Zeitreihenanalyse natürlicher Systeme mit neuronalen Netzen und ...

Die Elementskalierung beeinflußt die Korrelation der Stoffe und die Gruppenbildung. In der Abbildung
9 sind die Stoffskalarprodukte nach der Transformation der Elementkonzentrationen dargestellt. Man
erkennt, daß die grobe Struktur erhalten bleibt. Innerhalb der Gruppen, insbesondere innerhalb der
ersten, kann aber nun als zusätzlicher Effekt besser differenziert werden (vergl. mit Abbildung 6).
Die Umskalierung der Elementkonzentration ändert nicht die Lösung des linearen Gleichungssystems
(10). Daher wird in allen folgenden Abschnitten immer die transformierte Konzentrationsmatrix
verwendet. Sie erhält kein neues Symbol, sondern wird ebenso mit C bezeichnet.
Matrix with Scaling =0.5
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
Abbildung 9: Spalten-Skalarprodukte der umskalierten Matrix
4.4.3 Hauptkomponentenzerlegung des LGS
In diesem Abschnitt wird untersucht, wie sich die Entartung der Konzentrationsmatrix und somit auch
die der Matrix C T C beim Lösen des linearen Gleichungssystems auswirkt. Dazu wird eine
Haupkomponentenzerlegung (PCA - Principal Component Analysis) [20] von C T C durchgeführt, deren
Ergebnis als Grafik in Abbildung 10 dargestellt ist und wie folgt zu interpretieren ist.
Die PCA-Grafik besteht aus der Matrixgrafik inclusive einer Kurve, welche die Eigenwerte w i darstellt.
Die orthonormale Matrix (U -1 ) T (=U) aus (17) wird nach der oben beschriebenen Methode gezeichnet,
daher entspricht die Abszisse der Eigenvektornummer und die Spalten enthalten die
Komponentendarstellung der Eigenvektoren im ursprünglichen 31 (Stoff-)Koordinatensystem. Die
31
Die PCA-Zerlegung wird dabei als eine Komposition von Abbildungen aufgefaßt: Transformation in das
Eigenvektorsystem mit U -1 , Stauchung bzw. Streckung um die Eigenwerte mit D, Rücktransformation in alte Basis mit U.
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