Zeitreihenanalyse natürlicher Systeme mit neuronalen Netzen und ...

3.4 Funktionsapproximation
Die Cluster definieren die Form und Reichweite der Radialfunktionen R j . Aus der Minimierung von (2)
ergibt sich ein lineares Gleichungssystem in den Variablen a j und B j (5). Die Trennung des Algorithmus
in Clusterung und Funktionswertfit bietet einen entscheidenden Vorteil: Die Clusterung läßt sich relativ
schnell berechnen und ist nach dem Entropiekriterium optimiert. Für den Funktionswertfit läßt sich die
optimale Lösung (für eine feststehende Clusterung) exakt bestimmen 26 .
Das Radialfunktionensystem in (6) läßt sich entscheidend erweitern. Durch die Clusterung wurde der
Attraktor hierarchisch bzgl. räumlichen Skalen untersucht. Diese Multiskaleninformation kann, wie
auch in der wavelet-Theorie angewendet, für den Funktionswertfit verwendet werden. Dazu werden die
lokalen Funktionen (5) nicht nur an den Blättern des binären Baumes definiert, sondern auch an dessen
Knoten. Schicht für Schicht werden beginnend mit dem Hauptcluster die optimalen Parameter a und B
bestimmt. Der verbleibende Fehler (2) der unteren Schichten wird in den höheren Schichten weiter
reduziert. Durch schrittweises Zoomen in immer tiefere Schichten läßt sich bei diesem hierarchischen
RBFS die Auflösung der Abbildung direkt einstellen. Ausführlicher wird das Verfahren und dessen
Ergebnisse in [2] diskutiert.
3.5 Parameter und Optimierung
Einererseits beschränken die Radialfunktionen die Reichweite einer lokalen Funktion auf ein Cluster.
Andererseits wird durch deren Ausdehnung und gegenseitige Überlappung eine Mittelung der
Funktionswerte über benachbarte Phasenraumvolumina und letztendlich ein glatter
Funktionswertverlauf des gesamten RBFS erreicht. Daher ist die Feinheit der Clusterung ein kritischer
Parameter, durch den die Wichtung zwischen Smoothing und Differenzierung eingestellt wird. Bei stark
verrauschten Signalen sollte stärker gemittelt und somit größere Cluster verwendet werden. Bei Daten
aus streng deterministischen Systemen oder bei stark unstetigen Funktionen muß stärker differenziert
werden. Durch die eingeführten hierarchischen Radialfunktionen läßt sich der Effekt der
Clusterungstiefe gut untersuchen. Indem für den Fit immer mehr Schichten benutzt werden, bis der
Fehler eines unabhängigen Datensatzes steigt, läßt sich die Grenze zum Overfitting genau finden.
26 Den Großteil der Rechenzeit benötigt nicht das Lösen sondern die Bestimmung des Gleichungssytems.
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