Zeitreihenanalyse natürlicher Systeme mit neuronalen Netzen und ...

x j
−1
T
(24) = ∑ A
j kCk
, i
= ∑ A
∂b
∂
i
k
−1
, j,
kCi,
k
k
(25)
(26)
S
=∑ ∑∑
σ σ σ
S
σ
2 E
E 2 −1 −1
j
i Aj, kAj, lCi, kCi,
l
i k l
∑
∑
= ∑A A σ C C
2 −1 −1 E 2
j j, k j, l i i, k i, l
ist.
k l i
Unter der Annahme, daß der gleiche Fehler (=1) in allen Elementkonzentrationen vorliegt, ist nach (21)
die rechte Summe gerade A k,l und ergibt mit der Matrix davor δ jk ,
, so daß
2
C T −1
j
= C ,
S σ ist.
(27) ( ) j j
Falls die Fehler in den Elementkonzentrationen nicht identisch sind, muß Gleichung (11) zu folgendem
erweitert werden:
(28) χ : =
N
⎛
⎞
⎜b − C x ⎟
⎛
− λ′ ⎜1−
⎝
M i i,
j j
N
2 ⎜ j=
1 ⎟
∑ E
⎜
1 σ ⎟ ∑
i= i
j=
1
⎜
⎝
∑
⎟
⎠
2
Für diesen Fall ergibt sich aber das Ergebnis entsprechend (27), mit folgender transformierten Matrix 29 .
⎞
xj⎟
⎠
(29) C′ =
i,
j
C
i,
j
E
σi
Da sich C T C nach (17) zerlegen läßt, kann die Inverse hiervon als U⋅D
−1 ⋅U
T bestimmt werden. Für
(27) gilt dann
(30)
U
2
S
ji
σ 2 j
=∑ ,
i di
Als sinnvolles Fehlermaß für die Qualität der ganzen Analyse eignet sich die Summe über alle Fehler in
den Stoffkonzentrationen.
S
(31) ∑ σ
j
= ∑ ∑
j
2 1
Da aber U orthonormal ist, ergibt die hintere Summe für alle i eine 1.
i
d
i
j
U
2
i,
j
(32)
∑
j
σ 2 j
= ∑
1
d
S
i
i
34