Zeitreihenanalyse natürlicher Systeme mit neuronalen Netzen und ...

Zeitreihenanalyse natürlicher Systeme
mit neuronalen Netzen und
Methoden der statistischen Physik sowie
der nichtlinearen Dynamik
Dem Fachbereich Physik der
Carl von Ossietzky Universität Oldenburg
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
angenommene Dissertation
Andreas Weichert
geb. am 8. März 1963
in Bremen

Erstreferent:
Prof. Dr. Pal Ruján
1. Korreferent: Prof. Dr. Bruno Eckhardt
2. Korreferent: Prof. Dr. Jürgen Parisi
Tag der Disputation: 27. Februar 1998

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung.................................................................................................... 1
2 Das Software-Tool „Data-Stream-Network“ ............................................ 3
2.1 Idee des „Data-Stream-Networks“ ............................................................................. 3
2.2 Bedienung und Oberfläche ........................................................................................ 5
2.3 Implementierung...................................................................................................... 10
2.3.1 C++.................................................................................................................... 10
2.3.2 Tcl/Tk ................................................................................................................ 10
2.3.3 Interne Module des Programms .......................................................................... 11
2.3.4 Interne Programmstruktur................................................................................... 15
2.4 Integrierte Algorithmen und technische Eigenschaften........................................... 17
2.5 Erweiterungen .......................................................................................................... 20
3 Radiales Basisfunktionensystem.............................................................. 21
3.1 Einleitung................................................................................................................. 21
3.2 Hauptschrittte........................................................................................................... 23
3.3 Clusterung................................................................................................................ 24
3.4 Funktionsapproximation.......................................................................................... 26
3.5 Parameter und Optimierung .................................................................................... 26
4 Analyse von Luftstaubgemischen ............................................................ 29
4.1 Einleitung................................................................................................................. 29
4.2 Aufgabenbeschreibung............................................................................................. 30
4.3 Mathematische Basis................................................................................................ 31
4.4 Voruntersuchungen.................................................................................................. 35
4.4.1 Stoffsortierung.................................................................................................... 35
4.4.2 Transformation der Konzentrationsmatrix........................................................... 38
4.4.3 Hauptkomponentenzerlegung des LGS ............................................................... 40
4.4.4 Sensibilitätsbetrachtung ...................................................................................... 43
4.5 Hauptuntersuchung ................................................................................................. 44
4.6 Erweiterte Untersuchung.......................................................................................... 52
4.6.1 Bildung von Stoffgruppen................................................................................... 52
4.6.2 Bestimmung der Elementgruppen........................................................................ 56
4.6.3 Reduktion der Elementanzahl.............................................................................. 58
4.7 Ergebnisse und Diskussion....................................................................................... 62
5 Detektion der Milankovitchzyklen im Kirchroder Bohrkern................. 63
5.1 Einleitung................................................................................................................. 63
5.2 Sichtung des Datenbestandes ................................................................................... 64
5.3 Untersuchung der Korrelationen und Hauptkomponentenanalyse.......................... 66
5.4 Angewandte Methoden zur Frequenzanalyse........................................................... 68
1

5.5 Durchführung der Frequenzanalysen...................................................................... 68
5.5.1 Untersuchung von Datensatz 1............................................................................ 69
5.5.2 Untersuchung von Datensatz 2............................................................................ 70
5.5.3 Untersuchung von Datensatz 3............................................................................ 71
5.6 Ergebnisse und Diskussion....................................................................................... 73
5.7 Liapunov-Exponent der TOC-Zeitreihe ................................................................... 74
6 Untersuchung des Ökosystems Peruanisches Auftriebsgebiet ............... 77
6.1 Einleitung................................................................................................................. 77
6.2 Frequenzanalyse der Anchoveta-Zeitreihe ............................................................... 78
6.3 Vorhersage des Anchoveta-Bestandes ...................................................................... 79
6.3.1 Lineare Regressions-Vorhersage......................................................................... 79
6.3.2 Differenzfilter ..................................................................................................... 82
6.3.3 Radialfunktionen-System-Interpolation ............................................................... 83
6.4 Korrelationen............................................................................................................ 85
6.5 Ergebnisse und Diskussion....................................................................................... 86
7 Downscaling und Vorhersage von Wetterdaten in Potsdam .................. 87
7.1 Einleitung................................................................................................................. 87
7.2 Untersuchung des Niederschlages............................................................................ 88
7.2.1 Untersuchung des Jahresganges .......................................................................... 88
7.2.2 Downscaling der Niederschlagsamplituden.......................................................... 89
7.2.3 Übergang zu Trefferquoten................................................................................. 94
7.2.4 Downscaling der binären Niederschlagsereignisse................................................ 95
7.2.5 Schwellwertvariation .......................................................................................... 97
7.2.6 Informationsgehalt der pT-Daten ........................................................................ 98
7.2.7 Zeitliche Vorhersage......................................................................................... 101
7.3 Untersuchung der Maximaltemperatur.................................................................. 103
7.3.1 Untersuchung des Jahresganges ........................................................................ 103
7.3.2 Downscaling..................................................................................................... 104
7.3.3 Informationsgehalt der pT-Daten ...................................................................... 106
7.4 Untersuchung Wasserdampfdruckes...................................................................... 107
7.4.1 Untersuchung des Jahresganges ........................................................................ 107
7.4.2 Downscaling..................................................................................................... 108
7.4.3 Zeitliche Vorhersage......................................................................................... 109
7.5 Ergebnisse und Diskussion..................................................................................... 112
8 Zusammenfassung.................................................................................. 113
9 Anhang.................................................................................................... 116
9.1 Arbeiten mit „Data-Stream-Network“.................................................................... 116
9.2 Tabellen.................................................................................................................. 121
10 Abkürzungen .......................................................................................... 125
11 Literaturverzeichnis............................................................................... 126
2

1 Einleitung
Die Theorie der dynamischen Systeme versucht den Zustand und die Entwicklung eines Systems auf die
Wechselwirkungen seiner Einzelkomponenten zurückzuführen. Mit Hilfe der statistischen Physik
können Systeme mit sehr vielen Freiheitsgraden untersucht und durch makroskopische Größen
statistisch beschrieben werden. Die Anwendung dieser Theorien auf die Analyse und die Vorhersage von
Zeitreihen ist ein Ansatz mit dem in letzter Zeit auf vielen Gebieten mit großem Einsatz erfolgreich
gearbeitet wird. Physiker untersuchen dabei nicht nur typische physikalische Systeme, sondern wagen
sich auch in andere komplexe Zusammenhänge z.B. der Biologie, Sozialwissenschaft, Wirtschaft und
dem Finanzwesen vor. Die erfolgreiche Vorhersage realer Systeme kann von sehr großem praktischem
Nutzen sein. Die Bedeutung der richtigen Prognose z.B. des Wettergeschehens, sozialer und
wirtschaftlicher Entwicklungen, biologischer Ressourcen etc. ist offensichtlich. Das Wissen um
zukünftige Entwicklungen würde es ermöglichen, frühzeitig in derartige Systeme steuernd einzugreifen
um sie zu regulieren.
Das „Schauen in die Zukunft“ und das Ausnutzen dieser Kenntnis ist uralter Menschheitstraum. Der
Begrifft „Zeit“ ist fest in unserer Denkstruktur verankert, denn die Vorhersage ist eine natürliche
Fähigkeit der Menschen, die aber oft unbewußt benutzt wird. Schon wenn wir eine Straße überqueren,
müssen wir vorhersagen, wo sich ein Auto einige Sekunden später befinden wird. Diese Vorhersage
wurden dabei im Laufe des Lebens mit statistischen Methoden gelernt. Dabei wurde nicht nur die
&
&
Dynamik des Fahrzeuges (im physikalischen Bild: x = v ⋅ t ) approximiert, sondern auch die komplexen
Reize des Auges in ein wie auch immer geartetes reduziertes (aber zweckmäßiges) inneres Bild der Welt
transformiert. Dieses geschieht „nur“ durch die Auswertung der Sinnesreize und deren räumliche und
zeitliche Korrelationen, also Observablen, die nicht den (einfachen) Systemgrößen im physikalischen
Bild entsprechen. Die Anwendung statistischer Methoden, speziell die der künstlichen neuronalen
Netzwerke, ist daher eine erfolgreiche Methode, um die Dynamik unbekannter Systeme nur durch die
Auswertung von Observablen zu untersuchen.
Neben der Entwicklung der Methoden zur Zeitreihenanalyse und der Untersuchung von Datenbeständen
lag ein wichtiger Teil dieser Arbeit darin, ein allgemein verwendbares, leistungsfähiges und einfach zu
bedienendes Software-Tool für die Zeitreihen- und Datenanalyse zu schaffen. Alle selbst entwickelten,
implementierten und aus Bibliotheken eingebundenen Algorithmen wurden dabei in eine Oberfläche
integriert, unter der sie verwaltet und verknüpft werden können. Das Programm ermöglicht es, einem
Anwender mit Erfahrungen auf dem Gebiet der Zeitreihenanalyse ohne Programmier-kenntnisse,
Algorithmenstrukturen grafisch aufzubauen und Analysen fast auf Knopfdruck durchzuführen. Diese
Software-Engeneering-Seite dieser Arbeit wird in Kapitel 2 beschrieben. Sie ist die Grundlage für die
durchgeführten Analysen.
1

Im Bereich der nichtlinearen Dynamik sind in den letzen Jahren eine Reihe von Verfahren zur Analyse
von Zeitreihen entwickelt und auf verschiedene Systeme angewendet worden. Mit diesen Algorithmen
können verschiedene Kenngrößen der Systeme bestimmt oder die Struktur und Art der Attraktoren
untersucht werden. Für einige Systeme lassen sich Modelle finden, die die Dynamik eines Systems
approximieren. Letztendlich kann daraus eine zeitliche Vorhersage für die Evolution der Systeme
gewonnen werden.
Viele Verfahren liefern aber nur bei der Anwendung auf stark deterministische Systeme brauchbare
Ergebnisse. Die bekannten Standardtestsysteme (Henon, Mackey-Glass [2]) können z.B. durch
neuronale Netzwerke sehr präzise approximiert werden, wogegen die Untersuchung von Observablen
natürlicher Systeme schwierig und unsicher ist. Die deterministischen Anteile einer Zeitreihe sind meist
von Rauschen überlagert oder durch andere irreguläre Einflüsse gestört. Statistische Verfahren
benötigen daher große Datenmengen, die bei natürlichen Systemen meistens nur durch aufwendige
Messungen gewonnen werden können und daher selten zur Verfügung stehen. Weiterhin ist von
vornherein nicht sicher, ob die zu untersuchenden Daten überhaupt systematisch korreliert sind oder ob
die Datenbasis ausreicht, um mögliche Korrelationen zu erkennen.
In dieser Arbeit soll geprüft werden, ob einige ausgewählte Algorithmen auf natürliche Systeme
anwendbar sind. Die vier untersuchten Datensätze stammen dabei aus sehr unterschiedlichen Systemen
mit sehr komplexen hochdimensionalen Wechselwirkungen. Die Observablen, die für eine Untersuchung
zur Verfügung stehen, stellen nur einen sehr kleinen Teil (oder eine Projektion) der am ganzen System
beteiligten Größen dar. Das Takens-Theorem [1] liefert eine Methode, mit der die Untersuchung des
Gesamtsystems im Prinzip möglich ist: Nur durch die Auswertung der Observablen mehrerer
Zeitschritte kann ohne Kenntnis aller dynamischen Größen und deren Wechselwirkungen das System
approximiert werden. Dieser rein statistische Ansatz ist sehr pragmatisch und bei natürlichen Systemen
oft der einzig mögliche, da die Wechselwirkungen im System im allgemeinen so komplex sind, daß sie
nicht direkt modelliert werden können.
Nach dieser Einleitung folgen die Kapitel mit den einzelnen Themengebieten. Das Kapitel 2 beschreibt
das entwickelte Software-Tool. Im darauf folgenden Kapitel 3 wird auf die Theorie des neuronale
Netzwerktyps „Radiales-Basis-Funktionen-System“ eingegangen, das in drei der vier Untersuchungen
angewendet wurde. Danach folgen die Abschnitte über die Analyse der verschiedenen Datensätze:
Konzentrationen von Stäuben in der Luft (Kap. 4), chemische Bestandteile der Schichten eines
Bohrkernes (Kap. 5), Tierbestände eines Ökosystems (Kap. 6) sowie Druck- und Temperaturwerte der
Atmosphäre (Kap. 7). Auf die sehr unterschiedlichen Themenbereiche, wird in den jeweiligen Kapiteln
vorbereitet.
2

2 Das Software-Tool „Data-Stream-Network“
2.1 Idee des „Data-Stream-Networks“
Im Jahr 1994 entwickelte sich die Idee zu diesem Programm aus Ergonomieüberlegungen. Es war, in
Betracht der durchzuführenden Datenanalysen, notwendig die Arbeitsmethoden effizienter zu gestalten.
Die übliche Vorgehensweise ohne dieses Tool war folgende:
Für eine gegebene Aufgabe werden (i.a. viele) Algorithmen entwickelt und in einem Programm
miteinander verbunden. Das Programm ist damit nur für diese Art von Untersuchungen verwendbar. Für
kleine Variationen der Methoden muß fortwährend der Sourcecode umgeschrieben werden. Sollen
gänzlich andere Probleme gelöst werden, muß ein komplett neues Programm entwickelt bzw. aus
Algorithmen von vorhandenem Programmcode aufgebaut werden. D.h., für jede neue Aufgabe oder
sogar Variation der Aufgabe ist ein eigenständiges Programm notwendig. Der Grund für die
Spezialisierung der Programme liegt dabei meistens nicht in den verwendeten Algorithmen, die sich in
vielen Fällen kompatibel erstellen lassen, sondern in deren Auswahl, Varianten, Reihenfolge und
Verknüpfung.
Ein Ausweg aus diesem Problem ist es die Entwicklung eines einzigen universellen Programmes.. Um es
für alle eventuellen Anwendungen zu rüsten, müßte es allerdings sehr komplex sein. Die mannigfaltigen
Möglichkeiten der Zeitreihenanalyse wären auf herkömmlichem Wege nur durch eine komplizierte
Struktur von Parametern einstellbar. Praktisch ließe sich dieser Weg daher nur für eine sehr
eingeschränkte Klasse von Anwendungen realisieren.
Eine andere Möglichkeit wäre es, die Untersuchungsschritte auf viele einzelne konfigurierbare
Programme zu verteilen, die je nach Anwendung über das Betriebssystem miteinander verknüpft
werden. Der Datenaustausch zwischen den Modulen muß dabei über kompatible (Datei-) Schnittstellen
oder Pipes erfolgen. Letztendlich wird jedoch durch diese Modullierung das Problem nur vom
Programmcode auf die Betriebssystemebene verschoben: Die Verkettung der Module, der
Datenaustausch und das Setzen der Parameter müßte entweder für jede Berechnung interaktiv erfolgen
oder durch Scriptprogrammierung wieder individuell programmiert werden. Z. B. müßte das Aufteilen
von Daten auf mehrere Verarbeitungszweige, das Zusammenführen bzw. der Vergleich der Ergebnisse
und die Ausführung der Programme richtig synchronisiert werden. Weiterhin müßte die Optimierung der
Verfahren und Parametereinstellungen durch viele Programmdurchläufe (und Umprogrammierungen)
erfolgen. Der zusätzliche Arbeitsaufwand für die Verwaltung und Steuerung der Module würde von der
eigentlichen Aufgabe ablenken. Große Untersuchungen ließen sich bei dieser Vorgehensweise nicht
professionell abwickeln.
3

Daher erschien es notwendig ein komfortables und flexibles Arbeitswerkzeug für die Zeitreihen- und
Datenanalyse mit folgenden Anforderungskriterien zu entwerfen: Das Programm sollte nach dem
bewährten Modulprinzip arbeiten - die Arbeitsabläufe werden in kleine und gut abgestimmte
wiederverwendbare Einheiten zerlegt. Dabei ist es wichtig gut abzuwägen, wie universell oder speziell
die einzelnen Module zu entwickeln sind. Falls sie zu speziell sind, sind sie nicht wiederverwendbar,
sind sie zu primitiv müssen zu viele Module für eine Anwendung vernetzt werden 1 . Dieses Programm
sollte alle diese Module komfortabel verwalten und es ermöglichen sie schnell und einfach anzusteuern,
zu verbinden sowie die Berechnungen automatisch ablaufen zu lassen. Die Parameter und die Art der
verwendenden Algorithmen müßte einfach zu verändern und deren Wirkung direkt zu erhalten sein, so
daß Optimierungen schnell durchzuführen sind. Weiterhin sollten alle Standardalgorithmen der
Zeitreihenanalyse eingebaut sein und auch die grafische Darstellung der Ergebnisse im Programm
integriert sein. Das Programm soll kurz gesagt in einer abstrakten Form den Umgang mit Daten
ermöglichen und den Benutzer mit internen Details verschonen, so daß er sich ganz auf seine Aufgabe
konzentrieren kann.
Die geforderten Eigenschaften lassen sich wie folgt zusammenfassen:
1. Wiederverwendbare Module
2. Kompatible Schnittstellen zwischen den Modulen
3. Einfache und übersichtliche Vernetzung der Module
4. Leichte Einstellung und Optimierung der Parameter
5. Einfache und einheitliche Bedienung aller Module
6. Angebot aller Standardverfahren der Zeitreihenanalyse
7. Integration einer grafischen Darstellung der Ergebnisse
Einen entscheidenden Hinweis für die Gestaltung einer Bedienungsoberfläche, mit der diese Kriterien
erfüllt werden können, gab das Softwarepaket KHOROS 2 , das ursprünglich von der University of New
Mexico (USA) entwickelt wurde. Mit dem Programm kann interaktiv grafisch ein Netz der
Bearbeitungsroutinen, mit denen die Daten verarbeitet werden sollen, konstruiert und die Ergebnisse
grafisch ausgegeben werden. Leider war der Umfang und die Komplexität des Programmes - die
komplette Version enthält 500 MB Sourcecode - so groß, daß es überdimensioniert für die Zielsetzung
1 Diese Gradwanderung zwischen Komplexität und Simplizität der Algorithmen war nicht immer einfach. So wurde
manchmal von Benutzern bemängelt, daß für eine einfache Aufgabe zu viele Module verwendet werden mußten. Durch die
kleinen Module war es allerdings möglich, dieses oder jenes Modul auch in einem ganz anderen Zusammenhang zu
verwenden.
2
Es wird inzwischen kommerziell von der Khoral Research Inc. für $549 (Einzelplatzversion) vertrieben
(http://www.khoral.com).
4

erschien. Außerdem war das Programm hinsichtlich seiner Bedienung, und Flexibilität und der
Darstellung sehr großer Algrithmennetze nicht optimal 3 .
Daher wurde ein eigenes Programm nach diesem Vorbild aber ohne die Schwächen konstruiert: Mit dem
entwickelten Programm können, ähnlich wie bei KHOROS, viele Algorithmen schnell und einfach
miteinander „verschaltet“ werden. Ebenso leicht ist es, nachträglich Änderungen an der
Vernetzungsstruktur oder den Parametern durchzuführen und das Ergebnis dieser Manipulationen zu
erhalten. Die Konstruktion der Algorithmenvernetzungen geschieht interaktiv mit Hilfe eines grafischen
Editors und läßt sich unter dem Stichwort "Grafische Programmierung“ einordnen. Die gesamte
Algorithmusstruktur wird aus kleinen, überschaubaren Einheiten aufgebaut. Diese so erzeugte
Netzwerkstruktur ist als ein Filtersystem zu verstehen, in das auf der Eingabeseite ein oder mehrere
Datensätze einfließen, mit verschiedenen Algorithmen bearbeitet werden und an der Ausgabeseite i.a.
auch grafisch aufbereitet ausgegeben werden. Aus diesem Bild ist der Name „Data-Stream-Network“
entstanden.
2.2 Bedienung und Oberfläche
Das Data-Stream-Network-Programm (DSN) 4 läßt sich sehr leicht auf einem MS-Windows-Rechner
installieren. Das komprimierte Programmpaket paßt auf eine HD-Diskette (1.44 kB) und wird mit dem
enthaltenen Installationsprogramm auf die Festplatte kopiert und entpackt. Außerdem müssen zwei
Public Domain Programme auf dem Computer installiert sein: GNUPLOT 5 zur grafischen
Datenrepräsentation und die Scriptsprache Tcl/Tk 6 der Firma SUN, mit der die grafische
Bedienungsoberfläche programmiert wurde.
Das DSN präsentiert sich beim Start als eine leere Arbeitsfläche, auf der das Netz der Algorithmen
konstruiert wird (Abbildung 1). Die Fläche zum Aufbau der Struktur ist nicht durch die
Bildschirmgröße beschränkt. Durch Scrollbars können andere Bereiche des großen virtuellen Desktop
sichtbar gemacht werden. An den Seiten ist der Desktop mit verschiedenen aktiven Widgets zur
Steuerung des Programms und passiven Widgets als Statusanzeige umgeben.
Die obere Menüzeile stellt allgemeine Kommandos zur Programmsteuerung zur Verfügung. Shortcuts
für häufig benutzte Befehle sind am linken Fensterrand in Form von Smart Icons angebracht. Die
wichtigsten Befehle sind selbstverständlich auch über Tastenkürzel zu erreichen.
3 Z.B. werden in KHOROS die Algorithmen immer von der linken Seite mit Daten gespeist und geben rechts die
Ergebnisse aus. Falls der Datenfluß von recht nach links läuft, was bei komplexen Algorithmennetzen häufig vorkommt,
entstehen unübersichtliche Z-förmige Verbindungsmuster und ein Durcheinander von Verbindungslinien.
4 Die aktuelle Version läßt sich unter http://www.neuro.uni-oldenburg.de/~weichert laden (Stand 3.5.1998).
5 Copyright (C) 1986-1993 Thomas Williams, Colin Kelley; http://www.cs.dartmouth.edu/gnuplot_info.html
6 http://sunscript.sun.com/
5

In der zweiten Menüzeile können die eingebauten Algorithmen, nach Bedeutungsgruppen sortiert,
angewählt werden. Durch einen anschließenden Mausklick auf eine leere Stelle des Desktops wird ein
Algorithmus, durch ein großes Icon dargestellt, „fallengelassen“. Die Algorithmen werden dabei als
Filter aufgefaßt, d.h. sie müssen auf der einen Seite mit Daten gespeist werden und geben auf der
anderen Seite ihre berechneten Daten aus. Für diese Ein- und Ausgabedaten werden kleinere Icons
automatisch eingefügt und durch Pfeile, die die Datenflußrichtung anzeigen, mit dem Algorithmus Icon
verbunden 7 . Hat man zwei Algorithmen (incl. der Datenknoten) auf der Arbeitsfläche plaziert, können
sie sehr einfach miteinander vernetzt werden: Z. B. "faßt" man mit der Maus das Ausgabe Icon "an",
schiebt es über einen Eingabedatenknoten und läßt es "fallen“ (tag, move, and drop mit der linken
Maustaste). Die beiden Datenknoten werden dadurch automatisch verschmolzen und stellen jetzt ein und
denselben Datensatz dar. Mit dieser Methode wurden große Netze mit 200 Verknüpfungen konstruiert.
Die Netzwerkstruktur läßt sich, mit allen darin enthaltenen Daten, in ihrem aktuellen Zustand
vollständig in eine Datei sichern und wieder laden.
Alle Netzteile können jederzeit verschoben oder in ihrer Struktur verändert werden, indem man eine
Verbindung oder einen Knoten markiert, dann löscht und einen anderen Algorithmus oder eine andere
Vernetzung einfügt. Einzelne Knoten lassen sich mit der Maus gleichzeitig markieren und Gruppen
können mit einem „Fangrechteck“ erfaßt werden, so daß alle Befehle auch auf mehrere Knoten
gleichzeitig angewendet werden können.
Nachdem die gewünschte Datenflußstruktur aufgebaut ist, reicht ein doppelter Mausklick auf einen
hinteren Knoten und alle Berechnungen, die nötig sind, um diesen Knoten zu bestimmen, werden
gestartet. Jederzeit können Struktur- oder Parameteränderungen durchgeführt werden, deren
Auswirkungen man durch einen erneuten Mausklick erhalten kann. Nach einem rekursiven
Suchverfahren werden nur die Teile neu berechnet, die nicht mehr der aktuellen Netzwerkstruktur oder
den aktuellen Parametereinstellungen entsprechen. Der Zustand der Datenknoten wird durch die
unterschiedliche Schattenfarbe angezeigt. Z. B. erkennt man in Abbildung 1, daß das Netz bis zum
PCA-Trafo-Knoten (12) bzw. bis zu dessen Rechenergebnis (13) durchgerechnet worden ist, da diese
Knoten und alle Knoten bzgl. der Datenflußrichtung davor einen grauen Schatten (auf dem
Farbbildschirm: grün) besitzen. Die Knoten dahinter sind noch nicht aktualisiert und schwarz (auf dem
Farbbildschirm: blau), falls sie Daten enthalten bzw. hellgrau, falls sie leer sind. Die Aktualisierung der
Knoten wird durch das schrittweise Durchfärben der Schatten während der Berechnung visualisiert.
7 Im Gegensatz zu KHOROS, bei dem die Daten in die Algorithmen eingebettet sind, werden im DSN auch die Daten als
separate Knoten dargestellt und können ohne Algorithmus existieren. Dieses Konzept ist logischer und ermöglicht
außerdem eine übersichtliche grafische Darstellung der Netzwerkstruktur.
6

Abbildung 1: Bildschirmhardcopy des Data-Stream-Networks mit einem kleinen Beispielnetz:
Ein ähnliches Netz ist für die Downscaling-Untersuchung in dieser Arbeit verwendet worden. Hier eine allgemeine
Interpretation: Stellen wir uns vor, uns liegen Messungen eines Observablenvektors A vor, der den Zustand eines
dynamischen Systems S zu bestimmten Zeitpunkten beschreibt. Diese Daten stehen uns in Form einer Zeitreihe als Datei
auf der Festplatte zur Verfügung. Sie werden durch den Zeitreihenlade-Knoten (1) in das Netz gebracht und liegen dort
durch Knoten (2) symbolisiert zur Weiterverarbeitung bereit. Weiterhin haben wird Daten einer andere Observable B des
Systems, die über einen unbekannten inneren Zusammenhang mit dem Zustand des Systems verknüpft ist (24). Wir stellen
uns jetzt die Aufgabe, aus den zwischen den beiden Datensätzen bestehenden Korrelationen die Abbildung vom ersten
Observablenvektor auf die zweite Observable zu schätzen. Da wir eine allgemeingültige Abbildung suchen und nicht nur
die vorliegenden Datensätze approximieren wollen (Stichwort: Overfitting), teilen wir unsere Daten in Trainings- und
Testdatensatz auf. Mit Knoten (3) für A und Knoten (23) für B wird diese Aufgabe erledigt. B sei eine multivariante
Zeitreihe mit 100 Observablen pro Zeitpunkt, die stark untereinander korreliert sind. Um das Rauschen herauszufiltern und
um die Algorithmen nicht mit unnötigen Datenmengen zu belasten, werden die Daten vorverarbeitet. Dazu bestimmen wir
die Kreuzkorrelationsmatrix (10) mit (9) und wenden eine Hauptkomponentenanalyse (PCA) in (6) an. Das Ergebnis liegt
in (7) vor und wird mit (16) in eine Grafik gedruckt und interpretiert. Daran erkennt man, daß nur die ersten 5
Komponenten relevante Information enthalten und stellen dieses in den Parametern der PCA-Transformation (8) ein.
Derselbe Parameter wird in (12) für den Testdatensatz (5) verwendet. Die Menge der reduzierten jetzt 5-dimensionalen
Datenpunkte (11) wird in (14) einer Phasenraumclusterung unterzogen und liefert in (15) die Vorstufe eines neuronalen
Netzes (RBFS). Das Netz wird in (17) mit den Trainingsdaten (26) gefittet und liefert in (18) das RBFS als Ergebnis.
Dieses wird mit (28) auf den Testdatensatz (13) angewendet. Die berechnete Zeitreihe (29) sollte jetzt ähnlich der
gemessenen Zeitreihe (27) sein. Um dieses zu prüfen, werden sie voneinander abgezogen (20). Die Differenzzeitreihe (22)
wird dann auf ihre Kenngrößen, wie z.B. die Streuung, untersucht.
7

Der Inhalt der Datenknoten (Daten) und der Algorithmusknoten (Parameter) kann durch einen Befehl
(Shortcut: rechte Maustaste) sichtbar gemacht und verändert werden. Es öffnet sich eine Dialogbox, in
der der Knoteninhalt in einem ASCII-Format dargestellt ist. Alle Datenknoten besitzen zusätzlich eine
grafische Darstellung. Durch einen speziellen Befehl wird der Inhalt des gerade markierten Knotens
aufbereitet und an das externe Programm GNUPLOT geleitet. Jeder Datentyp (z.B. Zeitreihe,
Frequenzspektrum) besitzt eine standardisierte Darstellungsform, die in diesem Fall benutzt wird. Sollen
speziellere Grafiken erzeugt werden, ist für jeden Datentyp ein Plotalgorithmus entwickelt worden,
durch dessen Parameter die Darstellung genau angepaßt werden kann. Die Einstellungen beziehen sich
dabei auf Stile wie Farben, Linienarten, Beschriftungen, Achsenabschnitte etc. und generelle
datenabhängige Formate, z.B. wie die Kanäle einer multivarianten Zeitreihe auf die verschiedenen
Koordinatenachsen verteilt werden sollen (Phasenraumplot). Die Plotalgorithmen erzeugen für einige
Datentypen auch 3-dimensionale Grafiken. Dabei ist die Darstellung der Clusterung eines 3-
dimensionalen Attraktors (Abbildung 2) sehr eindrucksvoll.
P1
P2
60
50
P3
P4
40
30
20
10
0
-20
-10
0
10
20 -30
-20
-10
0
10
20
30
Abbildung 2: Clusterung des Lorenz-Attraktors (5000 Beispielpunkte). Die Graustufe gibt die Tiefe im
binären Teilungsbaum an: In Gebieten (P4, P3) mit höherer Punktdichte wird häufiger geteilt.
8

Die Bedienung des Programmes ist durch das natürliche und einfache Prinzip schnell zu erlernen. Die
Dokumentation des Programmes ist zum größten Teil in die Oberfläche integriert: Die Bedeutung der
einzelnen Knöpfe und Felder wird in einer Textzeile am unteren Fensterrand eingeblendet, wenn das
entsprechende Objekt selektiert ist oder wenn die Maus "darauf zeigt". Die Hilfe für die einzelnen
Algorithmen und Datentypen läßt sich direkt von der Dialogbox zum Editieren der Knoten einblenden:
Es erscheint ein Text 8 , der die Bedeutung und die Einstellungsmöglichkeiten des Knotentyps erklärt.
Mit dem DSN können Analysen schnell und komfortabel durchgeführt werden. Verschiedene
Netzvarianten lassen sich einfach konstruieren, Parametereinstellungen können schnell variiert werden.
Das Resultat dieser Veränderungen ist immer nur ein Mausklick (und Rechenzeit) entfernt.
Für einige Anwendungen war jedoch die Bedienung per Hand nicht ausreichend. Immer wiederkehrende
systematische Arbeitsschritte, die z.B. bei der Feinjustierung von Parametern oder der Untersuchung
von vielen gleichartigen Datensätzen anfallen, sollten automatisiert werden. Die erste Idee bestand darin,
den Netzwerkeditor um Schleifen, logische Verzweigungsstrukturen und automatische
Parametereinstellungen zu erweitern. Bei näherer Überlegung stellte sich jedoch heraus, daß dieser Weg
einen unverhältnismäßig großen Programmieraufwand erfordert, wenn diese Möglichkeit in einer
allgemeinen Form in die Netzwerkstrukturen eingebaut werden soll. Die Flexibilität, die nötig ist, um
den Programmablauf der mannigfaltigen Anwendungsmöglichkeiten zu steuern, ist dabei nur schwer zu
erreichen. Deshalb wurde ein anderer Weg eingeschlagen: Das Data-Stream-Network wurde um eine
Scriptsprache ergänzt. Diese Erweiterung basiert auf der Scriptsprache Tool Command Language (Tcl),
auf die im Kapitel 2.3.2 eingegangen wird. Tcl eignet sich aufgrund seiner guten Stringverarbeitung
hervorragend für diese Aufgabe. Tcl läßt sich um eigene Befehle erweitern, die es ermöglichen, das
DSN zu manipulieren. Mit diesen neuen Befehlen können z.B. Parameter verändert, Knoten aktualisiert
und kopiert sowie Daten ausgelesen, verglichen und gespeichert und damit Ergebnisse automatisch
gesammelt werden. Da Tcl alle Konstrukte höherer Programmiersprachen zu Verfügung stellt, sind auch
komplexe Steuerungen des Netzwerkes möglich. Das DSN kann verschiede Tcl-Scripte, hier Makros
genannt, verwalten. Jedes Makro wird durch einen Button am Fensterrand dargestellt und ermöglicht
somit, beliebige komplexe Abläufe schnell anzusteuern.
Im Anhang wird die Bedienung des Data-Stream-Networks an praktischen Anwendungsbeispielen
demonstriert. Man erhält darin auch einen Überblick über die wichtigsten Algorithmen im Programm.
8 An einer HTML-Hilfedatei wird zur Zeit gearbeitet. Es wäre denkbar, in dieser Hypertextform und einer Kombinaion mit
dem DSN eine interaktive Anleitung zur Zeitreihenanylse (einfaches Expertensystem) aufzubauen.
9

2.3 Implementierung
2.3.1 C++
Das Gerüst des Data-Stream-Networks wurde komplett in C++ programmiert. Alle selbst entwickelten
Algorithmen und alle aus fremden C-Bibliotheken entnommenen Algorithmen wurden in eigenständige
C++-Klassen eingebunden. Der objektorientierte Ansatz dieser Programmiersprache erfordert eine
gewisse Zeit des Umdenkens, die sich aber auszahlt. C++ besitzt eine hohe Abstraktionsebene und
ermöglicht bessere Kapselung von Daten und Prozeduren. Auch wird die Vererbung zur Verfügung
gestellt, wodurch in hierarchischer Struktur und somit übersichtlich programmiert werden kann. C++
kann so erweitert werden 9 , daß eine an ein spezielles Problem angepaßte Programmiersprache entsteht.
In dem Programmpaket DSN wurde intensiv von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht 10 .
Der Hauptgrund für die Wahl von C++ ist aber deren allgemeine Verfügbarkeit und Standardisierung,
wodurch die Entwicklung einer Software, die auf verschiedenen Betriebssystemen läuft, ermöglicht
wird. Ein weiterer Vorteil ist die Verfügbarkeit von umfangreichen Bibliotheken von Algorithmen und
Tools in C bzw. C++.
2.3.2 Tcl/Tk
Die Tool Command Language (Tcl) ist eine sehr leistungsfähige Interpretersprache, die von Prof. John
Ousterhout 11 an der University of California at Berkeley ab 1988 entwickelt wurde. Der Kern dieser
Sprache ist die String- und Listenverarbeitung. Alle Variablentypen sind letztendlich Strings, die
entsprechend interpretiert werden (z.B. als float oder int) 12 . Auch Programmcode kann in Variablen
abgelegt und interpretiert werden, so daß ein laufendes Programm um neuen Code erweitert werden
kann. Diese Möglichkeit wird bei der Programmierung der Makros im DSN ausgenutzt. (Weitere
Informationen zu Tcl in [3] und [4])
Die wichtigste Erweiterung von Tcl ist das Tool Kit (Tk), das den entscheidenden Ausschlag für die
Verwendung dieser Sprache gab. Durch das Tk wird der Tcl-Interpreter um umfangreiche Befehle zur
grafischen Oberflächenprogrammierung erweitert. Mit sehr einfach aufgebautem Programmcode lassen
sich Fenster mit vielen verschiedenen Arten von Widgets 13 erzeugen und damit interaktive Dialogboxen
aufbauen. Durch die Kombination von Tcl und Tk ist es möglich, vollständige interaktive Anwendungen
zu erstellen ohne andere Programmiersprachen zu verwenden.
9 abgesehen von grammatikalischen Erweiterungen
10 Es wurden als erstes z.B. Tools zur Verwaltung von dynamischen Vektoren und Matrizen entwickelt. Darauf aufbauend
entstanden abstraktere Objekte wie Zeitreihen und Fourierspektren.
11 http://www.sunlabs.com/~ouster/
12 Die neuste Version von Tcl (8.0) verwaltet zur Beschleunigung des Interpreters intern die numerischen Variablen binär.
10

Tcl/Tk ist jedoch nicht für alle Anwendungen geeignet. Numerisch intensive Algorithmen laufen in
compilierbaren Sprachen schneller. Tcl/Tk bietet daher die Möglichkeit, sich mit verschiedenen anderen
Sprachen (C, Pascal, FORTRAN) zu verbinden. Es ist möglich, von C aus alle Tcl/Tk-Befehle
aufzurufen und umgekehrt von Tcl/Tk aus auf Prozeduren und Variablen des C-Programmes
zuzugreifen. Dieses ermöglicht letztendlich die Steuerung eines C-Programmes durch Benutzeraktionen
(Maus, Tastatur), die von Tk registriert werden.
Tcl ist schnell zu erlernen und verkürzt durch seine Struktur auch die Entwicklungszeit 14 . Es stellt
Möglichkeiten zur Verfügung, die in C++ nur durch aufwendige Programmierung erreicht werden
können. Dazu gehören z.B. die interaktiv skalierbaren Dialogboxen und die Steuerung der Oberfläche
durch eine sehr flexible Bindung an verschiedenartigste Benutzeraktionen. Beeindruckend sind auch die
Möglichkeiten, die sich durch das canvas-widget eröffnen: Grafische Elemente können als Objekte auf
dem canvas plaziert, verschoben und skaliert werden. Die Verwaltung und Restaurierung des
Bildschirmhintergrundes und die Überlappung der Objekte (z-Koordinate) wird selbständig von Tk
verwaltet.
Tcl/Tk entlastet durch seine abstrakte Form von systemspezifischer Programmierung und ist dadurch
auch kompatibel. Da es Tcl/Tk-Pakete für alle wichtigen Betriebssysteme (X-Windows-UNIX, MS-
Windows, OS/2, Macintosh) gibt, trägt es dazu bei, das "babylonische Sprachengewirr" unter den
Systemen zu umgehen.
Ein weiteres herausragendes Merkmal dieses Programmiersystems ist die eingebaute Option, die
Sprache fundamental durch Binärcode zu erweitern. So existieren z.B. fertige Module, um grundsätzlich
neue Widgets zu erzeugen (TIX 15 ) und Flächen- bzw. Liniengrafiken zu erzeugen (BLT 16 ). Es ist
geplant, diese beiden leistungsfähigen Erweiterungen in die nächste Version des DSN zu integrieren.
2.3.3 Interne Module des Programms
Auf die C++-Programmierung an sich kann hier nicht eingegangen werden. Es wird auf die Literatur [3]
und [6] verwiesen.
In C++ kann nicht immer zwischen Daten- und Prozedurstrukturen unterschieden werden: Klassen
können gleichzeitig Daten und Prozeduren enthalten. Trotzdem hat man eine anschauliche Vorstellung
von der Funktion einer Klasse und teilt sie nach ihrem Gebrauch in Daten und Prozeduren ein. So würde
13 z.B Menüs, Buttons, Labels, Entries, Text, Scrollbars, Scales
14 In der ersten Version des DSN wurde die Oberfläche direkt in C++ mit Hilfe einer Borland-Klassenbibliothek (ähnlich
Java) entwickelt. Die Einarbeitung in Tcl/Tk und die Umstellung des Programmes erforderte mit ca. 6-7 Wochen
wesentlich weniger Zeit als die Programmierung der Oberfläche in C++.
15 Dieses stellt alle bekannten Steuerelemente von MS-Windows und mehr zur Verfügung: z.B. multi-document-interface,
directory tree, helpballon etc.
11

man z.B. Punkte, Farben, Zeitreihen, Fourierspektren etc. zu den Daten und die Algorithmen, die mit
diesen Daten arbeiten, zu den Prozeduren rechnen.
Die Algorithmen im DSN sind aber erweitert programmiert worden: Sie enthalten auch Daten - nämlich
ihre Parameter. Die Einbettung der Parameter in die Algorithmen hat den Vorteil, daß beim Aufruf der
Berechnungsprozedur nicht alle Parameter (es sind teilweise bis zu 30) mit angegeben werden müssen.
Sie werden durch den Constructor der Algorithmus auf Standardwerte gesetzt, die jedoch einzeln
verändert werden können 17 . Außerdem liegt alles, was die Berechnung definiert, ohne globalen Kontext
kompakt in einer Klasse vor und ermöglicht so eine einheitliche Behandlung von Daten und
Algorithmen, was für die interne Verwaltung des DS-Netzes notwendig ist (siehe später).
Diese Art der Programmierung ist eng mit einer anderen Problemlösung verknüpft. Zu Beginn der
Arbeit am DSN trat immer wieder das gleiche Problem auf: Daten mußten in eine Datei gespeichert und
geladen, Parameter eingestellt und die Ergebnisse angeschaut und beurteilt werden. Immer wieder mußte
ähnlicher Code für die vielen verschiedenen Datentypen neu programmiert werden, um den im Prinzip
immer gleichen Vorgang zu ermöglichen: Die Transformation von binär nach ASCII und umgekehrt.
Die Lösung besteht darin, eine Containerklasse zu programmieren, die generell den Umgang mit Daten
wesentlich vereinfacht: Auf dieser zu diesem Zweck entwickelten Klasse VarList, als Abkürzung für
„Variablenliste“, beruhen alle im DSN verwendeten Datenstrukturen. Als Children von VarList erben
sie deren Fähigkeiten, die sind:
1. Standardisiertes Speichern von Daten
2. Laden von Daten in einem Standardformat
3. Menschenlesbare Darstellung der Daten (ASCII)
4. Editieren der Daten
5. Fehlertolerante Interpretation
6. Verwalten von mehreren Datenlisten in einer Datei
Mit der geerbten Elementfunktion "AddVar" registriert man eine Variable in einer Instanz von
VarList. z.B.:
int fifo, WindowSize; Vector filter;
AddVar("Filterform",fifo,0);
// 0-Rechteckfilter, 1-Spez. Filter
AddVar("WindowSize",winsize,10); // Filtergroesse
AddVar("Filter",filter);
// Ist Vektor
filter.SetStr("1 2 3.5 2 1");
// Möglichkeit einen Vektor mit
// einen String Standardwerte zu setzen
16 Dieses Modul stellt z.B. Koordinatenachsen, Gitter, Kuchendiagramme etc. zur Verfügung.
17 C++ unterstützt zwar auch Defaultwerte in Prozeduren, dieses aber nur in einer bestimmten Reihenfolge: Nur die
hinteren Parameter einer Prozedur können weggelassen werden, was für die Parameterstruktur der implementierten
Algorithmen nicht ausreicht.
12

Der erste Parameter der AddVar-Funktion gibt den Namen der Variablen in der ASCII-Darstellung, der
zweite die C-Variable, von der die Adresse und der Typ in VarList gespeichert wird an. Diese letze
Angaben ermöglichen, daß die VarList-Klasse intern auf die Variable zugreifen kann. Im dritten
Parameter werden die Defaultwerte angegeben. VarList unterstützt alle Standardvariablentypen
(char, int, float, double) und die definierten Typen (Boolean, String, Vector,
Matrix, Color, Intervall etc.).
Durch die Anwendung dieser einen Prozedur sind alle obigen 6 Punkte für die jeweilige Variable in
einem Schritt erledigt. Wenn eine Instanz der VarList-Klasse z.B. mit Namen „MovingAverage“
definiert wird, sieht die durch VarList zu Verfügung gestellte ASCII-Darstellung der Daten
folgendermaßen aus:
[MovingAverage]
FilterForm = 0
WindowSize = 10
Filter = 1 2 3 2 1
[END] of [MovingAverage]
In dieser Darstellung wird auch der Datentyp gespeichert, geladen und editiert 18 . Gerade das Speichern
in und das Lesen aus einer Datei wird durch diese aufwendige aber übersichtliche Darstellungsform
fehlertolerant gehalten. In der üblichen Programmierung müßten für jeden Datentyp Speicherprozeduren
und dazu kompatible Ladeprozeduren programmiert werden (doppelte Arbeit). Dabei müßte exakt in
derselben Art und Reihenfolge geschrieben wie gelesen werden. Falls die Datenstruktur im Laufe der
Datenanalyse und der Programmweiterentwicklung geändert würde, könnten alte Dateien nicht mehr
gelesen werden und erzeugten Programmabstürze. VarList ist fehlertolerant und funktioniert immer -
neue Variablen werden auf Defaultwerte gesetzt, falsche Variablennamen werden ignoriert. Desweiteren
können verschiedene Variablenlisten in einer Datei verwaltet und über ihren Namen unterschieden
werden.
Die folgenden Zeilen zeigen den vollständigen Code für die Definition einer Childclass. Sie
verdeutlichen, wie kurz und einfach eine Datenverwaltung mit der VarList-Klasse programmiert
werden kann:
18 Es ist geplant, VarList um eine automatische Erzeugung von Tk-Code für eine Dialogbox zu erweitern. In dieser könnten
dann durch spezifische Widgets (Check- und Radiobutton, Scaler, Entrys, Text) die einzelnen Datentypen komfortabel
editiert werden.
13

class MovingAverage: public VarList
{ int fifo;
int
winsize;
vector filter;
MovingAverage()
// Constructor
{ AddVar("Filterform",fifo,0);
AddVar("WindowSize",winsize,10);
AddVar("Filter",filter); filter.SetStr("1 2 3.2 1");
}
}
Durch die Abstammung von VarList hat MovingAverage folgende Routinen geerbt:
Load(String FileName)
Save(String FileName)
GetStr()
SetStr(String s)
Edit()
FindeSection(ifstrem*,SectonName)
~VarList()
Laden aller Variablen
Speichern aller Variablen
ASCII-Darstellung der Variablen
Interpretiert Strings
Verändern mit einem Editor
Findet VarList-Name in einer Datei
(Beginn einer Datensektion: [Name])
Destructor
Auch komplexere Datentypen, wie z.B. Zeitreihen, beruhen auf der VarList-Klasse. Um die zusätzlich
in der Klasse enthaltenen Daten abzuspeichern, müssen die Elementfunktionen Load und Save
überschieben werden:
class Timeser: public VarList
{public:
MyStr
History;
MyStr
DateTime;
int
ChannelSize; // Anzahl der Datenkanäle
TimePoints Time; // Klasse, die die Zeitpunkte verwaltet
MyStr ValueUnit; // Einheit der Zeit (sec,day,year etc.)
Matrix Channel; // Datenwerte der multivar. Zeitreihe
...
Timeser(); // Constructor
void Empty(); // Deallokiert den verwendeten dynamischen Speicher
~Timeser();......// Destructor
...
int Load(String FileName); // Lädt die Zeitreihe
int Load(String FileName); // Speichert die Zeitreihe
...
} ;
14

Ein Algorithmus unterscheidet sich von einem "einfachen" Datentyp durch die Erweiterung um die
Elementfunktion Run(..,..,..) mit der die Berechnung durchgeführt wird. Ein Hauptprogramm,
z.B. um den MovingAverage (MA) einer Zeitreihe zu bestimmen, sieht damit folgendermaßen aus:
#include "timeser.h"
#include "ts_algor_1.h"
int main()
{ Timeser InputTS, OutputTS; // 2 Zeitreihen anlegen
MovingAverage MA;
// MA-Algo. incl. Parameter anlegen
MA.Window=2; MA.FilterMethode=0; // Parameter zum MA setzen
MA.Save("MovAv.par");
// Parameter speichern
InputTS.Load("test.ts");
// Zeitreihe laden
int Error=MA.Run(OutputTS,InputTS);// MA berechnen
if(Error) return(Error);
OutputTS.Save("test_ma.ts"); // Ergebnis speichern
return(0);
}
Alle Algorithmen haben von außen betrachtet dieselbe Struktur und stellen dieselben
Basisfunktionalitäten zur Verfügung. Dadurch ist es möglich, sie in ein allgemeines Verwaltungs- und
Vernetzungssystem einzubinden, wie es im DSN erfolgt ist. Mehr dazu im nächsten Abschnitt.
2.3.4 Interne Programmstruktur
Das komplette Softwarepaket enthält ca. 25.000 Quellcodezeilen mit über 1.000.000 Zeichen (zum
Vergleich: diese Dissertation enthält ca. 200.000 Zeichen). Um dieses umfangreiche Projekt
übersichtlich zu halten, wurde großen Wert auf die strukturierte Programmierung gelegt. Die
Möglichkeiten von C++ unterstützen dabei diese Bemühungen.
Der Quelltext wurde auf 34 C++-Module (jedes enthält wieder viele Klassen) und 14 Tcl/Tk-Files
aufgeteilt. Bei der Strukturierung wurde versucht die Abhängigkeiten der Module möglichst hierarchisch
oder sogar linear zu halten. Es gibt wenige parallele Programmteile und keine zyklischen
Abhängigkeiten. Mit C++ ließen sich zwar komplexe Abhängigkeitsstrukturen verarbeiten 19 , dieses hätte
aber den Nachteil, daß sehr viele Module neu übersetzt werden müßten, wenn nur ein Modul verändert
wird. Durch den Aufbau der Module wird dieses vermieden, sowie das logische Verständnis des
Programmablaufes und die Fehlersuche vereinfacht.
Zu der Hierarchisierung gehört auch die Trennung von Algorithmen (unter Schicht) und Oberfläche
(obere Schicht). Alle Algorithmen können getrennt von der DSN-Struktur verwendet werden. Dies ist
möglich, obwohl die Algorithmen beim Einbau in das DSN auf Oberflächenelemente zugreifen und sie
manipulieren (z.B. wird der Fortschritt jedes Algorithmus in Prozent ausgegeben). Um dieses zu
19 Der einfachste (und schlechteste) Weg besteht darin, alle Headerfiles zu einem zusammenzufassen.
15

erreichen, wird mit Funktionenpointern gearbeitet, die in den unteren Hierarchieschichten auf NULL
zeigen und in den höheren Schichten auf die entsprechende Tcl/Tk-Routine gesetzt werden.
Ein ähnlicher Hierarchieaufbau und deren Bruch ist bei dem Programmteil zur Verwaltung des
Netzwerkes angewendet worden. Allerdings liegt hier eine Hierarchie von Klassen in folgender
Reihenfolge vor: Die Basisklasse DSNStructure beinhaltet die Netzwerkstruktur sowie deren File-I/O.
DSNAlgor stellt die Schnittstelle zu den Algorithmen und Daten zur Verfügung, kann Knoteninhalte
konstruieren, löschen, speichern und laden und Berechnungen durchführen (Run durchs Netzwerk).
DSNManipulation erweitert den statischen Teil des Netzwerkes durch konstruktive Methoden:
Einfügen und Löschen von Knoten und Verbindungen. Durch DSNGraph wird die Sichtbarkeit des
Netzwerkes und dessen Animation zu Verfügung gestellt. Es enthält die Aktion des Netzwerkes an die
Oberfläche durch die Tcl/Tk-Schnittstelle. Durch das Zwischenmodul DSNCommand werden Reaktionen
auf die Benutzeraktionen bearbeitet. DSNWindows letztendlich, die oberste Klasse, ist die Schnittstelle
zwischen den Oberflächenvents (von Tk geliefert) und dem Netzwerk. Diese Klassenhierarchie zur
Netzwerkverwaltung macht ca. 20% des gesamten Codes des DSN aus.
DSNStructure kann auch ohne die oberen Schichten allein bestehen. Es wäre z.B. möglich, ein Netz
zu konstruieren und dieses ohne Oberfläche im Batchbetrieb innerhalb von DSNStructure laufen zu
lassen. Es könnte daher als nicht sichtbares Subnetz (komplexer Algorithmus) dienen, das als eine
Funktionseinheit in ein anderes Netz eingebettet wird. In diesem Fall werden die Funktionen, die auf die
Oberfläche zugreifen nicht aktiviert. Dieses wird dadurch erreicht, daß diese Funktionen in
DSNStructure als virtuelle 20 Funktionen leer deklariert sind. Das Überschreiben dieser Funktionen
durch die Klassen in den höheren Schichten findet in diesem Fall nicht statt.
Die Netzwerkstruktur in DSNStructure baut sich aus vielen Nodes und Conections auf, die
jeweils als eigene Klasse definiert sind und in Listen gespeichert werden. Die Einzelelemente enthalten
Zeiger auf die mit ihnen im Netz verbundenen Elemente. Im Prinzip kann mit dieser Struktur jeder
Graph aufgebaut werden. Die Klasse DSNManipulation überprüft aber jede Benutzeraktion und
garantiert, daß bzgl. des Datenflusses keine unsinnigen Netze konstruiert werden. Nur Inputknoten mit
Outputknoten und kompatible Datentypen können verknüpft werden. Andernfalls gibt es eine
Fehlermeldung und die Aktion wird ignoriert.
Jeder Knoten enthält eine int-Variable, die die ID des Knotentyps angibt und einen void-Pointer, der
entsprechend der ID interpretiert wird (type-casting). Da alle Knoten dieselben Basisfunktionen
enthalten (durch VarList definiert), kann durch ein identisches C-Makro auf alle Knoten über ein
CASE-Label nach ID selektiert zugegriffen werden.
20 Die Funktionsweise von explizit virtuell definierten Funktionen läßt sich nachträglich ändern.
16

2.4 Integrierte Algorithmen und technische Eigenschaften
Algorithmen und Verfahren
Bemerkung: Die meisten Algorithmen arbeiten auch mit multivarianten Zeitreihen.
• Generierung von mathematischen Standardzeitreihen und Funktionen
• Normal- und gleichverteiltes Rauschen
• Logistische Abbildung, Hénon-Abbildung, Lorenz-System, Standard Abbildung
• Autoregressiver Moving-Average-Prozeß
• Treppen-, Sinus-, Cosinus-, Polynomfunktion
• Mathematisches Pendel
• Erzeugung und Verarbeitung von binären Zeitreihen und Zeitpunkten
• Selektion von Zeitpunkten nach verschiedenen Kriterien:
Schnittpunkte zweier Zeitreihen (aufwärts und abwärts Kreuzungen getrennt bestimmbar),
Schwellwerte, Extrema
• Invertieren von binären Zeitreihen
• Boolean‘sche Operatoren von zwei binären Zeitreihen
• Vergleich zweier binärer Zeitreihen
Es wird die Statistik Übereinstimmungen bestimmt.
• Ausschneiden von Abschnitten einer Zeitreihe zu definierten (woanders berechnenten)
Zeitpunkten
• Optimalen Schwellwert finden:
Eine kontinuierliche Zeitreihe soll durch einen Schwellwert binärisiert werden. Dieser
Algorithmus bestimmt den optimalen Schwellwert, so daß das Ergebnis am besten mit einer
zweiten gegebenen binären Zeitreihe übereinstimmt.
• Elementare Analyse von Zeitreihen
• Mittelwert und Varianz
• Quadratsumme (Leistung)
• Minimum und Maximum
• Bestimmung der linearen Regressionsparameter
• Umstrukturierung von Zeitreihen
• Zeitverschiebung und Zeitumskalierung
• Zerteilen von Zeitreihen bzgl. der Zeitkoordinate
• Ausschneiden von Abschnitten einer Zeitreihe bzgl. der Zeitkoordinate
• Zerteilen einer Zeitreihe in gleichlange Intervalle
Die Intervallänge muß nicht teilbar durch die Samplingrate sein.
Dadurch wurde das Problem der Schaltjahre umgangen (Jahr hat 64,75 Tage).
• Zwei Zeitreihen verbinden
• Eine Zeitreihe N mal aneinanderhängen
• Sortieren der Daten bzgl. Größe oder Absolutbetrag
• Ausschneiden von einzelnen Kanälen einer multivarianten Zeitreihe
17

• Kombinieren von mehreren singelvarianten Zeitreihen zu einer multivarianten Zeitreihe
Die eventuell unterschiedlichen Zeitintervalle werden automatisch angepaßt.
• Timedelay-Transformation (Takens)
• Elementare Manipulationen von Zeitreihen
• Umskalierung mit Festlegung von Mittelwert, Streuung, mittlere Quadratsumme, Minimum
und/oder Maximum
• Rundung, Logarithmierung, Exponentierung, Potenzierung
• Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit Skalaren
• Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Zeitreihen untereinander
(auch multivariant)
• Mittelwert über die Kanäle einer multivarianten Zeitreihe
• „Inverses Timedelay“
Eine multivariante Zeitreihe wird durch diagonale Mittelwertbildung in eine monovariante
Zeitreihe transformiert.
• Erweiterte Manipulationen und Analysen von Zeitreihen
• Mittelwert und Streuung kumuliert
• Moving-Averages mit einfachem, linearem, exponentiellem Filter
Beliebige Filterkoeffizienten sind auch explizit definierbar.
• Gleitende Streuung:
Für jeden Zeitpunkt wird die Steuung einer bestimmten Anzahl benachbarter Datenpunkte
berechnet.
• Interpolation zwischen den Daten benachbarter Zeitpunkte, Ausdünnen einer Zeitreihe
• Differenzfilter
Gleitend werden die Werte einer Zeitreihe mit definiertem Zeitabstand subtrahiert. Statt der
direkten Werte können auch einfache gleitende Mittelwerte voneinander subtrahiert werden.
• Bestimmung der linearen oder polynominalen Interpolationskoeffizienten
Für jeden Zeitpunkt werden für ein Zeitfenster die Koeffizienten bestimmt. Sie werden als
multivariante Zeitreihe ausgegeben und von einem anderen Algorithmus zur Extrapolation in die
Zukunft (Vorhersage) benutzt.
• Korrelationen
• Autokorrelation (maximaler Zeitshift festlegbar)
Die Berechnung erfolgt über die FFT oder direkt.
• Korrelation zweier Zeitreihen (maximaler und minimaler Zeitshift festlegbar)
Die Berechnung erfolgt über die FFT oder direkt.
• Korrelation zweier Zeitreihen über ein gleitendes Zeitfenster
Die Veränderung der Korrelation mit der Zeit kann damit untersucht werden.
• Korrelation vieler Zeitreihen untereinander und Bestimmung der Kreuzkorrelationsmatrix
Durch die Anwendung des Timedelay-Algorithmus kann auch die zeitliche Korrelation untersucht
werden.
• Hauptkomponentenanalyse der Kreuzkorrelationsmatrix
• Hautpkomponententransformation einer multivarianten Zeitreihe
• Umsortierung der Spalten und Zeilen der Kreuzkorrelationsmatrix
Die Sortierung erfolgt automatisch so, daß Gruppen die stark miteinander korreliert sind (positiv
wie negativ), gut zu erkennen sind.
• Umsortierung der Kanäle einer multivarianten Zeitreihe
18

• Statistik
• kumulative Verteilungen
• Histogramme
• Frequenzanalyse
• Direkte und inverse Fast-Fouriertransformation für 2 N Stützstellen
• Direkte und inverse Fouriertransformation für beliebige Stützstellenanzahl
• Bandfilter
• Maximum Entropie Spektrum
• Detektieren von Peaks in einem Frequenzspektrum
• Hauptfrequenzanalyse nach Laskar [7]
• Schreiber-Rauschfilter [8]
• Direkte und inverse diskrete Wavelettransformation (Daubechies-Basis)
• Filter im Waveletspektrum
• Vorhersage
• Autoregressive Vorhersage
• Einfache Nächste-Nachbar-Vorhersage
• Phasenraum-Clusterung
• Radial-Basis-Funktionen-System (RBFS)
• Schätzung von Lyapunov-Exponenten und Jacobimatrix (mit RBFS)
• Grafische Ausgabe aller Datentypen
• Matrizen
Die Größe der Matrixelemente wird durch Quadrate dargestellt.
• Hauptkomponentenzerlegung
• Zeitreihen (auch 3d)
Es sind mannigfaltige Darstellungsformen möglich.
• Fourierspektren
• Waveletspektren
• Cluster (auch 3d)
• Radial-Basis-Funktionen
• Histogramme
• Soundausgabe von Zeitreihen als wave-Datei
19

Technische Eigenschaften
• 25.000 Zeilen / 1.000.000 Bytes selbst entwickelter C++-Code
• Ca. 100 Algorithmen
• Bis zu 500 Knoten können in einem Netz verwaltet werden
• Virtueller Bildschirm von 5000 x 5000 Pixeln
• Netzwerkstruktur, Daten und Desktop können komplett gesichert werden
• Programm spart Arbeitsspeicher, da nur die benötigten Daten ins RAM geladen werden
• Alle Datenstrukturen besitzen eine grafische Ausgabe über GNUPLOT
• Hilfetext für jeden Algorithmus
• Bedienungshilfe in Oberfläche integriert
2.5 Erweiterungen
Geplant ist eine Erweiterung der Dateistrukturen um ein binäres Format, um das Laden und Speichern
der Netzknoten zu beschleunigen. Dieses soll in einer generellen Art durch die Erweiterung von
VarList geschehen.
Ein sinnvolle aber auch arbeitsaufwendige Vervollständigung des DSN ist der Einbau einer eigenen
grafischen Datendarstellung. Diese soll in BLT 21 erfolgen und würde erweiterte grafische
Darstellungsformen ermöglichen und dem Betrachter erlauben, interaktiv die Bilder zu manipulieren
(z.B. Zoomen) oder weitere Informationen anzufordern.
Das Programm kann auch als Basis und übersichtliche Bedienungsplattform für weitere Algorithmen
dienen.
21 Dieses Erweiterungmodul von Tcl/Tk stellt z.B. Koordiantenachsen, Gitter, Kuchendiagramme zur Verfügung.
20

3 Radiales Basisfunktionensystem
3.1 Einleitung
Künstliche neuronale Netzwerke werden heute in vielen Bereichen eingesetzt. Mit ihnen können diskrete
Klassifizierungsaufgaben gelöst oder kontinuierliche Funktionen approximiert werden. Neuronale
Netzwerke (NN) bieten eine allgemeine Methode, um komplexe und hochdimensionale Zusammenhänge
zu erkennen und zu modellieren. Sie werden daher auch für die Vorhersage dynamischer Systeme und
für adaptive Steuerungsaufgaben eingesetzt. Viele dieser Aufgaben sind auch direkt mit konventionellen
Methoden lösbar, der intellektuelle und zeitliche Aufwand ist aber oft sehr hoch 22 . Neuronale Netzwerke
bieten die Möglichkeit, ein Problem schnell und einfach zu bearbeiten, ohne komplexes Vorwissen
einzubeziehen.
Zum ersten liegt dieses an der universalen Struktur der NN, durch die sie bei entsprechender
Netzwerkgröße fast beliebige stetige nichtlineare Abbildungen approximieren können. Zweitens ist mit
einem Netzwerk ein Lernverfahren verbunden, das die Netzwerkstruktur und die Gewichte
„automatisch“ an die gestellte Aufgabe anpaßt. Beim supervised-learnig liegen für eine Aufgabe
Lösungen in Form von Frage/Antwort-Paaren (Beispiele) vor. Das Netzwerk adaptiert sich, so daß der
Fehler zwischen Netzwerkeingabe und Ausgabe minimiert wird.
In den vorliegenden Anwendungen sind die zu lernenden Daten kontinuierliche Vektorvariablen, d.h. das
Netzwerk f soll Vektoren
d
x∈ R auf Vektoren y∈R
e abbilden. Es wird angenommen, daß der
Zusammenhang zwischen x und y sich aus einem deterministischen Teil g (x)
und einem stochastischen
Teil ξ zusammensetzt.
(1) y ( x)
= g(
x)
+ ξ .
Das Netzwerk wird mit Beispielpaaren B={(x (i) ,y (i) )| i=1..N} trainiert und soll die Abbildung g schätzen.
Die Qualität des Fits wird durch den mittleren quadratischen Fehler über den Beispielsatz definiert
( )
() i ()
(2) E( f)
= ∑ y −f( x i
)
1
2
Ν
ι=
1
Neuronale Netze können sich durch ihre allgemeine Struktur sehr gut an vorgegebene Datensätze
anpassen und den Fehler (2) i.a. fast unter jede Schwelle drücken. Das Ziel der Untersuchung besteht
aber nicht darin, einen speziellen Datensatz vollständig zu approximieren, sondern „nur“ die darin
enthaltenen Gesetzmäßigkeiten g zu extrahieren. Bei praktischen Anwendungen steht allerding nur eine
2
.
22 und zu teuer
21

egrenzte Beispielanzahl zur Verfügung, so daß eine zu starke Adaption an einen speziellen Beispielsatz
zu einer Abnahme der Generalisierung (durch overfitting) des Netzes führt: D.h. andere Datensätze
werden, obwohl sie vom selben System stammen, schlechter approximiert. Die Beispielanzahl muß
daher wesentlich größer als die Kapazität des Netzes (Parameteranzahl) sein. Enthalten die Daten große
stochastische Unregelmäßigkeiten, so ist ein noch „gröberes“ Netzwerk die Voraussetzung für die
Fehlerreduktion durch Mittelung über benachbarte Datenpunkte.
Andererseits bieten neuronale Netzwerke die Möglichkeit, mit großer Netzwerksturktur sehr fein
aufzulösen und stark variierende Funktionen zu generieren. Ausgeprägt nichtlineare Zusammenhänge,
die in den Daten enthalten sind, können dadurch erkannt und modelliert werden. Es stellt sich aber die
Frage, ob der gesetzmäßige Zusammenhang zwischen x und y tatsächlich so komplex ist und ob die zur
Verfügung stehenden Beispiele von ihrer Anzahl und ihren stochastischen Fehlern ausreichen, um diesen
Zusammenhang so komplex zu modellieren. Um dieses abzuschätzen und die Grenze zwischen
overfitting und underfitting zu finden, wird konsequent die cross-validation angewendet: Die Datensätze
werden in Trainings- und Testdaten aufgeteilt - der Fehler im Testdatensatz ist das Fehlermaß.
Verschiedene Netzwerktypen sind entwickelt worden, die sich in zwei Grundtypen einteilen lassen:
Lokale Karten und globale Funktionen. Die lokalen Karten [9] [10] bestehen aus einer Kollektion
einzelner Funktionen, die jeweils für verschiedene Phasenraumvolumina „zuständig“ sind. Die
Phasenraumaufteilung wird an die Eingabedaten angepaßt. Die globalen Funktionen hingegen bestehen
aus einer Funktion, die auf den ganzen Phasenraum angewendet wird. Zu diesen gehört das häufig
verwendete Multi-Layer-Perceptron-Netzwerk 23 (MLP), das hier kurz aufgegriffen wird, um den Vorteil
des hier verwendeten Verfahrens deutlich zu machen.
Bei MLPs [11] wird die Einteilung des Phasenraumes durch lineare Separationen durchgeführt. Die
Ausgabe der 1. Schicht wird in der zweiten und in den folgenden Schichten zu komplexen
charakteristischen Funktionen (in Form von Hyperpolyedern) kombiniert, die Phasenraumbereiche (hier
auch Cluster genannt) abgrenzen. In der letzen Schicht wird jedem Cluster ein Funktionswert
zugeordnet. Die Berechnung der Gewichte erfolgt durch Gradientenabstieg in Form einer Fehler-
Backpropagation mit dem Ziel der Minimierung von (2). Dadurch wird die Clusterung durch die
Verteilung der Eingabedaten und die Funktionswerte bestimmt.
Das in dieser Arbeit eingesetzte Radiale-Basis-Funktionen-System (RBFS) hat durch das von Moody
and Darken [12] und Stokbro et al [13] vorgeschlagene 2-Stufenverfahren gegenüber dem MLP
folgende Vorteile: Die Clusterung des Phasenraumes und der Fit des Funktionswertes wird getrennt
durchgeführt. Die gesamte Trainingszeit des Netzes ist dadurch wesentlich geringer, als die eines
23 der Standard bei den neuronalen Netzen
22

entsprechenden MLPs nach dem Backpropagationverfahren, was die Verarbeitung größerer Netzwerke
ermöglicht. Zusätzlich haben die RBFSs Multiskaleneigenschaften und erfüllen ein
Entropieminimierungsprinzip.
3.2 Hauptschrittte
Der Algorithmus läßt sich in 3 Schritte einteilen:
( i)
1. Die Eingabebeispiele X { | i = 1.. N}
= x werden in disjunkte Teilmengen Cj ; j =1 .. M mit
C ∩C , j ≠ k eingeteilt. Die Einteilung geschieht so, daß bzgl. eines Abstandsmaßes konvexe und
j
k
möglichst kompakte Cluster entstehen. Das Verfahren, um dieses zu erreichen, beruht auf einem
Entropieprinzip.
2. Für jedes Cluster j wird eine charakteristische Funktion definiert. Statt der üblichen „harten“
Funktion χ j ( x) ∈{ 01, , } die 1 für Punkte innerhalb des Clusters und sonst 0 liefert, wird eine durch
eine exponentielle Glättung "aufgeweichte" Funktion, die Radialfunktion R verwendet:
j
−1
j
(3) Rj( x)
~ exp( −( x−x
) ⋅η
⋅K
j ⋅( x−x
)
Die Zentrierung auf den Clusterschwerpunkt x j erzeugt einen gaußschen Abfall der charakteristischen
Funktion zu den Clustergrenzen. Die Stärke des Abfalles wird richtungsabhängig durch die
Kovarianzmatrix K (7) definiert, wodurch sich die Linien gleichen Funktionswertes von R der großen
Clusterform anpassen. Durch den Skalierungsfaktor η wird die Stärke des Abfalles und damit die
Überlappung der charakteristischen Funktionen benachbarter Cluster eingestellt.
Die Radialfunktionen können normiert werden und sind dadurch den üblichen charakteristischen
Funktionen mit Funktionswert 1 für alle Punkte im Cluster ähnlicher:
(4) P( x)
=
j
M
∑ j=
1
Rj
R
j
( x)
3. Für jedes Cluster j wird eine lineare Funktion L j (x)
definiert, die den Funktionswert innerhalb
des Cluster j approximieren soll:
(5) L ( x a + B ⋅ x
j ) = j j
Die Reichweite dieser Funktion wird beschränkt, indem sie mit der Radialfunktion des Clusters
multipliziert wird. Die Summe dieser Produkte über alle Cluster wird als Radial-Basis-Funktionen-
System (RBFS) bezeichnet:
23

(6) f ( x)
∑L
j
( x)
⋅ P j
( x)
= M j = 1
Die Paramter (a j ,B j ) werden so bestimmt, daß (2) minimiert wird. Falls B=0, kann die Funktion f als
einfaches feedforward Netzwerk mit einer verdeckten Schicht angesehen werden. Die vollständige Form
von (6) stellt ein kompliziertes Netzwerk mit 2 versteckten Schichten dar.
3.3 Clusterung
Viele Clusterungsalgorithmen sind entwickelt worden, die sich für den ersten Schritt eignen. Sie lassen
sich in 1-Schrittverfahren und in sukzessive Verfahren einteilen. Bei ersteren werden nach einem
Optimierungkriterium viele gleichberechtigte Cluster erzeugt. Moddy and Darken [12] definierten einen
k-mean Clusterungsalgorithmus, bei dem die Summe der Varianzen einer festgelegten Anzahl von
Clustern minimiert wird. Zu den iterativen Verfahren gehört das von Stokbro et al. [13], bei dem ein k-
d-Baum erzeugt wird. Dieses geschieht durch Teilen eines großes Clusters in d kleinere Subcluster.
Diese Subcluster werden wieder unterteilt, bis die Baumtiefe k erreicht ist. Bei dem Verfahren in [13]
werden die Teilungen durch Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen durchgeführt, so daß
rechteckige Cluster entstehen.
Hier wird eine allgemeine Form des k-d-Baumes eingesetzt, die sehr schnell zu berechnen ist. Für jedes
Cluster j wird die Kovarianzmatrix der Punkte des Clusters C k bestimmt. Begonnen wird mit dem 1.
Cluster, welches die komplette Datenmenge umfaßt:
(7) = ( x − x ) ⋅( x − x )
K
i , j
i
i
j
Diese Matrix enthält Information über die Ausdehnung und Orientierung der Punktwolke im Raum. Sie
ist symmetrisch und läßt sich diagonalisieren 24 . Die Eigenwerte der Matrix liefern die Ausdehnungen
(Varianzen) der Punktwolke in den Eigenrichtungen. Diese Eigenrichtungen haben (bzgl. aller
orthogonalen Koordinatensysteme) die Eigenschaft, die Koordinatenentropie (8) zu minimieren [14].
D.h. bezüglich dieser Richtungen sind die Varianzen am „ungleichmäßigsten“ verteilt. Die Darstellung
der Datenpunkte x in diesem Koordinatenystem liefert folgende Entropie:
(8) S j
= −∑
pi
log pi
d
i = 1
j
x∈C k
2
(9) = ( xˆ
− xˆ
)
σ und
i
i
i
2
x∈C k
p i
= d
σ
∑
i=
1
2
i
σ
2
i
24 Die Diagonalisierung wird robust mit singular value decomposition [20] durchgeführt.
24

Diese Überlegung liefert ein Kriterium für die Teilung eines Clusters: Es wird eine Ebene mit
Normalenvektor in Richtung des größten Eigenvektors definieren und parallel verschoben, so daß sie
durch den Clusterschwerpunkt verläuft 25 . An dieser Ebene wird die Punktmenge in zwei Cluster
getrennt. Durch diese spezielle Wahl der Teilungsrichtung wird möglichst viel Entropie in den zwei
neuen Clustern erzeugt, bzw. vom Standpunkt der Kodierung aus betrachtet, wird die größtmögliche
Information extrahiert. Geometrisch interpretiert bedeutet dieses, daß senkrecht zur Richtung mit der
meisten Struktur getrennt und so die Information über die Verteilung der Datenpunkte optimal auf 2
Cluster verteilt wird. Eine Ungenauigkeit in dieser Koordinatenrichtung würde einen großen
Gesamtfehler in der Lokalisation der Datenpunkte bedeuten.
Das Verfahren wird für jedes Subcluster bis zu einem Abbruchkriterium iteriert. In jedem
Teilungsschritt wird für jedes neu entstandene Cluster eine weitere Hyperebene nach obiger Methode
generiert, die es teilt. Dabei entstehen immer kleinere Cluster, die sich durch konvexe Hyperpolyeder
einfassen lassen. Durch die Entropiemaximierung in den Clustern werden sie möglichst kreisförmig
gehalten, d.h. sie haben in alle Richtungen ähnliche Varianzen, die sich i.a. nur um einen Faktor 2
unterscheiden.
Die ganze Teilungsabfolge erzeugt einen binären Baum, der eine Repräsentation der Datenverteilung
(Attraktor) darstellt. Von dieser Darstellung, die bis zu dieser Stelle noch die vollständige Information
über die Datenverteilung enthält, wird im 3. Schritt des Algorithmus nur die Information Schwerpunkt
und Ausdehnung der Cluster benutzt. Man erhält damit eine kompakte und reduzierte Darstellung eines
eventuell sehr komplexen Attraktors. Diese Darstellung ist hierarchisch organisiert und enthält
Auflösungen in verschiedenen räumlichen Skalen. Beim Übergang von einer Hierarchiestufe zur
nächsten wird durch das Entropieprinzip gewährleistet, daß sich der Clusterort und die Clusterform an
den Attraktor anpassen.
Die Cluster in der letzen Ebene - die Blätter des binären Baumes - bilden eine Einteilung der
Datenmenge in disjunkte kompakte Teilmengen. Ein anschauliches Beispiel für die Clusterung einer 2-
dimensionalen Normalverteilung ist in Abbildung 3 zu sehen. Ausführlicher wird das Verfahren und
dessen Ergebnisse in [2] diskutiert.
25 Der Lage der Teilungshyperebene läßt sich senkrecht zur Eigenrichtung des größten Eigenwertes noch variieren, um
weiter Optimierungen zu erreichen. Es kann einfach durch den Schwerpunkt, in gleiche Punktanzahl pro Cluster geteilt
oder wie in [13] die Summe der Einzelvarianzen weiter minimiert werden.
25

3.4 Funktionsapproximation
Die Cluster definieren die Form und Reichweite der Radialfunktionen R j . Aus der Minimierung von (2)
ergibt sich ein lineares Gleichungssystem in den Variablen a j und B j (5). Die Trennung des Algorithmus
in Clusterung und Funktionswertfit bietet einen entscheidenden Vorteil: Die Clusterung läßt sich relativ
schnell berechnen und ist nach dem Entropiekriterium optimiert. Für den Funktionswertfit läßt sich die
optimale Lösung (für eine feststehende Clusterung) exakt bestimmen 26 .
Das Radialfunktionensystem in (6) läßt sich entscheidend erweitern. Durch die Clusterung wurde der
Attraktor hierarchisch bzgl. räumlichen Skalen untersucht. Diese Multiskaleninformation kann, wie
auch in der wavelet-Theorie angewendet, für den Funktionswertfit verwendet werden. Dazu werden die
lokalen Funktionen (5) nicht nur an den Blättern des binären Baumes definiert, sondern auch an dessen
Knoten. Schicht für Schicht werden beginnend mit dem Hauptcluster die optimalen Parameter a und B
bestimmt. Der verbleibende Fehler (2) der unteren Schichten wird in den höheren Schichten weiter
reduziert. Durch schrittweises Zoomen in immer tiefere Schichten läßt sich bei diesem hierarchischen
RBFS die Auflösung der Abbildung direkt einstellen. Ausführlicher wird das Verfahren und dessen
Ergebnisse in [2] diskutiert.
3.5 Parameter und Optimierung
Einererseits beschränken die Radialfunktionen die Reichweite einer lokalen Funktion auf ein Cluster.
Andererseits wird durch deren Ausdehnung und gegenseitige Überlappung eine Mittelung der
Funktionswerte über benachbarte Phasenraumvolumina und letztendlich ein glatter
Funktionswertverlauf des gesamten RBFS erreicht. Daher ist die Feinheit der Clusterung ein kritischer
Parameter, durch den die Wichtung zwischen Smoothing und Differenzierung eingestellt wird. Bei stark
verrauschten Signalen sollte stärker gemittelt und somit größere Cluster verwendet werden. Bei Daten
aus streng deterministischen Systemen oder bei stark unstetigen Funktionen muß stärker differenziert
werden. Durch die eingeführten hierarchischen Radialfunktionen läßt sich der Effekt der
Clusterungstiefe gut untersuchen. Indem für den Fit immer mehr Schichten benutzt werden, bis der
Fehler eines unabhängigen Datensatzes steigt, läßt sich die Grenze zum Overfitting genau finden.
26 Den Großteil der Rechenzeit benötigt nicht das Lösen sondern die Bestimmung des Gleichungssytems.
26

Auch durch den in (3) eingeführten Reichweitenskalierungsfaktor η läßt sich die Wichtung von
Differenzierung und Glättung grob (für alle Cluster gleich) einstellen. Eine Verringerung dieses
Parameters kann z.B. eine zu feine Clusterung wieder verschmieren. In der vorliegenden Arbeit wurde
aber immer η = 5 verwendet und statt dessen die Clusterungsauflösung optimiert, um eine bessere
Kontrolle über die Auflösung zu bekommen.
Es bestehen verschiedene Möglichkeiten, das Abbruchkriterium des Clusterungsalgorithmus und somit
die Feinheit der Clusterung zu definieren. Man kann die Clustertiefe begrenzen, wodurch immer ein
ausgeglichener Baum entsteht, bei dem alle Blätter dieselbe Tiefe besitzen. In dieser Arbeit wird aber
die Minimalgröße eines Cluster festgesetzt, d.h. die Größe ab der ein Cluster nicht weiter geteilt wird.
Um dieses Kriterium zu erreichen, muß in einigen Phasenraumbereichen häufiger geteilt werden und es
entsteht i.a. ein nicht ausgeglichener Baum. Der Vorteil ist, daß die Cluster gemäß der Punktdichte
verteilt werden. Dort, wo die Dichte groß ist, werden mehr Cluster erzeugt, so daß jedes Cluster
ähnliche viele Beispiele enthält (Abbildung 3).
In Zusammenhang mit der Glättungseingenschaft steht auch die Form der lokalen Funktion in (5). Der
lineare Teil hiervon erhöht die Ausdehnung der Radialfunktionen über die Clustergrenzen hinaus (in eine
Richtung). Gerade dann, wenn eine stark nichtlineare Funktion gefittet werden soll, kann dieses die
Qualität des Netzes mindern. Es reicht daher oft aus ihn Null zu setzen und nur den konstanten Teil zu
verwenden 27 . Selbst wenn eine lineare Funktion gefittet werden soll, kann durch die Verwendung vieler
Cluster mit konstanten lokalen Funktionen und der Überlappung der Radialfunktion eine glatte Funktion
gebildet werden. In Tabelle 1 sind die Optimierungsmöglichkeiten zusammengefaßt.
Parameter
Feinheit der Clusterung
Form der lokalen Funktion
Hierarchie
Fit
Einstellungsmöglichkeiten
minimale Clustergröße oder Schichttiefe
konstant oder linear
alle Blätter oder verschiedene Schichten
Sukzessiv von Schicht zu Schicht oder alle Schichten gleichzeitig
Tabelle 1: Parameter bei der Netzwerkoptimierung
27 Das lineare Gleichungssystem würde zwar für die optimalen Parameter b=0 liefern, dieses stellt aber bei großen
Eingabedimensionen einen unverhältnismäßig hohen und unnötigen Rechenaufwand dar, der quadratisch zur Clusteranzahl
und zur Dimension steigt.
27

4
3
P1
P2
P3
2
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x
Abbildung 3: Diese Grafik ist ein Produkt des Clusterungsalgorithmus. Es sind 2000 Punkte normalverteilt mit doppelter Varianz in x-Richtung generiert worden. Die Cluster an
den Blättern des Teilungsbaumes sind durch Verbindungslinien vom Clusterschwerpunkt zu seinen Datenpunkten angedeutet. Der Algorithmus erzeugt durch das Einfügen von
mehr senkrechten als waagerechten Teilungen automatisch runde Cluster. Auch enthalten alle Cluster ähnlich viele Datenpunkte, was durch eine tiefere Teilung in Bereichen mit
höherer Dichte (in der Mitte) erreicht wird. (P1: Baumtiefe=5, P2: Baumtiefe=6, P3: Baumtiefe=7)
28

4 Analyse von Luftstaubgemischen
4.1 Einleitung
Die Verschmutzung der natürlichen Umwelt ist ein großes, wenn nicht sogar das größte Problem der
heutigen Menschheit. Die Palette der Ursachen ist umfangreich, sie läßt sich aber in ihrer räumlichen
Ausdehnung in globale und lokale Erscheinungen einteilen. Die Wirkung lokaler Emissionen von
Schadstoffen bleibt durch den natürlichen Stofftransport i.a. jedoch nicht räumlich begrenzt, so daß die
Zusammenhänge zwischen Ursache und Wirkung nicht direkt erkennbar sind. Lokale Ursachen können
extreme weltweite Wirkung zeigen. Als deutliches Beispiel diene hier der Reaktorunfall in Tschernobyl.
Die Bestimmung der Bedeutung einzelner Ursachen für die globale Umweltbelastung könnte effektive
Ansatzpunkte zum Umweltschutz aufzeigen.
In der hier durchgeführten Untersuchung wird genau dieses Ziel verfolgt: Die Detektion einzelner
Schadstoffe (und somit der Schadstoffquellen) aus einem Gemisch von Schadstoffen. Die Analyse
bezieht sich dabei auf Schadstoffe in der Luft. Da die Atmosphäre und deren Strömung die
entscheidende Rolle bei der Verteilung von Schadstoffen über große Flächen spielt, erfaßt man somit
einen großen Teil der global wirkenden Umweltverschmutzung. Die mitgeführten Feststoffe (Stäube)
wirken dabei nicht nur in der Luft, sondern auch durch den Niederschlag herausgewaschen konzentriert
auf der Erdoberfläche.
In der Arbeitsgruppe Geochemie von Prof. Dr. Brumsack des ICBM der Universität Oldenburg wurden
Stäube von ca. 20 Städten in Deutschland aus der Luft gefiltert. Um jahreszeitliche Effekte zu
vermeiden sind diese Proben regelmäßig über längere Zeit mit großem Arbeitsaufwand gewonnen
worden. Eine praktische Methode zu Probengewinnung war hierbei das Einsammeln von Spinnenweben,
die fast über ein Jahr lang Staubpartikel akkumulieren können [15]. Da das Interesse der Untersuchung
nicht in speziellen örtlichen Erscheinungen lag, sondern in einen Überblick über das Gebiet Deutschland
wurden alle Proben vor einer weitere Untersuchung zu einer einzigen Probe miteinander vermischt.
Diese eine Probe wurden anschließend chemisch aufgeschlossen und der Gehalt an 42 chemischen
Elementen bestimmt.
In dieser Arbeit soll aus den Daten des chemischen Analyseergebnisses ermittelt werden, durch welche
Staubquellen und in welchem anteiligen Verhältnis der Staub wahrscheinlich gebildet wurde. Damit
dieses gelingen kann müssen. 1. die Elementzusammensetzungen der Staubquellen bekannt sein und 2.
die Staube sich in ihrer Elementzusammensetzung hinreichend genug voneinander unterscheiden. Von
der Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Brumsack wurden 21 Klassen als die wichtigsten Staubverursacher
definiert, so daß man mit den 42 Elementen sogar ein überbestimmtes System erhält. Leider ist aber die
29

Zusammensetzung vieler Stäube nicht exakt bekannt bzw. variiert, so daß die Überbestimmtheit dazu
benutzt werden muß, um die Sicherheit des Ergebnisses zu erhöhen.
Nicht alle Stäube in der Luft haben zivilisatorische Ursachen, denn rund 15% der Staubmassse wird
durch verschiedene natürliche Prozesse in die Luft gebracht. Diese einzelnen Staubquellen sind aber
nicht der Untersuchungsgegenstand der Arbeit. Sie werden nicht separiert, sondern zu Gruppen
zusammengefaßt: Alles, was von der natürlichen Erdoberfläche in die Luft getragen wird, wird als
kontinentaler Oberkrustenstaub bezeichnet. Alle Stäube pflanzlicher Natur werden ebenfalls zu einer
Gruppe (Pflanzendetritus) zusammengefaßt.
Das Interesse dieser Analyse liegt in der Bestimmung der künstlichen Staubverursacher, die möglichst
genau separiert werden sollen. Dabei besteht das Problem, daß einige dieser Stoffe eigentlich Gemische
sind und weiter unterteilt werden müßten. Zum Beispiel läßt sich der Reifenabrieb, als ein
Hauptbestandteil der künstlichen Stäube, in die verschieden Herstellermischungen auftrennen, die sich
erheblich voneinander unterscheiden können. Leider lassen sich Reifen chemisch schlecht analysieren
und Informationen über deren Zusammensetzung werden von den Herstellen geheim gehalten. Ebenso
schwer lassen sich Emissionsdaten z.B. von den Zementfabriken oder Verbrennungsanlagen [16]
erhalten. Daher ist es sehr aufwendig, eine ausreichend genaue und umfangreiche Datenbasis für eine
zuverlässige numerische Analyse aufzubauen. In der Arbeitsgruppe von Herrn Prof. Dr. Brumsack
wurden daher Angaben aus der Literatur durch eigene Analysen ergänzt. Trotzdem muß davon
ausgegangen werden, daß die Datenbasis Unsicherheiten bis zu 30% bei einigen
Elementzusammensetzungen enthält.
Eine Untersuchung, die auf einer so großen Datenbasis beruht ist unseres Wissens nach noch nicht
durchgeführt worden und stellt einen großen Fortschritt in der Unweltanalytik dar. Aus dem Ergebnis
dieser Untersuchung könnten weitreichende Konsequenzen gezogen werden, da sich der Anteil der
einzelnen Verursacher an der gesamten Umweltverschmutzung klar nachweisen ließe.
4.2 Aufgabenbeschreibung
Aufgabenstellung:
Eine Staubprobe ist chemisch analysiert und der Gehalt an 41 chemischen Elementen in mg Element pro
kg Probenmaterial bestimmt worden. Bekannt ist weiterhin die elementare Zusammensetzung von 21
wichtigen Stoffen aus denen die Probe gebildet wurde 28 . Diese Informationen werden in einer
Konzentrationsmatrix C zusammengefaßt und sind in Tabelle 37 im Anhang einzusehen.
28 Es wird angenommen, daß die Proben keine weiteren Stoffe enthält.
30

Die Aufgabe besteht darin, aus der elementaren Zusammensetzung der Staubprobe auf die relativen
Anteile der einzelnen Staubquellen zu schließen. Weiterhin soll untersucht werden, ob auch mit der
Einbeziehung von weniger Elementen in die Rechnung, zuverlässige Ergebnisse erzielt werden können.
Hierdurch ließe sich der chemische Analysenaufwand reduzieren.
Probleme:
Da einige Stoffe sehr ähnliche Zusammensetzungen aufweisen, sind in der Konzentrationsmatrix einige
Spalten fast linear abhängig. Diese Entartung überträgt sich auf das zu lösende lineare
Gleichungssystem in Form einer Spalten- und Zeilenentartung, wodurch numerische Ungenauigkeiten
auftreten können. Außerdem ist die Konzentrationsmatrix stark fehlerbehaftet (ca. 30% Unsicherheit bei
einigen Elementen), was zusätzlich eine Unsicherheit im Ergebnis produziert.
Methoden:
1. Durch geeignete Transformation der Elementkonzentrationen soll die Konzentrationsmatrix besser
konditioniert und eine numerisch günstigere Basis geschaffen werden.
2. Mit dem Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate und einer Matrixinversion wird die
wahrscheinlichste Stoffzusammensetzung ermittelt.
3. Die zu invertierende Matrix wird in ihre Hauptkomponenten zerlegt und auf ihre relevanten
Eigenrichtungen reduziert. Dieses wirkt der Entartung der Matrix entgehen und vermindert die
Unsicherheit der Ergebnisse aufgrund von ungenauen Eingabedaten (Elementanalyse).
4. Durch Korrelationsuntersuchungen sollen ähnliche Stoffe zu Gruppen zusammengefaßt werden, die
dann als Kombinationsstoffe behandelt werden können.
5. Die für die Stoffkonzentrationsbestimmung unwichtigen Elemente sollen aus der Datenbasis
eliminiert und die daraus resultierende Veränderung der Ergebnisse untersucht werden.
4.3 Mathematische Basis
Ein Stoff j enthält i=1..M Elemente der Konzentrationen C ij . Ein Gemisch von j=1..N Stoffen, mit
relativen Anteilen x j , enthält Elemente der Konzentrationen b i . Diese Größen stehen in folgender
Beziehung:
(10) b= C⋅x
Gesucht wird für ein unbekanntes Stoffgemisch mit bekannter Elementzusammensetzung die
wahrscheinlichste stoffliche Zusammensetzung im Sinne des kleinsten mittleren quadratischen Fehlers.
Als Nebenbedingungen sind Einschränkungen im Wertebereich, x j =[0,1] sowie die Erhaltung der
Gesamtmasse
N
∑ x j
= 1
j = 1
zu berücksichtigen. Die erste Nebenbedingung wird im Endresultat korrigiert:
Da Stoffe, für die sich negative Konzentrationen ergeben, höchst wahrscheinlich nicht im Gemisch
enthalten sind, wird ihr Anteil explizit auf 0 gesetzt und in einer zweiten Rechnung eine neue Verteilung
nach dem kleinsten quadratischen Fehler bestimmt. Die zweite Nebenbedingung der Massenerhaltung
31

kann durch einen Lagrange-Parameter λ ′ berücksichtigt werden. Die Aufgabe lautet dann, von (11) ein
Extremum zu bestimmen.
M N
N
⎛
⎞ ⎛ ⎞
2
(11) χ : = ∑⎜
−
,
⎟ − λ′ ⎜1−
⎟ →
= ⎝
b ∑ C x ∑
= ⎠ ⎝
x = ⎠
Minimum
i i j j
j
i
j
j
Daraus folgt:
1
1
2
1
(12) ∂ χ 2
∂ x
(13)
k
⎛
⎞
= 2⋅∑ ⎜bi −∑Ci, jxj⎟ Cik
,
+ λ′ = 0
i ⎝ j ⎠
2
∂χ
1 0
∂λ′ =− + ∑x = j
j
λ
Weiter ergibt sich mit λ = ′
2
das Gleichungssystem
⎛ ⎞
(14) ∑⎜∑Cik
,
Ci, j⎟ ⋅xj − λ = ∑Ci,
kbi
⎝ ⎠
j
i
i
(15) ∑ x j
= 1,
oder in Matrixschreibweise,
j
(16)
⎛
⎛
− 1⎞
⎛ x ⎞ ⎜
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ CC
T ⎟
⋅ ⎜ ⎟
= ⎜
⎜
− 1⎟
⎜ x ⎟ ⎜
N
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝1 1 0 ⎠ ⎝ λ⎠
⎜
⎝
∑
1 i i,
1
i
∑
i
bC
bC
i
1
i,
M
⎞
⎟
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎟
⎠
Das lineare Gleichungssystem wird mit Hilfe einer PCA-Zerlegung [20] und der dann sehr einfachen
Invertierung der Matrix gelöst. Dabei sollen die Eigenrichtungen mit kleinen Eigenwerten nicht
verwendet werden. Das Eliminieren von Eigenrichtungen in der kompletten LGS-Matrix
(C T C&Nebenbedingung) bewirkt auch eine teilweises Wegblenden der Nebenbedingung. Um dieses zu
vermeiden, wird wie folgt nur im C T C-Raum projeziert.
Mit der diagonalen Matrix D und der orthonormalen Matrix U kann C T C gemäß
T
(17) CC= UDU ⋅ ⋅
zerlegt werden.
−1
32

⎛
Einsetzen in (16), Multiplikation von links mit U− 1
0⎞
⎜ ⎟
⎝ 0 1⎠
und Einfügen einer Einheitsmatrix als
U U
E = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⋅ ⎛ −1
0
⎠ ⎝ ⎜ 0⎞
⎟
0 1 0 1⎠
vor dem Vektor der Unbekannten, führt auf das einfache Gleichungssystem
(18)
⎛
⎜
⎝
D
−U
⋅e⎞
⎛U
⎟⋅⎜
x⎞
⎛U
⎟ = ⎜
−1 −1
−1
T
C b⎞
.
( )
⎟ −1
T
U e 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝ 1 ⎠
Aus der komponentenweisen Darstellung
(19)
⎛d
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝ f
11 ,
1
1
d
f
N,
N
N
− f ⎞ ⎛ y1⎞
⎛ a1⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟
⋅
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
− f ⎟ ⎜
N y ⎟ ⎜
N a ⎟
N
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝ 1 ⎠
mit
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−1
f = U e
−1
y = U x
−1 T
a = U C b
kann man sofort ablesen, daß y
i
ai
f iλ = + ist. Fast entartete Spalten und Zeilen von C T C führen
d d
ii , ii ,
auf kleine Werte für d i,i und damit unter Umständen zu sehr großen y i . Da bei (fast) Entartung aber auch
die a i nur von geringer Genauigkeit sind, ist es sinnvoll, die entsprechenden y i =0 zu setzen. Die übrigen
y i werden gemäß obiger Gleichung bestimmt und mittels U auf die x i zurücktransformiert.
Im folgenden soll genauer untersucht werden, wie sich die Fehler in den Elementkonzentrationen
σ : = ( ) auf die Fehler in den Stoffkonzentrationen S 2 S 2
σ j : = σ ( x j ) auswirken. Man geht von
E
2 E 2
i σ b i
Gleichung (14) ohne Betrachtung der Nebenbedingung aus:
T
T
(20) CC⋅ x=
Cb
Mit
(21) A = C T C
ergibt sich
(22) x= A −1 C T b
Manipulationen in den Elementkonzentrationen b bewirken eine Änderung in den Stoffkonzentrationen
x:
S 2
(23) σ j = ∑
M
i = 1
2⎛
∂ x j
σ i
⎜
⎝ ∂ bi
Die Ableitung nach b i extrahiert die Spalte i von A −1 C
T , so daß
E
⎞
⎟
⎠
2
33

x j
−1
T
(24) = ∑ A
j kCk
, i
= ∑ A
∂b
∂
i
k
−1
, j,
kCi,
k
k
(25)
(26)
S
=∑ ∑∑
σ σ σ
S
σ
2 E
E 2 −1 −1
j
i Aj, kAj, lCi, kCi,
l
i k l
∑
∑
= ∑A A σ C C
2 −1 −1 E 2
j j, k j, l i i, k i, l
ist.
k l i
Unter der Annahme, daß der gleiche Fehler (=1) in allen Elementkonzentrationen vorliegt, ist nach (21)
die rechte Summe gerade A k,l und ergibt mit der Matrix davor δ jk ,
, so daß
2
C T −1
j
= C ,
S σ ist.
(27) ( ) j j
Falls die Fehler in den Elementkonzentrationen nicht identisch sind, muß Gleichung (11) zu folgendem
erweitert werden:
(28) χ : =
N
⎛
⎞
⎜b − C x ⎟
⎛
− λ′ ⎜1−
⎝
M i i,
j j
N
2 ⎜ j=
1 ⎟
∑ E
⎜
1 σ ⎟ ∑
i= i
j=
1
⎜
⎝
∑
⎟
⎠
2
Für diesen Fall ergibt sich aber das Ergebnis entsprechend (27), mit folgender transformierten Matrix 29 .
⎞
xj⎟
⎠
(29) C′ =
i,
j
C
i,
j
E
σi
Da sich C T C nach (17) zerlegen läßt, kann die Inverse hiervon als U⋅D
−1 ⋅U
T bestimmt werden. Für
(27) gilt dann
(30)
U
2
S
ji
σ 2 j
=∑ ,
i di
Als sinnvolles Fehlermaß für die Qualität der ganzen Analyse eignet sich die Summe über alle Fehler in
den Stoffkonzentrationen.
S
(31) ∑ σ
j
= ∑ ∑
j
2 1
Da aber U orthonormal ist, ergibt die hintere Summe für alle i eine 1.
i
d
i
j
U
2
i,
j
(32)
∑
j
σ 2 j
= ∑
1
d
S
i
i
34

Man erkennt, daß kleine d i der Gesamtfehler stark erhöhen und daher zur effektiven Fehlerminimierung
die kleine d i in Gleichung (19) eliminiert werden sollten.
4.4 Voruntersuchungen
4.4.1 Stoffsortierung
Die Entartung der Konzentrationsmatrix C (Tabelle 37 im Anhang) bzgl. der Stoffe (Matrixspalten) soll
genauer analysiert werden. Dazu werden die Skalarprodukte zwischen allen Paaren von
Spaltenkombinationen betrachtet. Die Spalten werden vorher auf Vektorlänge 1 normiert, damit nur der
Winkel zwischen den Vektoren eine Rolle spielt. Die Ergebnisse sind in der Kreuzkorrelationsmatrix
(KKM) in Abbildung 4 dargestellt. Die hier verwendete grafische Darstellung einer Matrix wird häufig
in dieser Arbeit verwendet. Sie ist übersichtlicher als eine Zahlentabelle und wird wie folgt interpretiert:
Die Größe des Matrixelementes entspricht der Kantenlänge der Quadrate, die je nach Grafikskalierung
zu Rechtecken verzerrt sein können. Das Vorzeichen wird durch ein Kreuz (entsprechend plus für
positiv) und durch eine horizontale Linie (entsprechend minus für negativ) im Quadrat dargestellt. Das
Zentrum eines Rechteckes hat die Koordinaten der entsprechenden Zeile (Abszisse) bzw. Spalte
(Ordinate) der Matrix.
Die Nummern an den Koordinatenachsen entsprechen den Stoffnummern in Tabelle 37 im Anhang. So
stellt z.B. die erste Matrixspalte die Korrelationen des Stoffes 1 mit allen anderen Stoffen dar. Beim
Betrachten der Grafik findet man andere Stoffe, die ähnliche Korrelationsmuster besitzen und kann
aufgrund dieser wechselseitigen Beziehungen Gruppen von ähnlichen Stoffen finden. Diese Gruppen
können deutlicher sichtbar werden, wenn die Spalten der Konzentrationsmatrix (Stoffe) umsortiert
werden. Hierzu wurde ein Sortieralgorithmus verwendet, der auf einem Vergleich der Spalten der
Korrelationsmatrix untereinander beruht. Ausgehend von einer Spalte, die explizit an die erste
Sortierstelle gestellt wird, sucht man die „nächst ähnlichste“ Spalte (durch das kleinstes Skalarprodukt
definiert), die dann die 2. Stelle einnimmt. Die Spalte an 2. Stelle dient dem nächsten Vergleich. Dieses
Verfahren wird so lange fortgeführt, bis zur vorletzten Spalte sortiert worden ist. Die letzte verbleibende
Spalte wird an die letzte Stelle sortiert.
Die resultierende Sortierreihenfolge ist natürlich von der Wahl des Ausgangsstoffes abhängig. Als
„Start-Stoff“ wurde Pflanzendetritus gewählt, da sich damit subjektiv die beste Sortierung ergab.
Außerdem wurden innerhalb von großen Korrelationsgruppen einige wenige Umsortierungen von Hand
vorgenommen, die von der umskalierten Konzentrationsmatrix des nächsten Abschnitts nahegelegt
wurden.
29 [20] Kapitel 15. Modelling of Data
35

Das Resultat der Sortierung ist in Tabelle 2 angegeben, die dazugehörige Korrelationsmatrix in
Abbildung 6. Die Stoffgruppen, die in der Matrix zu erkennen sind, wurden in der Tabelle markiert. In
den folgenden Abschnitten wird nur diese Sortierung verwendet falls nicht anders vermerkt, d.h. alle
Stoffnummern beziehen sich auf diese Tabelle. In Abbildung 5 ist zusätzlich die Korrelationsmatrix in
einer höheren Auflösung angegeben, wodurch die Unterschiede bei fast parallelen Vektoren verstärkt
werden und die Feingruppierungen innerhalb einer Gruppe besser zu erkennen sind.
Bemerkung: Stoff 15 (Müllverbrennungsstaub) ist wie zu erwarten mit allen anderen Stoffen korreliert.
Stoffgruppen
Nr. Orig. Nr. Stoff
1 18 Pflanzendetritus
2 3 Dieselfeststoffemission
3 1 Reifenabrieb
4 2 Teer
5 15 Rückstand Heizöl leicht
6 13 Bremsabrieb I
7 4 Benzinfeststoffemission
8 16 Rückstand Heizöl schwer
9 14 Bremsabrieb II
10 12 Reingasstaub Stahl
11 9 Reingasstaub Braunkohle
12 5 Zementabrieb
13 7 Kalk
14 11 Reingasstaub Zement
15 10 Reingasstaub Müllverbrennung
16 17 Meersalz
17 20 Chlor
18 8 Reingasstaub Steinkohle
19 6 Ziegelabrieb
20 21 Kontinentale Oberkruste
21 19 Schwefel
Tabelle 2: Ergebnis der Stoffsortierung nach Korrelationen untereinander. Die Gruppen ähnlicher
Stoffe sind durch dicke Linien separiert.
36

20
20
15
15
10
10
5
5
0
0 5 10 15 20
0
0 5 10 15 20
Abbildung 4: Stoffskalarprodukte in der originalen
Stoffsortierung (Kantenlänge ist Matrixelement hoch
0.5)
Abbildung 5: Stoffskalarprodukte der umsortierten
Stoffe (Kantenlänge ist Matrixelement hoch 20)
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
Abbildung 6: Stoffskalarprodukte der umsortierten Stoffe (Kantenlänge ist Matrixelement hoch 0.5)
37

4.4.2 Transformation der Konzentrationsmatrix
Die Konzentrationsmatrix C enthält Elementkonzentrationen in sehr unterschiedlichen
Größenordnungen. (Z.B. Zementabrieb 5⋅10 5 mg/kg, Kalzium und Teer nur 32 mg/kg). Diese schlechte
Konditionierung von C wirkt sich ungünstig auf das numerische Lösen des LGS aus. Die grafische
Darstellung der Matrix in Abbildung 7 liefert einen Überblick über das Ausmaß und die Verteilung des
Ungleichgewichtes. Zu beachten ist dabei, daß die Quadrate mit kleinem Exponenten skaliert wurden,
um überhaupt die kleinen Elementkonzentrationen noch erkennen zu können.
Ein weiteres Problem sind die stark unterschiedlichen Elementkonzentrationen der Probe, denn dadurch
werden die Elemente unterschiedlich stark im Least-Square-Fit gewichtet. Um dieses Problem zu
umgehen, bietet sich eine Umskalierung aller Elementkonzentrationen in der Probe auf 1 an. Es wird
dabei angenommen, das die Elemente mit derselben relativen Präzision analytisch bestimmt werden
können.
Der Nachteil bei dieser Methode ist, daß die Probenzusammensetzung einen sehr großen Einfluß auf die
Skalierung der Matrix und somit generell auf die Untersuchungsmethode hat. Die Ergebnisse der
Untersuchung anderer Proben würden nicht mehr vergleichbar sein. Entscheidender ist aber, daß den
Ungenauigkeiten in der Mischungsmatrix 30 keine Rechnung getragen würde, die ebenso das Ergebnis
beeinflußt, wie der Meßfehler in der Probennahme.
Daher wird eine anderer Weg eingeschlagen: Die Elementkonzentrationen werden so umskaliert, daß sie
in der Mischungsmatrix einen ähnlichen Fehler besitzen. Der größte Wert, der in der
Konzentrationsmatrix für ein Element vorliegt, dient als eine grobe Bandbreitenabschätzung der
Variation der Elementkonzentrationen. Deshalb wird jede Elementkonzentration in C einzeln durch
diesen größten Wert dividiert. In Abbildung 8 ist das Resultat der Elementtransformation für die
Mischungsmatrix dargestellt. Man erkennt an der gleichmäßigeren Größenverteilung der Quadrate eine
wesentlich besser konditionierte Matrix.
30 Dabei spielt nicht nur die Genauigkeit der chemische Analyse eine Rolle, sondern die Unsicherheit über die
Klassifizierung eines Stoffes. (Inhomoge Stoffgemische werden zusammengefaßt.)
38

40
40
35
35
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0 5 10 15 20
0
0 5 10 15 20
Abbildung 7: Konzentrationsmatrix C
0.3
(Kantenlänge = C i, j
)
Abbildung 8: Konzentrationsmatrix nach
0.3
Elementskalierung (Kantenlänge = C i, j
)
Die Elementkonzentrationen in der gegebenen Probenanalyse ändern sich entprechend der Tabelle 3.
Man erkennt eine Variation von 0.2 bei Stoff 5 bis 0.003 bei Stoff 40. D.h. die Elemente werden zwar
immer noch unterschiedlich im Least-Square-Fit gewichtet, dieses aber wesentlich gleichmäßiger als
vorher. Wie man aber in Abschnitt 4.6.3 (Reduktion der Element) erkennen kann, scheinen einige
Elemente trotz ihres geringen Gewichtes einen großen Einfluß auf die Lösung zu haben und umgekehrt.
Deshalb ist es sinnvoll, neben der reinen numerischen Untersuchung zusätzlich chemisches Wissen über
die Bedeutung einiger Elemente für die Detektion spezieller Stoffe einzubeziehen, wie in diesem
Abschnitt durchgeführt.
0.023 0.183 0.164 0.035 0.200 0.012 0.604 0.108 0.030 0.013
0.070 0.071 0.015 0.180 0.045 0.067 0.077 0.06 0.161 0.174
0.033 0.006 0.025 0.086 0.015 0.113 0.037 0.052 0.060 0.003
0.092 0.208 0.170 0.011 0.163 0.088 0.135 0.068 0.065 0.003
0.058 0.028
Tabelle 3: Stoffkonzentrationen in der Probe nach der Umskalierung (Elemente 1-42 von links oben nach
rechts unten sortiert)
39

Die Elementskalierung beeinflußt die Korrelation der Stoffe und die Gruppenbildung. In der Abbildung
9 sind die Stoffskalarprodukte nach der Transformation der Elementkonzentrationen dargestellt. Man
erkennt, daß die grobe Struktur erhalten bleibt. Innerhalb der Gruppen, insbesondere innerhalb der
ersten, kann aber nun als zusätzlicher Effekt besser differenziert werden (vergl. mit Abbildung 6).
Die Umskalierung der Elementkonzentration ändert nicht die Lösung des linearen Gleichungssystems
(10). Daher wird in allen folgenden Abschnitten immer die transformierte Konzentrationsmatrix
verwendet. Sie erhält kein neues Symbol, sondern wird ebenso mit C bezeichnet.
Matrix with Scaling =0.5
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
Abbildung 9: Spalten-Skalarprodukte der umskalierten Matrix
4.4.3 Hauptkomponentenzerlegung des LGS
In diesem Abschnitt wird untersucht, wie sich die Entartung der Konzentrationsmatrix und somit auch
die der Matrix C T C beim Lösen des linearen Gleichungssystems auswirkt. Dazu wird eine
Haupkomponentenzerlegung (PCA - Principal Component Analysis) [20] von C T C durchgeführt, deren
Ergebnis als Grafik in Abbildung 10 dargestellt ist und wie folgt zu interpretieren ist.
Die PCA-Grafik besteht aus der Matrixgrafik inclusive einer Kurve, welche die Eigenwerte w i darstellt.
Die orthonormale Matrix (U -1 ) T (=U) aus (17) wird nach der oben beschriebenen Methode gezeichnet,
daher entspricht die Abszisse der Eigenvektornummer und die Spalten enthalten die
Komponentendarstellung der Eigenvektoren im ursprünglichen 31 (Stoff-)Koordinatensystem. Die
31
Die PCA-Zerlegung wird dabei als eine Komposition von Abbildungen aufgefaßt: Transformation in das
Eigenvektorsystem mit U -1 , Stauchung bzw. Streckung um die Eigenwerte mit D, Rücktransformation in alte Basis mit U.
40

Eigenwerte werden in Form einer Kurve an die Ordinate abgetragen. Da bei dem vorliegenden Problem
nicht deren absolute Größe entscheidend ist, sondern nur das Verhältnis zueinander werden die
Eigenwerte umskaliert: Der größte Eigenwert wird auf die Zeilenzahl der Matrix gesetzt.
Die Eigenvektoren werden in der Grafik nach der Größe ihrer Eigenwerte sortiert. Der Vektor mit dem
größten Eigenwert bildet die linke Matrixspalte und der mit dem kleinsten die rechte. An den
Komponenten (Spalten) jedes einzelnen Eigenvektors läßt sich deren Zusammensetzung erkennen. Z.B.
besteht der rechten Eigenvektor hauptsächlich aus einer Kombination von Stoff 5 mit negativem
Vorzeichen sowie Stoff 3 und 4 mit positivem Vorzeichen (Rückstand Heizöl leicht - Reifenabrieb -
Teer), einer Kombination der Steingruppe (Stoff 11-12-13, Reingasstaub - Braumkohle -
Zementabrieb - Kalk) und weiteren kleineren Komponenten. Durch das Wegblenden dieser
Eigenrichtung würde die entsprechende Linearkombination von Stoffen bei der Lösung des LGS
wegfallen.
Matrix with Scaling =0.5
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
Abbildung 10: Hauptkomponentenzerlegung von C T C ohne Nebenbedingung
In Tabelle 4 stehen die Beträge der Eigenwerte, die in der Abbildung 10 nicht ersichtlich sind. Man
erkennt, daß sich der größte und der kleinste Eigenwert um einen Faktor von rund 4000 unterscheiden.
Die kleinen Eigenwerte bewirken, daß sich ein Meßfehler in der Probennahme stark auf die Form der
Lösung auswirkt (23). Der 16. Eigenwert unterscheidet sich nur um rund einen Faktor 100 von größten
41

Eigenwert, so daß durch eine Projektion auf die größten 16 Eigenrichtungen die Unsicherheit aufgrund
von Meßfehlern verringert werden kann.
Stoffummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Eigenwert 29 9.5 7.2 4.8 4.1 3.6 2.8 2.6 2.0 1.6
Stoffnummer 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Eigenwert 1.3 0.99 0.73 0.57 0.548 0.26 0.079 0.033 0.024 0.010
Stoffnummer 21
Eigenwert 0.007
Tabelle 4: Eigenwerte der PCA-Zerlegung. (Stoffnummern nach Tabelle 2)
In Abbildung 11 wird eine wichtige mathematische Idee dieser Analyse deutlich: Sie zeigt die PCA-
Zerlegung von C T C inclusive der Nebenbedingung. Man erkennt, daß durch das Wegprojizieren der
Eigenrichtungen mit kleinem Eigenwert auch die Nebenbedingung (Nebenbedingung entspricht Zeile 22)
teilweise eliminiert wird (bei der 13. Eigenrichtung sehr deutlich mit negativem Vorzeichen), so daß sich
dadurch nicht mehr 100% für die Summe der Konzentrationen ergeben würden. Durch Abseparieren der
Nebenbedingung vor der PCA-Zerlegung, wie hier durchgeführt, wird dieser Effekt vermieden.
Matrix with Scaling =0.5
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
Abbildung 11: Hauptkomponentenzerlegung von C T C & Nebenbedingung.
Dargestellt ist die Matrix U und die Eigenwerte
42

4.4.4 Sensibilitätsbetrachtung
Da sowohl die Konzentrationsmatrix als auch die Probenanalyse eine gewisse Unsicherheit beinhalten,
soll in diesem Abschnitt untersucht werden, wie sich Veränderungen dieser Datenbasis auf das Ergebnis
auswirken. Zu diesem Zweck werden die Probendaten manipuliert, indem erstens 5 % addiert, zweitens
5 % subtrahiert und drittens 5 % Normalrauschen addiert werden. Mit der Konzentrationsmatrix wird
ebenso verfahren. Die Ergebnisse für diese Analyse sind unter der Verwendung aller Eigenrichtungen in
Tabelle 5 aufgeführt.
Manipul. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Nicht
manip.
Daten
-4.24 21.28 20.90 28.26 -2.10 0.63 2.14 0.40 -0.07 2.26 3.55 7.22 -1.76 1.21 1.94 0.51 0.20 3.84
-
20.78
29.75 4.87
Probe -5% -3.80 19.21 17.70 25.57 7.08 0.41 1.84 0.31 0.02 2.32 2.71 6.29 -0.32 1.14 1.87 0.27 0.58 3.75
Probe
+5%
Probe
+1% Noise
-4.68 23.35 24.10 30.95
-
11.29
0.85 2.43 0.49 -0.16 2.20 4.39 8.16 -3.21 1.27 2.01 0.75 -0.17 3.93
-4.83 20.57 21.38 28.98 -2.16 0.67 2.09 0.33 -0.10 2.31 3.18 7.27 -1.52 1.23 1.93 0.58 0.14 4.32
C -5% -4.70 23.46 24.27 31.09
-
11.77
0.86 2.45 0.50 -0.17 2.20 4.43 8.21 -3.28 1.28 2.01 0.77 -0.19 3.94
C +5% -3.82 19.30 17.85 25.70 6.64 0.42 1.86 0.31 0.02 2.32 2.75 6.33 -0.39 1.15 1.88 0.28 0.56 3.75
C + 5%
Noise
-4.26 21.36 21.16 28.22 -2.95 0.68 2.22 0.41 -0.08 2.28 3.17 6.49 -0.41 1.13 1.92 0.31 0.33 3.92
-
19.31
-
22.24
-
21.46
-
22.32
-
19.38
-
20.85
28.02 4.36
31.47 5.37
30.21 4.87
31.56 5.40
28.11 4.38
30.00 4.94
Tabelle 5: Sensibilität der Lösung gegenüber Manipulation der Probendaten (Stoffnummer der Spalten nach
Tabelle 2)
In Tabelle 6 bis Tabelle 8 sind alle Lösungen des LGS angegeben die man erhält, wenn sukzessiv die
Eigenrichtungen weggeblendet werden. Durch den Vergleich der drei Tabellen für jeweils gleiche
Eigenrichtungen erkennt man, daß die Lösung mit weniger Eigenrichtungen (z.B. mit 15) i.a.
unempfindlicher auf Manipulationen der Eingabedaten reagiert, als die Lösung für alle 22
Eigenrichtungen. Die Projektion auf den Unterraum stellt also eine Fehlerunterdrückung dar.
EV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
2 1.84 3.18 1.60 0.68 0.94 2.98 6.28 2.70 6.05 9.75 7.11 4.97 2.68 5.84 9.67 1.80 0.10 16.88 7.48 7.34 0.13
3 2.22 5.15 3.39 2.30 1.85 6.90 8.86 4.27 13.73 13.77 4.68 2.28 1.55 3.53 11.20 1.53 0.14 9.32 1.50 1.69 0.15
4 3.04 6.19 4.69 3.75 2.71 10.44 8.31 5.31 18.77 4.30 5.42 3.63 2.39 3.09 -1.76 1.80 -0.03 9.59 4.10 4.13 0.12
5 4.11 8.04 6.00 4.60 3.53 9.69 13.22 8.51 12.96 6.80 5.61 2.54 1.65 2.38 -6.07 0.84 -0.24 11.80 1.78 2.01 0.25
6 4.55 7.32 5.75 4.55 3.68 7.55 16.43 4.44 6.01 0.64 9.01 5.05 5.77 7.53 -1.64 7.37 1.24 5.10 -0.95 0.05 0.54
7 4.95 8.32 6.76 5.51 4.21 7.93 17.71 5.60 5.80 -3.29 7.22 3.39 4.16 8.06 1.21 5.45 0.96 6.24 -0.76 -0.06 0.64
8 4.66 8.33 6.81 5.73 4.28 7.92 13.60 12.03 3.57 -3.66 7.09 3.71 4.36 -0.18 3.50 7.83 1.82 5.53 0.93 1.37 0.76
9 5.15 10.21 8.58 7.06 5.12 9.15 16.37 5.42 2.59 -3.47 7.24 3.30 3.81 -5.79 3.93 8.27 1.89 5.36 2.70 3.05 0.04
10 5.91 12.03 11.58 10.12 6.35 12.62 12.05 4.16 -2.55 2.33 2.05 4.13 1.85 0.36 2.67 0.18 -1.14 -1.89 8.72 8.47 -0.02
11 5.78 12.00 11.53 10.08 6.32 12.57 12.02 4.05 -2.53 2.49 1.55 3.49 1.35 0.62 2.50 0.92 -0.49 -1.72 8.88 8.60 -0.03
12 6.92 15.02 13.90 12.36 7.43 16.61 3.99 0.72 -4.46 2.23 2.11 4.03 2.14 1.29 2.69 1.08 0.70 3.57 4.10 4.21 -0.62
13 6.52 14.55 13.46 11.88 7.49 15.95 4.07 -0.11 -4.10 2.18 2.46 3.59 1.76 0.71 2.56 0.38 0.13 4.06 3.85 3.92 4.71
14 6.96 14.44 13.35 11.80 7.35 15.07 4.29 -0.24 -3.77 2.13 2.19 4.47 1.92 0.43 2.54 -0.82 2.11 4.10 3.72 3.76 4.21
15 10.51 20.10 16.29 14.69 8.87 3.17 1.92 -0.73 -0.42 2.63 -0.07 4.38 2.42 0.84 1.87 2.37 -3.56 4.27 3.12 4.44 2.88
16 0.92 24.22 18.61 15.83 10.13 0.78 1.20 -0.26 -0.05 2.53 4.48 2.42 2.66 1.50 1.71 0.46 -1.14 3.22 4.09 4.12 2.57
17 -0.04 24.70 18.37 15.81 10.04 0.93 1.49 -0.28 -0.10 2.51 3.01 3.59 3.06 1.44 1.70 0.79 -1.29 3.48 4.10 3.87 2.81
18 1.32 29.88 13.76 14.37 8.90 1.58 1.21 -0.22 -0.34 2.31 3.59 2.52 3.45 1.54 1.77 0.20 -0.64 2.80 2.80 6.03 3.19
19 -0.28 27.99 13.49 15.88 9.84 1.82 1.64 -0.27 -0.34 2.44 1.47 -0.68 9.16 1.23 1.75 -0.66 -0.62 3.71 -1.98 11.57 2.84
20 -2.69 24.88 27.08 8.84 7.78 1.49 1.43 0.34 -0.18 1.87 1.65 6.05 0.83 1.34 2.01 0.19 0.13 3.41 -18.8 28.32 4.08
21 -4.56 21.97 19.30 21.79 9.23 0.88 1.81 0.31 -0.05 2.01 4.02 10.23 -6.51 1.29 2.06 0.92 -0.34 3.48 -22.2 30.66 3.76
22 -4.24 21.28 20.90 28.26 -2.10 0.63 2.14 0.40 -0.07 2.26 3.55 7.22 -1.76 1.21 1.94 0.51 0.20 3.84 -20.9 29.75 4.87
Tabelle 6: Lösungen ohne Manipulation der Daten
In einer Spalte wird jeweils ein Stoff (Stoffnummern laut Tabelle 2) aufgeführt. In den Zeilen wurde von oben
nach unten jeweils eine Eigenrichtung (EV) mehr verwendet. Die erste Eigenrichtung stellt die
Nebenbedingung dar und wird nicht eliminiert.
43

EV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
2 1.84 3.18 1.60 0.68 0.94 2.98 6.28 2.70 6.05 9.75 7.11 4.97 2.68 5.84 9.67 1.80 0.10 16.88 7.48 7.34 0.13
3 2.23 5.17 3.41 2.32 1.86 6.94 8.89 4.29 13.82 13.82 4.65 2.25 1.54 3.50 11.21 1.52 0.14 9.23 1.43 1.62 0.15
4 3.06 6.22 4.72 3.79 2.73 10.53 8.33 5.34 18.92 4.23 5.40 3.62 2.39 3.05 -1.90 1.80 -0.03 9.51 4.07 4.10 0.12
5 4.11 8.03 6.00 4.62 3.53 9.79 13.14 8.47 13.23 6.68 5.59 2.55 1.66 2.36 -6.12 0.86 -0.24 11.67 1.79 2.02 0.24
6 4.56 7.29 5.75 4.57 3.69 7.56 16.50 4.23 5.97 0.25 9.14 5.17 5.97 7.74 -1.50 7.68 1.31 4.67 -1.06 -0.03 0.55
7 4.94 8.23 6.69 5.47 4.19 7.91 17.69 5.32 5.78 -3.46 7.46 3.61 4.45 8.24 1.19 5.88 1.04 5.74 -0.88 -0.13 0.64
8 4.64 8.23 6.76 5.71 4.26 7.90 13.37 12.08 3.43 -3.83 7.32 3.94 4.66 -0.43 3.60 8.38 1.95 5.00 0.89 1.38 0.77
9 5.09 9.99 8.41 6.95 5.05 9.06 15.96 5.90 2.52 -3.66 7.46 3.56 4.15 -5.67 4.00 8.79 2.02 4.84 2.55 2.95 0.10
10 5.86 11.85 11.47 10.07 6.30 12.60 11.55 4.62 -2.73 2.26 2.16 4.41 2.15 0.60 2.71 0.53 -1.08 -2.55 8.70 8.48 0.03
11 5.68 11.80 11.40 10.01 6.25 12.53 11.51 4.45 -2.69 2.49 1.43 3.48 1.42 0.99 2.46 1.60 -0.12 -2.31 8.92 8.66 0.02
12 6.81 14.80 13.75 12.27 7.35 16.53 3.55 1.14 -4.61 2.23 1.99 4.01 2.20 1.65 2.65 1.76 1.05 2.94 4.18 4.31 -0.56
13 6.32 14.23 13.21 11.69 7.43 15.73 3.63 0.14 -4.18 2.17 2.42 3.48 1.74 0.95 2.49 0.92 0.36 3.53 3.87 3.95 5.89
14 6.98 14.06 13.06 11.58 7.22 14.44 3.96 -0.05 -3.69 2.10 2.01 4.78 1.99 0.54 2.46 -0.87 3.30 3.59 3.69 3.71 5.16
15 10.50 19.68 15.97 14.44 8.73 2.63 1.62 -0.53 -0.37 2.59 -0.23 4.70 2.48 0.95 1.80 2.29 -2.32 3.76 3.10 4.39 3.84
16 1.64 23.49 18.11 15.49 9.89 0.43 0.95 -0.10 -0.02 2.50 3.97 2.88 2.70 1.55 1.65 0.53 -0.08 2.78 3.99 4.09 3.55
17 1.11 23.75 17.98 15.48 9.84 0.51 1.11 -0.11 -0.05 2.49 3.16 3.53 2.92 1.52 1.65 0.72 -0.17 2.93 3.99 3.96 3.68
18 2.03 27.26 14.86 14.50 9.07 0.95 0.92 -0.07 -0.21 2.35 3.55 2.81 3.18 1.59 1.69 0.32 0.27 2.47 3.11 5.42 3.94
19 -0.31 24.50 14.47 16.72 10.44 1.31 1.55 -0.15 -0.22 2.54 0.45 -1.87 11.54 1.13 1.66 -0.94 0.31 3.81 -3.87 13.53 3.42
20 -2.12 22.17 24.64 11.45 8.90 1.06 1.39 0.30 -0.10 2.11 0.58 3.16 5.31 1.22 1.86 -0.31 0.86 3.58 -16.49 26.06 4.36
21 -3.89 19.40 17.24 23.75 10.28 0.48 1.75 0.28 0.03 2.25 2.84 7.14 -1.67 1.17 1.91 0.38 0.42 3.65 -19.73 28.28 4.05
22 -3.80 19.21 17.70 25.57 7.08 0.41 1.84 0.31 0.02 2.32 2.71 6.29 -0.32 1.14 1.87 0.27 0.58 3.75 -19.31 28.02 4.36
Tabelle 7: Lösungen für Probenkonzentration -5 %
EVf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
2 1.84 3.18 1.60 0.68 0.94 2.98 6.28 2.70 6.05 9.75 7.11 4.97 2.68 5.84 9.67 1.80 0.10 16.88 7.48 7.34 0.13
3 2.22 5.13 3.37 2.29 1.84 6.85 8.83 4.25 13.64 13.72 4.71 2.31 1.56 3.56 11.18 1.53 0.13 9.41 1.57 1.75 0.15
4 3.03 6.15 4.65 3.72 2.69 10.35 8.28 5.28 18.62 4.37 5.44 3.65 2.39 3.12 -1.62 1.80 -0.03 9.68 4.14 4.17 0.12
5 4.12 8.04 5.99 4.58 3.53 9.58 13.31 8.54 12.68 6.93 5.63 2.53 1.64 2.40 -6.02 0.82 -0.25 11.93 1.77 2.00 0.25
6 4.54 7.36 5.75 4.54 3.67 7.54 16.37 4.66 6.04 1.03 8.88 4.93 5.58 7.32 -1.79 7.06 1.17 5.52 -0.84 0.12 0.53
7 4.96 8.42 6.82 5.55 4.24 7.94 17.72 5.89 5.82 -3.13 6.99 3.17 3.87 7.88 1.23 5.03 0.87 6.73 -0.64 0.01 0.64
8 4.69 8.42 6.87 5.76 4.30 7.93 13.82 11.98 3.71 -3.48 6.86 3.48 4.06 0.06 3.41 7.29 1.69 6.06 0.96 1.37 0.75
9 5.21 10.43 8.76 7.18 5.20 9.24 16.78 4.94 2.66 -3.28 7.03 3.03 3.47 -5.91 3.87 7.75 1.77 5.88 2.85 3.16 -0.02
10 5.95 12.21 11.70 10.18 6.40 12.64 12.55 3.71 -2.37 2.41 1.94 3.85 1.55 0.11 2.63 -0.17 -1.21 -1.22 8.75 8.47 -0.08
11 5.88 12.19 11.67 10.16 6.38 12.62 12.53 3.65 -2.36 2.49 1.67 3.50 1.28 0.25 2.54 0.23 -0.85 -1.13 8.83 8.54 -0.08
12 7.03 15.24 14.05 12.45 7.50 16.68 4.44 0.29 -4.30 2.23 2.23 4.05 2.07 0.92 2.73 0.39 0.34 4.20 4.01 4.12 -0.68
13 6.71 14.87 13.70 12.07 7.55 16.16 4.50 -0.36 -4.02 2.19 2.51 3.70 1.77 0.47 2.63 -0.15 -0.10 4.59 3.82 3.88 3.52
14 6.94 14.81 13.65 12.03 7.48 15.71 4.61 -0.43 -3.86 2.17 2.37 4.15 1.86 0.33 2.62 -0.77 0.91 4.61 3.75 3.80 3.27
15 10.52 20.52 16.62 14.94 9.01 3.70 2.23 -0.92 -0.48 2.66 0.10 4.06 2.36 0.74 1.95 2.44 -4.81 4.78 3.15 4.48 1.93
16 0.20 24.95 19.11 16.17 10.37 1.14 1.45 -0.42 -0.08 2.56 4.99 1.95 2.62 1.44 1.78 0.39 -2.20 3.65 4.19 4.15 1.59
17 -1.19 25.64 18.76 16.14 10.23 1.35 1.88 -0.45 -0.15 2.53 2.87 3.65 3.20 1.36 1.76 0.87 -2.42 4.03 4.21 3.78 1.94
18 0.61 32.50 12.66 14.23 8.73 2.21 1.50 -0.36 -0.47 2.26 3.62 2.23 3.71 1.49 1.85 0.09 -1.56 3.13 2.48 6.64 2.44
19 -0.25 31.49 12.51 15.04 9.23 2.34 1.73 -0.39 -0.47 2.33 2.49 0.51 6.78 1.32 1.84 -0.37 -1.55 3.62 -0.08 9.61 2.25
20 -3.27 27.59 29.53 6.23 6.65 1.92 1.47 0.37 -0.27 1.62 2.71 8.94 -3.65 1.47 2.17 0.69 -0.61 3.24 -21.2 30.58 3.81
21 -5.23 24.53 21.35 19.83 8.18 1.28 1.87 0.34 -0.13 1.77 5.21 13.33 -11.4 1.42 2.22 1.45 -1.10 3.31 -24.8 33.03 3.47
22 -4.68 23.35 24.10 30.95 -11.3 0.85 2.43 0.49 -0.16 2.20 4.39 8.16 -3.21 1.27 2.01 0.75 -0.17 3.93 -22.2 31.47 5.37
Tabelle 8: Lösungen für Probenkonzentration +5 %
4.5 Hauptuntersuchung
Nach den Voruntersuchungen wird in diesem Abschnitt die wahrscheinliche Stoffzusammensetzung der
Probe bestimmt. In Tabelle 9 sind die Lösungen des LGS für die verschiedene Anzahl von
Eigenrichtungen angegeben. Diese Tabelle entspricht der Tabelle 6 mit zusätzlichen Informationen: Die
Unsicherheiten in den Stoffkonzentrationen
S
σ
j
aus (27), die Differenzvektoren zwischen den
analysierten Elementkonzentrationen und denen, die den berechneten Gemischen entsprechen und Werte
χ der Fehlerfunktion (11). In der ersten Zeile „Max“ sind zusätzlich die oberen Schranken der
Stoffkonzentrationen eingetragen, die sich prinzipiell aus den Elementkonzentrationen in der Probe
ergeben. Für jeden Stoff wurde jedes Element der Konzentrationsmatrix mit der Elementkonzentration
der Probe verglichen. Die Menge, die ein Stoff zu einem Element beiträgt, darf die Probenkonzentration
nicht überschreiten und definiert somit die Maximalkonzentration des Stoffes in der Probe. Aufgrund
der großen Ungenauigkeiten der Matrix können diese Konzentrationen aber nur als Orientierung dienen.
In Abbildung 12 bis Abbildung 32 ist der Informationsgehalt von Tabelle 9 in eine grafische Form
übertragen. In jeder Einzelgrafik ist nur die Konzentration eines Stoffes und deren Entwicklung beim
44

Wegblenden von Eigenrichtungen angegeben. Die Unsicherheit des Ergebnisses wird durch Fehlerbalken
angezeigt. Diese Werte sind allerdings mit einem Faktor 0.05 skaliert worden, da sich die Berechnung
der Unsicherheit üblicherweise auf Eingabedaten von der Größenordnung 1 bezieht. Aufgrund der
gewählten Elementskalierung liegen aber Konzentrationen bis unter 0.003 vor, so daß der Fehlerbalken
zu groß werden würde. Eingezeichnet sind außerdem die maximal erlaubten Konzentrationen als
horizontale Linie.
Die Grafiken enthalten eine große Menge an Information, die nicht einfach interpretiert werden können.
Es stellt sich die Frage, wieviele Eigenrichtungen mitgenommen werden sollten, um vertrauenswürdige
Ergebnisse zu erhalten. Wenn zu viele Eigenrichtungen verwendet werden, fließt zu viel fehlerhafte
Information in das Ergebnis ein, d.h. Fehler innerhalb der Daten beeinflussen das Ergebnis zu stark.
Andererseits dürfen auch nicht zu wenige Eigenrichtungen verwendet werden, da dann wichtige
Information ignoriert wird. Folglich muß ein Bereich gefunden werden, in dem genügend unsichere
Information eliminiert wird, aber die wichtige Information enthalten bleibt.
Klar ist, daß sich die Lösung durch die Elimination der ersten kleinsten Eigenrichtungen stark verändert.
Auf der andere Seite bewirken Änderungen bei schon stark reduzierten Matrizen ebenfalls große
Variationen. Das Minimum der Lösungsveränderung ist daher ein Kriterium für den im vorigen Absatz
beschriebenen Bereich. Zur Bestimmung des Bereiches wird die Differenz zweier
hintereinanderliegender Lösungsvektoren aus Tabelle 9 bestimmt. Die Vektorlänge dient als Maß für die
Veränderung von der einen zur anderen Lösung.
Das Ergebnis dieser Analyse ist in Abbildung 33 gezeigt. Man erkennt darin einen stabilen Bereich von
12 bis 14 Eigenrichtungen, in dem das Minimum liegt, so daß eine Lösung in diesem Bereich gewählt
wird. Um stabilere Aussagen zu erhalten, wird über diese Lösungen gemittelt. Die Varianz über diese 3
Lösungen liefert ein Maß für die Zuverlässigkeit der jeweiligen Stoffkonzentration.
Ein deutliches Kriterium für die richtige Anzahl der Eigenrichtungen liefert die Abbildung 34: Durch die
Projektion in den Hauptkomponentenraum wird im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers (11) die
Lösung schlechter (fette Kurve), gleichzeitig fällt aber die Unsicherheit der Lösung (32), wie in der
dünnen Kurve dargestellt. Durch das Wegblenden der ersten kleinen Eigenrichtungen sinkt die
Unsicherheit sogar überproportional, ohne das der Lösungsfehler stark steigt. Daher würde man wegen
der großen Unsicherheit die Eigenrichtung über 17 nicht mehr verwenden.
Aus den obigen Betrachtungen erscheint es sinnvoll, die 12 bis 14 Eigenrichtungen zu verwenden. Über
diese Zeilen wird gemittelt und deren Varianz bestimmt. Das Ergebnis ist in Tabelle 10 angegeben.
45

EV\Stoff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Fehler
Max 16.67 19.50 47.00 78.00 42.50 4.33 3.77 0.39 0.37 3.33 18.00 10.87 15.62 5.22 1.10 2.33 1.35 6.50 16.20 17.05 6.00
2 1.84 3.18 1.60 0.68 0.94 2.98 6.28 2.70 6.05 9.75 7.11 4.97 2.68 5.84 9.67 1.80 0.10 16.88 7.48 7.34 0.13 1.02
±1.20 ±2.06 ±1.04 ±0.44 ±0.61 ±1.93 ±4.08 ±1.75 ±3.93 ±6.33 ±4.62 ±3.23 ±1.74 ±3.79 ±6.28 ±1.17 ±0.07 ±10.96 ±4.86 ±4.77 1.93
3 2.22 5.15 3.39 2.30 1.85 6.90 8.86 4.27 13.73 13.77 4.68 2.28 1.55 3.53 11.20 1.53 0.14 9.32 1.50 1.69 0.15 0.877
±1.81 ±5.48 ±4.35 ±3.63 ±2.27 ±9.29 ±8.35 ±4.46 ±18.31 ±12.99 ±5.47 ±5.24 ±2.33 ±4.89 ±8.76 ±1.17 ±0.12 ±15.32 ±11.35 ±10.72 ±39
4 3.04 6.19 4.69 3.75 2.71 10.44 8.31 5.31 18.77 4.30 5.42 3.63 2.39 3.09 -1.76 1.80 -0.03 9.59 4.10 4.13 0.12 0.707
±3.20 ±.00 ±6.07 ±5.51 ±3.47 ±14.11 ±8.67 ±5.98 ±24.81 ±19.94 ±6.31 ±6.34 ±3.28 ±4.89 ±25.44 ±1.64 ±0.33 ±15.70 ±12.71 ±12.04 ±3.42
5 4.11 8.04 6.00 4.60 3.53 9.69 13.22 8.51 12.96 6.80 5.61 2.54 1.65 2.38 -6.07 0.84 -0.24 11.80 1.78 2.01 0.25 0.665
±5.75 ±10.90 ±8.51 ±6.77 ±5.09 ±14.25 ±23.02 ±15.12 ±33.33 ±22.64 ±6.43 ±7.63 ±4.38 ±5.60 ±31.41 ±4.17 ±0.96 ±18.57 ±15.79 ±14.76 ±4.37
6 4.55 7.32 5.75 4.55 3.68 7.55 16.43 4.44 6.01 0.64 9.01 5.05 5.77 7.53 -1.64 7.37 1.24 5.10 -0.95 0.05 0.54 0.511
±7.06 ±11.39 ±9.21 ±7.54 ±5.89 ±14.34 ±29.21 ±16.74 ±34.46 ±27.76 ±15.49 ±12.30 ±14.75 ±18.24 ±32.62 ±21.47 ±4.56 ±23.48 ±17.30 ±15.45 ±.43
7 4.95 8.32 6.76 5.51 4.21 7.93 17.71 5.60 5.80 -3.29 7.22 3.39 4.16 8.06 1.21 5.45 0.96 6.24 -0.76 -0.06 0.64 0.495
±7.68 ±13.74 ±12.05 ±10.58 ±7.18 ±14.59 ±30.73 ±19.07 ±34.51 ±41.45 ±21.14 ±18.10 ±19.64 ±18.63 ±39.59 ±26.45 ±5.12 ±25.17 ±17.37 ±15.47 ±.29
8 4.66 8.33 6.81 5.73 4.28 7.92 13.60 12.03 3.57 -3.66 7.09 3.71 4.36 -0.18 3.50 7.83 1.82 5.53 0.93 1.37 0.76 0.441
±7.79 ±14.26 ±12.57 ±11.28 ±7.63 ±15.28 ±32.54 ±37.94 ±35.47 ±41.84 ±22.08 ±19.15 ±20.83 ±39.85 ±41.41 ±33.41 ±7.89 ±25.81 ±18.64 ±16.76 ±0.45
9 5.15 10.21 8.58 7.06 5.12 9.15 16.37 5.42 2.59 -3.47 7.24 3.30 3.81 -5.79 3.93 8.27 1.89 5.36 2.70 3.05 0.04 0.409
±8.22 ±17.97 ±16.24 ±13.65 ±9.02 ±16.76 ±36.31 ±55.97 ±35.98 ±41.88 ±22.08 ±19.41 ±21.23 ±52.16 ±41.47 ±33.43 ±7.89 ±25.82 ±21.51 ±19.57 ±17.454
10 5.91 12.03 11.58 10.12 6.35 12.62 12.05 4.16 -2.55 2.33 2.05 4.13 1.85 0.36 2.67 0.18 -1.14 -1.89 8.72 8.47 -0.02 0.268
±10.15 ±21.33 ±22.39 ±20.55 ±11.74 ±25.25 ±37.72 ±56.38 ±40.58 ±45.04 ±24.64 ±21.73 ±21.24 ±56.20 ±41.48 ±37.32 ±11.39 ±40.79 ±31.37 ±29.03 ±9.86
11 .78 12.00 11.53 10.08 6.32 12.57 12.02 4.05 -2.53 2.49 1.55 3.49 1.35 0.62 2.50 0.92 -0.49 -1.72 8.88 8.60 -0.03 0.267
±11.14 ±21.40 ±22.43 ±20.62 ±11.75 ±25.41 ±37.72 ±56.38 ±40.61 ±45.89 ±35.20 ±37.23 ±31.74 ±58.59 ±42.21 ±56.74 ±37.25 ±40.87 ±33.52 ±30.89 ±0.54
12 6.92 15.02 13.90 12.36 7.43 16.61 3.99 0.72 -4.46 2.23 2.11 4.03 2.14 1.29 2.69 1.08 0.70 3.57 4.10 4.21 -0.62 0.214
±13.96 ±30.50 ±28.65 ±26.84 ±14.58 ±38.82 ±63.00 ±58.99 ±42.99 ±45.90 ±35.35 ±37.50 ±32.27 ±58.98 ±42.25 ±57.02 ±38.48 ±50.32 ±43.23 ±39.61 ±1.54
13 6.52 14.55 13.46 11.88 7.49 15.95 4.07 -0.11 -4.10 2.18 2.46 3.59 1.76 0.71 2.56 0.38 0.13 4.06 3.85 3.92 4.71 0.205
±14.31 ±30.51 ±28.69 ±26.85 ±15.98 ±38.84 ±63.08 ±59.40 ±42.99 ±45.91 ±35.90 ±37.81 ±32.52 ±59.06 ±42.25 ±57.02 ±38.64 ±50.33 ±43.24 ±39.61 ±110.43
14 6.96 14.44 13.35 11.80 7.35 15.07 4.29 -0.24 -3.77 2.13 2.19 4.47 1.92 0.43 2.54 -0.82 2.11 4.10 3.72 3.76 4.21 0.203
±26.38 ±30.71 ±29.00 ±27.30 ±15.98 ±47.04 ±63.28 ±59.40 ±43.86 ±45.91 ±37.45 ±55.30 ±33.70 ±59.41 ±42.26 ±70.72 ±100.13 ±50.59 ±43.25 ±39.68 ±15.45
15 10.51 20.10 16.29 14.69 8.87 3.17 1.92 -0.73 -0.42 2.63 -0.07 4.38 2.42 0.84 1.87 2.37 -3.56 4.27 3.12 4.44 2.88 0.158
±41.45 ±57.67 ±39.66 ±38.09 ±21.55 ±105.78 ±66.37 ±59.45 ±50.97 ±46.15 ±41.91 ±55.46 ±34.15 ±59.57 ±42.54 ±74.96 ±105.64 ±50.61 ±43.38 ±40.25 ±20.75
16 0.92 24.22 18.61 15.83 10.13 0.78 1.20 -0.26 -0.05 2.53 4.48 2.42 2.66 1.50 1.71 0.46 -1.14 3.22 4.09 4.12 2.57 0.132
±119.02 ±72.88 ±46.58 ±39.65 ±25.23 ±108.84 ±66.78 ±59.63 ±51.14 ±46.17 ±67.21 ±60.67 ±34.20 ±59.97 ±42.58 ±78.09 ±108.17 ±51.75 ±44.63 ±40.48 ±130.94
17 -0.04 24.70 18.37 15.81 10.04 0.93 1.49 -0.28 -0.10 2.51 3.01 3.59 3.06 1.44 1.70 0.79 -1.29 3.48 4.10 3.87 2.81 0.131
±147.90 ±81.28 ±52.44 ±40.04 ±27.24 ±109.85 ±71.87 ±59.71 ±51.34 ±46.24 ±138.55 ±111.76 ±47.12 ±60.26 ±42.60 ±82.69 ±110.36 ±57.41 ±44.63 ±46.47 ±135.45
18 1.32 29.88 13.76 14.37 8.90 1.58 1.21 -0.22 -0.34 2.31 3.59 2.52 3.45 1.54 1.77 0.20 -0.64 2.80 2.80 6.03 3.19 0.129
±155.10 ±242.34 ±219.35 ±80.96 ±61.07 ±114.95 ±72.42 ±59.72 ±52.56 ±47.40 ±140.27 ±122.15 ±50.13 ±60.31 ±42.69 ±86.66 ±111.51 ±63.02 ±74.51 ±103.97 ±140.43
19 -0.28 27.99 13.49 15.88 9.84 1.82 1.64 -0.27 -0.34 2.44 1.47 -0.68 9.16 1.23 1.75 -0.66 -0.62 3.71 -1.98 11.57 2.84 0.126
±167.24 ±274.73 ±222.10 ±130.64 ±89.73 ±114.98 ±74.20 ±59.72 ±52.63 ±48.67 ±176.26 ±198.02 ±300.12 ±61.70 ±42.69 ±96.12 ±114.33 ±76.14 ±248.34 ±299.95 ±148.34
20 -2.69 24.88 27.08 8.84 7.78 1.49 1.43 0.34 -0.18 1.87 1.65 6.05 0.83 1.34 2.01 0.19 0.13 3.41 -18.84 28.32 4.08 0.113
±174.97 ±275.13 ±322.96 ±256.37 ±126.55 ±115.37 ±74.33 ±60.42 ±52.64 ±53.24 ±181.12 ±279.70 ±422.36 ±61.84 ±43.09 ±101.13 ±115.93 ±78.22 ±384.20 ±402.88 ±150.31
21 -4.56 21.97 19.30 21.79 9.23 0.88 1.81 0.31 -0.05 2.01 4.02 10.23 -6.51 1.29 2.06 0.92 -0.34 3.48 -22.25 30.66 3.76 0.111
±201.89 ±316.76 ±529.54 ±743.27 ±148.89 ±119.97 ±77.04 ±60.43 ±53.12 ±53.79 ±221.83 ±359.37 ±578.90 ±61.90 ±43.17 ±108.44 ±118.62 ±78.32 ±425.93 ±422.10 ±155.34
22 -4.24 21.28 20.90 28.26 -2.10 0.63 2.14 0.40 -0.07 2.26 3.55 7.22 -1.76 1.21 1.94 0.51 0.20 3.84 -20.78 29.75 4.87 0.11
±201.8 ±319.01 ±571.38 ±828.78 ±1111.9 ±119.98 ±81.60 ±61.05 ±53.54 ±53.80 ±223.11 ±370.89 ±590.25 ±61.99 ±43.77 ±108.49 +-118.64 +-78.83 +-427.38 +-422.77 ±156.18
Tabelle 9: Berechnete Stoffkonzentrationen in Abhängigkeit von der Anzahl der verwendeten Eigenrichtungen EV (Stoffnummern laut Sortierung in Tabelle 2)
In den jeweiligen Zeilen unter den Konzentrationsangaben sind die dazugehörigen Unsicherheiten
S σ j
aus (27) angegeben. Die Zeile „Max“ enthält die durch die
Probenzusammensetzung determinierten maximal möglichen Stoffkonzentrationen. In der Fehlerspalte ist die Länge des Differenzvektors zwischen der analysierten
Elementkonzentration und der Konzentration, die dem berechneten Gemisch entsprechen angegeben (Wert χ der Fehlerfunktion (11)).
46

Variation der Lösung für jeweils einen Stoff
80
70
Plot1
Plot1
78
In Abbildung 12 bis Abbildung 32 sind die
berechneten Stoffkonzentrationen (Ordinate) in
Abhängigkeit von der Anzahl der verwendeten
Eigenrichtungen (Abszisse) dargestellt. Die
Fehlerbalken sind mit 0.05 skaliert. Die
waagerechte Linien zeigt die maximal mögliche
Stoffkonzentration.
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
0 5 10 15 20 25
Abbildung 15: Stoff 4 (Teer)
60
Plot1
Plot1
42.5
40
20
15
Plot1
Plot1
16.7
20
0
10
5
-20
0
-40
-5
-60
0 5 10 15 20 25
-10
-15
0 5 10 15 20 25
Abbildung 16: Stoff 5 (Heizöl - leicht)
Abbildung 12: Stoff 1 (Pflanzendetritus)
20
Plot1
Plot1
4.33
45
40
Plot1
Plot1
19.5
15
10
35
30
5
25
20
0
15
-5
10
5
-10
0 5 10 15 20 25
0
0 5 10 15 20 25
Abbildung 13: Stoff 2 (Diesel)
50
Plot1
Plot1
47
Abbildung 17: Stoff 6 (Bremsabrieb I)
20
15
Plot1
Plot1
3.77
40
30
10
20
5
10
0
0
-10
0 5 10 15 20 25
-5
0 5 10 15 20 25
Abbildung 14: Stoff 3 (Reifen)
Abbildung 18: Stoff 7 (Benzin)
47

14
30
12
Plot1
Plot1
0.39
25
Plot1
Plot1
10.87
10
20
8
15
6
10
4
5
2
0
0
-5
-2
-10
-4
0 5 10 15 20 25
-15
0 5 10 15 20 25
Abbildung 19: Stoff 8 (Heizöl - schwer)
Abbildung 23: Stoff 12 (Zementabrieb)
30
Plot1
Plot1
15.6
25
20
Plot1
Plot1
0.37
20
10
0
15
10
-10
5
-20
-30
0
-5
-40
0 5 10 15 20 25
-10
0 5 10 15 20 25
Abbildung 24: Stoff 13 (Kalk)
Abbildung 20: Stoff 9 (Bremsabrieb 2)
15
Plot1
Plot1
0.33
10
8
Plot1
Plot1
5.22
6
10
4
2
5
0
-2
0
-4
-5
-6
-8
-10
0 5 10 15 20 25
Abbildung 21: Stoff 10 (Reingasstaub Stahl)
20
Plot1
Plot1
18
-10
0 5 10 15 20 25
Abbildung 25: Stoff 14 (Reingasstaub Zement)
15
12
10
Plot1
Plot1
1.1
10
8
5
6
4
0
2
0
-5
-2
-10
0 5 10 15 20 25
-4
-6
Abbildung 22: Stoff 11 (Braunkohle)
-8
0 5 10 15 20 25
Abbildung 26: Stoff 15 (Müllverbrennung)
48

10
60
Plot1
Plot1
2.33
Plot1
Plot1
17.5
8
50
6
40
4
30
2
20
0
10
-2
-4
0
-6
0 5 10 15 20 25
-10
0 5 10 15 20 25
Abbildung 27: Stoff 16 (Meersalz)
Abbildung 31: Stoff 20 (kont. Oberkruste)
8
12
6
Plot1
Plot1
1.35
10
Plot1
Plot1
6
4
8
2
6
0
4
-2
2
-4
-6
0
-8
-2
-10
0 5 10 15 20 25
-4
0 5 10 15 20 25
Abbildung 28: Stoff 17 (Chlor)
Abbildung 32: Stoff 21 (Schwefel)
20
Plot1
Plot1
6.5
15
10
5
0
-5
0 5 10 15 20 25
Abbildung 29: Stoff 18 (Steinkohle)
20
Plot1
Plot1
16.2
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0 5 10 15 20 25
Abbildung 30: Stoff 19 (Ziegelabrieb)
49

90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
VerwendeteEigenrichtunge
Abbildung 33:
Veränderung der Lösungen von einer zur andere Eigenrichtung. Die Ziffer i auf Abszisse bedeutet i.
Lösung - (i-1). Lösung. Um das Minimum besser grafisch besser erkennen zu können wurde statt
euklidische Vektorlänge die absolute Koordinatensumme geplottet.
1.2
Plot1
Plot2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 5 10 15 20 25
Verwendete Eigenrichtungen
Abbildung 34: Fehler (fett) - Unsicherheit (normal). Beide Kurven sind auf das Maximum 1 skaliert worden.
50

Mittelwerte für die Zeilen 12..14:
Stoff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mittelwert 6.79934 14.6668 13.5704 12.0141 7.4208 15.8761 4.11537 0.122204 -4.11003 2.18088 2.25449 4.02844 1.93884 0.810573 2.5958 0.213829 0.977664 3.90902 3.88678 3.96187 2.7667
Varianz 0.039478 0.062823 0.056152 0.059838 0.003280 0.39453 0.015447 0.17968 0.077570 0.001524 0.023100 0.128862 0.024354 0.126516 0.004770 0.615246 0.689595 0.057408 0.024301 0.035555 5.7783
Mittelwerte für die Zeilen 11..14:
Stoff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mittelwert 6.54527 13.9997 13.0615 11.5316 7.14484 15.0505 6.09239 1.10349 -3.71379 2.25826 2.07902 3.89418 1.79237 0.762928 2.57175 0.389269 0.611545 2.50201 5.13413 5.12137 2.0676
Varianz 0.223278 1.38212 0.818963 0.743323 0.230922 2.34061 11.7374 3.02353 0.529202 0.019103 0.109705 0.150726 0.082626 0.101697 0.005313 0.553773 0.919327 5.98208 4.6859 4.06002 5.8000
Mittelwerte für die Zeilen 10..14:
Stoff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mittelwert 6.41771 13.6065 12.766 11.25 6.98634 14.5641 7.28373 1.71562 -3.48082 2.27349 2.07348 3.94089 1.80411 0.6815 2.59175 0.34774 0.260788 1.62442 5.85178 5.79147 1.6494
Varianz 0.243706 1.72426 1.0045 0.911812 0.285221 2.81901 15.067 3.91764 0.640467 0.016211 0.087886 0.129307 0.066652 0.10788 0.005850 0.449917 1.22758 7.86633 5.80879 5.04415 5.3395
Tabelle 10: Mittelwerte von Lösungen aus Tabelle 9 (Stoffnummer laut Sortierung in Tabelle 2). Angegeben ist außerdem die Varianz der Werte, über die gemittelt wurde.
51

4.6 Erweiterte Untersuchung
4.6.1 Bildung von Stoffgruppen
Die Ergebnisse des vorigen Kapitels wurden Prof. Dr. Brumsack zur Begutachtung zur Verfügung
gestellt. Die Stoffkonzentrationen die bestimmt wurden lagen in dem Rahmen, der erwartet wurde.
Weiterhin wurde festgestellt, daß durch die numerischen Korrelationsuntersuchungen berechnete
Sortierung der Stoffe und die gefundenen Stoffgruppen genau die bekannten chemischen
Zusammenhänge widerspiegeln.
Daraufhin wurde beschlossen, durch das Einbringen chemischer Zusammenhänge eine Modifikation der
Untersuchung vorzunehmen. Diese betrifft die Stoffarten sowie die für die Berechnung verwendeten
Elemente, auf die im nächsten Abschnitt eingegangen wird. Die Modifikationen lassen sich teilweise
numerisch begründen. Zum besseren Verständnis der Modifikationen wird die neue Stoffsortierung in
Tabelle 11 eingeführt. Die Korrelationsmatrix für diese Sortierung ist in Abbildung 35 zu sehen.
Modifikationen:
1. Stoff 20 (Bremsabrieb II) und 21 (Chlor) werden aus der Analyse entfernt.
2. Stoff 3 (Rückstand Heizöl leicht) und Stoff 4 (Dieselfeststoffemission) werden zusammengefaßt
3. Stoffe 10 & 11 (Zementabrieb & Kalk) sowie 17 & 18 (Ziegelabrieb und kont. Oberkruste) werden
zusammengefaßt
4. Stoff 15 & 16 (Reingasstaub Braun- und Steinkohle) werden zusammengefaßt
zu 1: Bremsabrieb II ergab numerisch eine negative Konzentration und wird auf Konzentration 0 gesetzt
bzw. fällt aus der Analyse raus. Chlor wurde von den Geochemikern nur aus numerischen Gründen
eingefügt und wird nicht beachtet.
zu 2: Aufgrund der chemischen Ähnlichkeit, die auch in der Korrelationsmatrix zu erkennen ist, werden
die Stoffe nicht separiert. Stoff 2 (Reifenabrieb) könnte wie in der Abbildung 35 ersichtlich mit
einbezogen werden, bleibt aber aufgrund seiner Wichtigkeit als Schadstoff separiert.
zu 3: Chemisch und durch ihre Korrelationen gut begründet.
zu 4: Die Stoffe könnten aufgrund ihrer Korrelation getrennt bestimmt werden, dieses ist aber praktisch
wenig interessant.
Bei der Zusammenfassung zweier Stoffe wird davon ausgegangen, daß sie im Verhältnis 1:1 in jeder
Probe vorliegen. D.h. die Konzentrationsmatrix wird so reduziert, daß die entsprechenden Spalten in der
Konzentrationsmatrix durch den Mittelwert der Spalten ersetzt werden.
52

Stoffnr.
Stoffnr. in
alter
Sortierung
Stoffnr. incl.
Zusammenfassung
Stoff
1 4 1 Teer
2 3 2 Reifenabrieb
3 5 3 Rückstand Heizöl leicht
4 2 Dieselfeststoffemission
5 6 4 Bremsabrieb I
6 1 5 Pflanzendetritus
7 7 6 Benzinfeststoffemission
8 8 7 Rückstand Heizöl schwer
9 10 8 Reingasstaub Stahl
10 12 9 Zementabrieb
11 13 Kalk
12 14 10 Reingasstaub Zement
13 15 11 Reingasstaub Müllverbrennung
14 16 12 Meersalz
15 11 13 Reingasstaub Braunkohle
16 18 Reingasstaub Steinkohle
17 19 14 Ziegelabrieb
18 20 Kontinentale Oberkruste
19 21 15 Schwefel
20 9 16 Bremsabrieb II
21 17 17 Chlor
Tabelle 11: Neue Stoffsortierung - Die Stoffgruppen sind durch dicke Linie separiert. Die Stoffe, die
kombiniert werden sollen, sind grau unterlegt.
Matrix with Scaling =0.5
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
Abbildung 35: Stoffkorrelationen bzgl. der Sortierung in Tabelle 11
53

Man erkennt in Abbildung 36, daß durch die Stoffzusammenfassung gut separierbare
Stoffe/Stoffgruppen entstehen, für die die Konzentrationen berechnet werden (Tabelle 12). Bei dieser
Untersuchung ist nicht eindeutig, wieviele Eigenrichtungen für die Lösungsbestimmung verwendet
werden sollen, da die Lösungen für einige Stoffe teilweise stark mit der Anzahl der Eigenrichtungen
variieren. Die Stabilitätsuntersuchung (analog Abschnitt 4.5) liefert ein Minimum der Lösungsvariation
im Bereich 8-10 Eigenrichtungen. Dieses würde allerdings eine sehr starke Informationsreduktion
bedeuten. Es ergeben sich auch sehr unterschiedliche Lösungen bzgl. der vorigen Untersuchung. Daher
werden auch für diese Untersuchung wieder die Eigenrichtungen bis 12 und 14 verwendet.
Die Mittelwertbildung über die Eigenrichtungen (Tabelle 13) ergibt ähnliche Ergebnisse wie die
vorherige Untersuchung (Tabelle 10). Allerdings unterscheidet sich die Konzentration des Stoffes 4
(Bremsabrieb I) sehr. Die Ursache liegt in dem Sprung dieser Konzentration von 13.7 auf 4.06 beim
Übergang von der 11. zu 12. Eigenrichtung. Bei der anderen Untersuchung (Tabelle 9) trat ein Sprung
von 15.07 auf 3.17 beim Übergang von der 14. zur 15. Eigenrichtung auf, so daß die Anzahl der
Eigenrichtungen der beiden Analysen als nicht kompatibel anzusehen ist. Es ist daher nicht klar welches
Ergebnis besser ist. Leider tritt diese Unsicherheit bei einem so wichtigen Schadstoffverursacher wie
dem Autoverkehr auf.
16
Matrix with Scaling =0.5
14
12
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Abbildung 36: Stoffkorrelationen der reduzierten Stoffmenge
Die Stoffnummern entsprechen denen in Spalte 3 der Tabelle 11.
54

EV\Stoffnummer
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Summe Fehler
2 0.47 1.43 4.76 4.23 1.58 7.08 3.40 14.19 6.70 6.18 12.52 2.28 22.87 12.09 0.22 100 1.36
±0.01 ±0.03 ±0.10 ±0.09 ±0.03 ±0.15 ±0.07 ±0.31 ±0.15 ±0.14 ±0.27 ±0.05 ±0.50 ±0.26 ±0.01 2.19
3 0.65 1.73 5.55 4.75 1.41 8.24 3.87 18.10 4.59 5.16 17.80 1.75 18.65 7.54 0.21 100 1.33
±0.03 ±0.06 ±0.17 ±0.13 ±0.04 ±0.25 ±0.11 ±0.69 ±0.31 ±0.18 ±0.86 ±0.08 ±0.72 ±0.66 ±0.01 4.30
4 3.05 4.59 12.16 14.05 2.75 14.43 10.69 24.72 2.87 -0.64 -4.43 -0.95 15.75 0.66 0.29 100 1.08
±0.15 ±0.20 ±0.49 ±0.63 ±0.10 ±0.53 ±0.47 ±0.93 ±0.32 ±0.34 ±1.39 ±0.16 ±0.72 ±0.74 ±0.02 7.18
5 5.15 7.10 18.85 7.67 4.22 27.35 10.51 -1.27 1.76 4.73 1.96 2.80 10.84 -2.64 0.97 100 0.704
±0.26 ±0.34 ±0.87 ±0.63 ±0.19 ±1.28 ±0.52 ±1.44 ±0.32 ±0.46 ±1.41 ±0.27 ±0.72 ±0.77 ±0.05 9.53
6 5.23 6.64 15.69 16.91 3.66 21.89 -1.53 0.66 6.50 6.91 1.55 11.37 2.93 1.44 0.15 100 0.568
±0.30 ±0.36 ±0.87 ±1.39 ±0.19 ±1.28 ±1.26 ±1.45 ±0.65 ±0.59 ±1.41 ±1.10 ±1.02 ±0.85 ±0.09 12.81
7 5.31 6.39 14.12 19.57 3.23 14.92 7.48 -2.29 6.84 1.53 4.30 12.49 2.61 3.03 0.47 100 0.511
±0.32 ±0.37 ±0.87 ±1.67 ±0.19 ±1.52 ±1.94 ±1.56 ±0.69 ±1.00 ±1.51 ±1.23 ±1.03 ±0.91 ±0.12 14.93
8 5.55 6.64 14.28 21.15 3.23 14.59 7.45 -2.75 5.84 2.83 4.62 9.88 2.09 4.12 0.47 100 0.508
±0.37 ±0.41 ±0.88 ±1.97 ±0.19 ±1.53 ±1.94 ±1.59 ±0.94 ±1.31 ±1.52 ±2.06 ±1.09 ±1.15 ±0.12 17.07
9 5.06 5.95 12.80 19.98 3.14 13.73 9.22 -1.96 5.77 6.63 3.81 10.38 1.71 2.99 0.78 100 0.501
±0.39 ±0.47 ±1.03 ±1.97 ±0.19 ±1.56 ±2.23 ±1.62 ±0.94 ±2.38 ±1.55 ±2.15 ±1.13 ±1.26 ±0.21 19.08
10 5.08 6.11 13.72 14.63 2.63 15.65 10.75 0.86 4.08 5.38 2.93 10.58 -3.31 10.50 0.42 100 0.477
±0.40 ±0.48 ±1.09 ±2.27 ±0.22 ±1.67 ±2.32 ±1.76 ±1.00 ±2.38 ±1.57 ±2.18 ±1.85 ±2.40 ±0.22 21.81
11 4.96 5.89 13.46 13.70 3.29 15.95 10.98 1.01 9.73 4.97 3.18 7.59 -4.58 9.90 -0.03 100 0.471
±0.40 ±0.49 ±1.09 ±2.29 ±0.44 ±1.69 ±2.34 ±1.76 ±3.30 ±2.39 ±1.58 ±2.61 ±2.04 ±2.41 ±0.30 25.13
12 9.82 11.36 24.84 4.06 4.39 1.03 1.59 2.72 6.05 3.12 2.08 2.61 0.97 5.26 20.11 100 0.249
±0.92 ±1.03 ±2.19 ±2.41 ±0.53 ±2.29 ±2.38 ±1.77 ±3.31 ±2.41 ±1.58 ±2.61 ±2.04 ±2.42 ±2.69 30.58
13 12.65 14.45 30.31 2.06 5.59 -3.57 1.45 3.08 6.20 4.99 1.95 3.30 1.15 4.45 11.93 100 0.219
±1.28 ±1.42 ±2.77 ±2.50 ±0.65 ±2.74 ±2.38 ±1.78 ±3.31 ±2.47 ±1.58 ±2.61 ±2.04 ±2.44 ±4.02 33.99
14 14.73 16.14 21.93 1.46 19.59 -2.10 0.30 3.19 2.67 2.86 2.03 2.54 2.56 4.20 7.91 100 0.176
±1.91 ±1.91 ±3.56 ±2.51 ±6.09 ±2.74 ±2.38 ±1.78 ±3.38 ±2.49 ±1.58 ±2.62 ±2.04 ±2.44 ±4.04 41.47
15 26.93 32.82 9.99 0.09 2.17 0.94 0.29 3.42 3.93 2.30 1.81 1.67 4.38 3.03 6.24 100 0.135
±94 ±7.63 ±6.16 ±2.58 ±7.70 ±2.96 ±2.39 ±1.79 ±3.43 ±2.49 ±1.58 ±2.62 ±2.09 ±2.46 ±4.04 55.87
16 49.52 11.75 10.72 -0.08 0.07 1.79 0.03 3.66 3.62 1.90 1.94 1.42 4.99 2.97 5.71 100 0.128
±25.53 ±21.68 ±6.16 ±2.60 ±7.87 ±3.13 ±2.39 ±1.82 ±3.44 ±2.52 ±1.59 ±2.62 ±2.15 ±2.46 ±4.04 90.01
Tabelle 12: Lösung für die Stoffgruppenbildung. Die Stoffnummern entsprechen denen in Spalte 3 der
Tabelle 11. Im umrandeten Bereich findet ein krassen Sprung der Lösung von der 12. zum 11 Eigenrichtung
statt.
Stoff -> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Mittelwert 12.4 14.0 25.7 2.5 9.9 -1.5 1.1 3.0 5.0 3.7 2.0 2.8 1.5 4.6 13.3
Varianz 4.1 3.9 12.1 1.2 47.9 3.7 0.3 0.0 2.7 0.9 0.0 0.1 0.5 0.2 25.8
Stoff/-gruppen in
alter Sortierung
Lösung: ohne
Stoffreduktion
(EV 12-14)
1 2 3+4 5 6 7 8 9 10+
11
12 13 14 15+
16
12.0 13.6 22.1 15.9 6.8 4.1 0.1 2.2 5.9 0.8 2.6 0.2 6.1 7.9 2.7
17+
18
19
Tabelle 13: Gemittelte Lösung über Eigenrichtung 12 bis 14. Die Stoffnummern entsprechen denen in Spalte 3
der Tabelle 11. Angegeben ist außerdem die Lösung die ohne die Stoffgruppenbildung sich ergab. Die
Konzentrationen für zusammengefaßte Stoffe wurden dabei summiert.
55

4.6.2 Bestimmung der Elementgruppen
Die Elementgruppen lassen läßt sich analog den Stoffgruppen durch die Korrelation der Zeilen der
Konzentrationsmatrix untersuchen. Durch die Sortierung der Elemente analog Abschnitt 4.4.1 ergibt
sich mit Tabelle 14 die Kreuzkorrelationsmatrix in Abbildung 37. In der Grafik sind die
Elementgruppen, also die Elemente, die häufig gemeinsam in den Stoffen des Staubgemisches
vorkommen, zu erkennen. Wie bei der Stoffgruppenuntersuchung spiegeln hier die numerisch
gewonnenen Untersuchungsergebnisse die bekannten chemischen Zusammenhänge wieder: Z. B. folgen
die drei Erdalkalimetalle Sr, Mg, Ca aufeinander. Hg, Cd und Ag als edle Metalle bilden ebenso ein
Gruppe wie Na und Cl (Kochsalz).
Matrix with Scaling =1
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Abbildung 37: Skalarprodukte der Elemente mit den Elementnummern nach Tabelle 14.
Man erkennt Gruppen stark korrelierter Elementen, wie z.B. Na (41) mit Cl (42) und Co (37), Ni (38) mit V
(39).
56

Elementgruppen
Nr.
Originale
Nummer
Element
1 37 Ti
2 2 Al
3 33 Si
4 19 La
5 31 Sc
6 36 Th
7 39 U
8 5 Be
9 3 As
10 32 Se
11 26 P
12 35 Sr
13 20 Mg
14 8 Ca
15 18 K
16 38 Tl
17 28 Rb
18 27 Pb
19 41 Zn
20 17 Hg
21 9 Cd
22 1 Ag
23 6 Bi
24 34 Sn
25 16 Ga
26 14 F
27 24 Nb
28 21 Mn
29 15 Fe
30 12 Cr
31 22 Mo
32 30 Sb
33 13 Cu
34 42 Zr
35 4 Ba
36 7 OC+EC
37 11 Co
38 25 Ni
39 40 V
40 29 S
41 23 Na
42 10 Cl
Tabelle 14: Sortierung der Elemente nach ihren Korrelationen zueinander.
Elemente, die von den Geochemikern als wichtig für die Stoffbestimmung eingeordnet wurden, sind grau
unterlegt. Elemente, die in der Kreuzkorrelationsmatrix in Abbildung 37, eine Gruppe bilden, sind durch dicke
Linien getrennt.
57

4.6.3 Reduktion der Elementanzahl
Die Konzentrationsbestimmung der 41 chemischen Elemente in der Staubprobe stellt einen großen
chemischen Analysenaufwand dar. Deshalb soll im folgenden versucht werden, ob auch mit der
Kenntnis von weniger Elementkonzentrationen die Stoffe ausreichend genau zu bestimmen sind. Dieser
Versuch könnte Erfolg haben, da viele Elemente in Gruppen auftreten - wie im vorigen Abschnitt
gezeigt - und es daher eventuell ausreicht, nur ein Element einer Gruppe zu bestimmen. Außerdem
könnten einige Elemente generell nur einen geringen Einfluß auf die Konzentrationsbestimmung haben.
Es stellt sich jetzt die Frage, welche Elemente wichtig sind und auf welche verzichtet werden kann.
Aus dem chemischen Wissen ist bekannt, daß einige Elemente besonders wichtig für die Identifizierung
einiger Stoffe sind. Eine pragmatisches Auswahlkriterium für eine Element ist außerdem, wie einfach
und genau es chemisch zu bestimmen ist. Die so ausgewählten Elemente sind in Tabelle 16 markiert.
Man kann aber auch rein mathematische Argumente für die Elementauswahl finden. Es wurde die
Elementzusammensetzung, die sich aus den berechneten Stoffkonzentrationen ergibt, mit der
analysierten Elementzusammensetzung 32 in der Probe verglichen. In Abbildung 38 ist der prozentuale
Fehler der berechneten Elementkonzentrationen grafisch dargestellt. Man erkennt, daß nach der PCA-
Reduktion einige Elemente extrem schlecht getroffen werden. Speziell für Zr (42), Sb (30), Mo (22) und
Cu (13) trifft dies zu. Ein Grund dafür ist das geringe Gewicht im Least-Square-Fit, wie man an den
umskalierten Elementkonzentrationen in Tabelle 3 erkennen kann. Viele andere Elementkonzentrationen
werden auch sehr schlecht reproduziert. Da diese Elemente nicht richtig bestimmt werden, könnte man
sie von der Untersuchung ausschließen. Im mathematischen Sinne würde man dadurch eine bessere
Lösung erhalten (Fehlerfunktion). Leider entfernt man dabei aber auch chemisch wichtige Elemente, so
daß dieser Weg nicht eingeschlagen wird.
Eine andere Möglichkeit ergibt sich, wenn man eine Lösung (Stoffkonzentrationsvektor) als „richtig“
ansieht und versucht, eine ähnliche Lösung mit weniger Elementen zu reproduzieren. Die
Referenzlösung ist das Ergebnis, das sich unter der Verwendung aller Elemente ergibt. Diese Lösung
und alle folgenden Lösungen werden dabei durch Reduktion und Mittelung von 12 bis 14
Eigenrichtungen bestimmt.
32 Diese Analyse beruht auf der kompletten Analyse aller 21 Stoffe für die Reduktion auf die Eigenrichtungen 12..14 wie
oben durchgeführt.
58

1200
500
A lle E R .
20. ER.
13. ER.
400
Prozentualer Fehler
300
200
100
0
-100
-200
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Elementindex
Abbildung 38: Prozentualer Fehler in den Elementkonzentrationen für verschiedene Anzahl von
Eigenrichtungen. Die Elementindizes liegen in alphabetische Originalsortierung vor.
Dünne Plots: Alle und bis zur 20. Eigenrichtung, dicker Plot bis zur 13. Eigenrichtung
In einem ersten Schritt wird immer nur ein Element eliminiert und die Lösung verglichen. In Tabelle 38
im Anhang wird die prozentuale Änderung der Stoffkonzentrationen beim Fortlassen eines Elementes
gezeigt. Man kann an dieser Tabelle einige Zusammenhänge erkennen. Betrachten wir z.B. zum Beispiel
Spalte 6 und 7 / Zeile 27 (Bremsabrieb I und Benzin / Blei). Benzin ist der Stoff mit der höchsten
Bleikonzentration, daher wird beim Nichtbeachten der Bleikonzentration die Benzinkonzentration nicht
mehr eingeschränkt und steigt um 133 % auf Kosten von Bremsabrieb I mit sehr wenig Bleigehalt.
Als Kriterium für die Ähnlichkeit von Lösungen wurde die Länge des Differenzvektors zwischen der
Lösung mit allen Elementen und der Lösung mit weniger Elementen verwendet. Die Elemente wurden
nach dem Einfluß auf die Lösung sortiert (Tabelle 15). Man erkennt als empfindlichstes „Element“
OC+EC, was aufgrund des großen Gewichtes in der Fehlerfunktion zu erwarten war. Dann folgen einige
Elemente die nur ein kleines Gewicht im Fit haben. Im oberen Teil der Tabelle häufen sich tatsächlich
die chemisch relevanten Elemente, aber auch in der Mitte und am Ende treten einige auf, so daß sich ein
nicht einheitliches Bild ergibt.
Nach dieser Sortierung wurden die Elemente sukzessiv vom unteren Teil der Tabelle her eliminiert. An
dem Ergebnis in der Tabelle 39 im Anhang erkennt man, daß sich bei der Verwendung von nur 25
Elementen noch ähnliche Ergebnisse erzielen lassen.
Das chemische Wissen über die Bedeutung der Elemente soll jetzt verwendet werden. Dazu wird die
Tabelle 16 in Tabelle 17 umsortiert, so daß die chemisch wichtigen Elemente zuletzt entfernt werden,
indem diese Elemente an die Spitze der Tabelle verschoben werden. Die Sortierordnung der relevanten
und nicht relevanten untereinander wird dabei beibehalten. Man erkennt durch Vergleich von Tabelle 39
mit Tabelle 40 an dem Abstand zur Lösung mit allen Elementen, daß diese Methode bei gleich großer
59

Elementanzahl ab dem 5. entfernten Elementen besser abschneidet. Z.B. ergibt sich für 20 Elemente eine
Abweichung von 19.07 bei der ersten Sortierung gegenüber 9.11 bei der zweiten Sortierung. D.h. bei
Entfernen von Elementen nach der zweiten Sortierung würde man weniger Elemente benötigen um
Ergebnisse gleicher Sicherheit zu erhalten.
Laufnum
mer
Elementnum
mer
weggelassen
es Element
Abstand. zur
Lsg. mit
allen
Elementen
umskalierter
Input
(Wichtung in
der
Fehlerfuktion)
1 7 OC+EC 38.2387 0.604
2 27 Pb 7.61248 0.037
3 8 As 6.77847 0.108
4 29 S 6.40033 0.060
5 10 Cl 4.61565 0.013
6 28 Rb 4.15355 0.052
7 23 Na 2.61326 0.025
8 20 Mg 2.58752 0.174
9 5 Be 2.56652 0.200
10 13 Cu 2.29328 0.015
11 14 F 2.28528 0.180
12 30 Sb 2.12957 0.003
13 15 Fe 1.93825 0.045
14 4 Ba 1.90667 0.035
15 33 Si 1.69713 0.170
16 12 Ga 1.6758 0.071
17 11 Co 1.51231 0.070
18 22 Mo 1.4707 0.006
19 42 Zr 1.39897 0.028
20 39 U 1.36822 0.065
21 38 Tl 1.24318 0.068
22 32 Se 1.24266 0.208
23 26 P 1.22951 0.06
24 2 Al 0.91147 0.183
25 18 K 0.818325 0.161
26 35 Sr 0.679311 0.163
27 3 As 0.673266 0.164
28 40 V 0.555189 0.003
29 31 Sc 0.552989 0.092
30 36 Th 0.532147 0.088
31 6 Bi 0.501837 0.012
32 21 Mn 0.491995 0.033
33 19 La 0.449231 0.161
34 17 Hg 0.434589 0.077
35 25 Ni 0.410324 0.015
36 24 Nb 0.386594 0.086
37 1 Ag 0.369962 0.023
38 34 Sn 0.319443 0.011
39 9 Cd 0.282414 0.030
40 37 Ti 0.263967 0.135
41 41 Zn 0.164343 0.058
42 16 Zr 0.0623055 0.113
Tabelle 15: Elemente nach dem Einfluß auf die Lösungen sortiert.
Die chemisch relevanten Elemente sind hier grau unterlegt. In der vierten Spalte ist die Veränderung
der berechneten Stoffkonzentrationen, die sich bei Fortlassen des entsprechenden Elementes ergibt,
dargestellt.
60

Laufnum
mer
Elementnum
mer
weggelassen
es Element
Abstand. zur
Lsg. mit allen
Elementen
1 7 OC+EC keine Angabe
2 27 Pb keine Angabe
3 8 As keine Angabe
4 29 S keine Angabe
5 10 Cl 291.48
6 23 Na 303.11
7 20 Mg 230.67
8 5 Be 39.26
9 13 Cu 87.32
10 15 Fe 33.75
11 11 Co 37.04
12 38 Tl 21.48
12 26 P 16.93
14 2 Al 16.80
15 18 K 10.92
16 3 As 10.33
17 40 V 9.09
18 34 Sn 10.18
19 9 Cd 10.80
20 41 Zn 9.11
21 28 Rb 6.61
22 14 F 8.51
23 30 Sb 8.24
24 4 Ba 6.36
25 33 Si 5.26
26 12 Ga 4.55
27 22 Mo 4.24
28 42 Zr 4.29
29 39 U 3.65
30 32 Se 3.50
31 35 Sr 2.41
32 31 Sc 2.20
33 36 Th 1.68
34 6 Bi 1.39
35 21 Mn 0.88
36 19 La 0.96
37 17 Hg 0.72
38 25 Ni 0.92
39 24 Nb 0.87
40 1 Ag 0.58
41 37 Ti 0.25
42 16 Zr 0.06
Tabelle 16: Elemente nach dem Einfluß auf die Lösungen und chemischer Relevanz sortiert
Die chemisch relevanten Elemente sind hier grau unterlegt. In der vierten Spalte ist die Veränderung
der berechneten Stoffkonzentrationen dargestellt, die sich ergeben, wenn aller Elemente die unterhalb
einer Zeile einschließlich der jeweiligen Zeile stehen fortgelassen werden.
61

4.7 Ergebnisse und Diskussion
Hier ist das Ergebnis für die Stoffgruppenzusammenfassung ohne Elementreduktion angegeben:
Stoff Anteil in %
Rückstand Heizöl leicht + Dieselfeststoffemission 25.7
Reifenabrieb 14.0
Teer 12.4
Pflanzendetritus 9.9
Zementabrieb + Kalk 5.0
Ziegelabrieb + Kontinentale Oberkruste 4.6
Reingasstaub Zement 3.7
Reingasstaub Stahl 3.0
Meersalz 2.8
Bremsabrieb I 2.5
Reingasstaub Müllverbrennung 2.0
Reingasstaub Braunkohle + Steinkohle 1.5
Rückstand Heizöl schwer 1.1
Benzinfeststoffemission -1.5 (?)
Tabelle 17: Endergebnis - bestimmte Soffkonzentrationen
Der Großteil der Stäube wird durch die Diesel- bzw. Heizölverbrennung in die Luft gebracht. Speziell
der hohe Anteil des Reifenabriebes wurde erwartet. Inclusive dem Teeranteil trägt der Autoverkehr
somit mit rund 50% zur gesamten Luftverschmutzung durch Stäube bei.
Die meisten Konzentrationen liegen im dem Rahmen, der von den Geochemikern erwartet wurde. Die
Benzinfeststoffemissionen stimmen allerdings nicht überein und sind auch sensibel bzgl. der
Analysenmethode. In der Analyse ohne die Stoffkomposition ergaben sich Konzentrationen um 5%.
Ebenso verhält es sich mit dem Bremsabrieb (andere Analyse 15.9%).
Der chemische Analysenaufwand kann drastisch durch eine Reduktion der Elementbasis reduziert
werden. Durch die Auswahl von rund 50% der wichtigen Elementkonzentrationen, lassen sich Resultate
erreichen, die sich nicht wesentlich von denen mit großer Elementbasis bestimmen. Dieses ist eine sehr
wichtiges und für die Praxis auswertbares Ergebnis.
In nächster Zeit stellt Prof. Dr. Brumsack eine umfangreichere und wesentlich präzisere Datenbasis zur
Verfügung, mit der diese Untersuchung wiederholt werden soll.
62

5 Detektion der Milankovitchzyklen im Kirchroder Bohrkern
5.1 Einleitung
Während der Unterkreide waren weite Gebiete des heutigen Norddeutschlands von Meer, das nach
Norden hin in direkter Verbindung zum Arktischen Becken stand, bedeckt. In dieser Zeit sind große
Mengen von Tonmergelsedimenten, in einer Wassertiefe von mehreren hundert Metern, mit hohen
Sedimentationsraten von ca. 12 m pro 100.000 Jahre abgelagert worden. In diesen Ablagerungen
wurden die Inhaltsstoffe des Meerwassers eingeschlossen und haben den damals herrschenden
chemischen Zustand des Meeres bis heute konserviert.
Durch aufwendige Tiefenbohrungen kann dieses „Geschichtsbuch der Urzeit“ geborgen und nach einer
chemischen und physikalischen Analyse „gelesen“ werden. Die hier durchgeführte Untersuchung bezieht
sich auf einen Bohrkern, der in Kirchrode bei Hannover gewonnen wurde. Er stammt aus dem Ober-Alb
und wurde von V.E. Rachold [25] chemisch analysiert. Der Kern wurde im Abstand von 0.5 m beprobt
und der Gehalt an 26 chemischen Elementen und Stoffen bestimmt.
Die numerische Untersuchung der Analyseergebnisse konzentriert sich auf die sogenannten
Milankovitch-Zyklen. Der Geophysiker M. Milankovitch konnte nachweisen, daß sich die Form der
Umlaufbahn, die die Erde um die Sonne beschreibt, zyklisch ändert ([23], [24]). Er fand dabei
ausgeprägte Perioden von 19, 23, 41, 100 und 400 ka (kilo-Jahre), die der Variation der Präzession, der
Neigung der Erdachse, der Exzentrizität sowie der Stellung der Erdbahn im Raum und deren
Überlagerungsfrequenzen entsprechen. Diese Zyklen bewirken eine Schwankung der Sonneneinstrahlung
über die Jahrtausende. Die daraus resultierende globale Klimaänderung sollten sich auch in den
Sedimentschichten nachweisen lassen.
Ein Teil der Arbeit von V.E. Rachold beschäftigt sich mit der Identifizierung dieser Zyklen im
Hannoverschen Bohrkern. Ein Problem der Untersuchung ist die Transformation der Längenskala
(Bohrtiefe) in die Zeitskala, da nicht genau bekannt ist, wie groß die Sedimentationsraten zu den
Zeitpunkten waren und wie gleichmäßig der Schichtaufbau erfolgte. Allerdings befindet sich in einer
Bohrtiefe von -40 m bis -100 m eine Abschnitt mit relativ gleichmäßiger Zusammensetzung (ohne
Trend). Da die Zyklen nur in einem stabilen Sedimentationsraum erkennbar sind, beschränkt sich die
Untersuchung daher auf diesen Abschnitt. Die Zeitskaleneichung findet über den in den Zeitreihen sehr
ausgeprägten Zyklus von rund 12.5 m statt, von dem angenommen wird, daß dieser dem 100-Jahres-
Milankovitch-Zyklus entspricht. Auf dieser Basis wurden in der Arbeit von V.E. Rachold die anderen
Zyklen auf 46 ka und 24 ka bestimmt. Durch eine feinere Beprobung eines speziellen Abschnittes mit
Schrittweiten von 0.1 m ist ein 38 ka und ein 19 ka Zyklus bestimmt worden. Der 400 ka Zyklus wurde
nicht gefunden. Von V.E. Rachold wurde die Frequenzanalyse mit einer einfachen Fast-Fourier-
Transformation durchgeführt.
63

In der hier durchgeführten Untersuchung sollen die Frequenzen mit erweiterten Methoden genauer
bestimmt werden. Weiterhin war es geplant, die Meßdaten an den Milankovitch-Zyklen zeitlich zu
eichen. Dieses ist im Prinzip möglich, da die Zyklen keine exakten Konstanten sind, sondern über die
Jahrtausende, bedingt durch die Komplexität unseres Sonnensystems, schwanken. Falls die genaue
Variation der Sonneneinstrahlung für die vergangenen Zeiten bekannt wäre, könnte durch einen
Vergleich mit den gemessenen Werten ein genaue Einordnung des Zeitabschnittes erfolgen. Dieses
könnte grob, aufgrund der Quasiperiodizität durch einen Frequenzvergleich, oder genauer durch eine
direkte Korrelation der Phase erfolgen. Die Milankovitch-Zyklen lassen sich aber für die Vergangenheit
nicht einfach bestimmen. Von J. Laskar ([26] [7]), wurde eine Simulation der Erddynamik entwickelt
mit der sich die Schwankung der Erdbahnparameter zurückrechnen lassen. Es stellte sich aber heraus,
daß das Programm „nur“ eine Extrapolation 20 Millionen Jahre zurück in die Vergangenheit erlaubt. Es
läßt sich daher nicht auf die Kirchrode-Zeitreihen (100 Millionen Jahre alt) anwenden. Für spätere
Untersuchungen sollte geprüft werden, ob eine Erweiterung des Programmes möglich ist und wie
zuverlässig die produzierten Daten dann sind. Für eine Simulation 20 Ma zurück hat sich gezeigt, daß
die Variation des nicht genau bestimmbaren Erdparameters - die Eisbedeckung an den Polen - eine
Phasenverschiebung um fast 180 0 bewirkt, wogegen die Frequenzen sich nur leicht verschieben.
5.2 Sichtung des Datenbestandes
Die 26 Zeitreihen wurden zuerst nach visuellen Ähnlichkeiten grob sortiert. Es wurde dabei auf das
Vorhandensein des stationären Intervalles (-40 bis -100 m Tiefe) geachtet und ob sich Strukturen
(Zyklen) erkennen lassen.
Die Zeitreihen ließen sich in folgende verschiedene Formationen einordnen:
1. Gruppe: viel Struktur mit stationärem Intervall
Rb, K 2 O, Ti 2 0, Cr, V, Al 2 O 3 Si0 2
2. Gruppe: viel Struktur ohne stationäres Intervall
MgO, Pb, Zr, Sr
3. Gruppe: zu Gruppe 1 antikorreliert, aber kein stationäres Intervall
CaO
4. Gruppe: zu Gruppe 1 im vorderen Zeitbereich antikorreliert, danach unklar, stationäres
Intervall
TOC 33
5. Gruppe: wenig Struktur
Fe 2 O 3 , Na 2 O, P 2 O 5 , S, CO 2 , Sc, Co, Ni, Zn, Ga, Y, Nb, Ba, Ce, Th
Exemplarisch wird im folgenden jeweils eine Zeitreihe einer Gruppe gezeigt.
33 Total organic carbon: Der organische und der anorganische Kohlenstoff läßt sich separat analysieren. TOC dient als
Indikator für die biologische Aktivität.
64

0.7
P1
0.65
0.6
Anteil
0.55
0.5
0.45
0.4
-250 -200 -150 -100 -50 0
Abbildung 39: TiO 2 (Gruppe 1)
Tiefe[m]
1200
P1
1100
1000
900
Anteil
800
700
600
500
400
300
-250 -200 -150 -100 -50 0
Tiefe [m]
Abbildung 40: Sr (Gruppe 2)
28
P1
26
24
22
20
Anteil
18
16
14
12
10
-250 -200 -150 -100 -50 0
Tiefe [m]
Abbildung 41: CaO (Gruppe 3)
0.65
P1
0.6
0.55
0.5
0.45
Anteil
0.35
0.4
0.3
0.25
0.2
0.15
-250 -200 -150 -100 -50 0
Tiefe [m]
Abbildung 42: TOC (Gruppe 4)
65

300
P1
250
200
Anteil
150
100
50
0
-250 -200 -150 -100 -50 0
Abbildung 43: Zn (Gruppe 5)
Tiefe[m]
5.3 Untersuchung der Korrelationen und Hauptkomponentenanalyse
Die Korrelationen der einzelnen Elemente zueinander werden über die Zeit gemittelt bestimmt. Durch
eine Hauptkomponentenanalyse (PCA) und Projektion sollen die einzelnen Zeitreihen zu einer
zusammengefaßt werden. Dazu wird für die Zeitreihen aus Gruppe 1 bis 4 die Kreuzkorrelationsmatrix
(KKM) bestimmt. Die Form der grafischen Darstellung einer Matrix ist analog der Grafik im Kapitel
über die Staubanalyse auf Seite 35 zu interpretieren. Auch wurde ein Umsortierung der Matrixzeilen
und Matrixspalten durchgeführt. Mit Blei (Pb) als ersten Stoff ergab sich die Sortierung gemäß Tabelle
18.
1. Pb
2. Rb
3. K20
14
12
ME=1 PS=2 LS=1
4. Al 2 O 2
5. TiO2
6. Cr
7. V
8. Zr
9. MgO
10. SiO 2
11. TOC
12. Sr
13. CaO
Tabelle 18:
Bedeutung der Koordinatenachsen
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14
Abbildung 44: Kreuzkorrelationsmatrix der Stoffe
Zusätzlich wurde die KKN, eingeschränkt auf das stationäre Tiefenintervall, bestimmt. Wie man durch
Vergleich von Abbildung 44 und Abbildung 45 erkennt, sind die Korrelationen im stationären Intervall
66

ähnlich wie die im kompletten Intervall. D.h. auf langen und kurzen Zeitskalen verhalten sich die
Stoffkonzentrationen ähnlich zueinander. Nur SiO 2 fällt heraus und ist in dem eingeschränkten Intervall
mit fast allen anderen Stoffen korreliert.
14
12
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14
Abbildung 45:
KKM für das Tiefenintervall [-100, -40] m
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Abbildung 46: PCA-Grafik der 1. Korrelationsgruppe
Die in der sortierten KKM erkennbaren Korrelationsgruppen bestätigen die im vorigen Abschnitt durch
Kurvenvergleich durchgeführte Einteilung. Die starke Korrelationsgruppe 1 (Al 2 O 3 , V, Cr, TiO 2 , K 2 0,
Rb, SiO 2 ) eignet sich für eine PCA. Dazu wird die KKM separat für diese Gruppe auf das stationäre
Intervall beschränkt bestimmt. Die PCA dieser Matrix (Abbildung 46) ist wieder analog zum Kapitel
über die Hauptkomponentenzerlegung des LGS (Seite 40) zu lesen. Da die linke Spalte (1.
Hauptkomponente), zu (fast) gleichen Teilen aus allen Komponenten besteht, entspricht die Projektion
auf die 1. Hauptkomponente (fast) einer Mittelwertbildung. Die Projektion auf die 1. Hauptrichtung
liefert die Zeitreihe in Abbildung 47.
8
6
4
2
Anteil
0
-2
-4
-6
-8
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40
Tiefe[m]
Abbildung 47: 1. Hauptkomponente von (Al 2 O 3 , V, Cr, TiO 2 , K 2 0, Rb, Si0 2 )
67

5.4 Angewandte Methoden zur Frequenzanalyse
Es wurden drei verschiedene Methoden angewendet, um die Milankovitch-Frequenzen in den Zeitreihen
zu detektieren:
1. Peaksuche im Fourierspektrum (FSM)
2. Hauptfrequenzanalyse (MFA)
3. Peaksuche im Maximum-Entropie-Spektrum (MEM)
Zu 1: Die Zeitreihe wird fouriertransformiert und lokale Maxima im Leistungsspektrum gesucht. Um
die Frequenzen genauer auflösen zu können wird die Fouriertransformation [20] kontinuierlich 34 über
die Integralformel bestimmt 35 .
Zu 2: Bei der Hauptfrequenzanalyse von J. Laskar et al [7] wird im FFT-Leistungsspektrum die
Frequenz mit der größten Amplitude detektiert. Anschließend wird ein Suchverfahren gestartet, das in
der Umgebung dieser Frequenz das lokale Maximum (bzgl. einer definierten Auflösung) im
kontinuierlichen Leistungsspektrum bestimmt. Eine Zeitreihe mit exakt dieser Frequenz (und der
richtigen Phase) wird generiert und von der originalen Zeitreihe abgezogen. Mit dieser reduzierten
Zeitreihe startet die nächste Frequenzbestimmung nach derselben Methode. Dieser Vorgang wird so
lange iteriert, bis die gewünschte Anzahl von Hauptfrequenzen gefunden wurde.
Zu 3: Beim sogenannten Maximum-Entropie-Spektrum (MEM) [20] wird die Zeitreihe an einen
autoregressiven Prozeß gefittet. Aus den Koeffizienten wird das Leistungsspektrum bestimmt, wobei
keine Information über die Phase gewonnen wird. Daher ist es besonders für quasiperiodische Prozesse
geeignet. Das MEM hat weiterhin die Eigenschaft, glatte Spektren zu erzeugen (je nach Polanzahl),
gerade die Hauptfrequenzen stark hervorzuheben und ist visuell gut zu interpretieren. Das Spektrum
kann kontinuierlich für jede Frequenz bestimmt werden, wodurch eine genaue Suche lokaler Maxima
möglich ist
5.5 Durchführung der Frequenzanalysen
Die Frequenzanalyse wurde für drei verschiedene Datensätze durchgeführt:
1. Datensatz: Hauptkomponente der 1. Gruppe im Tiefenintervall [-100..-40]
2. Datensatz: Hauptkomponente der 1. Gruppe im Tiefenintervall [-150..-43]
3. Datensatz: TOC im Tiefenintervall [-100 bis -50]
Zu 1: Dieser Tiefenabschnitt wurde von V.E. Rachold als ein Intervall sehr konstanter
Sedimentationsrate eingestuft und von ihm untersucht.
34 Bzw. mit genügend kleiner Sampling-Rate
68

Zu 2: Der tiefenmäßig erweiterte Datensatz wird zusätzlich untersucht, da er für die ausgewählten
Stoffe durch die reine visuelle Betrachtung als gleichmäßig einzustufen ist. Falls im diesem Intervall
auch tatsächlich konstante Sedimentationsrate herrschte, würde die größere Datenmenge eine bessere
Frequenzbestimmung ermöglichen.
Zu 3: Die TOC Datenreihe wird separat untersucht, da sie nur wenig zu den anderen Datensätzen
korreliert ist, aber ein Indikator für biologische Aktivität und somit für die Sonneneinstrahung ist.
Bei allen Analysen wird zur Eichung der Zeit bzgl. der Bohrtiefe angenommen, daß die Perioden um
12.5 m in der Tiefenskala (detektiert durch einen Peak in Spektrum) einer Periode von 100 ka in der
Zeitskala entsprechen.
5.5.1 Untersuchung von Datensatz 1
0.8
Power(Frequenz)
0.7
0.6
Po
we
r
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frequenz
Abbildung 48: Fourierleistungsspektrum von Datensatz 1
200
Power(Frequenz)
180
160
140
120
Power
100
80
60
40
20
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frequenz
Abbildung 49: ME-Leistungsspektrum mit 50 Polen von Datensatz 1
35 Die Fast-Fourier-Transformation würde bei 128 Datenpunkten eine Auflösung rund 0.7 ka bei der 19 ka-Periode und
16 ka bei der 100 ka-Periode liefern.
69

Frequenz
[1/m]
FSM MEM MFA
Periode Periode Frequenz Periode Periode Frequenz Periode
[m] [ka] (1/m) [m] [ka] [1/m] [m]
Periode
[ka]
0.083 12.047 100.0 0.078 12.800 100.0 0.083 12.110 100.0
0.027 36.571 303.6 0.033 30.118 235.3 0.029 34.380 283.9
0.043 23.273 193.2 0.117 8.533 66.1 0.114 8.792 72.6
0.117 8.533 70.8 0.172 5.818 45.5 0.178 5.622 46.4
0.171 5.851 48.6 0.295 3.391 26.5 0.041 24.232 200.1
0.062 16.254 134.9 0.426 2.349 18.4 0.294 3.404 28.1
0.009 113.778 944.4 0.926 1.080 8.4 0.125 7.983 65.9
0.295 3.391 28.1 0.479 2.090 16.4 0.165 6.062 50.1
0.315 3.170 26.3 0.566 1.766 13.8 1.000 1.000 8.3
0.275 3.631 30.1 0.818 1.222 9.5 keine weiter brauchbaren Frequenzen
0.146 6.872 57.0 0.762 1.313 11.4
0.474 2.111 17.5 0.682 1.467 10.3
0.256 3.908 32.4 0.328 3.048 23.9
0.431 2.322 19.3 0.729 1.373 10.7
0.996 1.004 8.3 0.637 1.571 12.3
0.495 2.020 16.8 0.377 2.653 20.8
0.565 1.769 14.7 0.873 1.145 9.0
0.921 1.086 9.0 0.949 1.054 8.2
0.369 2.709 22.5
0.218 4.592 38.1
0.347 2.885 23.9
0.395 2.535 21.0
0.661 1.513 12.6
und noch mehr
Tabelle 19: Peaks der Frequenzleistungsspektren von Datensatz 1 nach Leistung sortiert. Die grau unterlegten
Felder enthalten die Perioden, die den Milankovitch-Perioden entsprechen.
5.5.2 Untersuchung von Datensatz 2
0.4
Power(Frequenz)
0.35
0.3
0.25
Power
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frequenz
Abbildung 50: Fourierleistungsspektrum von Datensatz 2
70

80
70
60
Power(Frequenz)
P1
50
Power
40
30
20
10
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Frequenz [1/1]
Abbildung 51: MEM-Leistungsspektrum mit 50 Polen von Datensatz 2
Frequenz
[1/m]
FSM MEM MFA
Periode Periode Frequenz Periode Periode Frequenz Periode
[m] [ka] [1/m] [m] [ka] [1/m] [m]
Periode
[ka]
0.085 11.770 100.0 0.080 12.488 100.0 0.085 11.763 100.0
0.066 15.059 127.9 0.115 8.678 69.5 0.031 31.865 270.9
0.031 32.000 271.9 0.034 29.257 234.3 0.009 114.111 970.1
0.097 10.343 87.9 0.175 5.721 45.8 0.067 15.017 127.7
0.010 102.400 870.0 0.335 2.985 23.9 0.122 8.181 69.6
0.108 9.225 78.4 0.953 1.049 8.4 0.095 10.568 89.8
0.121 8.258 70.2 0.516 1.939 15.5 0.168 5.958 50.6
0.045 22.261 189.1 0.288 3.471 27.8 0.042 23.990 203.9
0.167 5.988 50.9 0.712 1.405 11.2 0.329 3.036 25.8
0.190 5.251 44.6 0.436 2.296 18.4 0.190 5.272 44.8
0.330 3.030 25.7 0.560 1.787 14.3 0.056 17.960 152.7
0.204 4.900 41.6 0.918 1.089 8.7 0.110 9.077 77.2
0.508 1.969 16.7 0.651 1.535 12.3 0.019 52.488 446.2
0.441 2.265 19.2 0.819 1.221 9.8 0.508 1.968 16.7 ?
0.521 1.921 16.3 0.776 1.288 10.3 1.000 1.000 8.5
0.294 3.402 28.9 0.475 2.107 16.9
0.717 1.395 11.9 0.392 2.554 20.4
0.181 5.535 47.0
und noch mehr
Tabelle 20: Peaks der Frequenzleistungsspektren von Datensatz 2 nach Leistung sortiert
5.5.3 Untersuchung von Datensatz 3
0.16
0.14
Power(Frequenz)
Plot 1
Plot 2
0.12
0.1
0.08
Power
0.06
0.04
0.02
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Frequenz [1]
Abbildung 52: Fourierleistungsspektrum von Datensatz 3
71

70
60
Power(Frequenz)
Plot 1
Plot 2
Plot 3
50
40
Power
30
20
10
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frequenz [1/m]
Abbildung 53: MEM-Leistungsspektrum für 50, 60, 70 Pole von Datensatz 3. Man erkennt, daß die durch die
Erhöhung der Polanzahl, mehr Peaks entstehen, die Hauptpeaks aber nur unwesentlich verschoben werden.
FSM MEM (50 Pole) MFA
Frequenz
[1/m]
Periode
[m]
Periode
[ka]
Frequenz
[1/m]
Periode
[m]
Periode
[ka]
Frequenz
[1/m]
Periode
[m]
Periode
[ka]
0.199219 5.01961 40.2 0.201171 4.9709 39.8 0.1988 5.0306 40.8
0.0175781 56.8889 455.6 0.021484 46.5456 372.7 0.0170 58.7303 309.7
0.226562 4.41379 35.3 0.263671 3.7926 30.4 0.0418 3.8733 32.1
0.263672 3.79259 30.4 0.392577 2.54727 20.4 0.2582 4.3794 35.6
0.0800781 12.4878 100.0 0.232421 4.30254 34.5 0.2283 8.8769 56.1
0.109375 9.14286 73.2 0.714842 1.39891 11.2 0.1127 12.5611 100.0
0.136719 7.31429 58.6 0.080077 12.4878 100.0 0.0796 6.9468 74.4
0.388672 2.57286 20.6 0.136718 7.31433 58.6 0.1440 2.5571 30.2
0.84375 1.18519 9.5 0.66992 1.49272 121.0 0.3911 3.0636 267.0
0.554688 1.80282 14.4 0.839842 1.1907 9.5 0.3264 1.1877 24.6
0.310547 3.22013 25.8 0.910154 1.09872 8.8 0.8420 1.0956 15.7
0.910156 1.09871 8.8 0.552733 1.80919 14.5 0.9127 2.3195 172.2
0.169922 5.88506 47.1 0.626952 1.59502 12.8 0.4311 1.9883 20.6
0.470703 2.12448 17.0 0.433593 2.30631 18.5 0.5029 1.7986 11.2
0.984375 1.01587 8.1 0.322265 3.10304 24.8 0.5560 4.7431 9.5
0.714844 1.39891 11.2 0.974607 1.02605 8.2 0.2108 1.4071 14.6
0.669922 1.49271 12.0 0.509764 1.96169 15.7 0.7107 1.0171 18.7
0.498047 2.00784 16.1 0.76367 1.30947 10.5 0.9832 3.3807 27.1
0.292969 3.41333 27.3 0.880857 1.13526 9.1 0.2958 1.1590 393.5
0.363281 2.75269 22.0 0.478514 2.0898 16.7 0.8628 12.0106
0.339844 2.94253 23.6
und noch mehr
Tabelle 21: Peaks der Frequenzleistungsspektren von Datensatz 3 nach Leistung sortiert
72

5.6 Ergebnisse und Diskussion
Zu Datensatz 1 und 2:
Die drei verschiedenen Methoden zum Auffinden der Milakovitch-Perioden liefern ähnliche Ergebnisse.
Die 400, 41 und 100 ka-Zyklen können eindeutig identifiziert werden. Sie liegen meistens unter den 5
leistungsstärksten. Die Detektion der 21 und 19 ka Zyklen ist nicht ganz eindeutig. Speziell bei Methode
1, ist dieses der Fall: Es werden zwar sehr viele Frequenzen gefunden, so daß die Wahrscheinlichkeit
steigt, daß einige den Milankovitch-Frequenzen entsprechen. Sie stehen aber in der Leistungsskala weit
hinten, so daß die Ergebnisse nicht zuverlässig sind. Die Methode 2, die letztendlich auch auf einer
Fourieranalyse beruht, findet die hohen Frequenzen nicht. Bei Datensatz 1 hängt der Algorithmus ab der
9. Frequenz in einer Programmschleife fest und liefert immer wieder dieselben Frequenzen. Bei
Datensatz 2 werden die kleinen Milakovitch-Frequenzen ebenfalls nicht gefunden: Das Suchen von
weiteren Peaks lieferte eine Ansammlung von vielen nicht passenden Frequenzen. Schon bei der 2.
Hauptfrequenz fällt auf, daß sie anders ist als die 2. gefunde Hauptfrequenz der Methode 1. Das
Subtrahieren der Zeitreihe beeinflußt offensichtlich auch die anderen Frequenzen.
Bei MEM besitzen die kleinen Milankovitch-Perioden größere Leistung und sind auch schon in der
Grafiken des Spektrums klarer zu erkennen. Da beide Datensätze fast übereinstimmende Ergebnisse
ergeben, ist die Vermutung bestätigt, daß auch der längere Datensatz (2) einen Tiefenintervall mit
konstanter Sedimentation 36 ist. Im längeren Datensatz ist der 23 ka Zyklus allerdings stärker ausgeprägt
als der 19 ka Zyklus. Im 1. Datensatz ist es umgekehrt. Der 400 ka Zyklus wird von allen Methoden
viel zu kleiner Periode detektiert.
theoretische Perioden [ka]
detektierte Perioden [ka]
Datensatz 1 Datensatz 2
100.0 100.0 (per. Definition) 100.0 (per. Definition)
400 235.3 234.3
41 45.5 45.8
19 18.4 18.4
23 23.9 23.9
Tabelle 22: Frequenzen für Datensatz 1 und 2 nach MEM
36 bzw. dasselbe Sedimentationsmuster wie das kurze Tiefenintervall besitzt
73

Zu Datensatz 3:
Die drei Methoden liefern wieder sehr ähnliche Ergebnisse. Speziell der 100 ka Milankovitch-Zyklus
wird ziemlich übereinstimmend in einer 12.5 m, 12.6 m bzw. 12.5 m Periode gefunden. In der TOC
Zeitreihe liegen die Frequenzen in anderen Amplitudenverhältnissen vor als in den anorganischen
Zeitreihen. Der leistungsstärkste Zyklus ist hier der mit 41 ka, gefolgt von dem 400 ka Zyklus, der in
diesem Datensatz wesentlich besser mit 372 ka (durch MEM) detektiert wird. Der 23 ka und der 19 ka
Zyklus ist nicht ganz eindeutig zu finden. Beim MEM könnten die Zyklen an der 14. und 15. Stelle in
der Leistungsskala stehen.
theoretische Perioden [ka] detektierte Perioden [ka]
43 39.8
400 372.7
23 20.4
100.0 100.0 (per. Definition)
19 18.5
Tabelle 23: Frequenzen für Datensatz 3 nach MEM
Resümee
Die Milankovitch-Frequenzen lassen sich in den Datenreihen identifizieren. Die vielen anderen
detektierten Frequenzen könnten -wie J. Laskar in seiner Simulation der Erdbahnparameter [26] gezeigt
hat- erklärt werden. Leider reicht seine Simulation nicht zu dem Zeitabschnitt des Kirchrode-Bohrkernes
zurück, so daß nicht bekannt ist, welche Zyklen genau vor 100 Millionen Jahren herrschten.
Als beste der getesteten Methode zur Frequenzbestimmung erscheint die MEM. Durch die Anzahl der
Pole läßt sich die Komplexität der Spektrumstruktur und somit die Anzahl der Peaks einstellen. Das
Spektrum liefert stabile Ergebnisse und ist eindeutig zu interpretieren.
5.7 Liapunov-Exponent der TOC-Zeitreihe
Die meisten statistischen Methoden zur Schätzung eines Liapunov-Exponenten [19] aus Observablen
dynamischer Systeme benötigen große Datenmengen. Der Datenbestand muß genügend dicht den
Phasenraum ausfüllen um die Evolution nahe benachbarter Trajektorien verfolgen zu können. Die Daten
die für die TOC-Zeitreihe zur Verfügung stehen, erfüllt dieses Kriterium bei weitem nicht.
Daher wird eine andere Methode angewendet, die das RBFS benutzt: Es wird ein RBFS an den
gemessenen Daten gefittet. Das RBFS wird als eine Approximation der Dynamik des System, welches
die Daten erzeugt hat, aufgefaßt. Damit ist eine Vorhersage der Evolution des Systems an jedem
Phasenraumpunkt möglich. Diese Vorhersage ist für Punkte außerhalb des Attraktion natürlich i.a.
74

falsch, kann aber für Punkte zwischen den gemessenen Datenpunkten durch die
Interpolationseigenschaft des RBFS als eine gute Approximation angesehen werden.
Die Untersuchung wird auf das stationäre Intervall [-100..-40] m Tiefe eingeschränkt. Die Zeitreihe
wird als eine 3-dimensionale Phasenraumdynamik aufgefaßt:
yt
x , t x , t−1 xt−2
(33) ( ) T
=
Ein RBFS wird auf die Vorhersage einen Zeitschritt in die Zukunft trainiert. Das Ergebnis ist in
Abbildung 54 dargestellt. Es ergibt sich eine gute Übereinstimmung mit einem mittleren quadratischen
Fehler von 1.8e-2.
0.5
P1
P2
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
-110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40
Tiefe [m]
Abbildung 54: fetter Plot 1: TOC; dünner Plot 2: Vorhersage
Die vom RBFS gelernte Dynamik wird in einer iterierten Vorhersage ab dem letzen Zeitpunkt der
verwendeten Trainingszeitreihe (-40 m) getestet. Man erkennt in Abbildung 55, daß die komplexe
Dynamik nicht vollständig approximiert wird, sondern nur ein 5-Meter-Zyklus (41 ka) zu erkennen ist 37 .
Eine Frequenzanalyse der iterierten Vorhersage (Abbildung 56) liefert unter der Annahme, daß 12.4 m
100 ka entsprechen für die leistungsstärkste Periode 43.4 ka. Allerdings ist auch eine 21 ka-Periode
(entspricht der 23 ka Milankovitch-Frequenz) als drittstärkster Peak im Spektrum zu finden.
Da die Iteration der RBFS-Vorhersage nicht eine Zeitreihe, ähnlich der originalen Zeitreihe erzeugt, ist
es nicht sinnvoll eine Trajektorie über mehrere Zeitschritte zu verfolgen und daraus den Liapunov-
Exponenten zu bestimmen. Allerdings liefert das RBFS gute Ergebnisse bei der 1-Schrittvorhersage
(Abbildung 54). Daher wird über die Liapunov-Exponenten der 1-Schrittvorhersage gemittelt: Hierzu
wird für zwei Punkte P 1 und P 2 mit Abstand ε um den ersten Phasenpunkt P der gemessenen Zeitreihe
herum (bei -99.5 m) die Vorhersage mit dem RBFS berechnet und der Abstand der vorhergesagten
Phasenraumpunkte bestimmt. In den nächsten Rechenschritten wird mit den folgenden
37 Der 400 ka Zyklus (rund 50 m)kommt nur einmal im ganzen Datensatz vor und kann somit nicht moduliert werden
(statistisches Gewicht). Für den 100 ka Zyklus (ca. 13 Datenpunkte) gilt dieses entsprechend. Außerdem werden durch die
kleine Einbettungsdimension von 3 hohe Frequenzen bevorzugt.
75

Phasenraumpunkten der gemessenen Zeitreihe nach demselben Verfahren fortgefahren. D.h., die
Vorhersage wird nicht iteriert, sondern in jedem Schritt auf einen gemessenen Datenpunkt bezogen
(Vorhersage bleibt auf dem Attraktor). Iteriert wird allerdings die Richtung R in der P 1 und P 2 mit
Abstand ε von P im jedem Schritt bestimmt werden. Gestartet wird mit einer willkürlichen Richtung
beim ersten Rechenschritt. In jedem folgendem Schritt wird R, aus der Vektordifferenz der zwei
vorhergesagten Punkt bestimmt. Dadurch dreht sich R in die Richtung des größten Liapunov-
Exponenten.
Diese Analyse liefert einen Wert von λ = 0. 22 für einen Zeitschritt (0.5 m). Eine Untersuchung für
einen 4-dimensionale Einbettung liefert einen Liapunov-Exponenten von 0.18. Die Frequenzanalyse der
iterierten Vorhersage hat hier die Hauptfrequenz 40.5. Die anderen Frequenzen sind nicht eindeutig.
0.44
P1
0.43
0.42
0.41
0.4
0.39
0.38
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Tiefe [m]
Abbildung 55: Iterierte Vorhersage
1000
100
10
43.4 ka
21.0 ka
Power(Frequenz)
P1
P2
1
Power
0.1
0.01
0.001
0.0001
1e-05
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frequenz [1/m]
Abbildung 56: Maximum Entropie Leistungsspektrum mit 40 Polen von TOC (fett) und der iterierten
Vorhersage (dünn). Die Zeitreihen sind vor der Frequenzanalyse auf Mittelwert 0 und Varianz 1 normiert
worden.
76

6 Untersuchung des Ökosystems Peruanisches Auftriebsgebiet
6.1 Einleitung
Auftriebsgebiete sind Meeresregionen, die kontinuierlich mit Tiefenwasser versorgt werden. Dieses
Wasser strömte lange Zeit ohne Oberflächenkontakt in den unteren Meeresschichten und ist teilweise
hunderte von Jahren "alt". In dieser Zeit ist es stark mit organischen Sinkstoffen aus den höheren
(biologisch aktiveren) Schichten angereichert worden. In Küstennähe tritt dieses Wasser i.a. wieder an
die Oberfläche. Ablandiger Wind treibt das Oberflächenwasser ins Meer hinaus. Die Erhöhung der
Wassersäule draußen im Meer bewirkt einen Druckgradienten und damit eine Strömung des
Tiefenwassers zum Land. Dieser Prozeß stabilisiert sich und setzt eine Förderschnecke in Gang, die
schon Jahrtausende läuft.
Die Nährstoffe an der Oberfläche werden wieder vom biologischen Kreislauf aufgenommen und steuern
über das Planktonwachstum den Bestand der höheren Tiere in der Nahrungskette. Der Mensch nutzt
diese enorme biologische Aktivität - ca. 40 % des Weltfischfangertrages stammen aus den
Auftriebsgebieten.
Die Region vor der Küste von Peru gehört mit Abstand zu den produktivsten Auftriebsgebieten [17].
Der Hauptertrag der Fischerei wird hier mit einer kurzlebigen Heringsart (Anchoveta) erbracht. Der
Anchovetabestand ist mit schweren wirtschaftlichen und sozialen Folgen 1972/73 in Verbindung mit
einem El Nino 38 und durch die starke Überfischung zusammengebrochen und hat sich bis heute nicht
wieder erholt.
In verschiedenen Projekten wurden Forschungsvorhaben durchgeführt, um aus dem Verständnis der
Dynamik des Ökosystems ein besseres Konzept zur Bewirtschaftung zu erarbeiten. Zur Analyse des
Systems liegt ein über 30 Jahre reichender Datensatz der Anchoveta-Art seit 1953 in monatlicher
Auflösung vor. Mit weiteren biologischen und physikalischen Parametern (insgesamt 47 die
zusammengetragen worden sind), liegt ein Datenbestand vor, der weit über den hinaus geht, der
normalerweise für die Modellierung eines Ökosystems zur Verfügung steht [18]. Trotzdem ist das
Kernproblem, die Vorhersage der Biomasse der Schlüsselart Anchoveta, die eine zentrale Stellung im
Nahrungsnetz einnimmt, nicht gelungen.
In Zusammenarbeit mit Dr. A. Jarre-Teichmann und Dr. Thomas Brey (Alfed-Wegener-Institut in
Bremerhaven) soll untersucht werden, ob die Algorithmen im DSN (im Schwerpunkt neuronale Netze)
geeignet sind, um diese Datensätze zu analysieren und eine Vorhersage des Anchovetabestandes über
drei Monate zu ermöglichen, um fischerei-regulatorische Maßnahmen davon abzuleiten.
38 Übersetzt: Das Christkind. Spezielle Wettererscheinung zur Weihnachtszeit, welche die Förderschnecke zu stillstand
bringt und ein Fischsterben verursacht.
77

6.2 Frequenzanalyse der Anchoveta-Zeitreihe
In einer Frequenzanalyse soll untersucht werden, ob die Anchovetazeitreihe (Abbildung 57) periodische
Strukturen enthält. Die Fouriertransformation (Abbildung 58) liefert ein sehr strukturloses Spektrum, in
dem selbst der Jahreszyklus sehr schlecht zu erkennen ist. Allerdings läßt sich durch eine
Spektrumsberechnung nach der Maximum-Entropie-Methode (MEM) [20] der Jahrespeak deutlicher
hervorheben. Selbst eine Quasiperiodizität würde aber ein ausgeprägteres Spektrum liefern, so daß
angenommen werden muß, daß die Dynamik wenig Periodizität besitzt oder durch einen sehr großen
Rauschanteil überlagert wird. Daher ist zu erwarten, daß eine Vorhersage sehr schwer sein wird.
2.5e+07
2e+07
1.5e+07
Value
1e+07
5e+06
0
50 55 60 65 70 75 80 85 90
Time [year]
Abbildung 57: Anchovetabestand
Power
1e+14
1e+13
1e+12
1e+11
1e+10
1e+09
1e+08
1e+07
1e+06
Power(Frequenz)
P1
100000
0 1 2 3 4 5 6
Frequenz [1/year]
Abbildung 58: Fourierleistungsspektrum der Anchovetazeitreihe
1e+17
1e+16
1e+15
Power(Frequenz)
P1
Power
1e+14
1e+13
1e+12
1e+11
1e+10
0 1 2 3 4 5 6
Frequenz [1/year]
Abbildung 59: Maximum Entropie Leistungsspektrum (50 Pole) der Anchovetazeitreihe
78

6.3 Vorhersage des Anchoveta-Bestandes
Es soll versucht werden, aus dem Anchoveta-Datensatz ein Vorhersagesystem für diesen Fischbestand
über 3 Monate zu entwickeln. Diese Zeitreihe (Abbildung 57), ist mit einem Trend zwischen 1955 und
1972 sowie einer Steigung von rund 1 / 5 stark nichtstationär. Jedes Jahr erhöhte sich der Fischbestand um
20% und fiel dann innerhalb von 2 Jahren auf rund ¼ des Maximalwertes ab. Nach diesem
Zusammenbruch hat der Kurvenverlauf nur wenig Ähnlichkeit mit dem vorderen Teil der Zeitreihe. Es
ist anzunehmen, daß ein Phasenüberganges des Ökosystem stattfand, der zu einer veränderten Dynamik
führte.
Für die rein statistische Vorhersage mit neuronalen Netzwerken sind stationäre Daten nötig. Für jeden
Dynamikzustand müssen mehrere (am besten sehr viele) benachbarte Phasenraumpunkte zur
Auswertung zur Verfügung stehen. Daraus folgt, daß die beiden Zeitabschnitte getrennt untersucht
werden müssen. Zusätzlich müssen die Zeitreihen gefiltert werden, da sie auch einzeln nicht stationär
sind. Es stellt sich die Frage, welcher Filter verwendet werden soll.
Eine einfache Elimination des Trends im vorderen Teil der Zeitreihe reicht nicht aus: Es entstehen rund
3½ Schwingungen mit einer Periode von ca. 5 Jahren. In der Zeitskala von drei Monaten in der
vorhergesagt werden soll, ist das nicht als stationär anzusehen. Eine statistische Auswertung ist
unmöglich: Nur drei mal liegen dieselben Systemzustände vor.
In den folgenden Kapiteln wurden drei verschiedene Filter angewendet 39 :
1. Differenz zur linearen Regressionsvorhersage
2. Differenz zum gleitenden Mittelwert
3. Frequenzfilter mit einem Radial-Basis-Funktionen-System (RBFS)
6.3.1 Lineare Regressions-Vorhersage
Die Zeitreihe enthält viele kleine Trendabschnitte, so daß sich eine Vorhersage durch eine lineare
Regression (LRV) anbietet: Aus den Daten über 12 Monate wird auf den Wert drei Monate später linear
extrapoliert (Abbildung 60). Die Differenz zwischen der originalen und der extrapolierten Vorhersage
ist nicht varianzstationär und wird durch die rückwärtige Varianz über 10 Monate drei Monate vorher
geteilt. Nach dieser Skalierung (Abbildung 61) bildet sich ein Muster mit einer Periode von zwei Jahren
heraus. Dieses Muster tritt in den Jahren 1955 bis 1962 dreimal klar ausgeprägt und anschließend nur
stark deformiert auf. Erstaunlicherweise taucht es in den Jahren 1976-1980 wieder auf. Offensichtlich
hat das Filter die Eigenschaft, gewisse stationäre Teile der Zeitreihe zu extrahieren. Dieses würde auch
bedeuten, daß der hintere Teil der Zeitreihe (nach dem Zusammenbruch des Anchovetabestandes) doch
eine ähnliche Dynamik (nur mit kleinerer Amplitude) aufweist wie der vordere Teil.
39 Bei allen Filter muß auf echte Vorhersagebedingungen geachtet werden: Nur Information von vergangenen Zeitpunkten
dürfen für die Berechnung verwende werden. Durch diese Einschränkung wird die Effizienz der Filter zur Erhöhung der
Stationärität teilweise stark eingeschränkt.
79

4
P1
P2
3
2
1
0
-1
-2
50 55 60 65 70 75 80 85 90
Time [year]
Abbildung 60:
Plot1: Anchoveta, Plot2: Lineare Regressionsvorhersage
Aus 12 Monaten Vergangenheit wird drei Monate in die Zukunft linear extrapoliert.
5
4
P1
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
50 55 60 65 70 75 80 85 90
Time [year]
Abbildung 61: Differenz zwischen Anchoveta-Zeitreihe und LRV und anschließender Varianzskalierung
Die Differenzzeitreihe wird mit einem RBFS (Clustertiefe 5, lineare lokale Funktionen) vorhergesagt.
Die Zeitreihe wird als Ergebnis einer 4-dimensionalen Phasenraumdynamik aufgefaßt, indem aus den
Daten vier aufeinanderfolgende Monate der Anchovetabestand drei Monate später bestimmt werden soll.
Die Datenpunkte von 1954 bis 1970 wurden als Informationsbasis zum Training des RBFS benutzt. In
Abbildung 62 sieht man daß, die Dynamik recht gut approximiert wird. In Abbildung 63 ist die
wesentlich bessere 1-Schrittvorhersage zu erkennen.
80

4
3
P1
P2
P3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
54 56 58 60 62 64 66 68 70 72
Time [year]
Abbildung 62: 3-Schrittvorhersage. Um das Ergebnis besser beurteilen zu können, wurden Linien zwischen
gemessenem Anchoveta-Bestand und vorhergesagtem drei Monate später eingefügt. Ohne diese
Vorgehensweise kann schon die Persistenzvorhersage optisch gute Ergebnisse vorspiegeln.
4
3
P1
P2
P3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
54 56 58 60 62 64 66 68 70
Time [year]
Abbildung 63: Einschrittvorhersage
In Abbildung 64 ist eine Aufteilung in Lerndaten (bis1962) und Testdaten durchgeführt worden. Es
ergibt sich ein schlechteres Ergebnis, da die benutzten Daten offensichtlich nicht ausreichen, um die
Dynamik der Zeitreihe komplett zu erfassen. In einem weiteren Test wurden auch die Daten bis 1970
benutzt, um das Intervall von 1973 bis1979 vorherzusagen. Es ergibt sich aber ein ähnliches Ergebnis.
3
2
Value-Time-Plot
P1
P2
P3
1
0
Value
-1
-2
-3
-4
64 65 66 67 68 69
Time [1]
Abbildung 64: Vorhersage für Lerndaten bis 1964
81

6.3.2 Differenzfilter
Ein weiteres Filter zur Erhöhung der Stationärität ist der Differenzfilter. In dem vorliegen Fall wird der
aktuellen Wert der Zeitreihe der rückwärtige Mittelwert über 12 Monate drei Monate vorher subtrahiert.
Anschließend wird zur Varianzstabilisierung, mit der rückwärtige Varianz der originalen Zeitreihe über
12 Monate drei Monate vorher geteilt. Damit ergibt sich die Zeitreihe in Abbildung 65. Dieses Filter
erzeugt eine Zeitreihe mit wenig Regelmäßigkeiten. Daher lieferten die Vorhersageversuche nur wenig
brauchbare Ergebnisse für unabhängige Testset. Die Ergebnisse werden daher hier nicht gezeigt.
25
Value-Time-Plot
P1
20
15
10
Value
5
0
-5
-10
50 55 60 65 70 75 80 85 90
Time [year]
Abbildung 65: Differenzzeitreihe mit Varianzstabilisierung
Trotzdem extrahiert das RBFS aus den Daten einen gewissen regelmäßigen Teil. Die Vorhersage wurde
iteriert, indem der vorhergesagte Wert dazu benutzt wurde, um einen neuen Phasenpunkt zu generieren.
Dadurch kann die Vorhersage beliebig in die Zukunft fortgesetzt werden und man erhält eine Zeitreihe,
die der ungestörten inneren Dynamik des RBFS entspricht. In Abbildung 66 ist zu erkennen, daß der
jahreszeitliche Zyklus nachgebildet wird, aber wie durch eine Dämpfung allmählich abklingt.
1.35
Value-Time-Plot
P1
1.3
1.25
1.2
1.15
Value
1.1
1.05
1
0.95
0.9
84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104
Time [1]
Abbildung 66: Iterierte Vorhersage
82

6.3.3 Radialfunktionen-System-Interpolation
Das RBFS kann als Interpolator benutzt werden, um verschiedene Frequenzbereiche einer Zeitreihe zu
trennen. Dieser Filter ist nicht für eine Vorhersage erlaubt, da hier Information über zukünftige und
vergangene Werte vermischt wird. Er wird hier trotzdem verwendet, um zu überprüfen, ob der
hochfrequente Teil der Anchoveta-Zeitreihe regelmäßige Strukturen enthält. In Abbildung 67 ist die
Anchoveta-Zeitreihe und deren Interpolation dargestellt und in Abbildung 68 die Differenz dieser beiden
Zeitreihen zu sehen.
3.5
3
Value-Time-Plot
Plot 1
Plot 2
Plot 2
2.5
2
1.5
Value
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
50 55 60 65 70 75 80 85 90
Time [1]
Abbildung 67 : Original Anchveta-Zeitreihe (zackig) und interpolierte Zeitreihe (glatt)
1
0.8
Value-Time-Plot
Plot 1
Plot 1
0.6
0.4
0.2
Value
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
50 55 60 65 70 75 80 85 90
Time [year]
Abbildung 68 : Differenz zwischen Anchoveta Zeitreihe und Interpolation
83

Mit diesem hochfrequenten Teil wird ein RBFS auf 1-Schrittvorhersage trainiert. Dabei ergaben sich
mit der Phasenraumkodierung (time-delay) nach folgender Formel die besten Ergebnisse:
y
(
i
+ xi− 1)/
2,( xi−2
+ xi−3)/
2, ( xi−4
+ xi−5)/
2, ( xi−6
+ xi−7
+ xi−8
(34) ( ) T
t
=
x )/ 3
In Abbildung 69 ist für einen kleine Zeitabschnitt das Original und das Vorhersageergebnis dargestellt.
Die Kurven stimmen relativ gut überein. An der iterierte Vorhersage (Abbildung 70) erkennt man, daß
auch hier der Jahreszyklus (ein wenig verkürzt) gut approximiert wird. Nach einem Einschwingvorgang
stabilisiert sich dieser.
0.4
0.3
Value-Time-Plot
Plot 1
Plot 2
Plot 2
0.2
0.1
Value
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
76 78 80 82 84
Time [1]
Abbildung 69 : fetter Plot1: Vorhersage, dünner Plot 2: Original
0.15
Value-Time-Plot
Plot 1
Plot 1
0.1
0.05
Value
0
-0.05
-0.1
-0.15
80 85 90 95 100
Time [year]
Abbildung 70: Iterierte Vorhersage
84

6.4 Korrelationen
Es soll untersucht werden, ob die bekannten biologischen Zusammenhänge in den Datenreihen
wiederzufinden sind. Da das Hauptinteresse in Zusammenhängen über kürzere Zeiträume (drei Monate)
liegt und nicht in den Korrelationen über viele Jahre, werden als Datenbasis die Differenzen zu dem
jeweilige zentrierten Mittelwerten über 12 Monate benutzt. Von diesen Zeitreihen wird die
Kreuzkorrelationsmatrix berechnet.
Folgende Tierbestände wurden
untersucht:
1. Seehund
2. Sardelle
3. Tölpel
4. Kormorane
5. Pelikane
6. Seelöwen
10
8
6
4
2
ME=1 PS=0.5 LS=1
7. Makrelen
8. Horse-Makrelen
9. Seehecht
0
0 2 4 6 8 10
Abbildung 71: Kreuzkorrelationsmatrix der Tierbestände
Die hier verwendete grafische Darstellung einer Matrix (Abbildung 71) ist übersichtlicher als eine
Zahlentabelle und wird folgendermaßen interpretiert: Die Größe des Matrixelementes wird durch die
Kantenlänge der Quadrate (die zu Rechtecke verzerrt sind) repräsentiert. Das Vorzeichen wird durch ein
Kreuz (entsprechend plus für positive) und durch eine horizontale Linie (entsprechend minus für
negativ) im Quadrat dargestellt. Das Zentrum eines Rechteckes hat die Koordinaten der entsprechenden
Zeile (Abszisse) bzw. Spalte (Ordinate) der zugrundeliegenden Matrix.
Aus dieser Abbildung erkennt man, daß die Seehunde und die Sardellen positiv miteinander korreliert
sind und daß beide zu den beiden Makrelenarten (Raubfische) antikorreliert sind. Im Falle der Sardelle
läßt sich diese Antikorrelation dadurch erklären, daß sie durch die Raubfische vermehrt gefressen
werden. Genauso bilden die Vögel (Tölpel, Kormorane und die Pelikane) eine Korrelationsgruppe, die
wahrscheinlich aus demselben Grund zu den beiden Makrelenarten antikorreliert ist. Die Makrelenarten
hingegen, sind in der KKM nicht zu unterscheiden, zeigen also dieselben Beziehungen zu den anderen
Arten. Sie bilden mit dem Seehecht und ebenfalls mit dem Seelöwen zusammen eine weitere
Korrelationsgruppe, die stark mit den Tölpel und den Kormoranen sowie schwächer mit der Sardelle
und dem Seehund antikorreliert ist. Die Beziehung zu der Sardelle ließe sich als Beute und die zu den
anderen als Freßfeind erklären.
85

Es wurden versucht durch Ausnutzung dieser Korrelationen die Vorhersage des Anchoveta-Bestandes
zu verbessern. Die zahlreichen Versuche mit den unterschiedlichsten Methoden sind alle fehlgeschlagen.
6.5 Ergebnisse und Diskussion
Diese oben vorgestellten Verfahren liefern gute Ergebnisse, solange sie mit den Lerndatenmenge getestet
werden und zeigen, daß das RBFS gut geeignet sind, um unregelmäßige Funktionen zu approximieren.
Sobald aber versucht wird, unbekannte Teile einer Zeitreihe vorherzusagen, verschlechtert sich das
Ergebnis drastisch. Daraus läßt sich folgern, daß die Anchoveta-Zeitreihe alleine zu kurz bzw. zu
unregelmäßig ist, um statistische Verfahren zur Vorhersage anzuwenden.
Durch die Anwendung des lineare Regressionsfilter wird eine regelmäßige Komponenten der Anchoveta-
Zeitreihe sichtbar. Dieses Muster mit einer Länge von zwei Jahren tritt dreimal im vorderen Teil der
Zeitreihe auf und findet sich teilweise im mittleren und auch im hinteren Teil stark transformiert wieder.
Da dieses Muster zu unregelmäßig ist und nur dreimal ausgeprägt vorkommt, läßt es sich für eine
Vorhersage, spezielle der 3-Monatsvorhersage nicht nutzen.
Das RBFS extrahiert aus der Zeitreihe bei den iterierten Vorhersagen einen Jahreszyklus, der im
Fourierspektrum nur schwach zuerkennen ist.
86

7 Downscaling und Vorhersage von Wetterdaten in Potsdam
7.1 Einleitung
In diesem Abschnitt werden die entwickelten Methoden auf das sogenannte “Downscaling“ angewendet.
Unter diesem Begriff wird in der Meteorologie das Abbilden von Wetterobservablen, in räumlich
großskaligen Auflösung (global), auf Observablen, die das Wettergeschehen an einem begrenzten Ort
(lokal) beschreiben, verstanden. Dabei wird angenommen, daß die globalen Variablen G
Wetterszenarios beschreiben, die spezifische Auswirkungen in Abhängigkeit von den lokalen
Gegebenheiten R des Ortes (Gebirge, Wasserflächen, etc.) haben. Es wird also folgende Abbildung
gesucht:
(35) L = f
R( G)
Bei der klassischen Definition des Downscalings werden immer Daten derselben Zeitpunkte miteinander
verglichen, d.h. es sollen nur räumliche Korrelationen untersucht und nicht aus vergangenen Daten in
die Zukunft extrapoliert werden. Der verwendete übliche Begriff „Vorhersage“ bezieht sich in diesem
Abschnitt daher auf die räumliche Vorhersage, falls nicht anders erwähnt.
Trotzdem ist das Verfahren für eine zeitliche Vorhersage auf sehr großen Zeitskalen nützlich. Das
globale Wettergeschehen läßt sich in sogenannten Global Circulation Models (GCM) über Jahre bis
Jahrzehnte simulieren. Diese “Welt-Simulationen“ liefern Wetterdaten in Gittern sehr geringer
Auflösung. Die lokalen Auswirkungen, die von Ort zu Ort sehr stark variieren können, lassen sich
daraus daher nicht erhalten. Eine Abbildung (35) hätte somit, falls sie auch für die Zukunft zuverlässig
wäre, eine sehr große Bedeutung für die Klimavorhersage. Damit ließen sich die konkreten und
spürbaren Auswirkungen von Klimaveränderungen deutlich machen. Ein großes Interesse spielen hierbei
die verschiedenen CO 2 -Emissionsszenarien und deren Einfluß auf den Wasserhaushalt. Das
Hauptinteresse liegt deshalb auf der Vorhersage der Feuchtigkeitsgrößen.
Ein Weg, um diese Abbildung zu finden, ist ein direkter dynamischer Ansatz, bei dem die lokalen
wetterformenden Elemente R durch physikalische Modellierung einfließen. Dieser Weg ist aber
aufgrund der komplexen hydrologischen und chaotischen Wechselwirkungen sehr schwierig. In dieser
Arbeit wird daher versucht, aus den beobachteten globalen und lokalen Meßwerten der Vergangenheit
mit Hilfe statistischer Methoden die Abbildung zu schätzten.
Zu diesem Zweck ist von Dr. G. Bürger (Potsdamer Institut für Klimafolgenforschung, PIK) eine 9770
Punkte lange Zeitreihe mit täglichen Wetterbeobachtungen ab dem 1.10.1962 als Datenbasis zur
Verfügung gestellt worden. Die darin enthaltenen globalen Wetterzustände sind aus Meßpunkten über
Europa und dem Nordatlantik gewonnen worden. Durch die Anpassung eines GCM an diese Meßwerte
ist daraus ein Druck- und Temperaturfeld in Gitterform bestimmt worden. Da der Umfang dieser Daten
87

mit jeweils 213 Zeitreihen für Druck und Temperatur (pT-Zeitreihen) enorm ist, wurde zur
Vereinfachung der Analyse, und um die darin enthaltenen Korrelationen auszunutzen, die Datenbasis
vom PIK mit Hilfe einer Komponentenanalyse (PCA) komprimiert. Dabei wurden nach Eliminierung
des mittleren Jahresganges durch die Projektion auf die 41 größten Hauptrichtungen schon 90% der
Varianz erfaßt [21].
In dem zur Verfügung gestellten Datensatz sind neben den transformierten pT-Reihen 14
Wetterobservablen für jeden Tag, lokal in Potsdam gemessenen, enthalten. Die hier durchgeführte
Analyse konzentriert dabei auf die Observablen in Tabelle 24. Bei allen Analysen ist die Datenbasis in
zwei Teile zerlegt worden. Die ersten 6000 Datenpunkte werden benutzt, um die Verfahren zu
entwickeln und die Parameter zu optimieren (Trainingsdatensatz). Die Daten ab 6001 bis 9770 dienen
zur Überprüfung des Systems (Testdatensatz).
Observable
Niederschlag
Maximaltemperatur
Wasserdampfdruck
Abkürzung
PRC
TMAX
HPR
Tabelle 24: Untersuchte lokale Observablen
7.2 Untersuchung des Niederschlages
7.2.1 Untersuchung des Jahresganges
Ein Ausschnitt der Niederschlagszeitreihe, die wichtigste hydrologische Größe, ist in Abbildung 72 zu
sehen. Er enthält die ersten 365 Tage des Analysezeitraumes und kann von der zeitlichen Verteilung
sowie den Amplituden als typisch angesehen werden. Deutlich ist eine gewisse zeitliche Clusterung der
Trocken- und Regentage erkennbar. Es fällt auf, daß es viele Regentage mit kleinen
Niederschlagsamplituden und nur wenige mit sehr starken gibt.
Der Niederschlag unterliegt bekanntermaßen einem Jahresrythmus. Läßt sich dieser in den Daten
erkennen und ausnutzen? Um dieses zu untersuchen, wurden die Jahresgänge über 16 Jahre miteinander
verglichen (Abbildung 73). Es ist klar zu erkennen, daß zwar eine Häufung des Regens im Herbst
vorhanden ist, allerdings die Schwankungen bzgl. Amplitude und Position der Maxima über die Jahre
sehr variabel sind. Daher ist es nicht möglich, hieraus verwertbare Informationen für die Vorhersage zu
erhalten, so daß eine Jahresgangmodelierung nicht durchgeführt wird.
88

25
20
15
10
5
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Time [d]
Abbildung 72: Niederschlagswerte für ein Jahr ab dem 1.10.1962
4
P1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Time [d]
Abbildung 73: Die Regenamplituden wurden zuerst durch eine 60-Tage und anschließend eine 30-Tage
gleitende Mittelung geglättet. Diese zweifache Mittelung entspricht einem trapezförmigen Filter mit einem
einfachen Mittelwert über 31 Tage und linearem Abfall über 30 Tage zu beiden Seiten hin. Die Zeitreihe ist
dann in 16 Jahresabschnitte geteilt worden.
7.2.2 Downscaling der Niederschlagsamplituden
Die Relation der globalen pT-Daten zu den Regenamplituden soll bestimmt werden. In einem ersten
Untersuchungsschritt werden verschieden große RBFS mit konstanten lokalen Funktionen verwendet.
Optimiert wurde nach dem mittleren quadratischen Fehler des Trainingsdatensatzes. An den
Ergebnissen in Tabelle 25 sieht man, daß bei ca. 60 Cluster die Grenze zum overfitting liegt, denn eine
noch feinere Auflösung erhöht den Fehler im Testdatensatz.
Um die Ergebnisse zu verbessern, wurde eine komplexere Netzwerkform mit affin-linearen
Radialfunktionen getestet. Wegen der hohen Dimension der Eingabedaten von 41 wird hier schon bei
recht kleinen Netzwerken enorm viel Computerspeicher und lange Rechenzeiten benötigt. Nach einigen
Probeläufen ergab sich aber ein recht erstaunliches Ergebnis: Es ist nicht nötig, große Netzwerke zu
generieren, die besten Ergebnisse werden mit einem simplen “Netzwerk“ aus nur einem Cluster erhalten
(Tabelle 25). Zusätzlich wurde die Radialfunktion für dieses eine Cluster ausgeschaltet
89

(Reichweitenskalierung unendlich), so daß diese Form des RBFS eine einfache lineare Abbildung
darstellt.
Das 57-clusterige RBFS mit konstanten lokalen Funktionen generiert damit ein Abbildung ähnlich einer
linearen Funktion. Diese beiden Verfahren sind aber offensichtlich nicht ganz gleichzusetzen, da bei den
mehr-clusterigen durch die feinere Justiermöglichkeiten der Clusteranzahl die Grenze zu overfitting
besser austariert werden kann und sich ein um ca. 1% besseres Ergebnis ergibt.
Die Anwendung der beiden RBFS auf die ersten 365 Tage des Testdatensatzes ist in Abbildung 74 und
Abbildung 75 zu sehen. Es ist zu erkennen, daß beide Verfahren auch als Zeitreihe recht ähnliche
Ergebnisse liefern. Bei beiden Verfahren stimmen auch die gemessenen und die berechneten
Regenereignisse stellenweise gut überein und dieses, obwohl für die Berechnung der Vorhersage nur die
globale pT-Daten zur Verfügung standen. Speziell im hinteren Teil der Zeitreihe ist die Clusterung der
Regentage sehr gut modelliert worden. Trotzdem findet man viele falsch getroffenen Trocken- und
Regentage. Ebenso scheint das System die Amplituden, speziell die hohen, nicht sehr gut abbilden zu
können.
25
P1
P2
20
15
10
5
0
-5
6000 6050 6100 6150 6200 6250 6300 6350 6400
Time [d]
Abbildung 74: RBFS mit 63 konstanten lokalen Funktionen angewendet auf die ersten 365 Tage des
Testdatensatzes. dünner Plot 1: gemessen, fetter Plot 2: vorhergesagt
25
P1
P2
20
15
Val
ue
10
5
0
-5
6000 6050 6100 6150 6200 6250 6300 6350 6400
Time [d]
Abbildung 75: RBFS mit einer affin-linearen Funktion angewendet auf die ersten 365 Tage des Testdatensatzes
90

25
Value-Time-Plot
P1
P2
25
Value-Time-Plot
P1
P2
20
20
15
15
Value
10
Value
10
5
5
0
0
-5
6000 6050 6100 6150 6200 6250 6300 6350 6400
Time [d]
-5
6000 6050 6100 6150 6200 6250 6300 6350 6400
Time [d]
Abbildung 76: RBFS mit zwei affin-linearen
Funktionen angewendet auf die ersten 365 Tage des
Testdatensatzes
Abbildung 77: RBFS mit vier affin-linearen
Funktionen angewendet auf die ersten 365 Tage des
Testdatensatzes
Methode
Mittlerer quadratischer Fehler
des Testdatensatzes
Mittlerer quadratischer Fehler
des Trainingsdatensatzes
Simple Mittelwertvorhersage 3.574 3.805
konstante lokale Fkt., 39 Cluster (100) 3.457 3.696
konstante lokale Fkt., 52 Cluster (90) 3.426 3.668
konstante lokale Fkt., 57 Cluster (80) 3.421 3.664
konstante lokale Fkt., 63 Cluster (60) 3.421 3.656
konstante lokale Fkt., 74 Cluster (50) 3.422 3.651
konstante lokale Fkt., 113 Cluster (40) 3.423 3.62
lineare lokale Fkt., 1 Cluster 3.436 3.679
lineare lokale Fkt., 2 Cluster 3.451 3.627
lineare lokale Fkt., 3 Cluster
(Alle 3 Cluster von oben, gleichzeitig gefittet)
3.475 3.608
Tabelle 25: Übersicht über die Ergebnisse bzgl. Clusteranzahl und Form der lokalen Funktionen. Die
modellierten negativen Niederschlagswerte wurden vor der Bestimmung des Fehler auf 0 gesetzt.
Außerdem ist auffällig, daß der Fehler im Testdatensatz um ca. 7% geringer als der im
Trainingsdatensatz ist, was darauf schließen läßt, daß der Testdatensatz eine andere Datenverteilung
oder stärkere Korrelationen mit den globalen pT-Daten besitzt und leichter vorherzusagen ist. Eine
Bestimmung der Streuung beider Datensätze (Tabelle 25, Mittelwertvorhersage) zeigt, daß die Streuung
des Testdatensatzes um ca. 7% geringer ist als die des Trainingsdatensatzes. Da die Streuung dem
mittleren quadratischen Fehler der Mittelwertvorhersage entspricht, sieht man außerdem, daß aus dem
Datenbestand durch das aufwendige Verfahren der Radial-Basis-Funktionen ein nur ca. 4% besseres
Ergebnis erzielt wird. Dieses ist erstaunlich, da die einfache konstante Mittelwertvorhersage überhaupt
keine Information über den täglichen Regenverlauf enthält. In der Abbildung 74 ist aber offensichtlich
eine Korrelation zwischen den beobachteten und den modulierten Regenereignissen vorhanden. Daraus
muß man schließen, daß das verwendete mittlere Quadrat der Differenzzeitreihe für diesen
Zeitreihenvergleich als Maß für den Fehler ungeeignet ist. Dies wird deutlicher, wenn man sich die
Verteilung der logarithmierten Regenamplituden in Abbildung 78 mit dem sehr langsamen Abfall bei
91

hohen Niederschlagsmengen betrachtet. Da die vorhergesagten maximale Niederschlagsmengen ca. 5 ist
(entspricht ca. 1.3 in der logarithmierten Skala), wird klar, daß der Großteil der Fehler durch die hohen
Regenamplituden verursacht wird und somit die Unterschiede bei den kleinen Amplituden verdeckt
werden. Noch deutlicher ist dieses in Abbildung 79, in der die Verteilung der Fehler dargestellt ist, zu
sehen.
Es ist z.B. an Abbildung 74 zu erkennen, daß bei dieser Analyse offensichtlich die
Niederschlagsmengen, zumindest die mit Amplituden über 3, nicht erfaßt werden. Um diese
Beobachtung genauer zu quantifizieren, wird eine andere Vergleichsmethode von Zeitreihe, die
Korrelation verwendet. In Abbildung 80, in der die beobachteten Amplituden gegen die modellierten
aufgetragen sind, läßt sich mit dem bloßen Auge eine Korrelation im Bereich der kleinen
Niederschlagsmengen vermuten. Eine lineare Regression ergibt einen Korrelationskoeffizient von
0.0849±0.0047. Wenn diese Untersuchung nur auf die Regentage beschränkt wird, indem aus dem
Datensatz die Tage, an denen die beobachtete Zeitreihe Trockenheit liefert, entfernt werden, sinkt der
Korrelationskoeffizient auf 0.0427±0.0047. Das heißt, schon rund 50% der Korrelationen werden nur
dadurch erzeugt, daß die Trockentage niedriger als die Regentage modelliert wurden. Die reine
Detektion von Trockentagen und somit natürlich auch von Nichttrockentagen scheint damit möglich.
0.52
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Abbildung 78: Histogramm der logarithmierten Regenamplitude+1:
Die Einteilung der Abszisse ist so gewählt, daß der erste Balken die Tage mit der Niederschlagsmenge 0
enthält. Er ist zur besseren Skalierung der Grafik von 0.52 auf 0.1 abgeschnitten worden.
92

1.8
1.6
(Quadratischer Fehler)*Häufigkeit
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 50 100 150 200 250
Quadratischer Fehler
Abbildung 79: Histogramm der quadratischen Fehler:
Zur Berechnung dieser Grafik wurden die Differenzen zwischen gemessener und modellierter Regenzeitreihe
(RBFS mit 63 konstanten lokalen Funktionen) im Testdatensatz berechnet. Diese Fehler wurden quadriert und
deren Verteilung in Form eines Histogramms bestimmt. Jede Häufigkeit wurde mit dem dazugehörigen Fehler
multipliziert und die Summe der Balkenhöhen auf 1 normiert. Durch diese Auftragung ist zu erkennen, wo das
„größte Gewicht“ der Fehler liegt: Bei den großen Fehlern und somit bei den hohen Regenamplituden.
Die Korrelation der Amplituden von rund 4% ist sehr gering. Es ist daher zu vermuten, daß die zur
Verfügung stehenden Daten, die globalen pT-Werte, nicht ausreichen, um eine gute Modellierung der
lokalen Amplituden zu ermöglichen. Da es sich bei dem Regenphänomen, um einen Phasenübergang
handelt, erscheint dieses physikalisch plausibel. Die Kondensation des Wasser ist stark von lokalen
Gegebenheiten (Kondensationskeimen etc.) abhängig und damit nur durch globale Information nicht zu
erfassen.
5
4
x-y-Plot
P1
3
Modulierte Regenamplitude
2
1
0
-1
-2
-3
0 2 4 6 8 10
Gemessene Regenamplitude
Abbildung 80: Korrelation von modellierter Regenamplitude und beobachteter Regenamplitude.
Man erkennnt: Das Modell liefert nur für wenige Regentage eine negative Amplitude. Einige Trockentage
werden als negative Regenamplitude modelliert.
93

7.2.3 Übergang zu Trefferquoten
Es hat sich im letzen Kapitel ergeben, daß der mittlere quadratische Fehler nicht geeignet ist, um die
Vorhersage zu bewerten und die hohen Regenamplituden nicht gut moduliert werden können. Wie läßt
sich trotzdem eine sinnvolle Analyse der Daten durchführen?
Am wichtigsten ist es, die hohen Niederschlagsmengen in der Bewertung weniger zu wichten. Dieses
läßt sich z.B. durch ein einfaches Abschneiden der hohen Werte erreichen. Es ist aber nicht eindeutig,
bei welcher Schwelle dieses geschehen soll. Die Problematik dieser Schwellwerte wird in dem Kapitel
7.2.5 über die Schwellwertvariation wieder aufgegriffen.
Ein anderer Weg wird in einer gemeinsamen Arbeit mit Dr. G. Bürger [22] eingeschlagen. Dort wurde
vorgeschlagen, die Verteilung der Regenamplituden in eine Normalverteilung zu transformieren und
damit eine transformierte Fehlerfunktion zu verwenden. Auch in dieser Untersuchung zeigt sich, daß die
Vorhersage der richtigen Niederschlagsmengen ein schwieriges Problem ist.
Andererseits ist an den Grafiken ab Abbildung 74 zu erkennen, daß durchaus eine Ähnlichkeit zwischen
Modell und Natur besteht. Um die oben genannten Probleme zu vermeiden, wird daher dazu
übergegangen, reine Trefferquoten für die richtig erkannten Tage als Performanceindikator zu
verwenden. Gestützt wird dieser Ansatz durch die Tatsache, daß schon 50% der Amplitudenkorrelation
durch die Detektion der richtigen Trockentage erreicht wird.
Es stellt sich dabei das Problem, daß die Modellzeitreihe sehr wenige wirkliche Trockentage mit
Amplitude exakt oder kleiner als 0, enthält. Dieses liegt daran, daß nie kleinere Regenwerte als 0 ins
Netzwerk eingespeist werden und durch die nicht eindeutige Relation zwischen globalen und lokalen
Daten und durch den Fit des RBFS in Form der Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers, nie
oder nur für uncharakteristische Phasenraumpunkte (Ausreißer), Werte exakt oder kleiner als Null
geliefert werden können. Es müssen daher schon Daten unterhalb einer positiven Grenze L als
Trockentage definieren werden. Im Sinne einer echten Vorhersage, bei der keine Information aus der
Zukunft des Prädiktors benutzt werden darf, wird diese Grenze L aus dem Trainingsdatensatz bestimmt
und zwar so, daß sich hierbei maximale Treffer ergeben. Dieser gefunden Wert L wird dann auch für
den Testdatensatz verwendet. Doch zuvor eine exakte Definition des Performanceindikators.
Die Trefferquote TQ für eine Vorhersage ist mit T T und T R , der Anzahl der richtig modellierten Trocken
T T bzw. Regentage T R , definiert als:
(36) TQ T T +
=
Tage
R
Die Trefferquoten für die im letzten Abschnitt effektivsten RBFS sind in Tabelle 26 zu sehen. Beide
Methoden liefern nicht nur ähnliche mittlere quadratische Fehler wie oben bestimmt, sondern auch
ähnliche Trefferquoten. Sie liegt mit ca. 66% ca. 1% über der, die am PIK mit der Expanded-
Downscaling-Methode (EDS) nach [21] bestimmt wurden.
94

Methode Testdatensatz Trainingsdatensatz
TQ [%]
Optimaler
Schwellwert L
TQ [%]
konstante lokale Funktionen, 63 Cluster 66.145 1.6143 65.811
lineare lokale Funktionen, 1 Cluster 66.065 1.77959 65.711
Tabelle 26: Trefferquoten
Die berechneten kontinuierlichen Regenamplituden wurden mit Schwellwert L binärisiert.
7.2.4 Downscaling der binären Niederschlagsereignisse
Rückblickend läßt sich die bis jetzt durchgeführte Analyse folgendermaßen zusammenfassen:
Das RBFS wurde als gewöhnlicher Datenfit verwendet, indem die Beziehung zwischen den globalen
Zirkulationsmuster und den Potsdamer Regenamplituden mit einer kontinuierlichen Abbildung gefittet
wurde. In einem zweiten Schritt ist der kontinuierliche RBFS-Output und ebenso die Originalzeitreihe
durch eine Schwellwertanwendung binärisiert und anschließend miteinander verglichen worden. In
dieser Vorgehensweite steckt implizit die Annahme, daß große Regenamplituden große
Regenwahrscheinlichkeiten bedeuten. Diese trifft aber wie oben schon angeführt i.a. nicht zu. Speziell
für großen Amplituden erscheint diese Annahme unsinnig und beeinflußt daher in einer ungünstigen
Weise die Ausbildung des RBFS.
Aus diesem Grund wird im folgenden auf die Amplitudeninformation ganz verzichtet und mit reinen
Regen/Trocken-Aussagen gearbeitet. Zu diesem Zweck wird die Zeitreihen schon vor dem Einspeisen in
das RBFS binärisiert, indem die Amplituden größer 0.05 (Meßgenauigkeit ist 0.1) auf 1 gesetzt werden.
Nach dem Training des Netzes mit diesen Daten liefert das berechnete RBFS durch seine
Interpolationseigenschaft natürlich wieder eine kontinuierliche Vorhersagezeitreihe im Bereich 0 bis 1.
Diese wird nach der im vorigen Abschnitt erklärten Schwellwertmethode binärisiert.
Diese Vorgehensweise entspricht einer Bayes-optimalen Klasseneinteilung, bei der eine kontinuierliche
Variable (Regenamplitude) zwei Klassen (Trockenheit, Regen) zugeordnet werden soll. Der Fehler wird
durch den Schwellwert minimiert, bei dem sich die Verteilungen (Abbildung 81) schneiden und
entspricht der Schnittfläche beider Verteilungen (schraffierte Fläche). Die Grafik dient hier nur zur
Visualisierung, der optimale Schwellwert wurde wegen der geringen Auflösung des Histogramms nicht
aus diesem, sondern präziser direkt aus den Daten bestimmt.
In Abbildung 82 ist dargestellt, wie die Lage des Schwellwertes die Trefferquote beeinflußt. Die Wahl
des Schwellwertes ist nicht sehr kritisch: Obwohl die Kurve nicht monoton ist, sind die Sprünge
aufgrund des 6000 Punkte langen Datensatzes nur sehr klein im Verhältnis zur groben Form der Kurve.
Außerdem ist das Maximum sehr flach, so daß eine robuste Schwellwertbestimmung möglich ist. Es
ergibt sich beim Trainingsdatensatz eine Trefferquote von rund 70% bei einem Schwellwert 0.48.
95

In Tabelle 27 sind die Ergebnisse für einige Netzwerkstrukturen dargestellt. Es ergibt sich ein ganz
ähnliches Bild wie bei der oben durchgeführten Analyse der kontinuierlichen Zeitreihe: Die einfachen
Netzwerke liefern wieder die besten Ergebnisse.
Sehr deutlich zeigt sich bei der Verwendung von lokal linearen Funktionen, wie gut sich RBFS Daten
anpassen können. Bei der Verwendung von 16 Clustern steigt die Trefferquote beim Trainingsdatensatz
auf 76%. Durch diese genaue Anpassung an die Trainingsdaten, wird allerdings nicht mehr Information
über den generellen Zusammenhang zwischen globalen Daten und lokalem Regenereignis extrahiert, da
sich der Fehler des Trainingsdatensatzes vergrößert. Diese Tatsache macht den Effekt des Overfittings
deutlich und zeigt, daß der Zusammenhang - so wie er in der zur Verfügung stehenden Datenbasis
vorliegt - keine komplizierte Struktur hat. D. h. nicht, daß der Zusammenhang wirklich einfach sein
muß, sondern daß die eventuell regulären Beziehungen der Daten durch starke Irregularitäten
(Rauschen, Nichtstationärität) überlagert sind, die nur effektiv durch Mittelung mit einfachen
Netzwerkstrukturen herausgefiltert werden können.
0.035
0.03
Regentage
Trockentage
0.025
Häufigkeit
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Modullierte Amplitude
Abbildung 81: Verteilung des Outputs vom RBFS mit 61 konstanten linearen Funktionen.
Die Ausgabewerte des RBFS wurden für den Trainingsdatensatz nach den bekannten (gemessenen)
Regen/Trockenereignissen in zwei Mengen geteilt. Für beide Mengen wurde getrennt ein
Verteilungshistogramm des Outputs bestimmt. Die Balkensumme wurde auf 1 normiert.
Bei den linearen RBFS liefern zwei lokale Funktionen mit einem Fehler von 70.5% eine kleine
Verbesserung um rund 1% gegenüber einer einfachen lineare Funktion. Viele konstante lokalen
Funktionen liefern kein wesentlich besseres Ergebnis (71% bei 61 Clustern). Damit wird durch die
Binärisierung der Zeitreihe vor dem Fit eine relative Verbesserung der Trefferquote um rund 7%
gegenüber der direkten Analyse der kontinuierlichen Zeitreihenanalyse von 66.1% erhalten.
96

70
Value-Time-Plot
P1
65
Trefferquote
60
55
50
45
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Schwellwert
Abbildung 82: Trefferquote des Trainingsdatensatzes in Abhängigkeit vom Schwellwert der Binärisierung
(RBFS mit konstanten lokalen Funktionen und 63 Cluster)
Methode Testdatensatz TQ [%] Trainingsdatensatz TQ [%]
konstante lokale Funktionen
52 Cluster 69.90 69.17
57 Cluster 70.05 69.13
61 Cluster (*) 71.01 70.07
63 Cluster 70.37 69.90
94 Cluster 69.71 70.62
128 Cluster 69.60 71.31
lineare lokale Funktionen
1 Cluster 69.47 69.77
2 Cluster (*) 70.50 70.75
4 Cluster 70.00 71.47
8 Cluster 67.96 72.92
16 Cluster 66.23 76.33
hierarchische lineare lokale Funktionen
1 + 2 Cluster 70.58 70.75
2 + 4 Cluster 69.97 71.43
1 + 2 + 4 Cluster 70.00 71.43
Tabelle 27: Trefferquoten für verschiedene Netzwerktypen
7.2.5 Schwellwertvariation
Im letzten Abschnitt wurde die Trefferquote um rund 5% durch den Verzicht auf die Regenamplituden
verbessert. D.h. letztendlich wurde durch die Verwendung von weniger, aber offensichtlich der
entscheidenden Information, ein besseres Ergebnis erzielt. Dies bestätigt, daß über die Amplitude wenig
ausgesagt werden kann. Um diesen Sachverhalt genauer zu überprüfen, wird jetzt untersucht, wie gut
die verschiedenen Regenamplituden separiert werden können. Zu diesem Zweck wird die gemessene
Regenzeitreihe mit höheren Schwellwerten S binärisiert, d.h. zusätzliche Regenamplituden unter dem
Schwellwert S auf Null gesetzt. Dies entspricht einer Erhöhung der Anzahl der Trockentage im
Datensatz, wodurch sich die Verteilung der Regen/Trocken-Ereignisse vom schwierigsten Fall der 50:50
Verteilung entfernt und die Vorhersage einfacher werden müßte.
Um dieses zu kompensieren und ein Kriterium für die wirklich mehr extrahierte Information zu erhalten,
wird die Trefferquote auf die Schwierigkeit der Aufgaben normiert. Es wird ein Performanceindikator,
97

der als „true skill statistics“ bezeichnet wird, verwendet. Bei ihm werden die Trefferquoten separat für
Trockenheit und Regen betrachtet und auf die Anzahl der Trockentage N T bzw. Regentage N R normiert.
T TR
(37) TSS = + −1
N N
TSS von 0 entspricht einem zufälligem Raten im Verhältnis N
eine Antikorrelation hin.
Schwelle Testdatensatz Trainingsdatensatz
Regenhäufigkeit TQ TSS Regenhäufigkeit TQ TSS
0.05 49.15 70.37 0.408 46.95 69.9 0.395
0.15 45.91 69.01 0.372 42.35 70.25 0.377
0.25 43.45 68.91 0.355 39.57 70.67 0.360
0.35 40.82 69.20 0.347 37.52 71.47 0.365
0.45 38.91 69.02 0.319 35.55 71.82 0.336
0.55 36.87 68.70 0.309 34.17 72.28 0.342
0.65 35.62 68.86 0.295 32.95 72.58 0.333
0.75 34.46 69.28 0.300 31.67 72.85 0.329
0.85 32.92 69.66 0.274 30.52 73.25 0.305
0.95 31.72 70.85 0.199 29.47 73.77 0.216
1.05 30.74 71.49 0.208 28.37 74.17 0.224
1.15 29.68 72.10 0.204 27.53 74.72 0.223
1.25 28.73 72.81 0.190 26.85 74.85 0.196
1.35 27.96 73.05 0.176 26.13 75.30 0.194
1.45 27.11 73.50 0.186 25.25 75.83 0.203
1.55 25.89 74.62 0.105 24.28 76.62 0.113
1.65 25.25 74.93 0.097 23.63 77.05 0.107
1.75 24.27 75.92 0.106 22.92 77.75 0.115
1.85 23.55 76.58 0.104 22.30 78.20 0.109
1.95 22.86 76.98 0.113 21.82 78.68 0.125
2.05 22.15 77.93 0.087 21.25 79.12 0.093
Tabelle 28: Variation der Schwelle bei der Binärisierung der Regenzeitreihe
T
R
T
: N , und negative Werte deuten auf
Die Ergebnisse der Schwellwertvariation sind in Tabelle 28 zu sehen. Beim Trainingsdatensatz steigt die
normale Trefferquote, da sich die Aufgabe durch das Ungleichgewicht der Regen/Trockentage
vereinfacht. Die TSS hingegen sinkt fast monoton. Beim Trainingsdatensatz fällt sogar die normale
Trefferquote bis zum Schwellwert 0.95. Aus diesen Ergebnissen läßt sich schließen, daß die Separation
von höheren Regenamplituden schwieriger ist als die bei 0.05 -oder physikalisch interpretiert- daß die
Unterschiede im globalen Wettergeschehen bei Regenwetter geringer sind, als die zwischen Trockenheit
und Regen (egal ob viel oder wenig). Dieses numerisch erhaltene Ergebnis ist im Einklang mit den
Erfahrungen der Meteorologen. Aus diesen Überlegungen scheint es nicht sinnvoll zu sein, weitere
Untersuchungen für mehr als zwei Klassen durchzuführen.
R
7.2.6 Informationsgehalt der pT-Daten
Es hat sich in den vorigen Untersuchungen ergeben, daß die Amplituden nur ungenügend vorhergesagt
werden können, es aber durchaus möglich ist, Aussagen über die Regenwahrscheinlichkeit zu erhalten.
Diese Bestimmung des lokalen Wettergeschehens erhält man, wie noch einmal hingewiesen werden muß,
nur durch die Verwendung von Informationen über globale, weit entfernten gemessenen pT-Muster. Der
Zusammenhang zwischen den pT-Daten und den Regenwahrscheinlichkeiten ist zwar nicht sehr
kompliziert, da ein oder zwei lineare Funktionen ausreichen um gute Ergebnisse zu liefen, trotzdem aber
98

ist die Tatsache, daß hier eindeutige Korrelationen der unterschiedlichen physikalischen Größen über so
große räumliche Skalen vorliegen bemerkenswert.
In diesem Abschnitt sollen diese Korrelationen genauer untersucht werden. Insbesondere ist es wichtig
zu wissen, ob tatsächlich der komplette Informationsgehalt der globalen Daten für eine Regenvorhersage
nötig ist. Um diesen Sachverhalt zu klären, werden die 41-Kanäle, die schon durch Datenkompression
erhalten wurden, durch eine erneute Hauptkomponentenanalyse und Projektion auf die größten
Komponenten weiter reduziert. Für die so erhaltenen Datensätze wird wie oben die binäre Trefferquote
bestimmt. Um die sich eventuell ergebenen Nichtlinearitäten besser erfassen zu können, wird hier das
RBFS mit 63 lokalen konstanten Funktionen benutzt.
Die Ergebnisse sind in Tabelle 29 dargestellt. Die Verwendung von nur einer Komponente liefert sehr
wenig Information. Es wird fast immer Trockenheit vorhergesagt und es ergibt sich die geringe
Trefferquote von rund 51% bei ca. 49% Regentagen im Testdatensatz. Bei 2 Komponenten erhöht sich
die Trefferquote schon auf 58% und steigt dann weiter bis sie bei 33 Komponenten 70.9% erreicht, was
bis zu dieser Stelle das beste Ergebnis darstellt. Die Verwendung weiterer Komponenten bringt keine
verwertbare Information mehr ins System, sondern “irritiert“ im Gegenteil sogar das RBFS und
verschlechtert damit das Ergebnis.
Aus diesem Grund und der Sprünge in den Trefferquoten kann vermutet werden, daß einige
Komponenten für die Regenvorhersage wichtiger sind als andere. Indem nur die wichtigen verwendet
werden, könnte daher die Vorhersage verbessert werden. Allerdings ist die PCA nicht die richtige
Methode, um diese Komponenten zu finden, da hier nur bzgl. der Richtungen mit den höchsten
Streuungen analysiert wird. Diese Richtungen sind aber nicht unbedingt die Komponenten mit dem
größten Informationsgehalt bzgl. einer guten Regenvorhersage. Daher werden die Korrelationen der 41
Kanäle mit dem Regen direkt bestimmt. Dabei hat sich gezeigt, daß eine Korrelationsuntersuchtung mit
der binärisierten Regenzeitreihe die besten Ergebnisse liefert. In Abbildung 83, in der die Korrelationen
der Größe nach sortiert aufgetragen sind, ist eine Variation von 0.185 bis -0.094 zu erkennen.
Die Kanäle sind dann nach dem Absolutbetrag der Korrelation umsortiert worden. In Tabelle 30 sind
die Ergebnisse zu sehen, die sich ergeben, wenn mehr und mehr Kanäle in dieser Reihenfolge benutzt
werden. Es ist zu erkennen, daß schon durch den Kanal 5 eine Trefferquote von ca. 61% erreicht wird.
Sie steigt dann sehr schnell bis auf 69.5% bei erst 17 Kanälen. Durch den Vergleich von Tabelle 30 mit
Tabelle 29 wird deutlich, daß sogar bis rund zur 30. Zeitreihe die Trefferquoten durch diese Sortierung
höher liegen, also richtig nach Informationsgehalt sortiert worden ist.
99

Anzahl der
verwendeten
Komponenten
Trefferquoten
für den
Testdatensatz [%]
Trefferquoten
für den
Trainingsdatensatz [%]
1 51.31 53.79
2 58.13 60.16
3 59.27 61.16
4 58.50 61.46
5 59.17 61.76
10 64.74 66.53
15 65.43 66.77
20 67.05 67.98
25 67.53 67.51
30 69.62 68.56
31 69.67 69.36
32 70.47 69.46
33 70.87 69.11
34 70.22 69.45
35 70.71 69.46
37 69.57 69.51
40 70.44 69.66
41 70.36 69.88
Direkt ohne PCA 70.36 69.88
Tabelle 29: Trefferquoten für verschiedene Hauptkomponenten
0.2
0.15
0.1
Korrelation
0.05
0
-0.05
-0.1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Nummer der Zeitreihe
Abbildung 83: Korrelationen der binärisierten Regenzeitreihe mit den 41 pT-Zeitreihen sortiert nach fallender
Korrelation. (Umsortierung nach Tabelle 30)
100

Anzahl der
Kanäle
Zusätzlich
benutzter Kanal
Trefferquote
(Testdatensatz)
Trefferquote
(Trainingsdatensatz)
Clusteranzahl
1 5 61.2629 62.7919 58
2 2 60.9976 63.7091 56
3 25 63.3324 64.3429 59
4 21 63.6243 64.5931 60
5 3 64.4203 65.0659 63
6 12 64.9774 66.7278 64
7 15 66.0653 67.1781 64
8 33 67.1266 66.8446 64
9 19 66.1714 67.1614 63
10 36 65.8265 67.3616 64
11 40 67.5511 67.7785 64
12 17 67.3919 67.6951 64
13 10 67.6572 67.1114 64
14 29 67.2858 67.495 63
15 1 68.3205 67.962 62
16 6 68.294 68.1955 64
17 4 69.4614 68.3456 64
18 32 69.0634 68.3122 64
19 14 69.3553 68.8125 64
20 27 69.1695 69.3129 63
21 24 69.3287 69.8299 62
22 20 68.6389 69.5464 63
23 41 69.0634 69.7131 63
24 22 69.7267 69.2295 63
25 18 69.9124 69.1294 61
26 39 69.0369 69.7965 62
27 8 69.0899 69.4963 63
28 16 68.2144 69.0794 63
29 26 69.1695 69.463 61
30 23 68.692 69.4963 62
31 9 68.9838 69.2795 62
32 35 68.9573 69.5297 63
33 31 68.9573 69.9133 62
34 34 69.4349 69.7298 62
35 7 69.1961 69.8299 62
36 13 69.7533 69.6798 63
37 38 70.0716 69.0127 62
38 11 69.7002 69.7131 61
39 30 69.7798 70.0634 62
40 37 69.8328 70.6471 63
41 28 70.3635 69.8799 63
Tabelle 30:
Trefferquoten bei Benutzung einer steigenden Anzahl der pT-Zeitreihen. Die globalen pT-Zeitreihen wurden
nach Absolutbetrag der Korrelationen mit der binären Regenzeitreihe sortiert.
7.2.7 Zeitliche Vorhersage
Im vorigen Abschnitten wurde gezeigt, daß eine Korrelation zwischen dem momentan herrschenden pT-
Muster und dem aktuellen Wetter in Potsdam besteht. Dieser Zusammenhang ist so stark, daß er
ausgenutzt werden konnte, um das Auftreten des Regens in Potsdam mit ein Trefferquote von rund 70%
zu prognostizieren. Diese räumliche Vorhersage (Downscaling) soll jetzt um die zeitliche Komponente
erweitert werden. Es soll untersucht werden, ob allein aus den Wetterdaten der Vergangenheit auf die
lokale Wetterentwicklung in der Zukunft geschlossen werden kann. Der Erfolg wird mit der
Persistenzvorhersage verglichen, deren Ergebnisse in Tabelle 31 zu ersehen sind. Hierbei fällt die relativ
hohe Trefferquote der 1-Schrittvorhersage von 64% auf, die durch die starke zeitliche Clusterung der
Regen- und Trockenereignisse, speziell beim Trainingsdatensatz, verursacht wird.
101

Vorhersageschritt
[Tage]
TQ des
Testdatensatzes [%]
TQ des
Trainingsdatensatzes [%]
1 64.5452 67.2721
2 57.8738 59.0127
3 54.5065 55.3557
4 54.1335 53.7642
5 53.7748 53.5387
10 50.9259 52.3461
Tabelle 31: Trefferquoten für die Persistenzvorhersage
Bei der Vorhersage durch ein RBFS ergaben sich wieder für 2 lineare Funktionen die besten Ergebnisse
(Tabelle 32). Für den Testdatensatz sind alle Ergebnisse besser als die der Persistenzvorhersage, wobei
speziell die 3-Schrittvorhersage hierbei mit einem rund 5% besseren Ergebnis herausragt. Aber auch der
hohe Wert der 1-Schrittvorhersage, der nur rund 3 % niedriger ist als die Trefferquote des reinen
Downscaling, überrascht auf den ersten Blick.
Physikalisch plausibel ist dieses Phänomen durchaus, da die globale Zirkulation der Vergangenheit die
globale Situation der nächsten Tage bestimmt und somit das lokale Wetter in Potsdam verursacht. Das
Wetter muß gewissermaßen erst in Potsdam “ankommen“. Diese zeitliche Korrelation reicht aber
offensichtlich nicht weit, da die Trefferquoten bei der 2-Schrittvorhersage schon um 4.5% abfallen.
Andererseits unterscheiden sich die Trefferquoten nicht extrem von denen der Persistenz, was sich in
den Ähnlichkeiten der RBFS verschiedener Vorhersageschritte widerspiegeln sollte. In den letzen Zeilen
der Tabelle 32 sind deshalb RBFS für die Berechnung anderer Vorhersageschritte als trainiert benutzt
wurden. Es ist zu erkennen, daß ein 0-Schritt-RBFS (reines Downscaling) sich auch für die 1-
Schrittvorhersage (bzgl. des Testsets) eignet. Allerdings ist ein 1-Schritt-RBFS wesentlich schlechter für
die 0-Schrittvorhersage als das reine Downscaling-RBFS geeignet.
Eine Kombination der verschiedenen Vorhersagesysteme durch die Benutzung mehrerer Tage der
Vergangenheit (time-delay) erbrachte für den Testdatensatz nicht wesentlich bessere Ergebnisse. So
ergab sich z.B. bei der 2-Schrittvorhersage und der Verwendung von zwei vergangenen Tagen:
Trainingssatz 62.79%, Testsatz 64.48%.
Vorhersageschritt [Tage] Trfferquote des Testsets [%] Trefferquote des Trainingssets [%]
1 67.17 66.42
2 62.61 63.32
3 60.34 61.44
4 59.03 60.66
5 55.27 60.13
10 53.35 59.42
0 als 1 benutzt 66.96 64.68
1 als 0 benutzt 68.83 68.78
1 als 2 benutzt 63.90 62.41
Tabelle 32: Trefferquoten für verschiedene Vorhersageschritte aus den pT-Mustern (RBFS mit 2. linearen
Funktionen)
102

Die Persistenzvorhersage liefert gute Ergebnisse, daher sollte die Verwendung der Information der
vergangenen lokalen Regenwerte eine weitere Verbesserung bringen.
Mit dieser Idee entfernt sich die Untersuchung weiter von der reinen Form des Downscalings, in dem
auch die lokalen Observablen für die Vorhersage benutzt werden. In unserem Fall wird die 41-
dimensionale pT-Zeitreihe durch den binären Regenereignisvektor ergänzt. Dabei kodiert 0 wieder
Trockenheit, hingegen die 4 ein Regenereignis. Durch die Wahl diese Kodierung ergaben sich die besten
Trefferquoten. Der Wert der Regenkodierung beeinflußt stark die Ausführung der Clusterung und damit
die Positionierung der lokalen Funktionen im Phasenraum. Es bilden sich insbesondere bei der
nichtlinearen Form und der Verwendung vieler Cluster, andere Subvorhersagesyteme für die
verschiedenen Phasenraumbereiche. Durch einen großen Wert für Regen wird stärker bzgl. der
vergangenen Regentage oder Trockentage separiert. Die Codierung der Regenereignisse bestimmt daher
die Wichtung zwischen Persistenzvorhersage und der Vorhersage aus den globalen Daten.
Durch diese Benutzung der lokalen Vergangenheit verbessern sich die Trefferquoten, speziell für die
kurzen Vorhersageschritte, bei denen schon die Persistenz effektiv ist, erheblich und erreichen bei der 1-
Schrittvorhersage fast das reine Downscaling, wie in Tabelle 33 sehen ist.
Vorhersageschritt [Tage] TQ des Testdatensatzes [%] TQ des Trainingsdatensatzes [%]
1 69.639 68.60
2 63.562 64.53
3 59.86 61.83
4 59.21 60.83
5 55.11 60.23
10 53.86 59.35
Tabelle 33: Trefferquoten für verschiedene Vorhersageschritte aus den pT-Mustern und den vergangenen
binären Regenwerten (RBFS mit 2. linearen Funktionen)
7.3 Untersuchung der Maximaltemperatur
7.3.1 Untersuchung des Jahresganges
Der grobe Verlauf der Lufttemperaturen in Potsdam wird von den Schwankungen der
Sonneneinstrahlung geprägt (Abbildung 89). Diese unterliegt einem Jahreszyklus und ermöglicht die
grobe Form der Temperaturzeitreihe vor einer detaillierteren Downscaling-Untersuchung abzuschätzen.
Damit wird einerseits durch die Vereinfachung der Vorhersage das RBFS “entlastet“ 40 und andererseits
die rein statistische Untersuchung durch eine physikalisch begründete Modellierung ergänzt.
In der Abbildung 84, in der die gleitenden 60 Tage Mittelwerte (MA60) der Trainingszeitreihe
aufgetragen sind, können die Ähnlichkeit der Jahresgänge überprüfen werden. Die Verläufe variieren
über die Jahre nicht sehr stark. Der Mittelwert des Trainingsdatensatzes (Abbildung 85) kann deshalb
als Grobabschätzung des Jahresganges für den Trainingsdatensatz und den Testdatensatz verwendet
103

werden. Diese Schätzung liefert eine mittlere quadratische Abweichung von der tatsächlich gemessenen
Temperaturzeitreihe von 4.48 beim Testsatz und 4.43 beim Trainigssatz.
30
25
Value-Time-Plot
P1
30
25
P1
P2
P2
20
20
15
15
Value
10
10
5
5
0
0
-5
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Time [d]
-5
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Abbildung 84: Alle MA60-Jahresgänge des
Trainingsdatensatzes
Abbildung 85: Mittlerer Jahresgang des
Trainingsdatensatzes mit Streuungen
7.3.2 Downscaling
Für die TMAX-Zeitreihe sind verschiedene Methoden zum Downscaling getestet worden, deren
Ergebnisse in der Tabelle 34 zu ersehen sind. Die Effizienz der Jahresgangmodellierung tritt beim
Vergleich der Ergebnisse sehr deutlich zu Tage: Durch diese Vorverarbeitung wird der Fehler für den
Netzwerktyp mit den besten Ergebnissen (211 Cluster) noch um ca. 30% verringert.
Außerdem ist zu erkennen, daß die besten Ergebnisse wieder von einfachen Netzwerktypen geliefert
werden. Das Optimum liegt bei den linearen Netzwerktypen bei 3 linearen Funktionen, mit einer in der
ersten Schicht und zwei in der 2. Schicht, die sukzessiv gefittet werden. Durch Verwendung von mehr
linearen Clusterfunktionen oder der gleichzeitigen Parameteroptimierung über alle Schichten wird der
Fehler im Trainigsdatensatz weiter verringert. Dieses geschieht sehr effektiv und spricht wieder für die
Fähigkeit der RBFS sich Daten anzupassen. Es wird aber zuviel an Information extrahiert, so daß sich
die Vorhersage des unabhängigen Datensatzes verschlechtert.
Allerdings kann der Fehler durch eine sehr feine Clusterung (211) und die Verwendung konstanter
lokaler Funktionen, d.h. eine Erhöhung der Nichtlinearität des RBFS, auch im Trainigssatz leicht
verringert werden. Allerdings steuert eine weitere Erhöhung der Auflösung wieder in Richtung
Overfitting.
Der Fehler der sich durch die Verwendung eines RBFS mit 211 Cluster ergibt (2.7021), ist um ca. 6%
geringer, als der, den eine einfache lineare Funktion liefert (2.8640). Der Fehler ist um ca. 18% kleiner,
als der mit EDS [21] erreichte.
40 Große Variabilität ist nur durch viele Cluster zu erreichen.
104

Jahresgangmod.
Verfahren:
Mittlerer quadratischer Fehler
Testdatensatz
Trainingsdatensatz
Ergebnisse vom PIK mit EDS 3.2912 3.3105
Jahresgangmodullierung 4.7513 4.4307
Lokale
Funktionen
Clusteranzahl
Hierarchie
ohne konstant 211 Blätter 3.2810 3.0451
-MA60 konstant 128 Blätter 2.7032 2.6924
-MA60 konstant 159 Blätter 2.7138 2.6544
-MA60 konstant 211 Blätter 2.6900 2.5991
-MA60 konstant 263 Blätter 2.7021 2.5625
-MA60 konstant 422 Blätter 2.7029 2.4610
-MA60 linear 1 1. Schicht 2.8640 2.9830
-MA60 linear 2 2. Schicht 2.7228 2.7575
-MA60 linear 4 3. Schicht 2.8089 2.6735
-MA60 linear 3 1, 2. Schicht* 2.7207 2.7557
-MA60 linear 5 2., 3. Schicht 2.8050 2.6670
-MA60 linear 6 1, 2., 3. Schicht 2.8386 2.6061
-MA60 linear 3 1 & 2. Schicht ** 2.7767 2.7121
-MA60 linear 5 2 & 3. Schicht 2.8180 2.6191
Tabelle 34: Mittlere quadratische Fehler der TMAX-Zeitreihe für verschiedene Verfahren.
Das markierte Feld enthält den kleinsten Fehler im Testdatensatz.
* 1. und 2. Schicht sukzessiv gefittet
** 1. und 2. Schicht gleichzeitig gefittet
35
30
Value-Time-Plot
P1
P2
25
20
Value
15
10
5
0
-5
-10
6000 6050 6100 6150 6200 6250 6300 6350 6400
Time [d]
Abbildung 86: TMAX und Vorhersage (RBFS mit 211 konstante lokale Funktionen)
105

7.3.3 Informationsgehalt der pT-Daten
Wie bei der Untersuchung der Regenzeitreihe wird die Relevanz der einzelnen Komponenten der pT-
Reihen für die Vorhersage bestimmt. An der Abbildung 87 ist zu erkennen, daß bis zur Komponente 20
ein Großteil der Information erfaßt wird, aber die folgenden Komponenten den Fehler zwar langsam
aber weiter verringern, so daß für eine optimale Vorhersage alle zur Verfügung stehenden Komponenten
benutzt werden sollten. Der Fehler ist bei 41 benutzen Kanälen nahe an der Konvergenz, aber einige
weitere Komponenten würden doch kleine Verbesserungen erbringen. Für die Untersuchung standen
aber nicht mehr Datenreihen zur Verfügung.
In Abbildung 88 ist die erste Hauptkomponente zusammen mit der TMAX-Zeitreihe aufgetragen. Es ist
die wesentlich größeren Abweichungen gegenüber dem RBFS-Downscaling mit allen Komponenten zu
erkennen, was deutlich macht, daß das RBFS vieler Eingabekanäle verrechnet.
Bei der direkten Korrelationsuntersuchung ergab sich kein so klares Bild wie bei der Regenzeitreihe. Die
erste Hauptkorrelierte (Abbildung 89) liefert zwar ein besseres Ergebnis als die 1. Hauptkomponente,
aber für die Verwendung der weiteren Kanäle ist aber die PCA-Sortierung die bessere.
4.6
4.4
P1
4.2
4
Mitll. quadratischer Fehler
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Hauptkomponente
Abbildung 87: Fehler in Abhängigkeit von der Anzahl der verwendeten Hauptkomponenten
106

2.5
2
Value-Time-Plot
P1
P2
1.5
1
0.5
Value
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
6000 6050 6100 6150 6200 6250 6300 6350 6400
Time [d]
Abbildung 88: TMAX und die 1. Hauptkomponente der pT-Reihen
3
2
Value-Time-Plot
P1
P2
1
Value
0
-1
-2
-3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Time [d]
Abbildung 89: Über das erste Jahr des Trainingsdatensatzes sind TMAX (dicke Linie) und die am stärksten
Korrelierte Zeitreihe der globale pT-Daten aufgetragen. Die Geradenstücke sind durch lineare Interpolation
wegen der hier fehlenden Datenpunkten aus den umgebenden Werten berechnet worden.
7.4 Untersuchung Wasserdampfdruckes
7.4.1 Untersuchung des Jahresganges
Sie erfolgt analog zur Untersuchung der Maximaltemperaturen durch Subtrahieren des gleitenden
Mittelwertes über 60 Tage. Diese Vorverarbeitung ist hier nicht ganz so effizient, wie man an Tabelle
35 ersehen kann. Speziell beim Trainingsdatensatz ist der Unterschied gering.
107

7.4.2 Downscaling
Auch hier zeigen wieder die einfachen linearen RBFS die besten Ergebnisse. Ein Optimum wird mit 3
linearen Funktionen und einem mittleren quadratischen Fehler von 1.62 erreicht. Allerdings liefert hier
der nichtlineare Ansatz mit 211 konstanten Funktionen das um rund 4% bessere Ergebnis von 1.56. Die
Unterschiede der beiden Verfahren sind exemplarisch durch den Vergleich von Abbildung 90 mit
Abbildung 91 zu erkennen. Nichtlineare RBFS scheinen einige Extremausschläge (große Abweichungen
vom Jahresgang) besser zu erfassen.
Der Fehler der sich durch die Verwendung eines RBFS mit 211 Cluster ergibt (1.5594), ist um ca. 5%
geringer, als der, den eine einfache lineare Funktion liefert (1.64). Der Fehler ist um ca. 12% kleiner, als
die mit EDS erreichte.
20
18
Value-Time-Plot
P1
P2
16
14
Value
12
10
8
6
4
6000 6050 6100 6150 6200
Time [d]
Abbildung 90: HPR beobachtet (fett) & Vorhersage mit 211 konstanten RBF.
20
18
Value-Time-Plot
P1
P2
16
14
Value
12
10
8
6
4
6000 6050 6100 6150 6200
Time [d]
Abbildung 91: HPR beobachtet (fett) und Vorhersage mit 2 linearen Funktionen
108

Jahresgang
Verfahren
Mittlerer quadratischer Fehler
Testdatensatz
Trainingsdatensatz
Ergebnisse vom PIK mit EDS 1.779 1.705
Lokale
Funktionen
RFS (Probit) 1.666 1.609
Nur Jahresgang 2.2047 2.1520
Clusteranzahl
Hierarchie
ohne konstant 211 Blätter 1.5859 1.3918
-MA60 konstant 94 Blätter 1.5789 1.4767
-MA60 konstant 115 Blätter 1.5623 1.4539
-MA60 konstant 124 Blätter 1.5646 1.4410
-MA60 konstant 128 Blätter 1.5678 1.4380
-MA60 konstant 159 Blätter 1.5706 1.4246
-MA60 konstant 211 Blätter 1.5594 1.4080
-MA60 konstant 263 Blätter 1.5704 1.3804
-MA60 konstant 422 Blätter 1.5864 1.3312
-MA60 konstant 211 alle global 1.5865 1.2215
-MA60 linear 1 1. Schicht 1.6443 1.6003
-MA60 linear 2 2. Schicht 1.6415 1.4840
-MA60 linear 4 3. Schicht 1.8384 1.4949
-MA60 linear 3 1, 2. Schicht* 1.6254 1.4837
-MA60 linear 5 2., 3. Schicht 1.6418 1.4391
-MA60 linear 6 1, 2., 3. Schicht 1.6425 1.4393
-MA60 linear 3 1 & 2. Schicht ** 1.6361 14636
-MA60 linear 5 2 & 3. Schicht 1.6766 1.4067
-MA60 linear 5 1&2&3. Schicht 1.6862 1.3955
Tabelle 35: Mittlere quadratische Fehler der HPR-Zeitreihe für verschiedene Verfahren
Das markierte Feld enthält den kleinsten Fehler im Testdatensatz.
* 1. und 2. Schicht sukzessiv gefittet
** 1. und 2. Schicht gleichzeitig gefittet
7.4.3 Zeitliche Vorhersage
Die Wasserdamfdruckzeitreihe soll zeitlich vorhergesagt werden. Dabei wird wieder von der
Vormodellierung des Jahresganges ausgegangen, da diese, bei dem reinen Downscaling gute Resultate
lieferte.
In der Tabelle 36 sind die Ergebnisse für verschieden Verfahren zusammengefaßt. Verglichen wird mit
der Persistenzvorhersage. Ab dem zweiten Vorhersageschritt ist diese allerdings durch die starken
109

Mittlerer quadratischer Fehler
des Testdatensatzes
Mittlerer quadratischer Fehler
des Trainingsdatensatzes
Fluktuationen dieser Observablen schlechter ist als die reine Jahresgangmodullierung, so das hiermit
verglichen werden muß.
Bei den lineare RBFS zeigen sich bei der Verwendung von 2 linearen lokalen Funktionen die besten
Ergebnisse. Sie liefern ab dem 2. Vorhersageschritt wesentlich bessere Resultate als die
Persistenzvorhersage. Durch die Verwendung sehr vieler konstanter lokaler Funktionen (422) läßt sich
auch bei der 1-Schrittvorhersage die Persistenz übertreffen. Bei allen untersuchten Vorhersageschritten,
ergeben sich bessere Ergebnisse als die Jahresgangsabschätzung liefert.
In der vierten Fehlerspalte der Tabelle 36 sind für die Vorhersage auch die vergangenen lokalen HPR-
Daten aus Potsdam benutzt worden. Der Fehler verringert sich dadurch speziell für die kleine
Vorhersageschritte (1 und 2) erheblich und ist wesentlich kleiner als der der Persistenzvorhersage. D.h.,
gerade die Kombination der lokalen Daten (ermöglicht Persistenz) und der globalen Daten (liefert
dynamische Zusammenhänge) und die Ausnutzung deren Korrelationen liefert eine viel bessere
Prädiktionsbasis als diese Daten für sich alleine. Dieser Vorteil wird speziell beim Vorhersageschritt 1
deutlich (Abbildung 92).
Bei den größeren Vorhersageschritten gleichen sich die drei Verfahren an, das RBFS geht fast in eine
Null-Abbildung über und die Vorhersage mündet in einer Jahresgangsmodullierung mit kleinen
Ausschlägen, die oft in die falsche Richtung zeigen (Abbildung 93).
Vorhersage
-schritt
Persistenzvorhersage
RBFS mit
2 linearen.
Funktionen
RBFS mit
konst. Fkt.
(Clusteranzahl)
RBFS mit konst.
Funktionen *
(Clusteranzahl)
Persistenzvorhersage
RBFS mit
2 linearen
Funktionen
RBFS mit
konst. Fkt.
(Clusteranzahl)
RBFS mit konst.
Funktionen *
(Clusteranzahl)
[Tage]
1 1.7411 1.80 1.72 (422) 1.48 (422) 1.60 1.64 1.46 (422) 1.25 (422)
2 2.34 1.93 1.90 (422) 1.84 (263) 2.22 1.80 1.63 (422) 1.66 (263)
3 2.57 2.04 2.02 (94) 2.00 (211) 2.49 1.91 1.91 (94) 1.83 (211)
4 2.68 2.09 2.08 (94) 2.06 (94) 2.65 1.97 1.97 (94) 1.96 (94)
5 2.76 2.13 2.13 (94) 2.11 (63) 2.74 2.01 2.01 (94) 2.03(63)
Tabelle 36: Mittlerer quadratischer Fehler der HPR-Vorhersage für verschiedene Vorhersageschritte und
Verfahren
Bei allen Verfahren wurde aus dem Trainingsdatensatz der Jahresgang abgeschätzt. Ausgehend von dieser
Vormodellierung wurden nur die Differenzen zum Jahresgang trainiert. Die Persistenzvorhersage bezieht sich
auch auf diese Differenzen. Der Fehler ist aber für Differenzen der tatsächlichen Zeitreihen inclusive
Jahresgang bestimmt worden. Die Jahresgangsabschätzung ergibt einen Fehler von 2.20 beim Test- bzw. 2.15
beim Trainingsdatensatz für die 0-Schrittvorhersage. Die Verwendung dieser Abschätzung als die 1-5-
Schrittvorhersage liefert annähernd den gleichen Fehler.
* Hier wurden zusätzlich die lokalen HPR-Werte für die Vorhersage benutzt.
110

20
18
Value-Time-Plot
P1
P2
16
14
HPR
12
10
8
6
4
6000 6050 6100 6150 6200
Time [d]
Abbildung 92: HPR beobachtet (fett) und die 1-Schrittvorhersage unter Benutzung der vergangenen pT-Daten
und dem vergangenen HPR-Wert mit 422 konstanten lokalen Funktionen.
20
18
Value-Time-Plot
P1
P2
16
14
HPR
12
10
8
6
4
6000 6050 6100 6150 6200
Time [d]
Abbildung 93: HPR beobachtet (fett) und 5-Schrittvorhersage unter Benutzung der vergangenen pT-Daten und
dem vergangenen HPR-Wert mit 63 konstanten lokalen Funktionen. Der mittlere quadratische Fehler von 2.11
liegt nahe den dem der Jahresgangmodullierung von 2.20.
111

7.5 Ergebnisse und Diskussion
Untersuchung des Niederschlages:
• Das Downscaling der Amplituden ist fast nicht möglich.
• Die Bestimmung der Regen/Trockenereignisse aus der kontinuierlichen Regenzeitreihe liefert mit
einer Trefferquoten von rund 66% ein um 1% besseres Ergebnis als das vom PIK mit EDS
bestimmte.
• Das Downscaling der reinen Regen/Trockenereignisse erreicht eine Trefferquote von 70%.
• Nichtlineare Funktionen liefern nicht wesentlich bessere Ergebnisse als eine lineare Funktionen.
• Rund 20, der mit dem Regen stark korrelierten globalen Zeitreihen, enthalten ausreichende
Information für das Downscaling.
• Die zeitliche Vorhersage unter Verwendung der globalen Daten liefert bessere Ergebnisse als die
Persistenzvorhersage.
• Die 1-Schrittvorhersage unter Mitbenutzung der lokalen Regenvergangenheit erreicht fast die
Ergebnisse des Downscalings.
• Die zeitliche Vorhersage wird durch die Verwendung von globalen Daten, die länger als einen Tag
zurückliegen, nicht verbessert.
Untersuchung der Maximaltemperatur:
• Durch nichtlineare Funktionen läßt sich das Downscalingergebnis um rund 6 % verbessern.
• Die Ergebnisse sind um rund 18% besser, als die die mit EDS erreicht wurden.
• Alle 41 Hauptkomponenten enthalten für das Downscaling wichtige Information. Die Zeitreihen mit
den größten Varianzen sind am wichtigsten.
Untersuchung des Wasserdampdruckes:
• Durch nichtlineare Funktionen läßt sich das Downscalingergebnis um rund 5 % verbessern.
• Die Ergebnisse sind um rund 12% besser, als die die mit EDS erreicht wurden.
• Die zeitliche Vorhersage des RBFS unter Verwendung der globalen Daten ist ab dem zweiten Tag
besser als die Persistenzvorhersage.
• Die zeitliche 1-Schrittvorhersage unter Mitbenutzung der lokalen Regenvergangenheit ist um ca.
34% besser als die Persistenzvorhersage.
112

8 Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurde mit statistischen Methoden die Dynamik von vier natürlichen dynamischen
Systemen durch die Auswertung ihrer beobachtbaren Systemgrößen untersucht. Die in dieser Arbeit
verwendeten Observablen stellen nur einen Teil der am ganzen System beteiligten Größen dar, sie
bildeten jedoch die Basis für die statistische Analyse, wodurch sich die Qualität der Daten 41 wesentlich
auf die Ergebnisse auswirkt. Dieses zeigt sich darin, daß bereits bei dem Einsatz einfacher Methoden die
Grenze der Auswertung erreicht war, da die Definition komplexerer Zusammenhänge nur dazu führte,
daß die Trainingsdaten besser approximiert wurden (vgl. Kap. 6 zum Peruansiche Auftriebsgebiet und
Kap. 7 zur Analyse der Wetterdaten). Es ist daher nicht zu erwarten, daß mit rein statistischen
Methoden wesentlich bessere Ergebnisse zu erreichen sind.
Bei der Untersuchung des Kirchroder Bohrkernes (Kap. 5) wurden Frequenzen, die mit den typischen
Milankovitch-Frequenzen übereinstimmen, gefunden. Eine genauere Bewertung der Ergebnisse war
nicht möglich, da die Milankovitch-Frequenzen schwanken und nicht bekannt ist, welche exakten
Frequenzen zu der Zeit in der der untersuchten Bohrkernabschnitt entstand, vorlagen.
Die detaillierten Ergebnisse der einzelnen Untersuchungen sind in den einzelnen Kapiteln nachzulesen.
Die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede der vier Analysen lassen sich wie folgt beschreiben:
A: Bewertung des Datenumfangs für die einzelnen Untersuchungen:
1. Der Datenbestand für die Staubanalyse kann um rund ca. 50% reduziert werden. Mit der Analyse
von 20 Elementen lassen sich Ergebnisse erreichen, die denen mit 41 Elementen entsprechen.
2. Der Datenbestand des Kirchroder Bohrkernes ist bzgl. seines Umfanges und seiner Qualität
ausreichend um die Milankovitch-Zyklen zu finden. Durch die Einschränkung der Untersuchung auf
das Tiefenintervall [-100..-40] m, das in der Arbeit von V.E. Rachold bearbeitet wurde, erhält man
einen Abschnitt mit konstanter Sedimentationsrate und somit die notwendige Bedingung für eine
Frequenzanalyse. Eine Erweiterung der Untersuchung auf das Tiefenintervall [-150..-43] lieferte
ähnliche Frequenzen, so das daraus geschlossen werden kann, das auch in dem erweiterten Intervall
konstante Sedimentation herrschte.
3. Der Datenbestand für das peruanische Auftriebsgebiet, ist für eine statistische Analyse nicht
ausreichend. Er ist nicht Mittelwert-, Varianz- und Korrelationsstationär. Mit verschieden Filtern
lassen sich zwar in der Zeitreihe einige wenige regelmäßige Strukturen erkennen, diese treten aber
zu selten auf, um sie statistisch auswerten zu können. Durch den Phasenübergang des Biosystems in
41 genügend großer Datenumfang, große Korrelationen in den Daten, geringer Rauschanteil, Stationärität der Zeitreihen
113

den Jahren 1972/73 liegen außerdem vor und nach diesem Ereignis zwei voneinander abweichenden
Datensätze vor.
4. Für die Downscalinguntersuchung standen Daten von täglichen Werten über 27 Jahre zur
Verfügung. Für das Downscaling der Regenereignisse genügen nur 20 der 41 pT-Zeitreihen. Für die
anderen untersuchten Observablen ergaben sich mit 41 Zeitreihen die besten Resultate. Noch mehr
Zeitreihen könnten eventuell die Ergebnisse verbessern.
In der zeitlichen 1-Tagesvorhersage, kann diese hier durchgeführte Untersuchung
(Regentrefferquote von 70%) nicht mit den Vorhersagen der Meteorologen (Regentrefferquote von
90%) konkurrieren. Diese hohen Trefferquoten werden von den Meteorologen allerdings mit einer
anderen Datenbasis erreicht. Es werden z.B. aus Satellitenbildern die Bewölkungsfelder ausgewertet
und viele andere aktuelle meteorologische Größen von Wetterstationen benutzt. Der hier benutzte
Datensatz enthielt dagegen lediglich (komprimierte) Druck- und Temperaturwerte, die aus einem
Modell gefittet wurden.
B. Korrelationen, Hauptkomponenten, Kompression in den einzelnen Untersuchungen
1. Bei der Staubanalyse wurde versucht, Komponenten zu entkorrelieren, d.h. die Daten in eine Basis
zu transformieren, in der sie möglichst orthogonal zueinander stehen. Außerdem wurden fast
parallele Vektoren zusammengefaßt. Die PCA diente dazu, die Lösung robuster gegenüber
Meßfehlern zu machen. Korrelationsuntersuchungen der Stoffe oder der Elemente untereinander
spiegeln die bekannten chemischen Zusammenhänge wieder.
2. Mit der Projektion von 7 chemischen Komponenten des Kirchrodebohrkernes auf die erste
Haupkomponente wurden bessere Ergebnisse bei der Detektion der Milankovitch-Zyklen erreicht.
Allerdings lieferte auch alleine die TOC-Zeitreihe (Indikator für die biologische Aktivität) gute
Übereinstimmungen mit den Milankovitch-Zyklen.
3. Die Korrelationsuntersuchung der Tierbestände von der peruanischen Küste spiegelt die
biologischen Zusammenhänge teilweise wieder. Diese Korrelationen konnten jedoch nicht genutzt
werden, um die Vorhersage zu verbessern, da die anderen Zeitreihen ebenso wie die Anchoveta-
Zeitreihe nicht stationär ist.
4. Für die Downscaling-Untersuchung lagen komprimierte Daten vor. Eine weitere Kompression
verschlechterte das Ergebnis. Bei der Regenvorhersage ergaben die ersten 30 Hauptkomponenten
schon Trefferquoten von 69%. Die 20 Hauptkorrelierten lieferten allerdings auch schon 69%
Treffer. Die Verwendung aller Komponenten erhöhte die Trefferquote nur um ein 1%.
114

C. Beurteilung der Methoden
1. Bei der Staubanalyse erbrachte die aufwendige Transformation der Daten und die des LGS eine
Robustheit der Lösung gegenüber Meßfehlern.
2. Bei der Bestimmung der Milankovitch-Zyklen stellte sich die Frequenzbestimmung nach der
Maximum-Entropie-Methode als das beste Verfahren heraus.
3. Bei der Analyse der peruanischen Daten wurden sehr viele Versuche unternommen um gute
Vorhersagen zu erreichen. Verbesserte Filter und große RBFS lieferten jedoch immer nur bessere
Ergebnisse im Trainingsdatensatz.
4. Beim Downscaling der Regenereignisse ergab die nichtlineare Modellierung nicht wesentlich bessere
Ergebnisse als die lineare Modellierung. Die Modellierung des Jahresganges war bei der
Untersuchung der Maximaltemperatur und dem Wasserdampfdruck effektiv. Bei der
Maximaltemperatur- und der Wasserdampfdruckuntersuchung ergaben sich rund 5% bessere
Ergebnisse durch nichtlineare Methoden.
Die Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:
1. Die Zusammensetzung der Stäube ist in Tabelle 17 nachzulesen. Es fällt auf, daß rund 50% Prozent
der Luftstäube vom Autoverkehr verursacht werden. Die Ergebnisse für Bremsabrieb und
Benzinfeststoffemission sind nicht eindeutig. Es ergeben sich unterschiedliche Konzentrationen bei
der Analyse mit und ohne Stoffkomposition.
2. Die Milankovitch-Zyklen sind bis auf den 400-ka-Zyklus sehr gut detektiert worden. Es ist
anzunehmen, daß auch im erweiterten Tiefenintervall von -150 m bis -43 m konstante
Sedimenationsrate herrschte.
3. Die Vorhersage des Ökosystems Peruanisches Auftriebsgebiet ist nicht gelungen. Durch die
Anwendung eines Filters lassen sich jedoch wiederkehrenden Strukturen mit einer Periode von 2
Jahren finden, die sich sogar im hinteren Teil der Zeitreihe nach dem El Nino-Ereignis wiederholen.
Zur Bearbeitung dieses Problems müssen entweder mehr Daten zur Verfügung stehen oder das
Modell muß um biologisches Wissen erweitert werden.
4. Das Downscaling der Regenereignisse liefert ein rund 5% besseres Ergebnis, als das mit EDS
bestimmte. Die Verwendung des RBFS liefert für die Maximaltemperatur- und
Wasserdampfdruckuntersuchung bessere Ergebnisse als das Downscaling mit einer einfachen
linearen Funktion. Diese Ergebnisse sind wesentlich besser als die, welche mit EDS bestimmt
wurden.
Die Vorhersage der Regenereignisse und des Wasserdampfdruckes sind insbesondere für kleine
Vorhersageschritte wesentlich besser als die Persistenzvorhersage.
115

9 Anhang
9.1 Arbeiten mit „Data-Stream-Network“
In diesem Abschnitt wird an drei Anwendungsbeispielen der Umgang mit dem Programm und einigen
Algorithmen erklärt. Die Menübefehle sind durch folgenden Schriftstil hervorgehoben: 0HQ SXQNW
Beispiel 1: Sonnenfleckendaten
1. Start
In Abhängigkeit von der Konfiguration sind nach dem Start des Programmes 1-3 Fenster zu
sehen. Das Script- und das Debugfenster benötigen Sie jetzt noch nicht. Mit :LQGRZ'HEXJ bzw.
:LQGRZ6FULSW lassen sie sich entfernen (Fenster bitte nicht mit dem Windowmanager schließen).
Diese Einstellungen sowie Fenstergröße und -position können Sie für den nächsten
Programmstart mit 2SWLRQV6DYH *HRPHWU\ speichern.
2. Einfügen eines Algorithmus
Wählen Sie /RDG7LPVHULH. Durch ein Klicken mit der Maus auf die Arbeitsfläche werden zwei
Icons eingefügt. Das große stellt den Zeitreihenlade-Algorithmus und das kleine die Zeitreihe
dar. Sie können die Icons mit der Maus nach der üblichen tag-move-and-drop-Methode beliebig
auf dem Desktop anordnen.
3. Laden einer Zeitreihe
Jeder Algorithmus besitzt Parameter, die eingestellt werden können. Für den Zeitreihenlade-
Algorithmus muß der Dateiname angegeben werden. Klicken Sie mit der rechen Maustaste auf
das Icon und stellen Sie in der Dialogbox den Dateinamen „tsa/data/sunspot/sonne.ts“ ein.
Durch einen Doppeklick mit der Maus auf eines der beiden Icons wird die Datei symbolisch von
der Festplatte in das kleine Zeitreihen-Icon geladen. Sie erkennen dieses daran, daß sich die
Schattenfarben des Icons zu grün verändert.
4. Löschen von Dateninhalten
Markieren sie den Datenknoten und drücken Sie auf die Space-Taste. Die Zeitreihe wird
gelöscht und der Schatten färbt sich grau. Dieser Schritt ist normalerweise nicht nötig. Nur
wenn Sie das Netzwerk speichern wollen und z.B. zum Transport die Dateigröße verringern
wollen ist er sinnvoll. Aktualisieren Sie den Datenknoten wieder mit einem Doppelklick.
5. Standardgrafik
Wenn Sie den Datenknoten markieren und 1RGH*UDSKLFV wählen, wird ein Grafikfenster mit der
Darstellung der Zeitreihe geöffnet: Sie erkennen die periodischen Strukturen der Zeitreihe.
6. Verknüpfen von Algorithmen
Sie möchten jetzt das Frequenzspektrum in der Zeitreihe untersuchen. Fügen Sie dazu den
116

Algorithmus )UHTXHQF\))7 ein. Schieben Sie den Input-Datenknoten (auf der linken Seite) auf die
Zeitreihe des anderen Algorithmus. Die Datenknoten werden dadurch miteinander verbunden.
7. Frequenzanalyse
Wenn Sie jetzt auf auf den Ausgabeknoten der FFT doppelklicken, wird die Berechnung
gestartet. Drücken Sie die Taste „g“ als Abkürzung für 1RGH*UDSKLFV und das Leistungsspektrum
der Sonnenfleckenzeitreihe wird dargestellt. Für viele Menübefehle existieren Shortcuts in Form
von Buttons am linken Fensterrand oder Tastaturkürzel. Die Bedeutung der Buttons wird am
unteren Fensterrand angezeigt, wenn Sie mit der Maus auf den Button zeigen. Die
Tastaturkürzel sind in den Menüs zu sehen.
8. Plotalgorithmus des Frequenzspektrums
Fügen Sie *UDSKLFV)RXULHUVSHF ein und verbinden Sie die beiden Fourierspektren. Mit dem neuen
Algorithmus können Sie die grafische Darstellung des Spektrums genau an Ihre Bedürfnisse
anpassen. Durch ein Klicken mit der rechen Maustaste auf den Plotalgorithmus wird eine
Dialogbox geöffnet in der Sie die Parameter einstellen können. Durch den Hilfeknopf werden
Einstellungsmöglichkeiten erklärt.
Stellen Sie z.B. yLogsScale=0 und Powerplot=0 ein. Schließen Sie die Dialogbox mit OK ab
(oder Taste Return) und doppelklicken Sie auf das Icon (oder Taste Return) und Sie erhalten
eine Grafik des Spektrums mit Real- und Imaginärdarstellung.
9. Inverse FFT
Fügen Sie )UHTXHQF\))7A ein und verbinden Sie die Spektren-Icons.
10. Plotalgorithmus einer Zeitreihe
Sie wollen jetzt die originale Zeitreihe und die rücktransformierte miteinander vergleichen.
Fügen Sie *UDSKLFV7LPHVHULH ein und verbinden Sie die originale Zeitreihe mit der Inputzeitreihe
des Plotalgorithmus. Der Plotalgorithmus arbeitet mit einer einstellbaren Anzahl von
Eingabedatenknoten. Markieren Sie ihn und wählen Sie 1RGH$GG ,QSXWGDWDQRGH (oder Taste Insert).
Der Algorithmus enthält ein zusätzliches Input-Icon, das Sie jetzt mit der rücktransformierten
Zeitreihe verbinden sollten. Durch einen Doppelklick auf den Plotalgorithmus werden beide
Zeitreihen grafisch ausgegeben. Sie liegen übereinander, so daß sie nur eine Kurve erkennen.
Um Sie zu unterscheiden, können Sie im Plotalgorithmus Format=0 2 setzen, wodurch die
zweite Zeitreihe im Stil „Linien mit Punkten“ gedruckt wird. Diese Formatvariable ist ein
Integerarray aus dem die Elemente zyklisch gewählt werden. Falls mehr Zeitreihen geplottet
werden als Formate angegeben sind wird wieder mit dem ersten Arrayelement begonnen. Fast
alle Stilformate werden zyklisch benutzt. (Æ Hilfetext)
11. Trennen von Verbindungen
Markieren Sie die Verbindung zwischen dem FFT^-1- und seinem Input-Icon. Drücken Sie die
117

Delete-Taste. Die Verbindung wird gelöscht und der Algorithmus wieder mit einen Input-Icon
versehen.
12. Bandfilter
Fügen Sie )UHTXHQF\%DQGILOWHU ein und bauen Sie diesen Algorithmus zwischen die erzeuge Lücke
im Datenfluß ein. Falls zu wenig Platz ist, können Sie mehre Icons gleichzeitig verschieben,
indem Sie sie mit einen Fangrechteck markieren (linke Maustaste auf leere Stelle des Desktops
und Maus bewegen). Stellen Sie im Filter MaxFreq=0.05 und schauen Sie sich mit
Zeitreihenplotalgorithmus das Ergebnis an.
13. Speichern des Netzes
Durch )LOH6DYH DV können Sie das Netz speichern falls es noch keinen Dateinamen hat, durch
)LOH6DYH $OO im anderen Fall. Geben Sie bitte immer einen Datenamen mit der Endung „.net“ ein.
Beispiel 2: Phasenraumplot der Henon-Abbildung
1. Neue Datei anlegen
Mit )LOH1HZ können Sie den Desktop vollständig leeren.
2. Erzeugung der Henon-Zeitreihe
Fügen Sie *HQHUDWH+HQRQ ein und schauen Sie sich die Zeitreihe an. Der Algorithmus generiert in
der Standardeinstellung eine 1-dimensionale Zeitreihe.
3. Timedelay
Fügen Sie 3KDVHVSDFH7LPHGHOD\ ein und verbinden Sie die Zeitreihen. Aktualisieren Sie den letzen
Datenknoten und schauen Sie sich die grafische Ausgabe an. Sie sehen zwei Zeitreihen, die um
einen Zeitschritt verschoben sind. Durch die Parameter des Timedelay-Algorithmus können
viele Varianten der Timedelay-Methode eingestellt werden.
4. Phasenraumplot
Verbinden Sie die 2-dimensionale Zeitreihe mit einem Zeitreihenplotalgorithmus und stellen Sie
dort ein:
GeneralStyle 2 x(t)-y(t)-Plot (statt x(t)-Plot)
xTimeser 1
Die Daten für die x-Achse werden aus 1.Inputzeitreihe des
Plotalgorithmus genommen. (In diesem speziellen Fall gibt es nur eine
Inputzeitreihe)
yTimeser 1 Daten für y-Achse auch aus 1. Inputzeitreihe
xChannel 1 Daten für x-Achse aus Kanal 1 (der xTimeser)
yChannel 1 Daten für y-Achse aus Kanal 2 (der yTimeser)
Format 1 Nur Punkte ohne Verbindungslinien
Sie erhalten die 2-dimensionale Darstellung des Henon-Attraktor. Wenn Sie jetzt im
118

Henongenerator z.B Size=10000 und im Zeitreiheplot, Point=0 (nur Pixel) einstellen, erhalten
Sie eine dichte Darstellung des Attraktors.
5. Histogramme
Wählen Sie 7LPHVHU+LVWRJUDP und verbinden Sie die Inputzeitreihe mit der generierten Henon-
Zeitreihe. Die Verteilung der Daten können Sie durch Markierung des Histogramms und
drücken der Taste „g“ erhalten. Sie können durch die Parameter auch Histogramme mit höherer
Auflösung einstellen.
Beispiel 3: Vorhersage der Henon-Abbildung mit einem neuronalen Netzwerk
1. Zeitverschiebung
Sie wollen jetzt ein neuronales Netzwerk an einem Datensatz der Henon-Zeitreihe trainieren und
das Netz anschließend für eine Vorhersage benutzen. Sie können dazu das Netz des vorigen
Beispiels wieder verwenden. Fügen Sie 7LPHVHU6KLIW 7LPH ein und verbinden Sie den Input mit der
generierten 1-dim Henonzeitreihe. In der Standarteinstellung des Algorithmus wird die Zeitreihe
einen Zeitschritt nach vorne verschoben.
2. Pick Overlap
In unser vorigen Untersuchung haben Sie durch den Timedelay-Algorithmus eine 2-
dimensionale Zeitreihe mit den Daten y[t]=(x[t],x[t-1]) erzeugt. Mit der zeitverschobenen
Zeireihe z=x[i+1] zusammen liegen die Beispielpaare vor, um ein Netzwerk auf die Abbildung
y[t]Æz[t] zu trainieren. Allerdings existiert durch den Zeitversatz an den Enden der Zeitreihen
nicht für jedes t von y[t] ein z[t] und umgekehrt. Um reguläre Beispielpaare zu erzeugen müssen
mit 7LPHVHU3LFN 2YHUODSS die Zeitreihen an den Enden „zurechtgeschnitten“ werden. Verbinden Sie
die beiden Inputknoten mit den zwei Zeitreihen. An der Ausgabenseite erhalten Sie die gekürzten
Zeitreihen.
3. Clustering
Als Vorstufe des neuronalen Netzes benötigen Sie das „Cluster-Set“, das mit 1HXUDO 1HW&OXVWHULQJ
erzeugt wird. Dazu muß die Input-Zeitreihe mit der (gekürzten) 2-dimensionalen Zeitreihe
verbunden werden. Setzen Sie vorher Size=3000 im Generate-Henon-Algorithmus. In der
grafischen Darstellung des Cluster-Sets erkennen Sie die berechnete Einteilung des
Phasenraumes.
4. Fit des Radialen-Basis-Funktionen-Systems
1HXUDO 1HW? 5)6)LWWLQJ muß eingefügt und die Cluster-Sets miteinander verbunden werden. Die
Input-Zeitreihe als Ziel des Fits wird mit der (gekürzten) 1-dimensionalen Henon-Zeitreihe
verbunden. In dem Ausgabeknoten der RFS-Fits liegt das RBFS vor, was einem komplettem
neuronalen Netzwerk entspricht.
119

5. Anwendung des RBFS
Das Netzwerk wird jetzt mit 1HWZRUN5)6&DOFXODWLQJ auf die Argumente, die in der 2-dimensionalen
Zeitreihe vorliegen, angewendet. In einer Grafik sollten Sie die berechnete und die originale
Zeitreihe visuell vergleichen. Setzen Sie dazu vorher im TSPlot-Algorithmus: SetxRange=1,
xfrom=0 und xto=50. Mit 7LPHVHU&RPSDULVLRQ erhalten Sie den genauen numerischen Vergleich.
6. Trainings- und Testset
Für eine echte Vorhersage ist die bisherige Vorgehensweise nicht erlaubt, da das Netzwerk an
den Trainigsdaten getestet wurde. Generieren Sie jetzt eine 3000 Punkte lange Zeitreihe und
teilen diese mit 7LPHVHU6SOLW bei SplitPos=2000 in zwei Teile. Dazu trennen Sie das Netz hinter
dem Timedelay-Algorithmus auf und fügen den Algorithmus ein. Das Netz wird nun mit dem
vorderen Teil der Zeitreihe (Output-Verbindungslinie Nummber 1) trainiert und an dem hinteren
Teil getestet.
7. Variation
Sie können nun verschiede Variationen des Netzes oder der Daten untersuchen. Sinnvoll ist z.B.
in Timedelay die Dimension zu verändern oder größere Vorhersageschritte in Shift-Time mit
größerer Beispielzahl einzustellen.
Das grundsätzliche Arbeiten mit dem Programm ist an Hand dieser Beispiele erklärt. Den vollständigen
Überblick über die implementierten Algorithmen und die Möglichkeiten von sinnvollen Verknüpfung
erhalten Sie beim Durcharbeiten der Hilfedateien.
120

9.2 Tabellen
Element
mg/kg
Elem.-
Nummer
Reifenabrieb Teer Dieselfeststoffemission
Benzinfeststoffemission
Zementabrieb
Ziegelabrieb Kalk Reingasstaub
Steinkohle
Reingasstaub
Braunkohle
Stoffnum. -> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 20
Ag 1 0,025 0,02 6 20 0,02 0,03 0,06 12 0,3 240 7 60 0,5 0,5 0,2 0,8 0 0,1 0 0,06 5,7 0
Al 2 370 430 3300 2200 32000 90000 10000 90000 40000 44000 10000 800 1100 10000 900 6300 0 840 0 78000 16500 0
As 3 6 5 180 370 10 5 1 480 60 200 11 225 5 60 25 90 0 0,6 0 2,5 79 0
Ba 4 530 65 200 2500 1000 500 120 1300 1300 1600 1200 150 16000 20000 75 270 0,6 30 0 730 710 0
Be 5 1,1 0,1 2 1 2 3 0,3 18 2 3,2 1 6 1 1 0,1 0,1 0 0,06 0 4 3,6 0
Bi 6 0,012 0,01 3 2 0,03 0,04 0,05 15 0,8 280 2 65 1 1 0,03 0,5 0 0,06 0 0,13 3,5 0
OC + EC 7 6E+05 6E+05 7E+05 6E+05 600 600 2300 7000 9000 30000 6000 22000 7E+05 5E+05 3E+05 3E+05 0 3E+05 0 320 4E+05 0
Ca 8 3400 32 8000 4400 5E+05 20000 3E+05 19000 3E+05 75000 2E+05 55000 800 7800 4000 2100 12000 36000 0 29000 50000 0
Cd 9 9 0,02 27 45 0,05 0,07 0,1 35 2,5 820 22 300 1 2 0,8 4 0 0,75 0 0,1 25 0
Cl 10 6300 7300 9900 28000 140 100 150 8000 3000 1E+05 43000 10000 600 700 400 700 6E+05 0,3 0 320 13500 1E+06
Co 11 1,8 1 15 4 15 20 2 140 20 22 12 120 40 60 2 200 0 0,9 0 12 14 0
Cr 12 46 12 220 220 45 90 11 460 70 750 48 1400 140 2100 2 180 0 6 0 60 150 0
Cu 13 630 130 4000 4600 20 40 4 450 80 1900 34 900 100 49000 30 850 0 15 0 25 780 0
F 14 220 200 1700 80 800 200 330 2400 1100 1600 1100 5000 100 1000 100 10 30 20 0 720 900 0
Fe 15 3600 37 5700 3300 35000 43000 15000 60000 60000 26000 20000 4E+05 2E+05 1E+05 800 3500 0 720 0 35000 18000 0
Ga 16 2 0,2 6 8 10 20 4 150 50 270 27 20 5 40 0,5 2 0 0,09 0 17 18 0
Hg 17 0,27 0,02 5 3 0,01 0,01 0,04 3 4 70 4 35 0,1 0,1 0,5 0,8 0 0,2 0 0,05 5,4 0
K 18 740 22 730 1700 3500 26000 4700 24000 4000 74000 2E+05 700 350 21000 100 1000 12000 17000 0 28000 9000 0
La 19 4,1 0,1 11 9 20 50 4 60 20 3,8 19 10 4 4 1 0,6 0 0,6 0 44 9,7 0
Mg 20 660 15 5200 15000 20000 11000 26000 9500 34000 11000 5100 13000 9300 9300 2500 1200 39000 3300 0 14000 6800 0
Mn 21 150 2 220 3100 1500 700 700 500 450 850 500 24000 1300 1600 25 50 0 2100 0 690 800 0
Mo 22 1,3 0,1 18 11 2 3 0,4 90 20 35 10 280 220 3200 10 40 0,3 0,21 0 1 19 0
Na 23 1500 140 2100 9300 1100 15000 13000 8500 12000 57000 11000 6000 1500 1200 700 1200 3E+05 1100 0 25000 8000 0
Nb 24 0,5 0,1 2 2 10 20 0,3 20 20 15 11 100 8 10 1 2 0 0,03 0 20 8,6 0
Ni 25 57 4 370 220 30 70 15 500 40 210 36 150 20 120 180 13000 0 5,4 0 30 200 0
P 26 140 10 320 2400 1200 400 300 4400 1000 1000 440 2000 30 160 100 1000 2 3000 0 700 500 0
Pb 27 420 21 340 69000 10 4,5 10 1800 100 26000 2100 26000 2 8000 20 180 0 21 0 20 2600 0
Rb 28 3,2 2 9 625 50 150 11 130 70 130 900 60 4 3 5 3 3,6 30 0 140 47 0
S 29 7100 4300 7600 45000 12000 1000 1200 45000 80000 60000 1E+05 12000 3000 11000 65000 1E+05 27000 7500 1E+06 320 60000 0
Sb 30 56 0,1 36 31 0,2 0,5 0,3 70 15 1800 3 40 30 20000 0,5 280 0 0,12 0 0,6 74 0
Sc 31 0,4 0,1 1 1 5 15 1 27 3 3,3 10 6 1 1 2 0,2 0 0,09 0 14 2,5 0
Se 32 27 0,03 30 120 0,03 0,05 0,08 100 70 34 15 90 0,2 0,3 15 14 0 0,06 0 0,11 25 0
Si 33 1800 170 3800 2500 98000 3E+05 35000 2E+05 70000 59000 47000 17000 3200 15000 800 4400 60 39000 0 3E+05 52000 0
Sn 34 1,2 0,1 12 15 2 6 1 15 7 5800 2 350 10 600 0,5 11 0 0,3 0 3 64 0
Sr 35 52 12 95 460 400 200 450 1100 1000 270 610 50 190 500 50 140 240 150 0 290 180 0
Th 36 2 0,2 2 0,5 5 10 1,3 27 6 5 7 5 1 2 0,2 0,2 0 0,2 0 10 2,4 0
Ti 37 310 3 320 200 1900 5000 400 6000 1200 2400 520 300 70 400 10 50 0 120 0 4100 810 0
Tl 38 0,01 0,01 2 0,6 0,05 0,23 0,15 27 0,6 15 50 10 1 2 0,03 0,3 0 0,6 0 0,75 3,4 0
U 38 0,2 0,1 1 0,2 2 4 1,1 20 6 5 2 5 2 2 0,02 0,7 0 0,2 0 2,5 1,3 0
V 40 6,5 3 100 140 50 130 20 660 60 90 63 400 30 10 400 44000 0 6 0 85 170 0
Zn 41 10000 62 1400 4100 110 90 3 2400 300 58000 610 80000 1400 8900 70 1200 0 105 0 70 4700 0
Zr 42 1 0,2 19 7 150 200 19 100 30 110 95 200 970 1500 0,3 3 0 3 0 160 42 0
Summe 7E+05 6E+05 7E+05 8E+05 7E+05 5E+05 4E+05 5E+05 6E+05 7E+05 6E+05 7E+05 9E+05 9E+05 4E+05 5E+05 1E+06 4E+05 1E+06 5E+05 1E+06
Rest 3E+05 4E+05 3E+05 2E+05 3E+05 5E+05 6E+05 5E+05 4E+05 3E+05 4E+05 3E+05 89463 1E+05 6E+05 5E+05 9664 6E+05 0 5E+05 0
Reingasstaub
Zement
Reingasstaub
Stahl
Tabelle 37: Mischungsmatrix und Probenzusammensetzung. Die Konzentrationen sind in mg/kg angegeben.
Bremsabrieb I
Bremsabrieb
II
Rückstand
Heizöl leicht
Rückstand
Heizöl schwer
Meersalz
Schwefel
(S)
Kontinentale
Oberkruste
Reingasstaub
Müllverbrennung
Pflanzendetritus
Staubprobe
Chlor
(Cl)
121

Stoffnummer->
Entferntes
Element
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
ohne 1 0.00 0.07 0.16 0.14 0.06 -0.26 -0.07 5.82 0.54 -2.67 -0.39 -0.02 0.23 -8.07 13.12 -23.02 -5.25 -1.59 -0.08 -0.32 -1.01 0.37
ohne 2 0.24 0.87 0.63 0.57 0.67 0.86 -3.26 -55.40 1.35 8.33 2.05 -1.95 1.58 38.42 -6.48 53.74 20.45 1.79 -13.78 -12.25 3.12 0.91
ohne 3 -4.18 2.12 -1.07 0.05 -0.21 0.43 -3.94 5.89 0.51 1.23 -12.15 6.37 9.34 13.27 -0.78 13.14 -6.57 -3.62 2.21 1.57 -0.51 0.67
ohne 4 -1.31 1.46 0.98 1.30 0.99 1.77 -12.94 -365.67 -36.27 -16.47 1.78 -6.12 -0.21 14.23 -0.52 59.90 -65.14 5.02 -4.75 -4.67 -4.65 1.91
ohne 5 -0.79 -3.09 -2.06 -1.83 -1.60 -2.79 24.88 462.55 -5.13 -5.17 2.87 6.68 9.83 39.38 6.24 -101.81 -31.55 -46.56 18.35 15.90 -4.35 2.57
ohne 6 -0.06 0.28 0.29 0.30 0.13 -0.18 -2.30 1.63 0.81 -3.66 -0.48 0.30 0.93 -11.94 17.55 -25.59 -6.47 -1.11 -0.77 -1.07 -1.15 0.50
ohne 7 -70.94 -96.10 -95.37 -98.79 -75.59 -94.61 97.90 3892.21 -142.80 164.20 194.92 71.66 91.65 168.48 -46.68 2141.55 969.73 -56.73 57.74 53.13 748.89 38.24
ohne 8 5.90 13.64 7.79 8.25 8.48 -20.43 -6.92 -98.59 -24.80 12.48 -93.14 -57.49 -76.69 -6.67 -12.57 1413.78 -217.39 14.62 14.31 19.93 26.89 6.78
ohne 9 -0.06 0.09 0.15 0.17 0.06 -0.16 -0.75 -1.29 0.67 -0.01 -0.63 0.02 -0.01 -5.80 9.99 -17.38 -4.26 -1.38 -0.06 -0.25 -0.85 0.28
ohne 10 19.30 9.93 5.45 6.30 4.72 -22.23 -13.31 -141.22 -24.91 5.42 -35.25 9.47 11.71 0.31 -6.94 194.60 -100.00 1.37 -5.64 3.53 -20.11 4.62
ohne 11 -2.75 -1.32 -1.41 -1.08 -1.38 1.05 -10.00 1048.93 -0.36 10.06 -4.30 -2.28 -1.66 4.36 -4.82 57.19 -7.83 8.46 -3.74 -5.18 -6.54 1.51
ohne 12 3.80 5.28 3.94 4.34 3.69 -4.84 -9.05 -122.01 13.38 -14.90 -3.26 3.21 11.95 13.41 -2.20 54.56 -41.21 4.10 -2.87 -2.96 -6.55 1.68
ohne 13 4.31 7.93 5.16 4.97 4.35 -7.70 -19.55 -164.44 11.02 10.50 -6.71 2.91 6.32 14.27 -2.90 53.04 -42.59 4.23 -5.23 -2.56 -11.18 2.29
ohne 14 1.05 -6.24 -1.86 -2.48 -1.36 1.07 29.72 490.81 -2.73 -53.85 -1.88 -3.89 -3.77 -41.07 11.63 98.08 -1.90 -10.97 14.75 8.27 7.40 2.29
ohne 15 -0.36 2.56 1.64 1.31 0.86 -1.15 -18.70 -317.04 -5.34 65.25 -9.62 1.61 0.06 17.99 -21.72 37.62 -43.80 -5.07 1.15 4.22 -7.06 1.94
ohne 16 0.30 0.15 0.07 0.08 0.06 -0.06 -0.53 -7.41 -0.02 0.20 -0.54 0.47 0.67 -0.25 -1.02 2.69 -0.47 0.34 -0.46 -0.34 -0.14 0.06
ohne 17 0.14 -0.29 0.02 -0.08 -0.09 -0.07 1.94 6.49 -1.76 -3.49 -0.79 0.48 0.32 5.20 -14.67 32.04 5.87 2.70 0.28 0.33 1.75 0.43
ohne 18 1.27 0.37 0.18 -0.01 0.31 -0.69 1.93 -38.02 -0.37 2.03 7.27 3.70 4.73 -87.85 -3.44 -40.86 9.63 2.27 -0.77 -0.74 6.94 0.82
ohne 19 1.78 -1.21 -0.19 0.28 0.26 0.17 0.95 -67.16 0.55 0.31 -3.26 -1.35 -0.64 -0.17 -3.72 -30.67 -9.25 2.72 4.38 6.54 -2.87 0.45
ohne 20 9.04 3.00 1.18 1.56 0.58 -10.84 -1.65 -139.59 -13.42 -0.14 -18.23 14.32 7.54 -18.62 -2.95 -409.90 118.56 2.05 -3.91 -1.98 -9.15 2.59
ohne 21 -1.02 -0.01 -0.08 -0.24 -0.23 -0.09 0.65 -32.01 1.06 18.78 -0.90 0.20 -1.65 3.42 -5.57 -19.44 1.13 -3.94 2.04 2.21 -1.24 0.49
ohne 22 4.63 3.71 3.83 3.85 3.95 -5.05 -9.04 -100.08 10.98 5.05 -3.57 1.19 3.48 4.22 -0.16 18.49 -31.83 2.12 -2.70 -0.96 -8.35 1.47
ohne 23 16.13 3.33 1.99 2.62 0.99 -11.33 -3.03 -123.00 -13.62 2.18 -34.61 21.00 7.61 -13.10 -3.63 -184.31 -4.01 2.39 -4.83 -0.86 -8.24 2.61
ohne 24 0.49 0.28 0.10 0.02 0.03 -0.08 1.36 24.61 -0.80 -14.49 -1.56 0.65 2.46 -4.02 3.58 14.57 2.84 2.68 -2.23 -2.05 0.83 0.39
ohne 25 -2.52 0.72 0.40 -0.06 0.15 0.17 1.29 -24.87 0.29 0.38 4.41 -0.78 0.01 6.02 0.17 0.78 8.64 -2.68 1.54 2.00 -10.14 0.41
ohne 26 -2.30 1.03 0.21 -0.27 0.18 -1.64 11.22 116.46 2.90 -0.13 14.64 3.45 6.62 -34.45 -4.50 -182.47 22.78 16.45 -9.14 -9.35 -6.42 1.23
ohne 27 -8.15 -11.68 -9.81 -10.83 -7.89 -12.70 133.51 476.20 -20.53 5.79 -15.48 -6.10 -27.31 -94.22 4.57 -303.16 3.13 -58.57 49.32 42.48 55.38 7.61
ohne 28 -5.54 -5.58 -4.31 -4.36 -4.37 -3.60 57.91 403.16 -3.63 3.23 -27.32 -12.43 -26.56 255.98 -10.18 -54.53 -7.95 -35.35 27.33 23.54 -17.81 4.15
ohne 29 24.48 14.70 8.87 10.00 6.15 -26.71 -19.61 -200.26 -28.80 9.90 -48.15 16.28 20.58 5.36 -8.44 312.08 -54.00 -1.03 -4.53 6.58 -100.00 6.40
ohne 30 6.15 5.63 5.65 5.46 5.27 -7.25 -14.51 -176.09 13.66 12.41 -4.97 1.18 3.17 10.41 -4.97 40.72 -43.37 3.51 -4.20 -1.38 -12.25 2.13
ohne 31 0.35 0.33 0.13 0.01 -1.05 0.23 -4.13 -77.75 0.96 2.05 -2.47 -4.33 -10.82 25.80 -4.51 -19.88 12.00 6.21 3.94 3.42 -1.79 0.55
ohne 32 -9.14 0.28 2.03 0.29 1.61 1.97 -16.35 97.50 -0.04 -5.98 19.48 -5.70 -6.70 25.96 3.66 -57.44 20.55 -6.41 5.18 2.22 0.63 1.24
ohne 33 2.71 1.53 0.88 0.92 1.05 1.00 -9.35 -70.95 0.27 -1.59 7.82 -0.20 7.34 21.93 0.54 99.64 26.66 13.64 -26.88 -24.99 6.11 1.70
ohne 34 -0.03 0.01 0.03 0.07 -0.01 -0.10 -0.55 12.34 -0.43 -4.88 -0.05 0.36 0.93 -7.96 10.91 -18.12 -3.31 -0.86 -0.29 -0.47 -0.49 0.32
ohne 35 -0.43 -0.63 -0.10 -0.16 -0.08 0.36 -1.21 -6.16 -1.47 -7.25 23.92 -2.97 6.05 9.63 0.05 -31.89 -4.81 3.61 -5.60 -3.23 -1.32 0.68
ohne 36 1.50 0.46 -0.33 0.07 0.17 0.63 -5.72 -98.33 0.80 -1.86 0.81 -1.60 -3.12 7.01 -1.53 -22.49 9.63 9.92 -1.09 -1.80 -1.68 0.53
ohne 37 0.27 0.00 -0.24 -0.02 0.09 0.00 -0.53 -14.61 0.11 -2.41 1.96 -1.74 -2.58 -9.97 1.74 -23.24 -1.15 0.88 2.30 4.66 -1.09 0.26
ohne 38 0.89 -0.60 -0.44 -0.62 -0.28 -1.50 8.05 -5.55 -2.50 -1.54 7.18 6.98 5.72 -118.29 0.52 -121.86 25.47 -5.16 4.96 4.23 9.82 1.24
ohne 39 2.62 2.12 0.96 0.69 0.95 0.21 -15.60 -186.25 -0.25 -4.25 3.00 1.31 2.69 -14.85 0.37 43.47 8.78 22.12 -13.95 -10.04 -0.72 1.37
ohne 40 -2.41 -0.21 0.03 -0.34 -0.31 0.09 2.40 240.95 0.38 -0.39 4.35 -0.96 -0.40 6.23 0.64 -5.44 6.27 -4.06 2.39 2.79 -12.38 0.56
ohne 41 -0.27 0.33 -0.90 -0.06 -0.06 0.51 0.19 3.32 0.59 1.13 0.37 0.21 -1.06 -0.56 1.01 -0.04 0.86 -0.31 -0.21 0.01 0.14 0.16
ohne 42 -2.08 -0.39 -0.29 -0.11 -0.50 2.40 -11.33 -227.17 -27.71 -0.18 -3.47 -3.36 -3.53 15.09 -3.24 5.96 -33.27 -1.57 3.02 2.65 -3.21 1.40
Tabelle 38: Prozentuale Veränderungen der berechneten Stoffkonzentrationen beim Entfernen von jeweils einem Elementen.
Die Elementindizes liegen in der alphabetischen originaler Sortierung laut Tabelle 37 vor. Alle Lösungen wurden durch Reduktion und Mittelung von 12 bis 14 Eigenrichtungen
erhalten. Die Referenz Lösung wurde unter der Verwendung aller Elemente 42 bestimmt. Als Abstandsmaß wurde die Länge des Differenzvektors der beiden Lösungen definiert.
Abstand zur
Lösung mit
allen
Elementen
122

Stoffnummer ->
Entferntes Element
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Abstand. zur
Lsg. mit allen
Elementen
Änderung des
Abstandes zur Lsg.
mit allen Elementen.
ohne 5 -27.06 -176.64 20.34 -3.77 -20.87 177.91 -30.67 -6.37 110.87 23.88 -47.24 35.50 -11.37 6.95 34.80 1.06 0.00 3.71 -5.97 13.27 9.33 291.48 11.63 512.20
ohne 6 -4.06 128.84 -61.16 153.23 -30.47 -82.54 -16.47 112.57 -86.33 41.90 -99.36 -15.43 59.14 69.10 31.59 -30.01 10.68 0.14 -3.03 -1.59 -6.33 303.11 -60.39 413.35
ohne 7 -26.06 89.73 44.56 -135.52 63.10 -10.61 46.93 90.85 -54.25 -65.10 18.23 56.43 -48.02 -15.12 -33.75 -2.11 6.04 -4.12 -17.63 -24.23 -9.10 242.72 -124.03 253.79
ohne 8 -5.83 41.50 50.76 34.63 -26.49 -55.84 1.89 22.27 13.36 7.15 -35.51 45.46 -25.78 4.88 -7.83 5.16 -1.95 -3.37 -3.33 6.76 6.21 118.69 10.22 164.36
ohne 9 -21.63 30.57 26.36 -72.65 40.67 30.06 -2.92 26.85 19.57 16.97 1.60 46.33 -56.44 2.54 -6.44 3.71 -0.30 0.18 4.28 11.05 -1.06 128.91 -59.80 142.94
ohne 10 -26.93 -12.07 5.14 32.92 22.15 12.65 9.72 15.26 21.52 -11.51 0.49 15.78 -0.35 -0.93 -12.61 4.74 -0.53 25.19 -2.91 -9.40 1.49 69.11 118.34 176.93
ohne 11 -167.42 47.13 54.07 -2.62 5.17 37.65 -8.55 21.30 -3.62 8.45 8.70 8.38 0.21 11.87 22.67 -1.94 -1.24 2.86 -3.35 -5.56 0.22 187.45 -133.96 233.99
ohne 12 54.42 8.64 5.14 6.12 4.75 11.14 -0.54 13.45 0.18 4.27 -2.33 5.89 -1.01 -0.16 6.49 0.81 -0.73 14.49 -1.08 0.80 1.77 53.49 -33.54 42.26
ohne 13 15.27 16.07 12.91 10.51 5.24 10.84 2.55 7.04 -0.12 3.04 -2.05 8.62 0.80 -0.01 -0.55 2.10 -0.97 14.81 -1.18 -0.67 2.89 19.96 1.24 14.43
ohne 14 5.87 23.03 14.09 11.90 6.78 5.08 3.03 6.03 -0.57 -0.61 -0.54 7.67 1.81 -0.52 2.56 1.75 -1.69 14.65 -2.58 0.08 2.16 21.20 -0.31 5.03
ohne 15 6.59 22.01 14.80 13.03 7.72 3.41 2.36 6.44 -0.96 -0.49 1.06 5.65 1.99 -0.82 5.15 0.96 -2.15 13.48 -2.16 0.80 1.13 20.89 0.03 5.67
ohne 16 6.95 19.71 15.15 13.01 8.02 3.24 3.32 6.80 -0.73 -0.92 2.30 4.51 2.63 -1.30 1.66 0.56 -2.23 15.64 -0.23 1.49 0.43 20.92 0.09 0.55
ohne 17 6.97 19.83 15.15 13.04 8.05 2.96 3.24 6.83 -0.55 -0.73 2.43 4.30 2.62 -1.23 1.57 0.55 -2.27 15.43 -0.15 1.57 0.38 21.01 -2.67 13.23
ohne 18 7.93 21.66 16.44 14.28 8.79 2.63 3.93 -3.65 -0.57 0.58 2.58 4.75 2.59 -3.09 2.80 -0.84 -0.43 10.40 1.95 4.73 2.54 18.34 0.24 0.33
ohne 19 7.94 21.75 16.47 14.30 8.79 2.38 3.88 -3.61 -0.42 0.52 2.55 4.76 2.60 -3.09 2.90 -0.84 -0.46 10.36 1.95 4.73 2.50 18.58 0.49 1.84
ohne 20 8.21 21.91 16.78 14.55 8.97 1.49 3.61 -3.25 -0.29 0.93 3.02 4.12 2.53 -2.62 2.30 -0.71 -0.72 9.74 2.12 5.07 2.24 19.07 -1.55 4.51
ohne 21 8.20 20.55 16.26 14.29 8.87 2.90 5.24 -3.51 -0.63 0.82 4.10 4.49 3.13 -4.61 2.78 -1.79 0.86 8.14 2.36 4.46 3.09 17.52 -6.39 7.23
ohne 22 7.52 18.32 14.92 13.12 8.15 7.52 4.85 -1.65 -1.81 0.95 3.65 3.90 2.39 -0.89 1.71 -1.21 1.14 7.95 2.58 4.19 2.71 11.13 -1.67 3.18
ohne 23 7.29 17.19 14.38 12.51 7.85 8.98 4.70 -0.50 -1.99 0.76 3.74 4.37 2.34 -0.62 0.96 -1.89 2.68 7.28 3.05 4.48 2.45 9.46 -2.47 4.88
ohne 24 6.83 17.35 14.25 12.73 7.87 10.62 3.44 -1.19 -2.50 2.51 2.89 3.50 1.88 0.79 0.87 -0.69 1.55 4.69 3.86 5.51 3.23 6.99 0.21 1.43
ohne 25 6.05 17.48 14.35 12.84 7.93 10.37 3.46 -0.91 -2.48 2.26 3.17 3.39 1.72 0.59 1.56 -0.98 1.60 4.53 4.51 5.52 3.06 7.21 -0.80 1.20
ohne 26 6.14 17.14 14.16 12.69 7.83 11.02 3.38 -0.72 -2.67 2.24 3.00 3.13 1.58 1.22 1.83 -0.75 1.30 4.42 4.58 5.55 2.95 6.41 -0.51 2.10
ohne 27 6.68 16.70 13.85 12.49 7.65 11.10 3.66 0.31 -2.82 2.51 1.87 3.56 1.52 1.11 2.11 -0.35 0.72 3.97 4.93 5.73 2.70 5.90 0.02 0.38
ohne 28 6.68 16.65 13.90 12.48 7.66 11.02 3.80 0.25 -2.77 2.40 1.98 3.45 1.45 1.03 2.10 -0.34 0.86 4.12 4.87 5.66 2.75 5.91 0.13 3.16
ohne 29 7.83 16.69 14.03 12.75 7.78 11.73 3.21 -1.56 -2.92 2.59 1.40 3.40 1.33 1.05 1.66 0.41 -0.05 5.07 4.45 5.28 3.86 6.05 -0.04 1.21
ohne 30 7.67 16.56 13.98 12.69 7.92 11.48 3.71 -1.27 -2.76 2.73 1.39 3.76 1.68 0.93 1.20 0.59 -0.06 4.57 4.19 4.98 4.04 6.00 0.02 0.76
ohne 31 7.47 16.50 14.03 12.67 7.88 11.34 4.03 -1.04 -2.72 2.90 1.34 3.89 1.77 0.91 1.18 0.66 -0.12 4.03 4.21 5.00 4.08 6.02 -3.32 5.57
ohne 32 6.55 14.93 13.34 11.99 7.52 15.22 4.14 -0.72 -3.93 1.97 2.07 3.82 1.77 0.24 3.72 -0.19 0.43 4.04 4.06 4.39 4.64 2.71 1.02 2.55
ohne 33 6.76 15.39 13.65 12.32 7.61 15.20 3.51 -0.56 -3.98 1.08 2.12 4.13 2.10 -0.11 5.42 -0.30 0.29 4.32 3.56 3.84 3.67 3.73 -0.31 1.29
ohne 34 6.81 15.44 13.65 12.33 7.53 15.28 3.65 -0.09 -4.03 1.18 1.99 4.23 2.15 0.05 5.44 -0.05 0.43 3.99 3.61 3.82 2.60 3.42 -0.49 0.88
ohne 35 6.71 15.19 13.57 12.17 7.49 15.66 3.81 0.08 -4.12 1.27 2.29 4.02 2.02 0.20 5.15 -0.08 0.73 3.86 3.73 3.91 2.33 2.93 -0.01 0.46
ohne 36 6.88 15.08 13.52 12.18 7.48 15.62 3.75 0.09 -4.10 1.25 2.21 4.04 2.02 0.14 5.15 -0.09 0.64 3.98 3.66 3.82 2.68 2.92 -0.33 0.64
ohne 37 6.84 15.03 13.50 12.16 7.47 15.65 3.71 0.06 -4.16 1.76 2.19 4.03 1.96 0.21 4.94 -0.11 0.60 3.80 3.80 3.96 2.62 2.59 -1.45 1.47
ohne 38 6.82 14.84 13.44 12.07 7.44 15.87 3.91 0.09 -4.14 1.97 2.25 4.02 1.92 0.51 3.61 0.05 0.83 3.90 3.88 4.05 2.69 1.15 -0.62 0.68
ohne 39 6.82 14.78 13.43 12.04 7.43 15.92 4.01 0.08 -4.17 2.15 2.27 3.99 1.88 0.65 3.00 0.12 0.92 3.91 3.93 4.11 2.71 0.53 -0.23 0.37
ohne 40 6.82 14.74 13.43 12.01 7.43 15.94 4.08 0.10 -4.13 2.14 2.29 3.99 1.89 0.72 2.65 0.17 0.97 3.95 3.94 4.13 2.74 0.30 -0.13 0.26
ohne 41 6.80 14.74 13.46 12.01 7.42 15.95 4.10 0.12 -4.13 2.21 2.25 4.06 1.93 0.80 2.60 0.22 0.98 3.91 3.86 3.95 2.77 0.16 -0.10 0.16
ohne 42 6.82 14.69 13.58 12.02 7.43 15.87 4.09 0.11 -4.11 2.19 2.24 4.05 1.95 0.81 2.57 0.22 0.97 3.92 3.87 3.95 2.76 0.06 -0.06 0.06
alle 6.80 14.67 13.57 12.01 7.42 15.88 4.12 0.12 -4.11 2.18 2.25 4.03 1.94 0.81 2.60 0.21 0.98 3.91 3.89 3.96 2.77 0.00 0.00 0.00
Tabelle 39: Lösungen für das sukzessives Entfernen von Elementen. Die Elemente wurden nach dem Einfluß auf die Lösung nach Tabelle 15 sortiert.
Zeilenweise ist die Tabelle von unten nach oben zu lesen: In der untersten Zeile ist die Lösung für alle Elemente angegeben. In der Zeile darüber wurde das 42. Element entfernt So
wird weiter fortgefahren bis in der obersten Zeile die Elemente 5-42 für die Analyse nicht mehr benutzt werden.
Änderung zur
vorigen Lösung
123

Stoffnummer
Entferntes Element
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Abstand. zur
Gesamtlösung.
Änderung des
Abstandes zur
Gesamtlösung.
ohne 5 -27.06 -176.64 20.34 -3.77 -20.87 177.91 -30.67 -6.37 110.87 23.88 -47.24 35.50 -11.37 6.95 34.80 1.06 0.00 3.71 -5.97 13.27 9.33 291.48 11.63 512.20
ohne 6 -4.06 128.84 -61.16 153.23 -30.47 -82.54 -16.47 112.57 -86.33 41.90 -99.36 -15.43 59.14 69.10 31.59 -30.01 10.68 0.14 -3.03 -1.59 -6.33 303.11 -72.44 339.80
ohne 7 -17.12 51.44 -14.29 -66.87 148.05 -7.55 22.22 59.94 -30.05 -40.49 -50.94 -47.07 92.90 59.77 -5.02 -0.77 -0.33 3.34 -3.55 0.19 -12.72 230.67 -191.4 219.17
ohne 8 -21.35 15.02 15.06 0.71 15.33 19.53 5.68 6.75 9.67 -0.26 -2.91 9.37 6.57 2.09 -8.30 3.50 -0.27 -1.98 -1.26 -1.41 4.04 39.26 48.06 104.89
ohne 9 -3.35 -22.33 21.76 85.00 -5.89 10.21 -1.83 -15.48 -2.30 6.52 8.91 6.40 -0.90 -5.09 8.42 0.02 -0.05 14.06 2.22 4.34 6.65 87.32 -53.57 102.46
ohne 10 -12.91 16.42 23.73 -1.40 5.64 20.03 2.88 13.70 -0.79 -1.76 1.89 10.38 -4.54 5.06 2.28 1.21 -0.33 13.94 0.07 0.46 1.93 33.75 3.30 52.84
ohne 11 10.84 15.89 15.38 21.62 6.38 2.86 1.05 8.59 -0.54 0.17 -6.09 -10.24 21.74 14.26 4.46 -0.60 0.03 15.28 1.18 5.39 2.23 37.04 -15.56 33.51
ohne 12 14.26 8.52 19.41 15.06 9.32 11.78 4.14 -6.34 0.23 -4.26 -0.71 3.87 3.04 6.42 1.18 0.89 -0.45 15.91 0.63 4.44 3.84 21.48 -4.55 16.62
ohne 13 5.23 17.35 15.15 13.41 8.14 12.75 4.52 -6.03 -0.49 -4.48 -0.07 8.29 1.63 -1.76 1.01 0.59 0.02 15.05 1.59 3.31 4.57 16.93 -0.13 11.62
ohne 14 -3.25 17.66 16.43 13.40 8.31 15.68 3.28 -4.54 -0.34 -5.07 2.62 4.63 3.49 0.95 1.24 -0.15 0.97 11.78 3.33 4.68 4.91 16.80 -5.89 7.68
ohne 15 1.39 16.06 15.02 12.75 8.07 15.82 3.47 -1.87 -0.72 -4.00 3.18 3.19 2.64 3.31 0.78 0.13 0.64 8.07 3.71 4.37 3.98 10.92 -0.58 1.46
ohne 16 2.12 15.79 14.74 12.75 8.08 15.82 3.60 -1.64 -0.84 -3.83 3.50 3.34 2.42 2.89 -0.05 0.04 0.87 7.87 4.14 4.41 3.97 10.33 -1.24 3.02
ohne 17 4.66 15.53 14.00 12.25 7.90 15.12 3.90 -1.18 -0.53 -3.88 3.58 3.03 1.95 2.70 0.32 0.13 0.61 7.37 4.36 4.46 3.73 9.09 1.08 2.08
ohne 18 4.84 15.83 14.09 12.39 7.99 15.12 3.15 -1.47 -0.01 -4.23 3.48 3.33 2.14 2.55 -0.14 0.61 0.40 8.42 3.64 3.66 4.21 10.18 0.63 5.37
ohne 19 7.78 13.78 13.23 11.62 7.40 13.80 4.82 -0.83 1.67 -4.59 3.10 3.05 1.31 3.01 -0.56 0.49 0.39 7.02 4.88 4.84 3.78 10.80 -1.70 3.50
ohne 20 7.80 13.66 13.32 11.71 7.36 14.00 4.20 -0.89 1.22 -3.85 2.90 3.63 1.36 1.91 1.78 -0.73 1.69 6.35 4.70 4.55 3.33 9.11 -2.50 3.38
ohne 21 7.82 13.67 13.79 12.01 7.50 15.05 3.17 -1.43 -0.10 -1.52 2.75 3.28 1.12 1.57 2.59 -0.74 1.21 5.82 4.70 4.54 3.20 6.61 1.90 3.54
ohne 22 8.62 14.29 13.88 12.11 7.63 14.73 1.68 -1.83 0.88 -2.28 2.73 3.85 1.70 0.69 3.32 -0.44 1.22 7.08 3.19 3.37 3.57 8.51 -0.28 3.02
ohne 23 8.26 15.29 14.06 12.31 7.69 14.75 0.63 -2.84 0.59 -0.11 2.83 3.75 1.56 1.10 2.68 -0.55 1.05 7.40 2.81 3.34 3.40 8.24 -1.88 3.60
ohne 24 6.87 15.30 14.01 12.31 7.65 15.60 1.34 -2.44 -0.50 0.80 3.00 2.86 1.12 1.34 2.12 -0.53 0.51 6.23 4.53 4.61 3.28 6.36 -1.09 3.74
ohne 25 7.34 16.12 14.63 12.88 8.02 14.37 1.51 -1.86 -3.65 1.13 3.01 3.06 1.32 1.17 2.43 -0.36 0.62 6.29 4.22 4.38 3.37 5.26 -0.71 1.87
ohne 26 7.41 15.73 14.36 12.63 7.84 14.06 2.20 -1.46 -3.53 1.60 2.58 3.10 1.27 1.19 2.05 -0.51 0.77 5.55 4.73 5.36 3.09 4.55 -0.32 1.73
ohne 27 7.04 15.15 13.90 12.14 7.58 15.14 2.16 -1.59 -2.88 1.76 2.78 3.02 1.17 1.08 2.31 -0.57 0.88 5.79 4.51 5.19 3.43 4.24 0.06 0.89
ohne 28 6.82 14.93 13.60 11.87 7.42 15.62 2.27 -1.57 -2.51 1.58 2.86 3.03 1.18 1.08 2.32 -0.55 0.94 5.89 4.49 5.12 3.64 4.29 -0.64 1.69
ohne 29 7.02 15.00 13.60 11.87 7.46 15.27 2.82 -1.17 -3.71 1.39 2.94 3.23 1.34 0.80 2.74 -0.50 1.09 6.10 4.12 4.74 3.85 3.65 -0.15 1.52
ohne 30 6.48 14.66 13.62 11.91 7.50 15.93 3.05 -1.10 -3.91 1.20 3.31 3.12 1.47 0.83 3.07 -0.60 0.95 5.37 4.14 4.48 4.51 3.50 -1.09 3.11
ohne 31 7.18 14.75 13.54 12.06 7.32 15.91 3.61 -0.40 -4.05 1.27 2.80 3.61 1.82 0.92 3.16 -0.20 0.98 5.27 4.12 4.57 1.77 2.41 -0.21 0.90
ohne 32 7.21 14.88 13.62 12.14 7.36 15.97 3.50 -0.49 -4.23 1.63 2.26 3.59 1.61 0.75 3.22 -0.22 1.09 5.01 4.35 4.75 1.99 2.20 -0.52 1.01
ohne 33 7.08 14.85 13.66 12.17 7.52 15.82 3.74 -0.27 -4.15 1.57 2.23 3.90 1.94 0.51 3.47 -0.07 0.93 4.59 4.02 4.36 2.14 1.68 -0.29 0.64
ohne 34 6.90 14.81 13.75 12.17 7.51 15.72 3.96 -0.12 -4.12 1.63 2.22 4.00 2.03 0.46 3.52 0.01 0.82 4.16 3.95 4.30 2.34 1.39 -0.51 1.34
ohne 35 6.80 14.64 13.61 12.04 7.46 15.90 4.26 -0.09 -4.12 2.03 2.23 3.92 1.94 0.72 2.43 0.12 0.95 4.05 4.17 4.56 2.36 0.88 0.08 0.48
ohne 36 6.90 14.63 13.62 12.07 7.48 15.87 4.25 -0.03 -4.07 1.65 2.25 3.91 1.96 0.68 2.59 0.15 0.95 4.19 4.10 4.47 2.38 0.96 -0.24 0.59
ohne 37 6.74 14.83 13.66 12.03 7.45 15.79 4.23 0.12 -4.03 1.65 2.30 4.01 1.98 0.70 2.73 0.22 1.06 4.03 3.91 4.12 2.47 0.72 0.20 0.51
ohne 38 6.72 14.88 13.64 12.04 7.46 15.82 4.14 0.10 -4.10 1.68 2.35 3.97 1.96 0.64 3.19 0.14 1.01 3.96 3.89 4.09 2.43 0.92 -0.05 0.44
ohne 39 6.88 14.77 13.59 12.05 7.45 15.80 4.07 0.12 -4.09 1.65 2.27 3.99 1.96 0.59 3.20 0.14 0.93 4.08 3.81 3.99 2.74 0.87 -0.30 0.46
ohne 40 6.85 14.72 13.58 12.04 7.44 15.81 4.03 0.09 -4.13 2.02 2.28 3.98 1.92 0.63 3.06 0.11 0.90 3.94 3.92 4.10 2.71 0.58 -0.33 0.47
ohne 41 6.84 14.69 13.55 12.02 7.43 15.87 4.07 0.09 -4.11 2.13 2.29 3.98 1.90 0.72 2.63 0.17 0.96 3.96 3.95 4.13 2.73 0.25 -0.18 0.27
ohne 42 6.82 14.69 13.58 12.02 7.43 15.87 4.09 0.11 -4.11 2.19 2.24 4.05 1.95 0.81 2.57 0.22 0.97 3.92 3.87 3.95 2.76 0.06 -0.06 0.06
alle 6.80 14.67 13.57 12.01 7.42 15.88 4.12 0.12 -4.11 2.18 2.25 4.03 1.94 0.81 2.60 0.21 0.98 3.91 3.89 3.96 2.77 0.00 0.00 0.00
Tabelle 40: Lösungen für sukzessives Entfernen von Elementen. Die Elemente wurden nach dem Einfluß auf die Lösung und chemischer Bedeutung nach Tabelle 16 sortiert.
Zeilenweise ist die Tabelle von unten nach oben zu lesen: In der untersten Zeile ist die Lösung für alle Elemente angegeben. In der Zeile darüber wurde das 42. Element entfernt So
wird weiter fortgefahren bis in der obersten Zeile die Elemente 5-42 für die Analyse nicht mehr benutzt werden.
Änderung zur
vorigen Lösung
124

10 Abkürzungen
DSN
EDS
EV
EW
FFT
GCM
HPR
ICBM
KKM
LGS
LRV
Ma
MA
MEM
PCA
PIK
PRC
RBFS
TMAX
TOC
Data-Stream-Network
Expanded Downscaling
Eigenvektor
Eigenwert
Fast-Fourier-Transformation
Global Circulation Modell
vapor pressure (Wasserdampfdruck)
Institut für Chemie und Biologie des Meeres
Kreuzkorrelationsmatrix
Lineares Gleichungssystem
Lineare Regressionsvorhersage
Mega Jahre
Moving Average
Maximum Entropie Methode
Principal Component Analysis
Potsdam Institut für Klimafolgenforschung
Precipitation (Niederschlag)
Radiales Basis-Funktionen-System
Maximaltemperatur
Total Organic Carbon
125

11 Literaturverzeichnis
[1] TAKENS, F., (1981), Detecting strange attractors in turbulence, Lecture notes in Mathematics, Vol. 898,
366.
[2] FRÖHLINGHAUS, T., WEICHERT, A., RUJÁN, P., (1994), Hierarchical neural networks for time-series
analysis and control, Network 6 101-116.
[3] WELCH, B., (1995), Practical Programming in Tcl and Tk, Prentice Hall PTR.
[4] OUSTERHOUT, J.K., (1995), Tcl und Tk (deutsche Übersetzung), Addison-Wesley.
[5] STROUSTRUP, B., (1991), C++ - Die Programmiersprache, Addison-Wesley.
[6] LIPPMAN, S.B., (1992), C++, Addison-Wesley.
[7] LASKAR, J., FROESCHLÉ, C., CELLETTI, A., (1992), The measure of chaos by the numerical analysis of
the fundamental frequencies, Physica D 56, 253.
[8] SCHREIBER, T., (1993), Extremely simple nonlinear noise-reduction method, Phys. Rev. E 47 2401
[9] BRAUSE, R., (1991), Neuronale Netze, B. G. Teubner Stuttgart.
[10] RITTER, H., MARTINEZ, T., SCHULTEN, K., (1990), Neuronale Netze, Addison-Wesley.
[11] HECHT-NIELSEIN, R., (1990), Neurocomputing, Addison-Wesley.
[12] MODDY, J., DARKEN, C.H., (1989), Fast learning in networks of locally-tuned processing units, Neural
Computation 1 281-294.
[13] STOKBRO, K., UMBERGER, D.K., HERTZ, J.A., (1990), Exploiting neurons with localizied receptive fields
to learn chaos, Complex Systems 4 603-22.
[14] WATANABE, S., (1985), Patter Recognition: Human and Mechanical, New York: New York, Ch 6.
[15] RACHOLD, V., HEINRICHS, H., BRUMSACK, H.-J., (1992), Spinnweben: Natürliche Fänger atmosphärisch
transportierter Feinstäube, Naturwissenschaften 79 175.
[16] HEINRICHS, H., BRUMSACK, H.-J., (1984), Emissionen von Stein- und Braunkohlekraftwerken der
Bundesrepublik Deutschland, Fortschr. Miner. 62 438.
[17] PAULY, D.P., MUCK, J., TSUKAYAMA, M., TSUKAYAMA I., (1989), The Peruvian upwelling ecosystem:
dynamics and interactions, ICLARM Comf. Proc 18, 438.
[18] PALOMARES, M.L., JARRE, A., SAMBILAY V., (1989), Documentation of available 5 1/4 ' MSDOS data
discs on the Peruvian upwelling ecosystem, 408 - 416. In D. Pauly, P. Muck, J. Mendo und I.
Tsukayama (Hrsg.), The Peruvian upwelling ecosystem: dynamics and interactions. ICLARM
Conference Proceedings 18, 438.
[19] SCHUSTER, H.H., (1984), Deterministic Chaos, Weinheim: Physik Verlag.
[20] PRESS, W.H., FLANNERY, B.P. TEUKOLKY, S.A., Vetterling, W.T., (1990), Numerical Recipes in C: The
Art of Scientific Computing, Cambridge University Press.
[21] BÜRGER G., (1996), Expanded downscaling for generating local weather scenarios, Clim. Res. 7 111-
128.
[22] BÜRGER G., WEICHERT A. (1998), Linear vs. nonlinear techniques in downscaling, To be published in
Clim. Res
[23] FISCHER, A.G., BOTTJER, D.J., (1991), Orbital forcing and sedimentary sequences, J. Sed. Petrol., 61
1063
[24] TORBETT, M.V., (1989) Solar system and galactic influendes on the stability of the earth,
Palaeogeographie, Paleaoclimatology, Palaeoecology, 75 3.
[25] RACHOLD, V.E., Dissertation: Geochemie der Unterkreide Nordwestdeutschlands: Zyeln und Events,
Georg-August-Universität, Göttingen, 1994.
[26] LASKAR, J., JOUNTEL, F., BOUDIN, F., (1993), Orbital precessional, and insolation quantities for the
Earth from -20 Myr to +10 Myr, Astron. Astrophys. 270 522.
[27] FARMER, J.D. SIDOROWICH, J.J., (1987), Predicting Chaotic Time Series, Phys. Rev. Lett. 59 845-449.
[28] BENTLEY, J.L., (1979), Multidimensional binary search trees in database applications, IEEE
Transactions on software engineering SE-5(4), 333
[29] Salvino. L.W., Cawley. R.C., Grebogi, Yorge A.J., (1995). Predictability in time series, Physics Letters
A 209 332
126

Danksagung
An dieser Stelle möchte ich allen danken, die mich bei der Erstellung dieser Arbeit unterstützt haben.
Mein besonderer Dank geht an Prof. Bruno Eckhardt und Prof. Pal Ruján, die mir die Durchführung der
Arbeit ermöglicht und mir in zahlreichen Gesprächen und Diskussionen weitergeholfen haben.
Desweiteren danke ich Dr. Harry Urbschat, der immer für ein privates und informatives Gespräch Zeit
gefunden hat. Ich danke auch Johannes Hausmann für die Tips bei der C++-Programmierung und in
einem anderen Zusammenhang für die intensive Unterstützung bei der Erstellung des Poster zum Data-
Stream-Network. Großer Dank gilt auch Bettina Heidenreich, Inge Scheunemann und Dörte Schlünzen
für die Revision der Arbeit. Ich danke besonders Bettina Heidenreich für die sehr kritische und
gründliche Bearbeitung.
127

Lebenslauf
Persönliche Daten
Name:
Addresse:
Andreas Weichert
Hörneweg 121 a
Geburtsdatum: 8.3.63
26129 Oldenburg
Geburtsort:
Staatsangehörigkeit:
Familienstand:
Eltern:
Bremen
deutsch
ledig
Elektrotechniker Manfred Weichert
Bürokauffrau Luise Weichert, geb. Schröder
Werdegang
27. 8.1969 - 10. 6.1975 Grundschule Rablinghausen in Bremen
27. 8.1975 - 10. 6.1983 Gymnasium am Leibnizplatz in Bremen
19. 5.1983 Abitur
1.10.1983 Immatrikulation in Chemie an der Universität Oldenburg
1. 4.1985 Immatrikulation in Physik an der Universität Oldenburg
26.10.1987 Vordiplom in Physik
22.10.90 - 28.2.91 Zivildienst
1.4.91 Wiederaufnahme des Physikstudiums nach dem Zivildienst
13.9.93 Diplom in Physik
1.9.94 - 31.8.96 Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universität Oldenburg
1.11.96 - 31.5.97 Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universität Oldenburg
Oldenburg, den 10. Dezember 1997
128

Erklärung
Hiermit versichere ich, daß ich diese Arbeit selbständig verfaßt und keine andere als die angegebenen
Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
(Andreas Weichert)
129