Joachim Schneider

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 291.2.1.1 Rechenregeln für die Arithmetik mit natürlichen ZahlenFür natürliche Zahlen a, b, c ∈ N 0 folgen die Rechenregeln:(A1) Kommutativgesetze: a + b = b + a und ab = ba.(A2) Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c.(A3) Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac(A4) Existenz neutraler Elemente: Es ex. 0 (“Null”) und 1 (“Eins”) mit 0 ≠ 1,so daß für jedes a gilt:a + 0 = a und a · 1 = aDie “Größer-Kleiner-Beziehung” gehorcht den folgenden Regeln:(A6) Trichotomiegesetz: Für je zwei Zahlen gilt genau eine der drei Beziehungena < b, a = b, a > b.(A7) Transitivitätsgesetz: ist a < b und b < c, so folgt a < c.(A8) Monotoniegesetze: Ist a < b so giltunda + c < b + c für jedes cac < bc für jedes c > 0.Anmerkung: Allein aus diesen Rechenregeln folgen die “Kürzungsregeln” fürGleichungen:unda + c = b + c ⇒ a = b (1.3)ac = bc, und c ≠ 0 ⇒ a = b. (1.4)Denn wäre a ≠ b, also etwa nach (A6) a < b, so wäre nach (A8) a + c < b + c,was nach (A6) insbesondere a + c ≠ b + c impliziert. Der zweite Teil folgt analog.