Aufgabenblatt 9 - Mohr.lehrer.belwue.de

noch zwei weitere Stücke. So fortfahrend erhält man die Zahl der
Bestimmungsstücke für ein beliebiges n-Eck: B n = 3 + (n – 3) * 2 = 2 * n – 3.
5. Quadrat und regelmäßiges Sechseck sind leicht mit Zirkel und Lineal allein
konstruierbar. Durch Winkelhalbierung erhält man dann regelmäßige Vielecke
mit den doppelten Eckenzahlen.
Die Berechnungen liefern schöne Anwendungen für die Satzgruppe des
Pythagoras.
6. a) Seien p und q die Seiten des Rechtecks. Dann konstruiert man entweder mit
dem Kathetensatz oder mit dem Höhensatz ein dazu inhaltsgleiches
Rechteck.
b) Man konstruiert mit Hilfe des Höhensatzes: Die Hypotenuse ist der halbe
Umfang des Rechtecks aus den Hypotenusenabschnitten.
Ein rechtwinkliges Dreieck mit u/2 als Hypotenuse und der gegebenen
Quadratseite als Höhe auf der Hypotenuse liefert die Lösung.
c) Man geht schrittweise vor:
Im ersten Schritt konstruiert man ein zum Dreieck inhaltsgleiches Rechteck
und zu diesem nach a) ein inhaltsgleiches Quadrat mit der Seite s.
Dann konstruiert man gemäß b) ein zu diesem Quadrat inhaltsgleiches
Rechteck mit vorgeschriebenem Umfang, nämlich genau dem des
gegebenen Dreiecks.
7. Lösungen siehe im Skript.
8. Zunächst ist die Oberfläche klar, denn sie besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken
und 18 Quadraten jeweils mit der Seite a:
a²
A = 8 * * 3 + 18 * a² = a² * (18 + 2 * 3 )
4
Das Volumen erhält man durch geschicktes Zusammenstückeln:
Das horizontal liegende Band von 8 Quadraten bildet eine Säule mit Höhe a und
dem regelmäßigen Achteck mit der Seite A als Grundfläche. Sein Beitrag ist also
V 1 = a * (a² + a² + 4 * a * a/ 2 ) = a³ * 2 * (1 + 2 )
Dann erhält man über dem Mittenquadrat je eine Säule nach oben und unten mit
Grundfläche a² und Höhe a/ 2 . Das liefert den Beitrag
V 2 = 2 * a² * a/ 2 = a³ * 2 .
Die acht Dreieckssäulen mit gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken der
Seitenlänge a/ 2 und jeweils der Höhe h jeweils im seitlichen Mittelteil unten
und oben ergeben den Anteil
V 3 = 8 * ½ * a/ 2 * a/ 2 * a = 2 * a³.
Schließlich tragen die verbliebenen Eckpyramiden, die man zu einer
Doppelpyramide (regelmäßiges Oktaeder) mit Seitenkante a zusammenstellen
kann, noch bei:
2
V 4 = 2 * 1/3 * a² * a/ 2 = a³ *
3 .