Joachim Schneider

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 39Wir haben also die Rechenregelna n · a m = a n+munda na m = an−m . (1.10)Wir wollen nun diese Gleichung für a ≠ 0 auf beliebige ganzzahlige Exponentenerweitern. Dann folgen:a 0 = a n−n = ana n = 1 (1.11)a −n = a 0−n = a0a n = 1 a n (1.12)Direkt aus der Definition (1.9) macht man sich zunächst für natürliches n dieRegelna n · b n = (ab) n , (1.13)(a n ) m = a nm (1.14)klar, die auch für beliebige ganzzahlige Exponenten gelten.Erweiterung auf rationale Exponenten: Für a > 0 und n ∈ N wollen wirzunächst versuchen, dem Ausdruck a 1 n einen Sinn zu geben: Setzen wir x := a 1 n,so folgt x n = (a 1 n) n = a 1 n n = a 1 1 = a, wobei wir die Regel (1.14) verwendet haben.Es sei also a 1 n die positive Zahl, die n-mal mit sich selbst malgenommen die Zahla ergibt — also die n-te Wurzeln √ a aus a:n√ √ a · na · · · n√ a· = a} {{ }n-malEs ist für a > 0, n ∈ N und z ∈ Za 1 n =n √ a und a z n = (n √ a) z (1.15)Zum Beispiel sind8 1 3 = 2, 823 = 4