Rechenregeln für Mengenoperationen

Rechenregeln für MengenoperationenDie Regeln1) M ∪ M = M, M ∩ M = M2) a) M ∪ N = M ⇔ N ⊂ Mb) M ∩ N = M ⇔ M ⊂ N3) M ∪ N = N ∪ M, M ∩ N = N ∩ M (Kommutativgesetze)4) K ∪ (M ∪ N) = (K ∪ M) ∪ N, K ∩ (M ∩ N) = (K ∩ M) ∩ N (Assoziativgesetze)5) a) K ∪ (M ∩ N) = (K ∪ M) ∩ (K ∪ N)b) K ∩ (M ∪ N) = (K ∩ M) ∪ (K ∩ N)(Distributivgesetze). . . und ihre Beweise1) Klar2) a) Behauptung: M ∪ N = M ⇔ N ⊂ MBeweis: ’⇒’: N ⊂ M ∪ N = M.’⇐’: N ⊂ M ⇒ M ∪ N ⊂ M ∪ M = M.Also M ∪ N ⊂ M ⊂ M ∪ N. Das heißt aber M =M ∪ N.3) Klar.b) (Als Übung)Behauptung: M ∩ N = M ⇔ M ⊂ NBeweis: ’⇒’: M = M ∩ N ⊂ N.’⇐’: M ⊂ N ⇒ M ∩ M ⊂ M ∩ NAlso: M ⊂ M ∩ N ⊂ M.4) Folgt daraus, daß die in den Definitionen auftretenden Junktoren ’oder’und ’und’ assoziativ sind.□□

5) a) Behauptung: K ∪ (M ∩ N) = (K ∪ M) ∩ (K ∪ N)Beweis: ’⊂’: Sei x ∈ K ∪ (M ∩ N). Das heißt also x ∈ K oder(x ∈ M und x ∈ N). Dann gibt es zwei Fälle:b) (Als Übung)(*) x ∈ K: Also auch x ∈ (K ∪ M) ∩ (K ∪ N).(**) x ∈ M ∩ N: Also auch x ∈ (K ∪ M) ∩ (K ∪ N).’⊃’: Sei x ∈ (K ∪ M) ∩ (K ∪ N). Das heißt also (x ∈ Koder x ∈ M) und (x ∈ K oder x ∈ N). Dann gibt eszwei Fälle:(*) x ∈ K: Also auch x ∈ K ∪ (M ∩ N).(**) x ∉ K: Dann muß x in M und in N, also inM ∩ N liegen.Es folgt x ∈ M ∩ N ⊂ K ∪ (M ∩ N).Behauptung: K ∩ (M ∪ N) = (K ∩ M) ∪ (K ∩ N)Beweis: ’⊂:’ Sei x ∈ K∩(M ∪N). Dann folgt x ∈ K und (x ∈ Moder x ∈ N). Man hat zwei (sich nicht ausschließende)mögliche Fälle:(*) x ∈ M, also x ∈ K ∩ M.(**) x ∈ N, also x ∈ K ∩ N.Also: x ∈ (K ∩ M) ∪ (K ∩ N).’⊃:’ Sei x ∈ (K ∩ M) ∪ (K ∩ N). Man hat zwei (sich nichtausschließende) mögliche Fälle:(*) x ∈ K ∩ M, also x ∈ K und x ∈ M ⊂ M ∪ N.(**) x ∈ K ∩ N, also x ∈ K und x ∈ N ⊂ M ∪ N.Für beide Fälle folgt also x ∈ K ∩ (M ∪ N).□□