Joachim Schneider

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 33-1/4 0 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4+---------|----------+---------+---------+---------+---------+-E/4 E/4Diese Zahlen haben die Form = ± m n mit n ∈ N und m ∈ N 0.Rationale Zahlen, Brüche: Die neu eingeführte Zahl x, x = m nund m ∈ Z, sei die Zahl, die mit n multipliziert m ergibt.mit n ∈ Z\{0}Eine solche Zahl nennen wir einen Bruch oder auch eine rationale Zahl (Verhältniszahl).Ist z ∈ Z und m ein z-faches von n, m = z · n, so stellt der Bruch x = m die Zahlnz dar, denn es ist ja x · n = m und z · n = m, also n = x Die ganzen Zahlen sindalso Teil der Brüche.Wir bezeichnen die Menge der Brüche mit Q.Direkt aus der Definition folgtn : n = n mfür n, m ∈ Z und m ≠ 0.Die Rechenregeln für die Brüche folgen daraus, daß man fordert, daß die Regeln(A1)–(A8) gültig bleiben sollen (a, b, c, d ∈ Z, b ≠ 0, d ≠ 0):Goldene Regel: a = ηa für η ∈ Z \ {0}.b ηbDenn sei x = a und x ′ = ηa , so ist b · x = a und ηb · x′ = ηa, alsob ηbb · x ′ = a also b · x = b · x ′ also x = x ′ ; hier wurde mehrfach die Kürzungsregel(Gleichung1.4) angewendet.Addition Sei x = a und y = c , so ist x · b = a und y · d = c also xbd = ad undb dydb = cb also (x + y)bd = ad + cb; das heißt x + y = ad+bc:bdab + c dad + bc= .bd