Joachim Schneider

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 19also f(A) ⊂ B aber f(A) ≠ B. In dem speziellen Fall, daß f(A) = B heißt dieAbbildung f surjektiv.Abbildung 1.5: Nicht surjektive AbbildungEine Abbildung die sowohl injektiv als auch surjektiv ist wird bijektiv genannt.Dann gibt es zu jedem y ∈ B ein und nur ein (“genau ein”) x ∈ A, so daßy = f(x) gilt. Dieses eindeutig bestimmte x bezeichnet man als x = f −1 (y). Dieso definierte Abbildung f −1 : B → A heißt Umkehrabbildung von f.Beispiel: Zur Erläuterung der Bedeutung dieser Begriffe sehen wir uns als Beispieldie Funktion y = x 2 an:• Betrachten wir sie als Abbildung f,f : (−∞, ∞) → [0, ∞),(−∞, ∞) ∋ x ↦→ x 2 ∈ [0, ∞),so ist f surjektiv aber nicht injektiv, weil ja f(−x) = f(x) ist.• Durch Einschränkung des Definitionsbereiches auf (−∞, 0] ergibt die Abbildungg,g : (−∞, 0] → [0, ∞),(−∞, 0] ∋ x ↦→ x 2 ∈ [0, ∞),die surjektiv und injektiv ist. Die Abbildung kann umgekehrt werden durchy = − √ x, also genauer durch die Abbildungg −1 : [0, ∞) → (−∞, 0], [0, ∞) ∋ x ↦−→ − √ x ∈ (−∞, 0].