Lösungen zu Blatt 4 - Mohr.lehrer.belwue.de

Lösungen zu Blatt 4:
Aufgabe 1:
a) Man ersetzt z. B. a b = a’ b’ so, dass b’ = c ist.
Dann erhält man a b c = (a’ b’) c = a’ (b’ c) = a’ = d.
b) Weil a b c = d eine Geradenspiegelung ist, ist sie selbstinvers.
Wie man leicht nachrechnet, ist jedoch c b a genau die zu a b c inverse Abbildung,
denn (a b c) (c b a) ergibt unter Anwendung des Assoziativgesetzes sofort die Identität.
Daher ist e = d -1 = d.
c) Für f = b o a o c erhält man eine andere vierte Spiegelungsgerade als d, denn
nun gilt das in b) verwendete Argument nicht mehr.
d) Zunächst ist nach a) der Satz in einer Richtung bewiesen:
Wenn die drei Geraden im Büschel liegen, dann ist die Verkettung eine Achsenspiegelung.
Nun müssen wir noch die Umkehrung zeigen:
Es sei also d = a b c eine Achsenspiegelung. Dann gilt d c = a b.
Fall 1: a b ist eine Drehung. Dann schneiden sich a und b im Drehpunkt S. Da d c
dieselbe Drehung darstellt, müssen sich auch d und c in S schneiden. Die
vier Geraden a, b, c und d liegen also in einem gemeinsamen Punktbüschel.
Fall 2: a b ist eine Translation. Dann sind a und b zueinander parallel und senkrecht
zum Verschiebungsvektor v r . Da d c dieselbe Translation darstellt,
müssen auch d und c zueinander parallel und senkrecht zum Verschiebungsvektor
v r sein. Die vier Geraden a, b, c und d liegen also in einem
gemeinsamen Parallelbüschel.
e) Wenn a = b oder a ⊥ b ist, gilt offenbar a b = b a.
Es bleibt noch die Umkehrung zu beweisen: Sei also a b = b a. Da b a das Inverse
von a b ist, ist die Abbildung α = a b = b a eine selbstinverse Abbildung. Als Produkt
von zwei Achsenspiegelungen kann α nur entweder eine Translation oder eine
Drehung sein. Die einzige selbstinverse Translation ist die Identität, in diesem Fall
muss aber a = b sein. Als selbstinverse Drehung kommt neben der Identität nur
noch die Halbdrehung oder Punktspiegelung in Frage. Die Verkettung a b ist aber
genau dann eine Punktspiegelung, wenn a ⊥ b ist. Damit ist alles bewiesen.
m
f) A ⎯⎯⎯→ c
m
B ⎯⎯⎯→ a
m
C ⎯⎯⎯→ b
A. Das Produkt der drei Achsenspiegelungen an
den Mittelsenkrechten m c, m a und m b ist also eine Abbildung mit Fixpunkt A. Daher
kann es keine echte Gleitspiegelung sein, denn diese besitzt keinen Fixpunkt. Folglich
muss es sich um eine Achsenspiegelung handeln. Dies ist nach dem Dreispiegelungssatz
jedoch nur dann der Fall, wenn die drei Geraden in einem Büschel liegen.
Auf Grund der gegebenen Situation kann es sich nur um drei kopunktale Geraden
handeln, denn Parallelen scheiden aus. Daher schneiden sich die drei Mittelsenkrechten
in einem Punkt, der Umkreismitte des Dreiecks.
Aufgabe 2:
Wir wollen zeigen, dass die Verkettung dreier Achsenspiegelungen
a b c, deren Achsen weder zueinander
parallel noch miteinander kopunktal sind,
stets eine Gleitspiegelung ergibt. Ihre Gleitgerade
verläuft durch zwei Höhenfußpunkte des von a, b
und c gebildeten Dreiecks.
b
C
b'
y
E
a'
a
A
D
x
B

a) Siehe nebenstehende Zeichnung.
b) Siehe Zeichnung.
c) Siehe Zeichnung. Die Abbildung α ist eine Gleitspiegelung mit dem Schubanteil a’ x
und der Gleitgerade y.
d) Nach Konstruktion ist D der Höhenschnittpunkt der Höhe durch C.
Es muss gezeigt werden, dass der Schnittpunkt E von y und a der Höhenschnittpunkt
der Höhe durch A ist. Dies gelingt wie folgt: Wir ersetzen im Produkt a b c
nicht die Drehung a b, sondern die Drehung b c und verfahren ganz analog wie in
den Aufgabenteilen a) bis c) dargestellt. Dann ergibt sich von selbst, dass die Gleitgerade
durch den Höhenfußpunkt E der Höhe durch A verlaufen muss. Da es sich
jedoch um dieselbe Abbildung handelt, muss auch dieselbe Gleitgerade vorliegen.
e) Die Begründung aus d) ist leicht zu verallgemeinern.
f) Den ersten Teil beweist man leicht, indem man P durch ein Produkt a b mit a ⊥ b
ersetzt.
Im umgekehrten Fall überlegt man folgendermaßen: Weil sowohl a als auch P
selbstinvers sind, ist P a die zu a P inverse Abbildung (Beweis durch Nachrechnen).
Wenn also a P = P a ist, dann ist diese Abbildung selbstinvers. Da es sich um
ein Produkt von drei Achsenspiegelungen handelt, kommen nur Gleit- oder Achsenspiegelung
in Frage. Davon ist jedoch nur die Achsenspiegelung selbstinvers.
Da das Produkt P a im Allgemeinen eine Gleitspiegelung mit dem Abstand von P zu
a als Schubanteil ist, muss dieser der Nullvektor sein, und daher P auf a liegen.
Aufgabe 3:
a) Durch geeigneten Ersatz mit Hilfe von Achsenspiegelungen zeigt man leicht:
Jede Verkettung einer geraden Anzahl von Punktspiegelungen ergibt eine Translation,
jede ungerade wieder eine Punktspiegelung.
b) Durch geeignete Ersetzung der Punktspiegelungen durch Achsenspiegelungen erhält
man: Die Verkettung zweier Punktspiegelungen an A und an B ergibt eine
Translation (Parallelverschiebung) mit dem doppelten orientierten Abstand
von A nach B als Schubvektor: A B = 2 •AB
uuur .
c) Man ersetzt im Produkt A B C die Verschiebung A B = A’ B’ so, dass B’ = C ist und
erhält das gewünschte Ergebnis. Eine zweite Möglichkeit ist die Ersetzung durch
Achsenspiegelungen. D ist der zu A, B und C gehörige vierte Parallelogrammpunkt
(in dieser Reihenfolge).
d) Wenn ein Parallelogramm vorliegt, so folgt die Behauptung sofort gemäß c).
Gilt umgekehrt A B C D = i bzw. gleichwertig
uuur uuur
damit A B = D C, so gilt gemäß b)
die entsprechende Vektorgleichung AB = DC womit die Behauptung bewiesen ist.
e) (1) Es seien P, Q und R die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegenden Seitenmitten.
Dann gilt: A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C ⎯⎯→ A und A ist Fixpunkt der Abbildung
R
P
Q
R
uuur
P Q,
uuur
d. h. A ist der zu R, P und Q gehörige vierte Parallelogrammpunkt, also gilt
PQ = RA und die Behauptung ist bewiesen.
(2) Es seien P, Q, R und S die Mittelpunkte der aufeinander folgenden Vierecksseiten
AB, BC, CD und DA. Dann gilt: A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C ⎯⎯→ D ⎯⎯→ A und A
P
Q
R
S
ist Fixpunkt der Abbildung P Q R S. Diese ist jedoch nach a) eine Translation und
muss, wenn sie einen Fixpunkt hat, die Identität sein. Nach d) bilden daher die
Punkte P, Q, R und S ein Parallelogramm.