Skript zur Vorlesung [PDF; 40,0MB ;25.07.2005] - Institut für Physik

5.2 Energiebänder
5.2.1 Allgemeine Überlegungen
Berücksichtigt man das Potential, welches durch Atomrümpfe moduliert wird, so ergibt sich
für die stationäre Schrödinger-Gleichung:
]
Hψ =
[− 2
2m ∇2 + V (⃗r) ψ(⃗r) = Eψ, (5.74)
wobei
V (⃗r) = V (⃗r + ⃗r n ); ⃗r n = n 1 ⃗a 1 + n 2 ⃗a 2 + n 3 ⃗a 3 . (5.75)
Auch hier beschreibt ⃗r einen beliebigen Translationsvektor im dreidimensionalen periodischen
Gitter.
Ein periodisches Potential lässt sich in eine Fourier-Reihe entwickeln:
V (⃗r) = ∑ ⃗ G
V ⃗G e i ⃗ G·⃗r . (5.76)
Auch hier ist ⃗ G ein reziproker Gittervektor:
⃗G = h⃗g 1 + k⃗g 2 + l⃗g 3 mit h, k, l ganzzahlig. (5.77)
Der Allgemeine Ansatz zur Lösung der Schrödinger-Gleichung hat die Form:
ψ(⃗r) = ∑ ⃗ k
C ⃗k e i⃗ k·⃗r . (5.78)
Dabei ist ⃗ k ein reziproker Gitterpunkt, der mit den Randbedingungen in Einklang zu bringen
ist. In die Schrödinger-Gleichung eingesetzt ergibt sich:
∑
⃗ k
2 k 2
2m C ⃗ k ′e i⃗ k·⃗r + ∑ ⃗ k ′ ⃗ G
C ⃗k ′V ⃗G e i(⃗ k ′ + ⃗ G)·⃗r = E ∑ ⃗ k
C ⃗k e i⃗ k·⃗r . (5.79)
Durch Umbenennen der Summationsindizies folgt ( k ⃗′ = ⃗ k − G): ⃗
⎡
⎤
∑
(
e i⃗ k·⃗r ⎣ 2 k 2 )
2m − E C ⃗k + ∑ C ⃗k− G ⃗ V ⃗G
⎦ = 0. (5.80)
G ⃗
⃗ k
Die Bedingung gilt für jeden Ort ⃗r, so muss der Ausdruck, der nicht von ⃗r abhängt, für jedes
⃗ k verschwinden. Das bedeutet:
( 2 k 2 )
2m − E C ⃗k + ∑ C ⃗k− G ⃗ V ⃗G = 0. (5.81)
G ⃗
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