Joachim Schneider

KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE 31wobei Z := N ∪ {−n|n ∈ N} ∪ {0} den neu eingeführten Zahlenbereich der ganzenZahlen bezeichnet. Für jede Zahl x ∈ Z gibt es damit eine zu ihr negative Zahl−x, nämlich die Zahl, die spiegelbildlich zum Ursprung liegt. Es ist −(−x) = x.Die zu einer Zahl negative Zahl: Die zu einer Zahl a ∈ Z negative Zahl −aist diejenige Zahl, die zu a addiert Null ergibt.−a heißt das Additive Inverse zu a.Die Rechenregeln für die so neu eingeführten Zahlen werden so aufgestellt, daßweiterhin die Gesetze (A1) bis (A8) gelten. Dann müssen zwingend die Vorzeichenregelngelten:“Minus mal Plus gibt Minus”: Es ist doch0 = a · 0= a · (b + (−b))= a · b + a · (−b)und auch0 = a · b + (−(a · b))alsoa · b + a · (−b) = a · b + (−(a · b))Die Kürzungsregel lieferta · (−b) = −(a · b)“Minus mal Minus gibt Plus”: Zunächst ist nach dem letzten Schritt (−a) ·(−b) = −((−a) · b) was nochmals unter Anwendung des letzten Schrittes gleich−(−(a · b)) ist; das ist aber gleich a · b.Wir hatten a − b als die Zahl x definiert, für die gilt b + x = a. In den ganzenZahlen ist diese Gleichung immer durch x = (−b) + a lösbar.Die Definition der “Größer-Relation kann unverändert übernommen werden:a ∈ Z ist größer als b ∈ Z, in Zeichen a > b, genau dann, wenn eineZahl m ∈ N existiert, so daß a = b + m.