Aufgaben zur Vorlesung --- sind auch im Skript enthalten

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 6Aufgabe 26: Welche Flächen werden durch die folgenden Funktionen dargestellt?Fertigen Sie eine Skizze an!(a)(b)z = −x − 2y + 2; bestimmen Sie die Schnittkurven mit den Koordinatenebenen.z = x 2 + y 2 ; ermitten Sie die Höhenlinien;√(c) z = 1 − x2 − y2; bestimmen Sie die Schnittkurven mit der x-z-Ebene4 9und mit der y-z-Ebene.Aufgabe 27: Durch Drehung der Kurve z = √ 4 − x 2 um die z-Achse entstehteine Rotationsfläche.(a)(b)(c)(d)Wie lautet ihre Funktionsgleichung z = f(x, y)?Für welche Wertepaare (x, y) ist diese Funktion definiert?Bestimmen Sie die Schnittkurven der Fläche mit den drei Koordinatenebenen.Skizzieren Sie die Fläche.Aufgabe 28: Berechnen Sie das Vektorfeld ⃗A(x, y, z) = (x 2 , y, x 2 + y 2 + z 2 ) anden folgenden Punkten(a) P 1 = (0, 0, 1)(b) P 2 = (1, 1, 1)(c) P 3 = (1, 1, 0)

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 7Aufgabe 29: Geben Sie an, welche Vektorfelder homogen, welche radialsymmetrischsind und welche zu keinem der beiden Typen gehören.(a) a(1, 1, 0)(b)√⃗rx 2 +y 2 +z 2(c) (x, z, y)(d) (x, y, z)(e) x(1, 5, 2)(f)−mg⃗e zAufgabe 30: Bilden Sie die partiellen Ableitungen nach x, y und gegebenenfallsnach z von den Funktionen(a)f(x, y) = sin x + cos y(b) f(x, y) = x 2√ 1 − y 2(c) f(x, y) = e −(x2 +y 2 )(d)f(x, y, z) = xyz + xy + zAufgabe 31: Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂2 fFunktionz = f(x, y) = R 2 − x 2 − y 2∂x 2 ,∂ 2 f∂y∂x , ∂ 2 f∂x∂y , ∂2 f∂y 2derAufgabe 32: Zeigen Sie, daßx + yx 2 + 2y 2 + 6ein Maximum bei (2, 1) und ein Minimum bei (−2, −1) hat.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 8Aufgabe 33: Zeigen Sie, daßf(x, y) = x 3 + y 3 − 2(x 2 + y 2 ) + 3xystationäre Punkte bei (0, 0) und ( 1, 1 ) hat und untersuchen Sie Ihre Eigenschaften.3 3(*)Aufgabe 34: Ermitteln Sie ∂T∂rund∂T∂θ , wennT(x, y) = x 3 − xy + y 3 ,sowiex = r cos θ und y = r sin θ.(*)Aufgabe 35: Bestimmen Sie dH , wenn dtH(t) = sin(3x − y)undx = 2t 2 − 3 und y = 1 2 t2 − 5t + 1Aufgabe 36: Bestimmen Sie ∂f∂sund∂f∂t , wobei(a)f(x, y) = e x cos y, x = s 2 − t 2 und y = 2st,(b) f(x, y) = x 2 + 2y 2 , x = e −s + e −t und y = e −s − e −t .Aufgabe 37: In einem rechtwinkligen Dreieck seien a und b die Seiten, die denrechten Winkel enthalten. a wachse mit der Rate 2cms −1 und b mit der Rate3cms −1 .Berechnen Sie die Wachstumsrate von(a)(b)Der FlächeDer Hypothenusedes Dreiecks zu dem Zeitpunkt, wenn a = 5cm und b = 3cm.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 12Aufgabe 50: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Finden Siejeweils eine Parametrisierung der folgenden Kurven:1. Zunächst ein Geradenstück von A = (−2, 0) ⊤ nach B = (0, 1) ⊤ , anschließendein Dreiviertelkreis von B mit Mittelpunkt M = (0, 2) ⊤ nachC = (−1, 2) ⊤ und zuletzt ein Geradenstück von C nach D = (−2, 2) ⊤ .2. Vom Anfangspunkt A = (−1, 3) ⊤ entlang eines Parabelbogens durch denScheitel B = (0, −1) ⊤ nach C = (1, 3) ⊤ , von dort entlang einer Geradennach D = (1, 5) und zuletzt auf einem Viertelkreis zurück nach A.3. Ein im negativen Sinne durchlaufener Halbkreis von A = (2, 0) ⊤ nachB = (−2, 0), ein Geradenstück von B nach 0 = (0, 0) ⊤ und ein im positivenSinne durchlaufener Halbkreis von 0 zurück nach A.Hinweis: Ein Geradenstücke von p 1 nach p 2 lässt sich immer in der Formx = p 1 + t (p 2 − p 1 ) mit t ∈ [0, 1] parametrisieren. Teile eines positiv durchlaufenenKreises mit Mittelpunkt m und Radius r 0 lassen sich stets als x =(m 1 + r 0 cos t m 2 + r 0 sin t) ⊤ mit einem geeigneten Intervall für t schreiben.Bei allen Kurven hilft es, zunächst einmal eine Skizze anzufertigen.Aufgabe 51: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BestimmenSie zu den folgenden Kurven die Bogenlänge s(t, 0):α(t) =⎛⎜⎝cosh tsinh ttmit jeweils t ∈ R ≥0 .⎞⎟⎠ , β(t) =⎛⎜⎝t cos tt sin tt⎞⎟⎠

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 13Aufgabe 52: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Auf derWendelflächex(u, v) =⎛⎜⎝u cos vu sin vv⎞⎟⎠ist die Kurve γ durch γ = γ 1 + γ 2 mitu ∈ R ≥0 , v ∈ Rγ 1 :γ 2 :u(t) = tv(t) = tu(t) = tv(t) = tt ∈ [0, 2π]t ∈ [0, 2π]gegeben. Bestimmen Sie die Länge dieser Kurve.Hinweis: Betrachten Sie die im R 3 durch ⃗r(t) = x(u(t), v(t)) definierte Kurve.Behandeln Sie die beiden Stücke der Kurve separat und addieren Sie anschließenddie Ergebnisse für die Bogenlänge.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 14Aufgabe 53: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Die Bahn derErde um die Sonne ist in sehr guter Näherung eine Ellipse mit der großen Halbachsea ≈ 149 597 890 km und numerischer Exzentrizität ε ≈ 0.016 710 2. In einemBrennpunkt dieser Ellipse steht die Sonne. Bestimmen Sie damit näherungsweisedie Länge der Erdbahn. (Hinweis: Das auftretende elliptische Integral ist nichtelementar lösbar, entwickeln Sie den Integranden in ε.) Erwarten Sie, dass dieKorrektur zu 2π a positiv oder negativ ist?Hinweis: Eine Ellipse mit den Halbachsen a ≥ b läßt im linken BrennpunktF 1 (−e, 0) mit e = √ a 2 − b 2 und ε := e a sowie p = b2 /a die Darstellung⃗r(ϕ) = (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ)pr(ϕ) =1 − ε cos ϕwobeizu. Für die Berechnung der Bahnlänge ist möglicherweise die Mittelpunktsdarstellungder Ellipse (Das Koordinatensystem liegt dabei nicht im Brennpunkt,sondern im Mittelpunkt der Ellipse)⃗r(ϕ) = (a cos ϕ, b sin ϕ) Also x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1günstiger. Die Korrektur ist negativ.Aufgabe 54: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Im Straßenbauund bei der Anlage von Eisenbahntraßen spielt die Klothoide⃗r(t) =(∫ t0cos(τ 2 ) dτ,∫ t0sin(τ 2 ) dτ) ⊤, t ∈ R ≥0 ,die auch als Spinnkurve oder Cornu-Spirale bezeichnet wird, eine wichtige Rolle.Die Fresnel’schen Integrale, die in ihrer Parameterdarstellung auftauchen, könnennicht elementar gelöst werden.Bestimmen Sie Bogenlänge s(0, t) und skizzieren Sie die Kurve.Hinweis: Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung klärt, was beimAbleiten nach der variablen Grenze passiert.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 15(*)Aufgabe 55: Ein rechteckiger offener Tank mit Breite x, Länge y und Höhe zhat das Volumen V = xyz = 4m 3 . Man bestimme man die Werte von x, y und z,die die Oberfläche des Tanks, gegeben durchA = xy + 2xz + 2yzminimieren.Es ist also das Extremum der Funktion A(x, y, z) unter der NebenbedingungV (x, y, z) = const gesucht.Aufgabe 56: Von den skalaren Feldern ϕ(x, y) sind der Gradient und die Höhenlinienaus der Gleichung ϕ(x, y) = c zu berechnen.(a) ϕ = −x − 2y + 2√(b) ϕ = 1 − x2 − y24 9(c) ϕ = √10x 2 +y 2Aufgabe 57: (a) Welche Form haben die Niveauflächen der skalaren Felder(b)1. ϕ(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 22. ϕ(x, y, z) = x 2 + y 23. ϕ(x, y, z) = x + y − 3zBerechnen Sie die Gradienten dieser drei skalaren Felder.Aufgabe 58: Ist ⃗a ein konstantes Vektorfeld, (d.h. ein Feld mit konstanter Längeund Richtung, so zeige man, daß gilt grad (⃗a · ⃗r) = ⃗a.Aufgabe 59: Man berechne die Richtungsableitung des Skalarfeldes Ω = x 2 yz+4xz 2 in Richtung des Vektors (2, -1, -1) im Punkt P(1, −2, −1).Hinweis: Man schreibe den Einheitsvektor ˆn auf, der die gleiche Richtung wie dergegebene Vektor hat, und berechne ˆn · grad Ω.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 16Aufgabe 60: Im Koordinatensystem Oxyz sei die Temperatur eines bestimmtenMaterials durch T = T 0 (1 + ax + by)e cz gegeben, wobei a, b, und T 0 (> 0) Konstantensind. Man finde im Ursprung O die Richtung, in der sich die Temperaturam schnellsten ändert.Aufgabe 61: Man berechne die Richtungsparameter der Normalen an die Ellipsex 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = konst. in einem beliebigen Punkt, wenn a, b und ckonstant sind.Aufgabe 62: Es soll eine quaderförmige Schachtel so gebaut werden, daß fürdas vorgegebene Volumen V so wenig wie möglich Papier verbraucht wird. Wiesind die Seitenlängen zu wählen?Aufgabe 63: Bestimmen Sie das Extremum der Funktion f(x, y) = 2x 2 + 3y 2unter der Nebenbedingung 2x + y = 1(a)(b)Durch Eliminieren der NebenbedingungMit der Lagange-Multiplikatormethode

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 17Aufgabe 64: Die Gleichung 5x 2 + 6xy + 5y 2 − 8 = 0 stellt eine Ellipse dar,deren Zentrum im Ursprung liegt. Ermitteln Sie die Länge ihrer Halbachsen durchBestimmen der Extrema von x 2 + y 2 .Anmerkung: Die Gleichung hat die Form(x, y)(5 33 5) (xy)= 8,wobei für die Eigenwerte λ 1 und λ 2 der Matrixgilt:A :=(5 33 5)λ 1 · λ 2 = Det A = 25 − 9 = 16 > 0,λ 1 + λ 2 = Trace A = 5 + 5 = 10 > 0.Deshalb stellt die Gleichung eine Ellipse dar und in einem gedrehten Koordinatensystem— dem sogenannten Hauptachsensystem — gilt die Darstellungalso(x, y)√(x 2(λ1 00 λ 2) (xy)= 8,8/λ 1 ) + y 2= 1. (1)2 (√8/λ 2 )2Aufgabe 65: Bestimmen Sie den stationären Wert von 2x + y + 2z + x 2 − 3z 2unter den zwei Nebenbedingungen x + y + z = 1 und 2x − y + z = 2.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 18Aufgabe 66: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Die Funktionf : Q → R mit Q = {x ∈ R n : x i > 0, i = 1, . . . , n} ist definiert durchf(x) = n√ x 1 · x 2 · . . . · x n .• Bestimmen Sie die Extremalstellen von f unter der Nebenbedingungg(x) = x 1 + x 2 + . . . + x n − 1 = 0 .• Folgern Sie aus dem ersten Teil für y ∈ Q die Ungleichung zwischen demarithmetischen und dem geometrischen Mitteln√y1 · y 2 · . . . · y n ≤ 1 n (y 1 + y 2 + . . . + y n ).Hinweis: Mit der Lagrange’schen Multiplikatorenregel lässt sich die Extremalstellebestimmen. Betrachte Sie im zweiten Teil x i = y i / ∑ nj=1 y j .Aufgabe 67: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Gesuchtsind der maximale und der minimale Wert der Koordinate x 1 von Punkten x ∈D = A ∪ B, wobei A die EbeneA = {x ∈ R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 1}und B den EllipsoidB =beschreiben.{x ∈ R 3 : 1 }4 (x 1 − 1) 2 + x 2 2 + x 2 3 = 1Hinweis: Mit der Zielfunktion f(x) = x 1 und den zwei Nebenbedingungen, dieD beschreiben, lässt sich die Lagrange’sche Multiplikatorenregel anwenden.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 19Aufgabe 68: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Finden Siedie Seitenlängen des achsenparallelen Quaders Q mit maximalem Volumen unterder Bedingung, dass Q ⊆ K in dem KegelK ={mit a, b > 0 liegt.x ∈ R 3 : x2 1a 2 + x2 2b 2 ≤ (1 − x 3) 2 , 0 ≤ x 3 ≤ 1Hinweis: Als Zielfunktion bietet sich das Volumen des Quaders mit Eckpunktx ∈ R 3 im ersten Oktanden an. Diese Funktion ist unter der Nebenbedingungx ∈ K mit der Lagrange’schen Multiplikatorenregel zu maximieren.Aufgabe 69: In dem homogenen Kraftfeld ⃗ F = (2, 6, 1)N wird ein Körper längsder Kurve ⃗r(t) = (⃗r 0 + t⃗e x ) von dem Punkt ⃗r(0) = ⃗r 0 zum Punkt ⃗r(2m) gebracht.Wie groß ist die aufzuwendende Arbeit?Aufgabe 70: Das radialsymmetrische Kraftfeld sei ⃗F = (x, y, z)N/m. Ein Körperwerde in diesem Kraftfeld längs der x-Achse vom Koordinatenursprung zumPunkt P = (5m, 0, 0) gebracht. Berechnen Sie die geleistete Arbeit.Aufgabe 71: Gegeben sei das Vektorfeld ⃗A(x, y, z) = √x (x,y,z) . Berechnen Sie2 +y 2 +z2 das Linienintegral längs des Kreises in der x − y-Ebene mit dem Koordinatenursprungals Mittelpunkt.(*)Aufgabe 72: Berechnen Sie für das Vektorfeld ⃗A(x, y, z) = (0, −z, y) dasLinienintegral längs der Kurve⃗r(t) = ( √ 2 cos(t), cos(2t), 2tπ )von t = 0 bis t = π 2 .}

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 20Aufgabe 73: Man berechne das Kurvenintegral von ⃗ F = (z, x, y) über den Kreisx 2 + y 2 = a 2 , z = 0, der für einen Beobachter, der in negative z-Richtung sieht,entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird.Hinweis: Als erstes muß eine Parameterdarstellung der Kurve ermittelt werden:sin(.) und cos(.) verwenden!Aufgabe 74: Entlang der Kurve C, ⃗r(t) = (t, t 2 / √ 2, t 3 /3) vom Ursprung O zumPunkt A(1, 1/ √ 2, 1/3) berechnen Sie für ⃗F = (x, 2y, 3z) das Kurvenintegral∫ AO,C⃗F · d⃗r .Aufgabe 75: Sei ⃗F = (y⃗e x − x⃗e y )/(x 2 + y 2 ) und C der Kreis x 2 + y 2 = a 2 in derx − y-Ebene, der entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Man berechne∮C⃗F · d⃗r .

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 21(*)Aufgabe 76: Seien drei WegeC 1 : Gerade von (0, 0, 0) nach (1, 1, 1),C 2 : Polygonzug (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1),C 3 : Parabelbogen (y = y(x) und z = z(y) sind Parabeln) von (0, 0, 0) nach(1, 1, 1)gegeben.(a)(b)Bestimmen Sie zugehörige Parameterdarstellungen t ↦−→ ⃗r(t).Berechnen Sie für das Vektorfeld⃗A = (3x 2 + 2y, −9yz, 8xz 2 )die Integraleφ i :=∫C i⃗A · d⃗r(c)Berechnen Sie für das Vektorfeld⃗B = 2⃗r = 2(x, y, z)die Integraleφ i :=∫C i⃗ B · d⃗rAufgabe 77: Untersuchen sie ob folgende Felder Konservativ sind.(a) ⃗ A(x, y, z) =(x,y,z)√x 2 +y 2 +z 2 .(b)(c)(d)⃗ A(x, y, z) = (0, −z, y).⃗ A = (z, x, y).⃗A = (x, 2y, 3z).(e) ⃗A = (y⃗e x − x⃗e y )/(x 2 + y 2 )

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 22(*)Aufgabe 78: Sei das Vektorfeld ⃗ A = (2xy +z 3 , x 2 , 3xz 2 ) vorgelegt. FolgendeFragen sollen beantwortet werden.(a)(b)(c)Welche Werte hat das Kurvenintegral von (0, 0, 0) nach (1, 1, 1) auf dendrei Wegen C i aus der Vorlesung?Hängen die Kurvenintegrale von der Form des weges ab?Sind Ringintegrale über diese Feld Null?(d)Ist ⃗A ein Gradientenfeld(e) Wie leutet gegebenenfalls ein Potential φ?Aufgabe 79: Ist folgendes Vektorfeld ⃗ A ein Gradientenfeld?⃗A = (y 2 z 3 cos x − 4x 3 z, 2z 3 y sin x, 3y 2 z 2 sin x − x 4 )Wenn ja, wie lautet dann ein Potential?Aufgabe 80: Sind die Kurvenintegrale im Vektorfeld ⃗A = (xy, yz, zx) von derForm des Weges abhängig? Prüfen Sie dieses sowohl durch Berechnung mit denspeziellen Wegen C und C ′ (s.u.) als auch mittels des allgemeinen Kriteriums.Zeichnen Sie die Wege auch.C: Gerade (0, 0, 0) → (1, 1, 1),C ′ : Polygonzug (0, 0, 0) → (0, 0, 1) → (0, 1, 1) → (1, 1, 1).Aufgabe 81: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Gegeben sindein Vektorfeld V sowie zwei Kurven C 1 und C 2 mit gleichem Anfangs- und Endpunkt.Kann man aus∫C 1V (x) dx =∫C 2V (x) dxfolgern, dass V ein Potenzial besitzt?Hinweis: Zu den Kriterien für die Existenz eines Potenzials, siehe Vorlesung.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 23Aufgabe 82: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Wir betrachtendie Ausdrückev(x) =w(x) =1x 2 1 + x 2 21⎛⎜⎝−x 2x 10x 2 1 + x 2 2 + x 2 3⎞⎟⎠ ,⎛⎜⎝−x 2x 10⎞⎟⎠ .Für welche x ∈ R 3 sind dieser Ausdrücke definiert? Sind die DefinitionsmengenD(v) und D(w) einfach zusammenhängend? Besitzen die Vektorfelder v: D(v) →R 3 , x ↦→ v(x) bzw, w: D(w) → R 3 , x ↦→ w(x) ein Potenzial?Hinweis: An welchen Stellen käme es zu einer Division durch null? Für die Existenzeines Potenzials muss die Rotation verschwinden und das DefinitionsgebietD einfach zusammenhängend sein.Aufgabe 83: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Für das Vektorfeldv, R 3 → R 3 , v(x) = (x 2 x 3 3, x 1 x 3 3, 3x 1 x 2 x 2 3) ⊤ berechne man gegebenenfallsein Potenzial φ und das KurvenintegralI =∫Cv · ds ,wobei C den Anfangspunkt (0, 0, 0) geradlinig mit dem Endpunkt (1, 2, 3) verbindet.Hinweis: Das Ergebnis für rot v kann das Berechnen des Kurvenintegrals vereinfachen.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 24Aufgabe 84: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Man untersuche,ob die folgenden Kurvenintegrale vom Weg unabhängig sind, und berechnedas Integral für den Fall, dass die Kurve C die geradlinige Verbindungsstreckevon a nach b ist.∂v i∂x j• I 1 =∫C{2x 1 dx 1 +x 3 dx 2 +(x 2 + x 4 ) dx 3 +x 3 dx 4 }, mit a = (0, 0, 0, 0) ⊤ ,b = (1, 1, 0, 1) ⊤∫ {• I 2 = πxe πw dw + e πw dx +z 2 dy +2yz dz }Cmit a = (1, 1, 1, 1) ⊤ und b = (1, −1, 2, 0) ⊤Hinweis: Untersuchen Sie Definitionsgebiet und Integrabilitätsbedingungen= ∂v j∂x i.Aufgabe 85: Man berechneI =∫ 1 ∫ 1/20x/2xy dy dx .Aufgabe 86: Man berechneI =∫ 1 ∫ 20 0(x 2 + y 2 ) dy dx .Aufgabe 87: Man zeige∫ π/2 ∫ π/60 0sin x cos y dx dy = 1 − 1 2√3.Aufgabe 88: Man zeige∫ 1 ∫ 1−x0 0(x + y) 2 dy dx = 1 4 .

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 25Aufgabe 89: Man zeige∫ π ∫ sin y0 0dx dy = 2.Aufgabe 90: Man berechne(a)(b)∫ 1 ∫ 20 0∫ 2 ∫ 10 0(x + 2y) 2 dx dy .(x + 2y) 2 dy dx .Aufgabe 91: Berechnen Sie das Volumen eines aus einer Halbkugel vom RadiusR ausgeschnittenen “Tortenstückes” mit Öffnungswinkel 30 o als ein gegeignetesBereichsintegral über ein Segment eines Kreises vom Radius R.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 26(*)Aufgabe 92: Sei R der Quadrant x ≥ 0, y ≥ 0 der xy-Ebene. Man berechneI =∫∫Re −(x2 +y 2) dx dy,und als Nebenresultat zeige man, daß∫ ∞e −x2 dx =2√ 1 π.0Dabei gehe man in folgenden Schritten vor:(a)(b)(c)(d)Führen Sie Polarkoordinaten ein:x = r cos θy= r sin θBerechnen Sie das Volumenelement in Polarkoordinaten, indem sie die totalenDifferentiale von dx und dy mit Hilfe des Dachproduktes i ausmultiplizieren:dx dy := dx ∧ dy = . . .Zeigen Sie so daß dx dy = dx ∧ dy = r dr ∧ dθ = r dr dθ.Zeigen Sie, daß I so in das Integral∫∫R ′ e −r2 r dr dθüberführt wird, wobei R ′ der unendlich lange Streifen 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤π/2 der rθ-Ebene ist.Berechnen Sie dieses Integral als Mehrfachintegral.Beweisen Sie das Nebenresultat indem Sie das Ausgangsintegral I als einProdukt zweier Integrale darstellen.i Das Dachprodukt ist ein formales Produkt für Differentiale, daß folgenden Regeln genügt1. da ∧ db = −db ∧ da (Antisymmetrie)2. da ∧ da = 0 (Das folgt aus der vorigen Regel)3. da ∧ (db + dc) = da ∧ db + da ∧ dc (Distributivgestz)4. da ∧ µdb = µda ∧ db (Homogenität)

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 27Aufgabe 93: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BerechnenSie die folgenden Integrale für beide möglichen Integrationsreihenfolgen:(a)(b)∫(B)(x 2 − y 2 ) dB(x, y) mit dem Gebiet B ⊆ R 2 zwischen den Graphen derFunktionen mit y = x 2 und y = x 3 für x ∈ (0, 1).∫(B)sin(y)yB =dB(x, y) mit B ⊆ R 2 definiert durch{(x, y) ⊤ ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ y ≤ π }2Welche Integrationsreihenfolge ist jeweils die günstigere?Hinweis: Schreiben Sie die Integrale für beide möglichen Integrationsreihenfolgenals iteriertes Integral. Lassen sich auf beiden Wegen die Integrale berechnen?Aufgabe 94: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Das DreieckD ist durch seine Eckpunkten (0, 0) ⊤ , (π/2, π/2) ⊤ und (π, 0) ⊤ definiert. BerechnenSie das Bereichssintegral∫(D)√ sin x1 sin x 2 cos x 2 dD(x 1 , x 2 )..Hinweis: Schreiben Sie das Integral als iteriertes Integral, bei dem im innerenIntegral die Integration über x 2 durchgeführt wird.Aufgabe 95: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Gegeben istD = {x ∈ R 2 : x 2 1 + x 2 2 < 1}. Berechnen Sie∫(D)(x 2 1 + x 1 x 2 + x 2 2) e −(x2 1 +x2 2 ) dD(x 1 , x 2 )durch Transformation auf Polarkoordinaten.Hinweis: Substituieren Sie u = r 2 für das Integral über r.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 28Aufgabe 96: Durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge berechne man∫ 1 ∫ y1/20y 2 (y/x)e x dx dy .Aufgabe 97: Ein Bereich B sei durch ein Dreieck mit den Ecken im Ursprungund in den Punkten (1, 1) und (−1, 1) begrenzt. Man berechne∫∫(B)e y2 dB .Aufgabe 98: Man berechne mit Hilfe der Transformation x = ar cos ϑ, y =br sin ϑ∫∫x 2 dB,(B)wobei B durch die Ellipse x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 begrenzt ist.Hinweis: Die Transformationsformel für das Flächenelement ergibt sich wiederüber dB = dx ∧ dy und Einsetzen der totalen Differentiale wie in Aufgabe 0.92.Aufgabe 99: Ein Tetraeder habe die Ecken O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) undC(0, 0, 1). Man berechneI =∫∫∫(V )z dVAufgabe 100: Man ermittle das Volumen des Kreiskegels mit dem Radius rund der Höhe h durch Berechnung eines geeigneten Volumenintegrals.Aufgabe 101: Eine Pyramide habe die Ecken A(−a, a, 0), B(a, −a, 0),C(a, a, 0), D(−a, a, 0) und E(0, 0, h). Man berechne das Volumen der Pyramide(Volumenintegral).

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 29Aufgabe 102: Man berechne die Divergenz der folgenden Vektorfelder:(a) ⃗F = (x 2 , 3y, x 3 ),(b)⃗F = ⃗r, wenn ⃗r der Ortsvektor ist.Aufgabe 103: Es sei ⃗a ein konstantes Vektorfeld und ⃗r der Ortsvektor. Manzeige rot (⃗a × ⃗r) = 2⃗a.Aufgabe 104: Der Punkt A(a, b, c) sei fest und P(x, y, z) sei variablel. Manzeige, daß div −→ AP = 3 und rot −→ AP = 0 gilt.Aufgabe 105: Man schreibe mit Hilfe des Nabla-Operators:(a) grad ( div −→ F ),(b)div ( grad Ω),(c) div ( rot −→ F ),(d)rot ( grad Ω),(e) rot rot −→ F .

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 30Aufgabe 106: Plattenkondensator: Zwei parallele (unendlich ausgedehnte)Metallplatten im Abstand d werden auf den Potentialen U 1 und U 2 gehalten.Man berechne das Potential φ und das elektrische Feld E ⃗ zwischen den Platten;gehen Sie dabei schrittweise wie folgt vor:(a)(b)(c)Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem; Wie werden in diesem Koordinatensystemdie beiden Kondensatorplatten beschrieben?Überlegen Sie, wie die Äquipotentialflächen — also die Flächen φ = constliegen werden. In welcher Weise wird also φ von x, y und z abhängen?Ist also z.B. φ(x, y, z) = f(x) oder φ(x, y, z) = f(x 2 + y 2 ) oder φ(x, y, z) =f(x 2 + y 2 + z 2 )?Setzen Sie das Resultat Ihrer Überlegungen in die Laplace-Gleichung ein,also in0 = ∆φ = ∆f(d)(e)und lösen Sie die entstehende Differentialgleichung für f.Ermitteln Sie φ. Dazu müssen Sie auch die Randbedingungen nämlich, daßφ die Werte U 1 und U 2 auf den Kondensatorplatten annimmt, auswerten.Berechnen Sie schließlich das elektrische Feld ⃗ E als den negativen Gradientendes Potentials φ.

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 31Aufgabe 107: Koaxialleitung: In einer Koaxialleitung sei der Durchmesserdes Kerns r und der Innendurchmesser der Hülle R. Der Kern habe des Potentialu, die Hülle das Potential U.Man berechne das Potential φ und das elektrische Feld ⃗E innerhalb der Koaxialleitung;gehen Sie dabei schrittweise wie folgt vor:(a)(b)(c)Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem; Wie werden in diesem Koordinatensystemdie beiden Leitungskomponenten beschrieben?Überlegen Sie, wie die Äquipotentialflächen — also die Flächen φ = constliegen werden. In welcher Weise wird also φ von x, y und z abhängen?Ist also z.B. φ(x, y, z) = f(x) oder φ(x, y, z) = f(x 2 + y 2 ) oder φ(x, y, z) =f(x 2 + y 2 + z 2 )?Setzen Sie das Resultat Ihrer Überlegungen in die Laplace-Gleichung ein,also in0 = ∆φ = ∆f(d)(e)(f)und lösen Sie die entstehende Differentialgleichung für f.Ermitteln Sie φ. Dazu müssen Sie auch die Randbedingungen nämlich, daßφ die Werte u und U auf dem Kern bzw. dem Mantel der Leitung annimmt,auswerten.Berechnen Sie schließlich das elektrische Feld ⃗E als den negativen Gradientendes Potentials φ.Berechnen Sie die Feldstärke auf dem Rand des Kerns der Koaxiallleitung.Mit welchem Effekt muß man rechnen, wenn der Innendurchmesser derLeitung zu klein gewählt wird ii ?Aufgabe 108: Wiederholen Sie die Überlegungen der beiden vorangegangenenAufgaben für den Fall zweier konzentrischer Kugeln mit Radien r und R (r < R),die die Potentiale u und U haben.ii Für diese Überlegung muß man den Grenzwert lim x→0 x ln x bestimmen; wie geht das?

Mathematik 3, Übungen, Joachim Schneider 3. März 2010 32(*)Aufgabe 109: Im folgenden Bild ist ein zweidimensionales Potentialproblemdargestellt: Auf den Rändern sind die Werte des Potentials U zu U = U 0 =10V bzw. U = −U 0 = −10V vorgegeben. Berechnen Sie das Potential U imInneren des kreuzförmigen Bereiches mit Hilfe der oben dargestellten Methodeder Diskretisierung der Laplace-Gleichung an den Punkten P 1 , P 2 , P 3 , P 4 und P 5 .