Joachim Schneider

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 49Nehmen wir an, l wäre eine rationale Zahl, l = a bDann wäre also a 2 /b 2 = 2, alsomit natürlichen Zahlen a und b.a 2 = 2b 2und daher a 2 > b 2 >0; die rechte Seite obiger Gleichung ist gerade, also ist a 2gerade und dann muß auch a gerade sein (weil das Quadrat einer ungeraden Zahlimmer ungerade ist — siehe Aufgabe1.45). Also ist a = 2c für eine positive ganzeZahl c und obige Gleichung wird zuoder4c 2 = 2b 2b 2 = 2c 2und daher b 2 > c 2 > 0. Wir sind nun genau so weit wie ooben, nur daß a durch bund b durch c ersetzt wurde. Wir können beliebig weit fortfahren und erhaltenunda 2 = 2b 2 , b 2 = 2c 2 , c 2 = 2d 2 , d 2 = 2e 2 , . . .a 2 > b 2 > c 2 > d 2 > e 2 > . . . > 0.Aber jede absteigende Folge natürlicher Zahlen muß endlich sein, was aber derTatsache widerspriocht, daß sich obige Folge beliebig fortführen läßt.Also kann l keine rationale Zahl sein!□1.2.4 Die reellen ZahlenWir haben gesehen, daß die rationalen Zahlen zur Beschreibung von Längen nichtausreichen!Trotzdem können wir die “fehlenden Zahlen”, zum Beispiel die Zahl √ 2 — vonder wir ja gerade gesehen haben, daß es keine rationale Zahl ist — mit beliebigerGenauigkeit berechnen! Dazu erinnern wir uns an die