Joachim Schneider

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 41Ist u = log a (x) und v = log a (y), so sind a u = x und a v = y und x · y = a u · a v =a (u+v) und daher log a (x · y) = log a (a (u+v) ) = u + v = log a (x) + log a (y). Es folgtalso die Funktionalgleichung des Logarithmuslog a (x · y) = log a (x) + log a (y). (1.18)Wegen a 0 = 1 und a 1 = a folgen die speziellen Funktionswertelog a (1) = 0 und log a (a) = 1 (1.19)so daß mit y = 1 xfür x ≠ 0 aus Gleichung(1.18) die wichtige Beziehunglog a ( 1 x ) = −log a(x) (1.20)folgt. Aus a y = x folgt x r = a ry und deshalb log a (x r ) = r · y = r log a (x) alsolog a (x r ) = r log a (x) (1.21)Logarithmen und Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen: Setztman y = a x und x = log a (y) wechselseitig ineinander ein, so folgt:1. y = a log a (y) .2. x = log a (a x ).Logarithmen zu verschiedenen Basen sind proportional: Aus y = log b (x)erhalten wir b y = x und von dieser Gleichung bilden wir den Logarithmus zurBasis a und wenden dann Gleichung (1.21) an:log a (x) = log b (x) · log a (b). (1.22)Der Zusammenhang zwischen den Potenzfunktionen zu verschiedenenenBasen: Ist u = a x und v = b x so ist ja log a (u) = x = log b (v), alsov = b log b(v) = b log a(u) und die eben gewonnene Umrechnungsformel für Logarithmenzu verschiedenen Basen liefert v = b log b (u)·log a (b) = (b log b (u) ) log a (b) = u log a (b) .Einsetzen von u und v liefert:b x = a xlog a (b) (1.23)