Skript zur Vorlesung [PDF; 40,0MB ;25.07.2005] - Institut für Physik

nicht nur orts- sondern auch zeitabhängig, wenn z.B. eine Anregung des streuenden Mediums
stattfindet. Dies hat zur Folge, dass auch Frequenzen ω ≠ ω 0 auftreten.
Der Beobachter misst nicht Amplituden, sondern Intensitäten, für die gilt:
∫
I( K) ⃗ ∝ |A B | 2 ∝ | ρ(⃗r)e −i⃗r· ⃗K d⃗r| 2 (2.23)
mit dem Streuvektor ⃗ K = ⃗ k − ⃗ k 0 .Dies kann als Fouriertransformierte der Streudichte ρ(⃗r)
bezüglich des Streuvektors ⃗ K angesehen werden. Das hat folgende Konsequenzen:
• Je kleiner die Strukturen in ρ(⃗r), desto größer muss ⃗ K gewählt werden, z.B. durch
Vergrößerung ⃗ k 0 .
• Die Unmöglichkeit, die Amplitude als Funktion von Ort und Zeit zu messen, macht die
wesentliche Schwierigkeit der Strukturanalyse aus. Aus der Amplitude ließe sich durch
inverse Fouriertransformation direkt die Streudichteverteilung ρ(⃗r) bestimmen.
• Wegen der Nicht-Eindeutigkeit zwischen Intensität und ρ(⃗r) ist man darauf angewiesen,
Annahmen für die Strukturen oder weitere Messungen zu benutzen, um einen
Ausgangspunkt für die Struktur zu haben, die dann durch die Messergebnisse angepasst
werden kann.
2.7.4 Periodische Strukturen und reziprokes Gitter
Wiederholt sich die Streudichte periodisch mit einer Periode von a, so gilt (zunächst in einer
Dimension):
ρ(x) = ρ(x + na) mit n = 0, ±1, ±2, . . . . (2.24)
Damit lautet die Entwicklung in eine Fourier-Reihe:
ρ(x) = ∑ n
n2π
ρ n e
i(
a )x
(2.25)
und die Erweiterung auf drei Dimensionen:
ρ(⃗r) = ∑ ⃗ G
ρ G e i ⃗ G·⃗r . (2.26)
Dabei muss ⃗ G bestimmte Bedingungen erfüllen, damit eine Translationsinvarianz bezüglich
aller Gittervektoren
⃗r n = n 1 ⃗a 1 + n 2 ⃗a 2 + n 3 ⃗a 3 (2.27)
gegeben ist. Somit muss für ⃗ G gelten:
⃗G · ⃗r n = 2πm. (2.28)
Wobei m ganze Zahlen für n 1 , n 2 und n 3 darstellt. Nun lässt sich der Vektor ⃗ G nach einer
Basis ⃗g zerlegen:
⃗G = h⃗g 1 + k⃗g 2 + l⃗g 3 (2.29)
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