dy = 11 + tan 2 y = 11 + x 2.(*)Aufgabe 2: Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen:(a) y = arcsin(x).(b) y = arccos(x).5.3 Der Mittelwertsatz von CauchyVorrausetzungen: Zwei Funktionenϕ : [a, b] → R und f : [a, b] → Rseien auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar und es gelteϕ ′ (x) ≠ 0 für alle x ∈ (a, b).Wir setzen nung(x) := f(x) − αϕ(x), (5.14)wobei wir die Konstante α so wählen, daß g(a) = g(b) wird:α =f(b) − f(a)ϕ(b) − ϕ(a) .

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 193Das ist möglich weil ϕ(a) ≠ ϕ(b):• ϕ nimmt als stetige Funktion auf [a, b] Maximum und Minimum an,• ϕ ist nicht konstant auf [a, b], sonst wäre ja ϕ ′ ≡ 0,• Wäre ϕ(a) = ϕ(b), so würde also Maximum oder Minimum in einem Punktaus x ∈ (a, b) und nicht in den Randpunkten a bzw. b angenommen, dennsonst wäre Maximum gleich Miminum und damit ϕ ≡ const,• Wäre also ϕ(a) = ϕ(b), so gäbe es ein x ∈ (a, b) für das ϕ ′ (x) = 0 geltenwürde.Die Funktion stetige g nimmt auf [a, b] Minimum und Maximum an. Ist g nichtkonstant, so hat g in mindestens einem Punkt ξ ∈ (a, b) ein lokales Extremum,also gilt dort g ′ (ξ) = 0, das gilt aber auch, wenn g konstant ist.Mit g ′ (ξ) = 0, dem berechneten Wert von α und Gleichung (5.14)) folgt derMittelwertsatz von Cauchy: Unter den angegebenen Voraussetzungen existiertein ξ ∈ (a, b) so, daßf(b) − f(a)ϕ(b) − ϕ(a) = f ′ (ξ)ϕ ′ (ξ) . (5.15)Folgerung: Setzt man ϕ(x) = x so ergibt sich die einfachere Variante des Mittelwertsatzes:Es existiert ein ξ ∈ (a, b) so, daßf(b) − f(a)b − a= f ′ (ξ) :“Die Steigung der Sekanten durch (a, f(a)) und (b, f(b)) stimmt an (mindestens)einem Punkt aus ξ ∈ (a, b) mit der Steigung der Tangente an (ξ, f(ξ)) überein.”

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 1945.4 Die Regel von de l’HospitalIst f(x 0 ) = 0 = ϕ(x 0 ) und sind f und ϕ in einer Umgebung von x 0 stetig unddort für x ≠ x 0 differenzierbar, sowie ϕ ′ (x) ≠ 0 für x ≠ x 0 , so gilt für x ≠ x 0 :f(x)ϕ(x) = f(x) − f(x 0)ϕ(x) − ϕ(x 0 ) = f ′ (ξ)ϕ ′ (ξ) , ξ ∈ (x, x 0) oder ξ ∈ (x 0 , x).Da mit x → x 0 auch ξ → x 0 geht, folgt dieRegel von de l’Hospital: Ist f(x 0 ) = 0 = ϕ(x 0 ) und sind f und ϕ in einerUmgebung von x 0 stetig und dort für x ≠ x 0 differenzierbar sowie ϕ ′ (x) ≠ 0 fürx ≠ x 0 , so gilt: Existiert der Grenzwertdann gilt:f ′ (x)limx→x 0 ϕ ′ (x)f(x)limx→x 0 ϕ(x) = lim f ′ (x)x→x 0 ϕ ′ (x) .Dieser Satz findet bei sogenannten unbestimmten Formen Anwendung, da hierzwarlim f(x) = f(x 0 ) = 0 undx→x 0lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = 0,x→x0aber der Grenzwert des Quotienten nicht der Quotient der Grenzwerte “ 0 0 ” ist.Liegt für x → f ′ (x)eine analoge Situation vor, so ist die Regel von de l’Hospitalϕ ′ (x)eben noch einmal für den Grenzwert dieses Quotienten anzuwenden.Erweiterung: Die Regel läßt sich auch auf folgende Fälle anwenden:1. limx→x0f(x) = ±∞ und limx→x0ϕ(x) = ±∞,

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 1952. lim x→x0 ±,3. lim x→±∞ .Beispiel: Es sollx 4 − 2x 3 − 7x 2 + 20x − 12limx→2 x 4 − 6x 3 + 9x 2 + 4x − 12ermittelt werden. Hier istf(x) = x 4 − 2x 3 − 7x 2 + 20x − 12 und ϕ(x) = x 4 − 6x 3 + 9x 2 + 4x − 12,es wird f(2) = ϕ(2) = 0 undf ′ (x) = 4x 3 − 6x 2 − 14x + 20 sowie ϕ ′ (x) = 4x 3 − 18x 2 + 18x + 4,es wird f ′ (2) = ϕ ′ (2) = 0 undf ′′ (x) = 12x 2 − 12x − 14 sowie ϕ ′′ (x) = 12x 2 − 36x + 18,es wird f ′′ (2) = 10 und ϕ ′′ (2) = −6 und damitx 4 − 2x 3 − 7x 2 + 20x − 12limx→2 x 4 − 6x 3 + 9x 2 + 4x − 12 = −5 3 .5.5 AufgabenAufgabe 3: Berechnen Sie aus der gegebenen Definition der Ableitung die Ableitungf ′ wobei f:(a) Eine Konstante K,(b) x,(c) x 2 − 1,(d) x 3 ,(e) √ x,

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 196(f)11+xAufgabe 4: Wir befassen uns mit der Funktion y = f(x) = 2x 2 − 5x − 12.Ermitteln Sie(a) Die Ableitung von y = f(x) aus der Definition der Ableitung.(b) Die Änderungsrate von y = f(x) an der Stelle x = 1.(c) Die Punkte, an denen die Linie durch (1, −15) mit der Steigung m denGraphen von f schneidet.(d) Den Wert von m, bei dem die in (5.4.c) gefundenen Punkte zusammenfallen.(e) Die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (1, −15).Aufgabe 5: Wir befassen uns mit der Funktion y = f(x) = 2x 3 − 3x 2 + x + 3.Ermitteln Sie(a) Die Ableitung von y = f(x) aus der Definition der Ableitung.(b) Die Änderungsrate von y = f(x) an der Stelle x = 1.(c) Die Punkte, an denen die Linie durch (1, 3) mit der Steigung m den Graphenvon f schneidet.(d) Den Wert von m, bei dem die in (5.5.c) gefundenen Punkte zusammenfallen.(e) Die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f für x = 1 und x = 1 4 .Aufgabe 6: Zeigen Sie, daß für f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d gilt:f(x + ∆x) = ax 3 + bx 2 + cx + d+(3ax 2 + 2bx + c)∆x+(3ax + b)(∆x) 2+a(∆x) 3 .Leiten Sie daraus die Formel für f ′ (x) ab.Aufgabe 7: Finden Sie die Ableitungen der Funktionen

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 197(a) y = (3x 3 − 2x 2 + 1) 5Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariable z = 3x 3 − 2x 2 + 1 ein.(b) y =1(5x 2 −2) 7Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariable z = 5x 2 − 2 ein.(c) y = (x 2 + 1) 3√ x − 1Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariablen u = (x 2 + 1) 3 und v = √ x − 1 ein.(d) y = √ 2x+1(x 2 +1) 3Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariablen u = √ 2x + 1 und v = (x 2 + 1) 3 ein.Aufgabe 8: Aus Blech einer vorgegebenen Fläche A soll ein Kreiszylinder mitmaximalem Volumen hergestellt werden. Wie sind der Radius R und die Länge Ldes Zylinders zu wählen?Aufgabe 9: Aus drei Brettern der Breite a soll eine symmetrische Rinne mitmaximalem Querschnitt gelegt werden:b a b___ ________ ___\ . . /a \ .\.________./a. / aWie ist b zu wählen?Aufgabe 10: Finden Sie die Ableitung der Funktion y = √ 1 + sin(x) ZeichnenSie die Funktion und ihre Ableitung für 0 ≤ x ≤ 2π.Aufgabe 11: Differenzieren Sie die Funktionen(a) y = sin(3x − 2)(b) y = cos 4 (x)

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 198(c) y = cos 2 (3x)(d) y = sin(2x)cos(3x)(e) y = x sin(x)(f) y = √ 2 + cos(2x)(g) y = a cos(x + θ)(h) y = tan(4x)Aufgabe 12: Differenzieren Sie die Funktionen(a) y = arcsin(x). Ergebniss: y ′ = 1cos(y) = 1√1−sin 2 (y) , also y = 1 √1−x 2.(b) y = arccos(x). Hinweis: Verfahren Sie so wie in Aufgabe 5.12.a.(c) y = arctan(x)Aufgabe 13: Durch Erwärmen vergrößert sich der Radius einer Kugel von r 1 =2.000cm auf r 2 = 2.034cm. Wie groß ist die relative i Zunahme des Kugelvolumens(V = 4 3 πr3 )? Verwenden Sie zur Berechnung das Differential der Funktion r ↦−→V (r).Aufgabe 14: Wie lautet für y = f(x) = x 3 auf Grund der Gleichung ∆y =f ′ (x 0 )∆x + R das Restglied R.Aufgabe 15: Man berechne (Taschenrechner) für die Funktion y = sin(x):∆y := y(x + ∆x) − y(x) und dy = y ′ (x)∆x an der Stelle x = 2 (Bogenmaß!)jeweils für(a) ∆x = 0.1(b) ∆x = 0.01i Unter der relativen Änderung einer Größe U versteht man die Änderung (den Zuwachs) derGröße dividiert durch die Größe selbst, also∆UU .

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 199Aufgabe 16: Wie groß ist in linearer Approximation die prozentuale Änderungdes Kugelvolumens, wenn sich der Radius um 2% vergrößert?Aufgabe 17: Für das in einem Rohr vom Radius r pro Zeit transportierte Flüssigkeitsvolumengilt bei laminarer StrömungV = π 8r 4η∆p.lDabei ist ∆p die Druckdifferenz an den Enden, l die Rohrlänge und η die Zähigkeitder Flüssigkeit.(a) Um wieviel Prozent muß man r ändern um V um 10% zu steigern?(b) Durch welche prozentuale Änderung von ∆p läßt sich dies erst erreichen?Aufgabe 18: Berechnen Sie sin(25 o ) und sin(35 o ) mit Hilfe der Linearisierungum α 0 = 30 o = π/6sinα ≈sin α 0 + dsin(α 0 ; ∆α)= sin α 0 + sin ′ (α 0 )(α − α 0 )Verwenden Sie die exakten Werte von sin(π/6) und cos(π/6). Vergleichen Sie dieaus dieser Linearisierung gewonnenen Werte für sin(25 o ) und sin(35 o ) mit den perTaschenrechner gewonnenen Werten (3 Dezimalstellen).Aufgabe 19: Berechnen Sie zu y = ln(1+x) das Taylorpolynom zweiter Ordungum den Entwicklungspunkt x = 0. Verwenden Sie dieses Polynom zur Berechnungvon(a) ln(1)(b) ln(1/2)(c) ln(3/2)(d) ln(3/4)(e) ln(5/4)Vergleichen Sie mit den per Taschenrechner ermittelten Werten.

KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 200Aufgabe 20: Ermitteln Sie die Taylorreihen folgender Funktionen(a) y = exp(x),(b) y = cos(x),(c) y = ln(1 + x)jeweils um den Entwicklungspunkt x 0 = 0.

Kapitel 6Matrizen und lineareGleichungssysteme6.1 Matrizen i6.1.1 EinführungMatrix-Techniken werden z.B. in folgenden Bereichen eingesetzt:• Lösung linearer Geleichungssysteme• Ausdrücken der Beziehung zwischen Vektorkomponenten in verschiedenen— z.B. gegeneinander gedrehten — Koordinatensystemen• Darstellung geometrischer Transformationen wie– Drehungeni Dieser Abschitt lehnt sich an Mathematik für Ingenieure, Wolfgang Brauch,Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haake, Wiesbaden: Teubner, 2006 ([3]) und an ModernEngineering Mathematics, James Glyn et. al., Harlow,. . . : Prentice Hall, 2001 ([18])an.201

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 202– Spiegelungen– Dehnungendurch Matrixoperationen auf den Komponenten der beteiligten Vektoren.6.1.2 Grundbegriffe, DefinitionenZwischen zwei Größensystemen x 1 , x 2 , x 3 ,. . . , x n und y 1 , y 2 , y 3 ,. . . , y m bestehefolgender Zusammenhanga 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · + a 1n x n = y 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + · · · + a 2n x n = y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + · · · + a mn x n = y m(6.1)Derartige lineare Beziehungen kommen häufig vor. Oft ist eines der beiden Systememx k oder y i gegeben, das andere gesucht. Die Größen x k , y i und a ik könnenz.B. folgende Bedeutungen haben:Gebiet x k a ik y iElastizitätstheorie Deformationen elastische Konstanten Spannungenelektrisches Netzwerk Ströme Widerstände SpannungenKostenrechnung Warenmengen Kostenfaktoren KostenartenGeometrie Koordinaten Transformationskoeffizienten Transformierte KoordinatFür die Beschreibung von Rechenverfahren oder für Beweisführungen ist es zweckmäßig,irgendwelche Umformungen von Gleichung 6.1 nicht mühsam mit den einzelnenElementen, sondern in einer Kurzschrift mit dem ganzen System vorzunehmenund erst am Schluß die Einzelberechnung durchzuführen. Man schreibtdeshalb Gleichung 6.1 in der FormAx = y (6.2)und nennt das Koeffizientenschema A einen Matrix.

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 203Definition: Eine rechteckige Anordnung von Koeffizienten a ik aus m Zeilen undn Spalten heißt eine (m, n)-Matrix A. Man schreibt⎛⎞a 11 a 12 a 13 · · · a 1na 21 a 22 a 23 · · · a 2nA = (a ik ) = ⎜⎟(6.3)⎝ . . . · · · . ⎠a m1 a m2 a m3 · · · a mnDie Koeffizienten a ik heißen Elemente der Matrix. Alle nebeneinanderstehendenElemente der Matrix bilden eine Zeile, alle untereinander stehenden Elemnte eineSpalte der Matrix. Wegen der formalen Ähnlichkeit mit der Koordinatenschreibweiseder Vektoren nennt man sie auch Zeilen- oder Spaltenvektoren:a i = (a i1 , a i2 , . . . , a in ) i-ter Zeilenvektor⎛ ⎞a 1ka 2ka k = ⎜ ⎟ k-ter Spaltenvektor⎝ . ⎠a mkAuch die schematisch zusammengefaßten Größen⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1y 1x = ⎜ x 2⎟⎝ . . . ⎠ und y = ⎜ y 2⎟⎝ . . . ⎠x n y mwerden wegen ihrer formalen Ähnlichkeit mit Vektoren oft Vektoren genannt. Siesind eine Matrix mit n bzw. m Zeilen und einer Spalte und können z.B. die untereinandergeschriebenen Ströme (x) und Spannungen (y) in einem elektrischenNetzwerk bedeuten.

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 204Abbildung 6.1: KoordinatentransformationBeispiel: Wir betrachten die Koordinatentransformation in Abbildung 6.1. Austrigonometrischen Überlegungen folgt:x ′= OL + LM + MN= x cosθ + QM sinθ + MP sinθ= x cosθ + (QM + MP)sin θund daherx ′ = x cosθ + y sinθ (6.4)ähnlich folgty ′ = −x sin θ + y cosθ (6.5)Definiert man jetzt( cosθ sinθT =−sin θ cosθ) ( x, x =y) ( ) x, x ′ ′=y ′(6.6)

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 205dann kann man die Gleichungen 6.4 und 6.5 alsx ′ = Tx (6.7)umschreiben.Es folgt die Definition einiger Begriffe:Transponierte Matrix: Vertauscht man in einer Matrix A alle Zeilen mit denIhenen entsprechenden Spalten, so erhält man die zur Matrix A transponierteMatrix A T .Beispiel:A =A =( )a11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23( 1 2 34 5 6)⎛ ⎞a 11 a 21A T = ⎝ a 12 a 22⎠a 13 a 23⎛A T = ⎝1 42 53 6⎞⎠Die Elemente der Matrix mit zwei gleichen Inizes (a 11 , a 22 ) bleiben dabei an dergleichen Stelle.Quadratische Matrix: Matrizen, bei denen die Anzahl der Zeilen und ide Anzahlder Spalten gleich groß sind, heißen quadratische Matrizen. Die Elemente mitzwei gleichen Indizes, also a 11 , a 22 , . . . , a nn bilden die Hauptdiagonale der Matrix.⎛A = (a ik ) = ⎜⎝⎞a 11 a 12 a 13 · · · a 1na 21 a 22 a 23 · · · a 2n⎟. . . · · · . ⎠a n1 a n2 a n3 · · · a nn(6.8)Einheitsmatrix: Eine quadratische Matrix, in der die Elemente in der Hauptdiagonalealle den Wert Eins haben, während alle übrigen Elemente den Wert

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 206Null haben, heißt Einheitsmatrix. Sie spielt in der Matrrizenrechnung die gleicheRolle wie die Zahl Eins in der Arithmetik und wird mit E bezeichnet:⎛ ⎞1 0 0 0E = ⎜ 0 1 0 0⎟⎝ 0 0 1 0 ⎠ Einheitsmatrix0 0 0 1Zeilenvektoren dieser Matrix:e 1 = (1, 0, 0, 0)e 2 = (0, 1, 0, 0)e 3 = (0, 0, 1, 0)e 4 = (0, 0, 0, 1)Spaltenvektoren dieser Matrix:⎛ ⎞ ⎛1 0e 1 = ⎜ 0⎟⎝ 0 ⎠ , e 2 = ⎜ 1⎝ 00 0⎞⎟⎠ , e 3 =⎛⎜⎝0010⎞⎟⎠ , e 4 =Die Zeilen- und Spaltenvektoren der Einheitsmatrix E sind also die sogennantenkanonischen Einheitsvektoren des R n .Die Einkeitsmatrix E = (δ ij ) hat die Elemente{ 1 für i = jδ ij =0 für i ≠ jNull-Matrix: Eine Matrix bei der sämtliche Elemente den Wert Null habenheißt Null-Matrix; sie wird mit 0 bezeichnet:⎛ ⎞0 0 0 00 = ⎝ 0 0 0 0 ⎠0 0 0 0⎛⎜⎝0001⎞⎟⎠

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2076.1.3 Rechenregeln für MatrizenDefinition: Stimmen zwei Matrizen in Spalten- und Zeilenanzahl überein, so sindsie vom gleichen Typ.Gleichheit zweier Matrizen: Zwei Matrizen A = (a ik ) und B = (b ik ) heißengleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und alle ihre Elemente übereinstimmen:a ik = b ikfür alle i und k6.1.3.1 Einfache OperationenAddition von Matrizen: Die Addition vom Matrizen ist einfach: Man kannnur Matrizen vom gleichen Typ addieren und die Elemente der SummenmatrixA + B = C = (c ij ) der Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) ergeben sich als dieSumme der entsprechenden Elemente der Matrizen A und B:⎛⎜⎝A + B = Ca ij + b ij⇐⇒= c ija 11 a 12 a 13 · · ·a 21 a 22 a 23 · · ·...⎞⎛⎟ ⎜⎠+ ⎝b 11 b 12 b 13 · · ·b 21 b 22 b 23 · · ·...⎞⎟⎠ =⎛⎜⎝a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 · · ·a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 · · ·Multiplikation mit einem Skalar: Die Matrix λA hat die Elemente λa ij ; manmultipliziert also jedes Element mit einem Skalar λ:⎛⎞ ⎛⎞a 11 a 12 a 13 · · · λa 11 λa 12 λa 13 · · ·⎜λ⎝a 21 a 22 a 23 · · · ⎟ ⎜⎠ = ⎝ λa 21 λa 22 λa 23 · · · ⎟⎠. . .. . ....⎞⎟⎠

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 208Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar:KommutativgesetzA + B = B + AAssoziativgesetz (A + B) + C = A + (B + C)DistributivgesetzAufgabe 1: Es seien⎛ ⎞ ⎛1 2 1A = ⎝ 1 1 2 ⎠, B = ⎝1 1 1λ(A + B) = λA + λB2 11 01 1Bestimmen Sie — falls es möglich ist —(a) A + B(b) A + C(c) C − A(d) 3A(e) 4B(f) C + B(g) 3A + 2C(h) A + A T(i) A − A T(j) A + C T + B T⎞⎛⎠, C = ⎝Was fällt Ihnen bei den Teilen 6.1.h und 6.1.i auf?0 1 10 0 11 0 0⎞⎠6.1.3.2 Matrix MultiplikationWir haben oben gesehen, wie der Zusammenhang zwischen zwei Größensystemenx 1 , x 2 , x 3 ,. . . , x n und y 1 , y 2 , y 3 ,. . . , y m repräsentiert durch die einspaltigenMatrizen (Spaltenvektoren) x = ( x 1 x 2 x 3 · · · x n) Tund y =

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 209(y1 y 2 y 3 · · · y n) Tin der Form Ax = y ausgedrückt wird. Das ist der einfachsteFall der Matrizenmultiplikation, nämlich die Multiplikation einer Matrixmit einer einspaltigen Matrix x. Für die i-te Komponente des resultierenden Vektorsy gilt:y i =n∑a ij x j (6.9)j=1Die Multiplikation einer (m, n)-Matrix A mit einem (n, 1)-Spaltenvektor x, deralso die gleiche Zeilenanzahl wie die Matrix besitzt, ergibt also einen (m, 1)-Spaltenvektor y.Deshalb kann man die Multiplikation einer (m, n)-Matrix A mit einer (n, p)-Matrix B dadurch definieren, das man A mit jedem der p Spaltenvektoren derMatrix B, d.h also mit b l , l ∈ {1, . . . , p}, auf obige Weise verknüpft. Es entstehenp Spaltenvektoren c l , l ∈ {1, . . . , p} mit jeweils m-Zeilen; schreibt man diesenacheinander in die resultierende Matrix C, so ergibt sich eine (m, p)-Matrix; inFormeln:A = (a ij ), B = (b ij ), C = (c ij ) (6.10)C = A ∗ B (6.11)⇐⇒ (6.12)c l = Ab l für l ∈ {1, . . . , p} (6.13)⇐⇒ (6.14)n∑c il = a ij b jl (6.15)j=1⇐⇒ (6.16)c il = a i · b l (6.17)Matrix-Produkt: Man erhält das Element c ij der Produktmatrix C = (c ij ) =A ∗ B indem man a i , den i-ten Zeilenvektor von A, skalar mit b j , dem j-tenSpaltenvektor von B multipliziert. Voraussetzung für die Durchführbarbeit ist,

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 210daß die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. Ist Aeine (m, n)-Matrix und B eine (n, p)-Matrix so wird C eine (m, p) − Matrix.In C = A∗B wird meistens das Multiplikationszeichen weggelassen, man schreibtalso C = AB.Beispiel: Um zu sehen, daß diese Definition sinnvoll ist, betrachten wir die Transformationder Größen x 1 , x 2 auf neue Variablen y 1 und y 2 sowie eine darauf folgendeTransformation von y 1 , y 2 nach z 1 und z 2 , die durch folgende Gleichungenvermittelt wird:z 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 , y 1 = b 11 x 1 + b 12 x 2z 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 , y 2 = b 21 x 1 + b 22 x 2Substituiert man nun die Gleichungen für die y 1 und y 2 in die Gleichungen fürz 1/2 so ergibt sich nachdem die Terme vor x 1/2 gruppiert wurden:Mitz 1 = (a 11 b 11 + a 12 b 21 )x 1 + (a 11 b 12 + a 12 b 22 )x 2 (6.18)z 2 = (a 21 b 11 + a 22 b 21 )x 1 + (a 21 b 12 + a 22 b 22 )x 2 (6.19)A =( )a11 a 12a 21 a 22und B =( )b11 b 12b 21 b 22gilt also z = Ay und y = Bx sowie z = Cx, wobei C nach Gleichung 6.18 durch( )a11 bC = 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22gegeben ist — und das ist genau die Definition des Matrixproduktes C = A ∗ B.Zur Berechnung des Matrixproduktes ist folgende Anordnung der Matrizen nützlich:(b11 b 12b 21 b 22)( ) ( )a11 a 12 c11 c 12a 21 a 22 c 21 c 22

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 211Aufgabe 2: Es seien die Beziehungengegeben.z 1 = y 1 + 3y 2z 2 = 2y 1 − y 2undy 1 = −x 1 + 2x 2y 2 = 2x 1 − x 2(a) Eliminieren Sie die y 1/2 aus diesen Beziehungen, und geben Sie die zwischenden z 1/2 und x 1/2 geltenden Gleichungen an.(b) Schreiben Sie die Gleichungen zwischen y 1/2 und x 1/2 in Matrix-Form alsy = Bx und die Gleichungen zwischen z 1/2 und y 1/2 in Matrix-Form alsz = Ay und die zwischen z 1/2 und x 1/2 als z = Cx an.(c) Berechnen Sie A ∗ B und vergleichen Sie mit C aus der vorigen Aufgabe.Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation:Kommutativgesetz Im allgemeinen gilt nicht das Komutativgesetz, d.h. es istim allgemeinen AB ≠ BA. Verifizieren Sie das an den Matrizen( )( )1 01 2A =und B = .0 01 0Assoziativgesetz A(BC) = (AB)CDistributivgesetz für Multiplikation mit Skalaren (µA)B = A(µB) =µ(AB)Distributivgesetz (A + C)B = AC + BC und A(B + C) = AB + ACMultiplikation mit der Einheitsmatrix EA = A und AE = ATransponierung (AB) T = B T A T

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2126.2 Lineare Gleichungssysteme6.2.1 EinleitungWir wollen uns mit Systemen von n linearen Gleichungen für n Unbekannte beschäftigen.Die komplizierteren Fälle, in denen die Anzahl der Unbekannten vonder Anzahl der Gleichungen abweicht sollen jetzt nicht betrachtet werden.Beispiel:x 1 + 2x 2 = 42x 1 + x 2 = 5 (6.20)Hier ist n = 2, man hat zwei Gleichungen für die zwei Unbekanten x 1 und x 2 .Zur Lösung subtrahiert man 2×Gleichung 1 von Gleichung 2 und erhält:x 1 + 2x 2 = 4−3x 2= −3Aus der zweiten Gleichung folgt x 2 = 1; das wird in die erste Gleichung eingesetzt,woraaus dann x 1 = 2 folgt.Dieses Beispiel illustriert die grundlegende Idee des Gaußschen Eliminationsverfahrens(nach Carl Friedrich Gauß; ∗Braunschweig 30.4.1777, †Göttingen23.2.1855).6.2.2 BezeichnungenUm dieses Verfahren für beliebig viele Unbekannte formulieren zu können, benötigenwir einige neue Bezeichnungen:Zunächst sieht man, daß obiges Gleichungssystem (6.20) sich mit Hilfe der Matrix( ) 1 2A =2 1

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 213des Vektorsx =(x1x 2)und des Vektors( ) 4y =5formal alsAx = y, (6.21)also als(1 22 1) ( ) (x1 4=x 2 5)schreiben läßt. Dabei ist Ax ein neuer Vektor x ′ , der sich durch Multiplikationder Matrix A mit dem Vektor x nach folgender Vorschrift ergibt:( ) ( ) ( )xAx = x ′ ′= 1 1 2x ′ := x 1 + x2 2 21Für eine allgemeine 2 × 2-Matrix( )a11 aA = 12a 21 a 22und eine allgemeine rechte Seite y = (y 1 , y 2 ) T wäre also die Matrix-Gleichung( ) ( ) ( )a11 a 12 x1 y1=a 22 x 2 y 2a 21eine Kurzschreibweise für das Gleichungssystema 11 x 1 + a 12 x 2 = y 1 (6.22)a 21 x 1 + a 22 x 2 = y 2 , (6.23)

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 214das man vektoriell alsx 1(a11a 21)+ x 2(a12a 22)=(y1y 2),beziehungsweise mit den Spaltenvektoren( ) ( )a11a12a 1 := , aa 2 :=21 a 22(6.24)der Matrix A alsx 1 a 1 + x 2 a 2 = y. (6.25)schreiben kann.Man sieht daraus, daß das Lösen eines linearen Gleichungssystems gleichbedeutendist mit der Zerlegung eines vorgegebenen Vektors (hier y) in vorgegebeneRichtungen (hier a 1 und a 2 ).In obigem Beispiel (6.20) ist also( ) ( )a11 a 12 1 2=a 21 a 22 2 1sowie( ) (y1 4=y 2 5)Der Fall von n linearen Gleichungen für n Unbekannte läßt sich weitgehend analogbehandeln:Gesucht sind die n Unbekannten x 1 , x 2 , . . . x n , für die n lineare Gleichungenbestehen:a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = y 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n = y n(6.26)

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 215Die “rechte Seite” der Gleichung ist durch den Vektor y = (y 1 , y 2 , · · · , y n ) T gegeben.Die Zahlen a ij mit i, j ∈ 1, 2, . . . n sind vorgegebene Konstanten.In der Form (6.21) Ax = y sieht das so aus:⎛⎞⎛⎞ ⎛a 11 a 12 · · · a 1n x 1a 21 a 22 · · · a 2nx 2⎜⎟⎜⎟⎝ . .... . ⎠⎝. ⎠ = ⎜⎝a n1 a n2 · · · a nn x n⎞y 1y 2⎟. ⎠y n(6.27)Dabei istA =x =⎛⎜⎝⎛⎜⎝⎞a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2n⎟. .... . ⎠a n1 a n2 · · · a nn⎞ ⎛ ⎞x 1y 1x 2⎟. ⎠ , y = y 2⎜ ⎟⎝ . ⎠x n y nDie vektorielle Form des Gleichungssystems ergibts sich ganz analog zum zweidimensionalenFall:Wie in (6.24) definieren wir die Spaltenvektoren der Matrix A:⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞a 11a 12a 1na 21a 1 := ⎜ ⎟⎝ . ⎠ , a a 222 := ⎜ ⎟⎝ . ⎠ , · · · , a a 2nn := ⎜ ⎟⎝ . ⎠ . (6.28)a n1 a n2 a nnDamit ergibt sich wie im zweidimensionalen Fall (6.25) die vektorielle Form desGleichungssystemsx 1 a 1 + x 2 a 2 + · · · + x n a n = y, (6.29)

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 216die auch hier wieder als die Aufgabe interpretiert werden kann, den Vektor y nachden vorgegebenen Richtungen a 1 , a 2 , . . . , a n zu zerlegen.Wir führen schließlich noch die erweiterte Matrix dieses Gleichungssystems ein:⎛⎞a 11 a 12 · · · a 1n y 1a 21 a 22 · · · a 2n y 2(A|y) = ⎜⎟(6.30)⎝ . .... . . ⎠a n1 a n2 · · · a nn y n6.2.3 Äquivalente UmformungenBei linearen Gleichungssystemen der Form (6.26) ändert sich die Lösung (exakterdie Lösungsmenge) nicht, wenn folgende Operationen, die sogenannten elementarenOperationen auf das Gleichungssystem angewandt werden:1. Austausch zweier Gleichungen von (6.26) — Das entspricht bei der erweitertenMatrix (6.30) dem Austausch zweier Zeilen der Matrix (A|y).2. Addition des Vielfachen einer Gleichung des Gleichungssystems (6.26) zueiner anderen Gleichung — für die erweiterte Matrix (6.30) (A|y) heißt das,daß das Vielfache einer Matrixzeile zu einer anderen addiert wird.6.2.4 Gaußsches EliminationsverfahrenDie elementaren Umformungen sollen nun verwendet werden, um ein vorgegebenesGleichungssysten mit der erweiterten Matrix (A|y) in eine Form (A ′ |y ′ ) umzuformen,bei der links unterhalb der Diagonalen von A ′ nur noch Nullen stehen. Wirwollen uns das an einem Beispiel klar machen, das auch zeigen wird, daß danndie Lösung des Gleichungssystems ganz einfach wird.Vorgelegt sei das lineare Gleichungssystemx 2 + x 3 = 3 (6.31)2x 1 + x 2 + 2x 3 = 7 (6.32)3x 1 + 2x 2 − x 3 = 12 (6.33)

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 217In Matrix-Form ist das⎛0 1 1⎞⎛⎝ 2 1 2 ⎠⎝3 2 −1⎞ ⎛x 1x 2⎠ = ⎝x 23712⎞⎠,woraus sich die erweiterte Matrix⎛⎞0 1 1 3⎝ 2 1 2 7 ⎠ (6.34)3 2 −1 12ergibt.Zunächst betrachten wir die erste Spalte. Die Gleichungen werden so vertauscht,daß in der ersten Spalte in der ersten Zeile ein von Null verschiedenes Element plaziertwird, falls ein solches vorhanden ist. Für das numerische Rechnen (Computeroder Taschenrechner) ist es günstig wenn dort das betragsmäßig größte Elementsteht. Deshalb vertauschen wir jetzt die 3. Zeile mit der ersten Zeile und erhalten⎛⎝3 2 −1 122 1 2 70 1 1 3⎞⎠Nun wird das −2/3-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert:⎛⎞3 2 −1 12⎝ 0 −1/3 8/3 −1 ⎠.0 1 1 3Nachdem in der 1. Spalte alle Elemente unterhalb der 1. Zeile gleich Null sindwenden wir uns der zweiten Spalte zu: Ziel ist es hier, daß alle Elemente unterhalbder 2. Zeile zu Null werden.Wir addieren das 3-fache der 2. Zeile zur 3. Zeile, und erhalten:⎛⎞3 2 −1 12⎝ 0 −1/3 8/3 −1 ⎠ = (A ′ |y ′ ).0 0 9 0

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 218Das heißt, wir haben jetzt eine neue erweiterte Matrix (A ′ |y ′ ) wobei in A ′ unterhalbder Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) nur Nullen stehen.Das zugehörige Gleichungssystem lautet:3x 1 + 2x 2 − x 3 = 12 (6.35)−1/3x 2 + 8/3x 3 = −1 (6.36)9x 3 = 0 (6.37)Jetzt wird von unten nach oben zurück substituiert:• Aus der dritten Gleichung folgt x3 = 0.• Damit liefert die zweite Gleichung x 2 = 3.• Schließlich gewinnt man aus der ersten Gleichung x 1 = 2.⎛Man hat also den Lösungsvektor x = ⎝⎞ ⎛x 1x 2⎠ = ⎝x 3Das an diesem Beispiel durchgerechnete Verfahren ist das Gaußsche Eliminationsverfahren,das man allgemein so beschreiben kann:Vorgelegt sie ein lineares (n × n)-Gleichungssystem, das wir gleich in der erweitertenForm aufschreiben:⎛⎞a 11 a 12 · · · a 1n y 1a 21 a 22 · · · a 2n y 2(A|y) = ⎜⎟⎝ . .... . . ⎠a n1 a n2 · · · a nn y nMan arbeitet sich nun beginnend mit der 1. Spalte von links nach rechts bis zurn-ten Spalte vor. Bei der Bearbeitung der i-ten Spalte geht man so vor:230⎞⎠.1. Wenn alle Elemente unterhalb der i-ten Zeile Null sind, ist man fertig.

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2192. Andernfalls vertauscht man die i-te Zeile mit der unterhalb stehenden Zeile,die das betragsmäßig größte Element enthält.3. Dann subtrahiert man Vielfache der i-ten Zeile von den darunterliegendenZeilen; die Vielfachen werden dabei so gewählt, daß alle Elemente unterhalbder i-ten Zeile Null werden.So entsteht eine erweiterte Matrix in der oberen Dreiecksform.⎛⎞a ′ 11 a ′ 12 a ′ 13 · · · a ′ 1n y 1′ 0 a ′ 22 a ′ 23 · · · a ′ 2n y ′ 2(A ′ |y ′ ) =0 0 a ′ 33 · · · a ′ 3n y 3′ ⎜⎟⎝ . . .... . . ⎠0 0 0 · · · a ′ nn y n′(6.38)das zugehörige Gleichungssystem läßt sich — wie im Beispiel — von unten nachoben durch “Rücksubstitution” lösen.6.2.5 Das Gauß-Jordan-VerfahrenEs sei s := ±1, je nachdem, ob die Anzahl der Gleichungsvertausschungen inobigem Verfahren positiv (s = 1) oder negativ (s = −1) war. Dann ist die Zahls ×n∏a ′ ii (6.39)i=1gleich der Determinante ii DetA der Matrix A.Ist nun DetA ≠ 0, so kann Gleichung 6.38 weiter in folgenden Schritten umgeformtwerden:ii Es ist hier nicht offensichtlich, daß so Det A eindeutig bestimmt ist, es gibt aber andere“direktere” Methoden zur Berechnung von Det A, z.B. den Entwicklungssatz von Laplace, deraber wesentlich rechenaufwändiger ist.

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2201. Jede Zeile wird durch das entsprechende Diagonalelement dividiert, die i-teZeile also durch a ii .2. Von rechts beginnend arbeitet man sich von der n-ten Spalte bis zur 1-tenSpalte vor, wobei auf Position i folgendes getan wird:Geeignete Vielfache der i-ten Zeile werden zu den darüberliegenden Zeilenaddiert, so daß in Spalte Nr. i nur noch a ii von Null verschieden — nämlichgleich eins — ist.In obigem Beispiel führt das zu:⎛⎝⎛⎝3 2 −1 120 −1/3 8/3 −10 0 9 01 2/3 0 40 1 0 30 0 1 0⎞⎞⎠ → ⎝⎛⎠ → ⎝⎛Hier kann die Lösung direkt als x = ⎝In allgemeiner Form folgt:⎛(A ′′ |y ′′ ) =⎜⎝1 2/3 −1/3 40 1 −8 30 0 1 01 0 0 20 1 0 30 0 1 0⎛2301 0 0 · · · 0 y ′′1⎞⎞⎠⎠ abgelesen werden.⎞⎞⎠ →0 1 0 · · · 0 y 2′′0 0 1 · · · 0 y 3′′= (E|y ′′ ) (6.40)⎟. . .... . . ⎠0 0 0 · · · 1 y n′′Die rechte Seite y ′′ der so umgeformten erweiterten Koeffizentenmatrix ist alsobereits die Lösung x der Gleichung. Das hier angewendete Verfahren heißt Gauß-Jordan-Elimiationsverfahren.

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 221Existenz der Inversen zur Matrix A: Genau dann, wenn für eine MatrixDet A ≠ 0, ist die Gleichung Ax = y für jede rechte Seite y eindeutig (durch nurein x) lösbar. Die obige Konstruktion des Gauß-Jordan-Verfahrens zeigt, daß x(oben y ′′ ) linear von y abhängt iii und daß deshalb x durch eine Matrixmultiplikationmit einer Matrix L aus y hervorgeht: x = LyDie so definierte Matrix L heißt die zu A inverse Matrix und wird mit A −1 bezeichnet.Auch L = A −1 ist in diesem Sinne umkehrbar mit L −1 = A, weil eben auch dieGleichung Ly = x für jede rechte Seite x eindeutig lösbar ist.6.2.6 Die inverse MatrixFür eine Matrix A mit DetA ≠ 0 läßt sich die Gleichung Ax = y durch x = A −1 ylösen. Es gilt alsoAx = y⇐⇒AA −1 y = yDie letzte Gleichung gilt für jeden Vektor y insbesondere also auch für die kanonischenEinheitsvektoren e 1 , e 2 ,. . . , e n iv . Setzt man diese für y ein, so ergibtiii Denn durch die elementaren Umformungen und den Divisionsschritt (Division durch a ii )wird jedes y i ′′ als Linearkombination der y ρ dargestellt, d.h. es existieren Konstanten l iρ so, daßy ′′i =⎛iv e 1 = ⎜⎝n∑l iρ y ρ .ρ=110.0⎞⎛⎟⎠ , e 2 = ⎜⎝01.0⎞⎛⎟⎠ , . . . , e n = ⎜⎝00.1⎞⎟⎠

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 222sich, daß die Spaltenvektoren von AA −1 auch diese kanonischen Einheitsvektorensind, also gilt:AA −1 = E (6.41)Oben war angedeutet worden, daß L = A −1 die inverse Matrix A besitzt. DahergiltA −1 A = E (6.42)Mit der inversen Matrix lassen sich lineare Gleichungsssysteme durch “Multiplikationvon links mit der Inversen” lösen:Ax = y⇐⇒A −1 Ax = A −1 y⇐⇒Ex = A −1 y⇐⇒x = A −1 yIst die Inverse A −1 bekannt, erhält man also die Lösung für jede rechte Seite ydurch Multiplikation mit A −1 .Berechnung der Inversen: Löst man die lineare GleichungAx = e i ,wobei wieder e i den i-ten kanonischen Einheitsvektor bezeichnet, so ist die Lösungx = A −1 e i der i-te Spaltenvektor von A −1 .Deshalb berechnet man die Inverse indem man obiges Gauß-Jordan-Verfahren aufdie um n rechte Seiten e 1 , e 2 , . . . , e n , also um die Einheitsmatrix E erweiterteKoeffizientenmatrix (A|E) anwendet:(A|E) → · · · → (E|A −1 )

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 223Beispiel: Wir wollen die Inverse zu A = ⎝(A|E) =→⎛⎝⎛⎝2 0 0 1 0 02 1 −6 0 1 06 0 −1 0 0 1⎛⎞⎠2 0 0 1 0 00 1 −6 −1 1 00 0 −1 −3 0 12 0 02 1 −66 0 −1Nebenergebnis: Det A = 2 ∗ 1 ∗ (−1) = −2⎛⎞1 0 0 1/2 0 0→ ⎝ 0 1 −6 −1 1 0 ⎠0 0 1 3 0 −1⎛⎞1 0 0 1/2 0 0→ ⎝ 0 1 0 17 1 −6 ⎠ = (E|A −1 )0 0 1 3 0 −1⎞⎠⎞⎠ berechnen:⎛Also ist A −1 = ⎝1/2 0 017 1 −63 0 −1⎞⎠.6.2.7 Die Determinante einer MatrixEine Matrix A, bei der links unterhalb der Diagonalen von A nur noch Nullenstehen, heißt eine (obere) Dreiecksmatrix. In Gleichung 6.39 haben wir für dieobere Dreiecksmatrix A ′ aus Gleichung 6.38 das Produkt der Diagonalelmenteberechnet. Dieses Produkt hat eine wichtige geometrische Bedeutung:Satz: Das Produkt der Diagonalelemente einer Dreiecksmatrix ist gleich demVolumen des von den Spaltenvektoren gebildeten Parallelotops und gleich demVolumen des von den Zeilenvektoren gebildeten Parallelotops.

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 224Begründung: Für die Matrix⎛ ⎞1 2 3A = ⎝ 0 4 5 ⎠0 0 6mit den Spaltenvektoren a 1 =⎛⎝100⎞⎠, a 2 =⎛⎝240⎞⎠ und a 3 =⎛⎝356⎞⎠ ist 6 dieHöhe des Vektors a 3 über dem in der x-y-Ebene liegenden, von a 1 und a 2 aufgespanntenParallelogramm, also ist das Volumen des Parallelotops durch6 × Fläche des von a 1 u. a 2 erzeugten Parallelogramms,und die Parallelogrammfläche ergibt sich über “Grundseite mal Höhe”, daraus,daß 4 die Höhe dieses Paralellogramms über der parallel zur x-Achse liegendenGrundseite der Länge 1 ist, so daß sich schließlich das Volumen 6 × 4 × 1 ergibt.Offensichtlich kann man das Verfahren dieses Beispiels auch im allgemeinen Fallanwenden.Das von n Vektoren eingeschlossene Volumen: Mit Vol(a 1 ,a 2 , . . . ,a n ) solldas gerichtete Volumen des von den n (Zeilen- oder Spalten-) Vektoren a 1 , a 2 ,. . . , a n gebildeten Parallelotops bezeichnet werden; mit “gerichtet” ist gemeint,daß dieses Volumen auch negativ werden kann. Dieses Volumen hat folgende Eigenschaften:1. Linearität in jedem Argument:(a) Vol(. . . , αx, . . .) = α Vol(. . . ,x, . . .) (Verlängerung einer Seite führt zuproportionaler Vergrößerung des Volumens)(b) Vol(. . . ,x+y, . . .) = Vol(. . . ,x, . . .)+Vol(. . . ,y, . . .) (über eine Zeichnungfür den zweidimensionalen Fall klarmachen)2. Vol(. . . ,x, . . .x, . . .) = 0 (Zwei gleiche Seiten lassen das Volumen zusammenklappenund das Volumen schrumft auf Null).

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 225Verhalten des Volumens bei elementaren Umformungen: Die Vektorena 1 , a 2 , . . . , a n werden jetzt als die Zeilenvektoren einer Matrix A interpretiert.Dann gelten:1. Bei der Vertauschung zweier Zeilen ändert Vol sein Vorzeichen:Vol(. . . ,x, . . . ,y, . . .) = −Vol(. . . ,y, . . .x, . . .)Zum Beweis multipliziert man unter Beachtung der Linearität die Gleichungaus:0 = Vol(. . . ,x + y, . . .,x + y, . . .)0 = Vol(. . . ,x + y, . . . ,x + y, . . .)= Vol(. . . ,x, . . . ,x, . . .) + Vol(. . . ,x, . . . ,y, . . .)} {{ }=0+ Vol(. . . ,y, . . . ,x, . . .) + Vol(. . . ,y, . . .y, . . .)} {{ }=02. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile ändert Vol nicht:Vol(. . . ,x + αy, . . .y, . . .) =Vol(. . . ,x, . . .y, . . .) + α Vol(. . . ,y, . . .y, . . .)} {{ }=0= Vol(. . . ,x, . . .y, . . .)Vol bleibt also bis auf die durch Zeilenvertauschung hervorgerufenen Vorzeichenwechselbei elementaren Umformungen unverändert. Das heißt:Ist A = (a 1 , . . .a n ) die Matrix mit den Zeilenvektoren a 1 , . . .a n und ensteht dieMatrix A ′ = (a ′1 , . . .a ′n ) mit den Zeilenvektoren a ′1 , . . .a ′n aus A durch elementareUmformungen, so gilt:Vol(a 1 , . . .a n ) = (−1) s Vol(a ′1 , . . .a ′n )n∏= (−1) s= DetAi=1a ′ ii

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 226Hierbei ist s die Anzahl der durchgeführten Zeilenvertauschungen. Damit ist gezeigt:Bedeutung der Determinante: Die in Gleichung 6.39 berechnete Determinanteder Matrix A ist gleich dem Volumen des von den Zeilenvektoren a 1 , a 2 , . . . ,a n aufgespannten Parallelotops, alsoDetA = Det(a 1 ,a 2 , . . . ,a n ) = Vol(a 1 ,a 2 , . . . ,a n );insbesondere gelten die oben für Vol aufgestellten Rechenregeln auch für die DeterminanteDet.Man kann zeigen, daß Det A auch gleich dem Volumen des von den Spaltenvektorena 1 , a 2 , . . . , a n aufgespannten Parallelotops ist.Bezeichnung: Statt DetA schreibt man auch |A| bzw. in Elementenform auch∣ a 11 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣ DetA = |A| =. . . .∣ a n1 a n2 · · · a nnMit A ij sei die Matrix bezeichet, die aus A durch Streichen der Zeile i und derSpalte j entsteht, z.B.:A =A 11 =A 12 =A 21 =A 33 =⎛ ⎞1 2 3⎝ 4 5 6 ⎠7 8 9( ) 5 68 9( ) 4 67 9( ) 2 38 9( ) 1 24 5

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 227Der Laplacesche Entwicklungssatz: Die Determinante einer Matrix kann folgendermaßenberechnet werden:1. Ist n = 1 so gilt A = ( a 11)und |A| = a11 .2. Ist n > 1, so läßt sich das Berechnen der Determinante einer (n, n)-MatrixA auf das Berechnen der Determinanten der (n−1, n−1)-Matrizen A ik überfolgende Formeln zurückführen:(a) Entwicklung nach der i-ten Zeile:n∑|A| = (−1) i+j a ij × |A ij |. (6.43)j=1Dabei ist i eine fest gewählte (konstante) Zeile.(b) Entwicklung nach der j-ten Spalte:n∑|A| = (−1) i+j a ij × |A ij |. (6.44)i=1Dabei ist j eine fest gewählte (konstante) Spalte.Zum Beweis dieses Satzes zeigt man, daß die durch Gleichung 6.43 bzw. durchGleichung 6.44 definierten Matrixfunktionen alle Eigenschaften haben, die auchdie oben diskutierte Volumenfunktion Vol hat, und zeigt darüberhinaus, daß manfür eine Dreiecksmatrix als Wert das Produkt der Diagonalelemente erhält.( )a11 aBeispiel: Für eine (2, 2)-Matrix A = 12erhält man |A| = aa 21 a 11 a 22 −22a 12 a 21 .Für obige Matrix soll die Determinante durch Entwickeln nach der ersten Zeilebestimmt werden:1 2 3|A| =4 5 6∣ 7 8 9 ∣= 1 ×∣ 5 6∣ ∣ ∣∣∣ 8 9 ∣ − 2 × 4 6∣∣∣ 7 9 ∣ + 3 × 4 57 8 ∣= 1 × (5 × 9 − 6 × 8) − 2 × (4 × 9 − 6 × 7) + 3 × (4 × 8 − 5 × 7)

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2286.2.8 Die Cramersche RegelEinen ganz anderen Weg zur Lösung linearer Gleichungssysteme wird über dieCramersche Regel beschritten:Wir gehen aus von der vektoriellen Schreibweise (6.29) des linearen GleichungssystemsAx = y, mit den Spaltenvektoren a 1 , a 2 , . . .a n der Matrix A wobei wirnur y auf der linken Seite der Gleichung stehen haben:y = x 1 a 1 + x 2 a 2 + · · · + x n a n =n∑x i a i . (6.45)i=1Nun bilden wir Det(y,a 2 , . . . ,a n ), d.h. die Determinante der Matrix, bei der dieerste Spalte von A durch y ersetzt ist, und setzen dann für y die Darstellung(6.45) ein:n∑Det(y,a 2 ,a 3 , . . . ,a n ) = Det( x i a i ,a 2 , . . . ,a n ) =i=1n∑x i Det(a i ,a 2 , . . . ,a n ).i=1(6.46)Hier wurde die Linearität der Determinante in jedem Argument (“jeder Spalte”)ausgenutzt. Von dieser Summe bleibt nur der Summand mit i = 1 übrig — alleanderen sind gleich Null, weil die Determinanten zwei gleiche Vektoren enthalten,also etwa Det(a 2 ,a 2 , . . . ,a n ). Das heißt von (6.46) bleibtDet(y,a 2 ,a 3 , . . . ,a n ) = x 1 Det(a 1 ,a 2 , . . . ,a n ) = x 1 |A|übrig. Das kann man für |A| ≠ 0 nach x 1 auflösen und erhält so

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 229x 1 = 1|A| Det(y,a 2,a 3 , . . . ,a n )x 2 = 1|A| Det(a 1,y,a 3 , . . . ,a n )x 3 = 1|A| Det(a 1,a 2 ,y, . . .,a n ).x n = 1|A| Det(a 1,a 2 , . . . ,a n−1 ,y),Hier wurde auch gleich das Resultat für die übrigen Variablen mit angegeben. Dasist die Cramersche Regel.Beispiel:Obiges Gleichungssystem⎛ ⎞⎛⎞ ⎛0 1 1 x 1⎝ 2 1 2 ⎠⎝x 2⎠ = ⎝3 2 −1 x 23712⎞⎠,soll mit der Cramerschen Regel gelöst werden:3 1 17 1 2∣ 12 2 −1 ∣ 3 ∗ (−1 − 4) − (−7 − 24) + (14 − 12)x 1 =0 1 1= = 18/9 = 2(−1) ∗ (−2 − 6) + 1 ∗ (4 − 3)2 1 2∣ 3 2 −1 ∣

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 230x 2 =0 3 12 7 2∣ 3 12 −1 ∣0 1 12 1 2∣ 3 2 −1 ∣=(−3) ∗ (−2 − 6) + 1 ∗ (24 − 21)9= 27/9 = 3x 3 =∣∣0 1 32 1 73 2 120 1 12 1 23 2 −1∣∣=(−1) ∗ (24 − 21) + 3 ∗ (4 − 3)9= 0/9 = 0Die Cramersche Regel sollte nur bei kleinen linearen Gleichungssystemen (n ≤ 3angewendet werden, weil der Rechenaufwand bei größeren Werten von n sehr großwird.Die Cramersche Regel ist für |A| = 0 nicht anwendbar. Ganz allgemein liegt bei|A| = 0 ein Sonderfall vor: Enweder ist die lineare Gleichung Ax = y dann nichtlösbar, oder sie hat unendlich viele Lösungen. Die dann vorliegenden Verhältnissekönnen aber mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren geklärt werden.AufgabenAufgabe 3: Es seien⎛ ⎞1A = ⎝ 2 ⎠, B = ( 0 1 1 )0⎛ ⎞( ) 5 63 2 1C =, D = ⎝ 7 8 ⎠.1 2 −19 10

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 231Berechnen Sie, falls es möglich ist,(a) A + B(b) B T + A(c) B + C T(d) C + D(e) D T + CAufgabe 4: Gegeben sei die Matrix( ) ( ) ( )1 0 1 1 0 0A = λ + µ + ν0 1 0 1 1 0( 0 −1(a) Finden Sie die Werte von λ, µ, ν so, daß A =0 3(b) Zeigen Sie, daß keine Lösung möglich ist, wenn A =).( 1 −11 0).Aufgabe 5: Gegeben seienA =b =( 1 1 02 0 1( −12⎛), B = ⎝), c =⎛⎝11−1⎞2 00 11 3⎞⎠⎛⎠ und C = ⎝1 −2−1 2−2 4⎞⎠Berechnen Sie(a) AB(b) BA(c) Bb(d) A T b(e) c T (A T b)

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 232(f) ACAufgabe 6: Sei T(θ) die in Gleichung 6.6 definierte Transformationsmatrix fürzweidimensionale Drehungen. Dann wird durch( )cosθ −sin θD(θ) = T(−θ) =sinθ cosθeine Drehung um den Winkel θ im Gegenuhrzeigersinn um den ( Koordinatenursprungbeschrieben: Der Punkt P mit den Koordinaten x = wird in den) x( )yxPunkt P ′ mit den Koordinaten x ′ ′=y ′ überführt, wobei gilt:x ′ = D(θ)x.(a) Berechnen Sie exakt v das Resultat der Drehung um θ = 45 o des QuadratesP 1 (1, −1), P 2 (3, −1), P 3 (3, 1), P 4 (1, 1); skizzieren Sie das Quadrat und dasgedrehte Quadrat.(b) Für diese Drehungen giltD(α + β) = D(α)D(β)1. Erklären Sie in Worten, was diese Formel bedeutet.2. Führen Sie die in der Formel angegebene Matrixmultiplikation aus undleiten Sie daraus die Additionstheoreme für cos und sin her.Aufgabe 7: Lösen Sie das Gleichungssystemx 1 + x 2 = 32x 1 + x 2 + x 3 = 7−x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 12mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren und mit der Cramerschen Regel. ErmittelnSie als Nebenergebniss die Determinante der Koeffizientenmatrix.v analytisch, also insbesondere ohne Rechner

KAPITEL 6. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 233Aufgabe 8: Lösen Sie das Gleichungssystemx + y + z = 6x + 2y + 3z = 14x + 4y + 9z = 36mit dem Gauß-Jordan-Verfahren . Ermitteln Sie als Nebenergebniss die Determinanteder Koeffizientenmatrix.Aufgabe 9: Lösen Sie die Gleichungssystemeundx + 2y + 3z + t = 52x + y + z + t = 3x + 2y + z = 4y + z + 2t = 0x + 2y + 3z + t = 12x + y + z + t = 1x + 2y + z = 1y + z + 2t = 1,indem Sie die Inverse der Koeffizientenmatrix berechnen und auf die rechte Seiteanwenden.Aufgabe 10: Lösen Sie, wenn möglich, die Gleichungssystemex + y + z = 6x + 2y + 3z = 142x + 3y + 4z = 10x + y + z = 6x + 2y + 3z = 142x + 3y + 4z = 20mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Ermitteln Sie als Nebenergebniss dieDeterminante der Koeffizientenmatrix.Versuchen Sie die Inverse der Koeffizientenmatrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren zu berechnen.

Kapitel 7Weitere Aufgaben — zum Teilmit LösungenAufgabe 1: Aus einem Kreis wird ein Sektor mit dem Zentriwinkel α herausgeschnitten.Der Sektor wird zu einem kegelförmigen Trichter zusammengerollt.Bei welcher Größe des Winkels α wird das Volumen des Kegels am größten?√2Lösung: Für α = 2π . 3Aufgabe 2: Einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypothenuse 8cm und einemWinkel von 60 o wird ein Rechteck einbeschrieben, dessen eine Seite in die Hypothenusefällt. Welche Abmessungen erhält das Rechteck, wenn sein Flächeninhaltmöglichst groß sein soll?Lösung: 4cm und √ 3cm.Aufgabe 3: Einem Halbkreis mit Radius r wird ein Rechteck maximalen Flächeninhaltseinbeschrieben. Bestimmen Sie die Abmessungen dieses Rechtefckssowie seinen Inhalt.Lösung: A Max = r 2 bei einer Höhe von x = r √2.Aufgabe 4: Mit welcher Genauigkeit (|∆x|) muß man man die Abszisse derKurve y = x 2√ x im Bereich x ≤ 4 messen, damit der Fehler (|∆y|) bei derBerechnung ihrer Ordinate den Wert 0.1 nicht überschreitet.234

KAPITEL 7. WEITERE AUFGABEN — ZUM TEIL MIT LÖSUNGEN 235Hinweis: Nähern Sie ∆y durch das Differential dy an!Lösung: |∆x| ≤ 1200 .Aufgabe 5: Die Kantenlänge eines Würfels istx = 5m ± 0.01m.Bestimmen Sie den absoluten und den relativen Fehler bei der Berechnung desWürfelvolumens.Hinweis: Die absolute Fehler einer Größe V ist ∆V , der relative Fehler ist derWert ∣ ∣∣∆V ∣. Verwenden Sie zur Berechnung das Differential.VLösung: ∆V = 0.75m 3 und ∆V/V = 0.6%.Aufgabe 6: Mit welcher relativen Genauigkeit muß man den Radius einer Kugelmessen, damit der relative Fehler bei der Berechnung des Kugelvolumens 1% nichtübersteigt?Lösung: ∣ ∣∆R∣ ≤ 1%.R 3

Joachim Schneider

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