Aufgabenblatt 9 - Mohr.lehrer.belwue.de
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Prof. S. Krauter MODUL 2 – R – H. Geometrie SoSe 05. Blatt 9 – Lösungen<br />
1. a) α = 75°. Man betrachte das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge a in <strong>de</strong>r<br />
rechten Hälfte <strong>de</strong>r Figur und das gleichschenklige Dreieck mit Schenkellänge a<br />
in <strong>de</strong>r unteren Hälfte <strong>de</strong>r Figur.<br />
b) α = 36°. Man betrachte hierzu das auf <strong>de</strong>r Spitze stehen<strong>de</strong> gleichschenklige<br />
Dreieck in <strong>de</strong>r Mitte. Es hat Basiswinkel mit <strong>de</strong>m Maß 2α (Warum?).<br />
2. a) 1. BC = a; 2. Umkreismitte U liegt auf <strong>de</strong>r Mittelsenkrechten von a und auf<br />
k(B; r u ). 3. A erhält man durch k und β.<br />
b) D sei <strong>de</strong>r Schnittpunkt von w α mit BC. Teildreieck CAD ist ein<strong>de</strong>utig bestimmt<br />
(SWS). Restliche Konstruktion ist klar.<br />
c) 1. α 2. Man erhält die Inkreismitte J durch die Winkelhalbieren<strong>de</strong> von<br />
α und die Parallele zu AB im Abstand ρ = r i . 3. Tangente an Inkreis, die mit<br />
AB <strong>de</strong>n Winkel β bil<strong>de</strong>t (z. B. mit Hilfe <strong>de</strong>r Winkelhalbieren<strong>de</strong>n BJ).<br />
d) Sei D Höhenfußpunkt von h c auf AB. Dann ist Teildreieck ADC ein<strong>de</strong>utig<br />
bestimmt durch b, h c und <strong>de</strong>n rechten Winkel (SsW). Rest ist klar.<br />
e) 1. Umkreis k(U; r u ). 2. Sehne BC = a in k. 3. Parallele zu BC im<br />
Abstand h a ergibt A.<br />
f) Teildreieck BSM c ist ein<strong>de</strong>utig bestimmt (SSS). Restkonstruktion ist klar.<br />
g) Wegen γ = 90° ist AB Durchmesser <strong>de</strong>s Umkreises k mit Radius 4 cm. Damit<br />
ist die Konstruktion klar.<br />
h) Man konstruiert zunächst ein zur Lösung ähnliches beliebiges Dreieck A’B’C’<br />
mit α = 75° und γ = 60° und <strong>de</strong>ssen Umkreismitte U samt Umkreis k’. Dann<br />
zeichnet man um U <strong>de</strong>n Kreis k=k(U; r u ) und an diesen parallele Sehnen zu<br />
<strong>de</strong>n Seiten <strong>de</strong>s Dreiecks A’B’C’ (maßstäbliches Vergrößern bzw. zentrische<br />
Streckung aus U). Der Schnitt von UA’ mit k liefert z.B. A usw.<br />
3. a) Die Punkte C liegen alle auf <strong>de</strong>mselben Fasskreisbogen(-paar), also haben<br />
alle diese Dreiecke <strong>de</strong>nselben Umkreisradius bzw. -durchmesser.<br />
b) Zunächst sei U die Umkreismitte und M c die Mitte von AB.<br />
Dann ist ∠AUM c = α und im rechtwinkligen Dreieck AUM c gilt: sin α = a/2 : r.<br />
Analog gilt dies für die bei<strong>de</strong>n an<strong>de</strong>ren Seiten und die Behauptung ist<br />
bewiesen.<br />
Die ursprüngliche rein qualitative Aussage „zur größeren Seite gehört <strong>de</strong>r<br />
größere Gegenwinkel“ ist nicht proportional, es gilt also nicht a : b = α : β<br />
(nennen Sie einfache Gegenbeispiele). Statt<strong>de</strong>ssen gilt: Die Seiten verhalten<br />
sich wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel, d.h. a : b = sin α : sin β.<br />
4. Setzt man an ein Dreieck mit <strong>de</strong>r Winkelsumme 180° ein weiteres an, so erhält<br />
man ein Viereck mit <strong>de</strong>r Winkelsumme <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Dreiecke. So fortfahrend<br />
erhält man die Winkelsumme in n-Ecken:<br />
W n = 180° + (n – 3) * 180° = n * 180° – 360° = 180° * (n – 2)<br />
Für ein Dreieck benötigt man 3 Bestimmungsstücke. Setzt man daran ein<br />
weiteres Dreieck mit einer schon vorhan<strong>de</strong>nen Seite an, so benötigt man nur
noch zwei weitere Stücke. So fortfahrend erhält man die Zahl <strong>de</strong>r<br />
Bestimmungsstücke für ein beliebiges n-Eck: B n = 3 + (n – 3) * 2 = 2 * n – 3.<br />
5. Quadrat und regelmäßiges Sechseck sind leicht mit Zirkel und Lineal allein<br />
konstruierbar. Durch Winkelhalbierung erhält man dann regelmäßige Vielecke<br />
mit <strong>de</strong>n doppelten Eckenzahlen.<br />
Die Berechnungen liefern schöne Anwendungen für die Satzgruppe <strong>de</strong>s<br />
Pythagoras.<br />
6. a) Seien p und q die Seiten <strong>de</strong>s Rechtecks. Dann konstruiert man entwe<strong>de</strong>r mit<br />
<strong>de</strong>m Kathetensatz o<strong>de</strong>r mit <strong>de</strong>m Höhensatz ein dazu inhaltsgleiches<br />
Rechteck.<br />
b) Man konstruiert mit Hilfe <strong>de</strong>s Höhensatzes: Die Hypotenuse ist <strong>de</strong>r halbe<br />
Umfang <strong>de</strong>s Rechtecks aus <strong>de</strong>n Hypotenusenabschnitten.<br />
Ein rechtwinkliges Dreieck mit u/2 als Hypotenuse und <strong>de</strong>r gegebenen<br />
Quadratseite als Höhe auf <strong>de</strong>r Hypotenuse liefert die Lösung.<br />
c) Man geht schrittweise vor:<br />
Im ersten Schritt konstruiert man ein zum Dreieck inhaltsgleiches Rechteck<br />
und zu diesem nach a) ein inhaltsgleiches Quadrat mit <strong>de</strong>r Seite s.<br />
Dann konstruiert man gemäß b) ein zu diesem Quadrat inhaltsgleiches<br />
Rechteck mit vorgeschriebenem Umfang, nämlich genau <strong>de</strong>m <strong>de</strong>s<br />
gegebenen Dreiecks.<br />
7. Lösungen siehe im Skript.<br />
8. Zunächst ist die Oberfläche klar, <strong>de</strong>nn sie besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken<br />
und 18 Quadraten jeweils mit <strong>de</strong>r Seite a:<br />
a²<br />
A = 8 * * 3 + 18 * a² = a² * (18 + 2 * 3 )<br />
4<br />
Das Volumen erhält man durch geschicktes Zusammenstückeln:<br />
Das horizontal liegen<strong>de</strong> Band von 8 Quadraten bil<strong>de</strong>t eine Säule mit Höhe a und<br />
<strong>de</strong>m regelmäßigen Achteck mit <strong>de</strong>r Seite A als Grundfläche. Sein Beitrag ist also<br />
V 1 = a * (a² + a² + 4 * a * a/ 2 ) = a³ * 2 * (1 + 2 )<br />
Dann erhält man über <strong>de</strong>m Mittenquadrat je eine Säule nach oben und unten mit<br />
Grundfläche a² und Höhe a/ 2 . Das liefert <strong>de</strong>n Beitrag<br />
V 2 = 2 * a² * a/ 2 = a³ * 2 .<br />
Die acht Dreieckssäulen mit gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken <strong>de</strong>r<br />
Seitenlänge a/ 2 und jeweils <strong>de</strong>r Höhe h jeweils im seitlichen Mittelteil unten<br />
und oben ergeben <strong>de</strong>n Anteil<br />
V 3 = 8 * ½ * a/ 2 * a/ 2 * a = 2 * a³.<br />
Schließlich tragen die verbliebenen Eckpyrami<strong>de</strong>n, die man zu einer<br />
Doppelpyrami<strong>de</strong> (regelmäßiges Oktae<strong>de</strong>r) mit Seitenkante a zusammenstellen<br />
kann, noch bei:<br />
2<br />
V 4 = 2 * 1/3 * a² * a/ 2 = a³ *<br />
3 .
Die Summe V 1 + V 2 + V 3 + V 4 ergibt das Gesamtvolumen:<br />
2<br />
V = a³ * 2 * (1 + 2 ) + a³ * 2 + 2 * a³ + a³ * = a³ * (4 + 10/3 * 2 )<br />
3<br />
An<strong>de</strong>re Zerlegungen sollten zum selben En<strong>de</strong>rgebnis führen.<br />
Das kleine Rhombenkuboktae<strong>de</strong>r ist ein archimedischer Körper. Das Pseudo-<br />
Rhombenkuboktae<strong>de</strong>r entsteht aus <strong>de</strong>m Rhombenkuboktae<strong>de</strong>r, in<strong>de</strong>m man eine<br />
Kappe <strong>de</strong>s Körpers ablöst und nach Drehung um 45° wie<strong>de</strong>r aufsetzt. Es gibt<br />
dann nur noch ein Band aus acht Quadraten, das einmal um <strong>de</strong>n Körper verläuft.<br />
Es ist ein Körper, <strong>de</strong>r einer lokalen Definition <strong>de</strong>r archimedischen Körper<br />
(nämlich <strong>de</strong>r Uniformität <strong>de</strong>r Ecken) genügt, nicht jedoch einer globalen (nämlich<br />
<strong>de</strong>r Tatsache, dass die Drehgruppe <strong>de</strong>s Polye<strong>de</strong>rs transitiv auf seinen Ecken<br />
operiert). Es wur<strong>de</strong> erst im Jahre 1930 von Miller (daher auch <strong>de</strong>r Name<br />
Millerscher Körper) ent<strong>de</strong>ckt; bis dahin war man <strong>de</strong>r Meinung, dass die lokale<br />
und die globale Definition äquivalent seien. Heutzutage bevorzugt man die<br />
globale Definition.<br />
Der bekannteste archimedische Körper ist <strong>de</strong>r klassische Fußball, begrenzt<br />
durch 12 reguläre Fünfecke und 20 reguläre Sechsecke.<br />
Näheres unter http://<strong>de</strong>.wikipedia.org/wiki/Archimedische_K%C3%B6rper