Algorithmen zur Berechnung der Smith-Normalform und deren ...

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Komplexitätsabschätzung Satz 2.3.1 Sei A ∈ R m,n mit p = max{m, n}. Dann gilt: a) Für R = Z benötigt der Dreiecksbandmatrix-Algorithmus O(p 4 log 2 2(p�A�∞) max{p 2 , log 2(�A�∞)}) Bitoperationen. b) Für R = F[x] benötigt der Dreiecksbandmatrix- Algorithmus O(p 4 ⌈A⌉ 2 deg max{p2 , ⌈A⌉deg}) Körperoperationen. Bemerkung 2.3.2 a) Für eine (100 × 100)-Matrix über Z müßte der maximale Absolutbetrag der Eingabematrix größer als 2 10.000 sein, damit max{p 2 , log 2(�A�∞)} �= p 2 gilt. b) Für eine (100×100)-Matrix über F[x] müßte der maximale Grad der Eingabematrix größer als 10.000 sein, damit max{p 2 , ⌈A⌉deg} �= p 2 gilt. Wir erhalten im wesentlichen dieselbe Komplexitätsabschätzung bei dem benutzten HNF-Algorithmus. 14
Vergleich mit dem Kannan-Bachem-Algorithmus Satz 2.3.3 Sei A ∈ Rm,n mit p = max{m, n}. Dann gilt: a) Für R = Z benötigt der Kannan-Bachem-Algorithmus O(p10 log 3 2(p�A�∞)) Bitoperationen. b) Für R = F[x] benötigt der Kannan-Bachem- Algorithmus O(p10⌈A⌉3 deg ) Körperoperationen. 15
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Seite 6 und 7: 1.2 Smith-Normalform Definition 1.2
Seite 8 und 9: 2.1 Algorithmus von Havas, Holt und
Seite 10 und 11: 2.2 Algorithmus von Kannan und Bach
Seite 12 und 13: 2.3 Dreiecksbandmatrix-Algorithmus
Seite 14 und 15: Beschreibung von Schritt 3 am Beisp
Seite 18 und 19: 2.4 Laufzeitvergleiche Matrix HNF-A
Seite 20 und 21: Schritt 2: Die Zeile, die für die
Seite 22 und 23: 3.2 Laufzeitvergleiche Effizienz Ma
Seite 24 und 25: 4 Algorithmus zur Verkleinerung der
Seite 26 und 27: 4.2 Idee des Algorithmus Man erhäl
Seite 28 und 29: 4.3 Experimente mit dem Algorithmus
Seite 30 und 31: Testmatrizen mit vollem Rang Matrix

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