Algorithmen zur Berechnung der Smith-Normalform und deren ...

Algorithmen zur Berechnung der
Smith-Normalform und deren Implementation
auf Parallelrechnern
Gerold Jäger
Institut für Experimentelle Mathematik
Ellernstraße 29
45326 Essen
27. Juli 2001

1 Einführung
Sei R im folgenden entweder der Ring der ganzen Zahlen Z
oder ein Polynomring F[x] über einem Körper.
Für R = Z ist
und für R = F[x]
R := N0
R := Normierte Polynome über F[x]
ein Repräsentantensystem bzgl. der Äquivalenzrelation
Assoziiertheit.
1

1.1 Hermite-Normalform
Definition 1.1.1 Eine Matrix A ∈ R m,n ist in Hermite-
Normalform (HNF), wenn gilt:
a) Die Matrix ist in unterer Treppenform.
b) Die Pseudodiagonalelemente liegen in R \ {0}.
c) Die Elemente links von den Pseudodiagonalelementen
liegen in N0 und sind kleiner als das entsprechende
Pseudodiagonalelement (R = Z) bzw. deren Grad ist
kleiner als der Grad des entsprechenden Pseudodiagonalelements
(R = F[x]).
Die Matrix A ist in Zeilen-Hermite-Normalform
(LHNF), wenn ihre Transponierte A T in HNF ist.
Beispiele:
⎛
⎜
⎝
R = Z
⎞
4 0 0 0
⎟
5 6 0 0 ⎟
−3 2 0 0 ⎠
R = F3[x]
⎛
x
⎜
⎝
3 4 7 0
2 + 1 0 0
2x
0
2 + x x3 + 1 0
2x
0
4 x5 + 2 x6 + x2 0
x2 x + 1 2 x5 + x
2
⎞
⎟
⎠

Satz 1.1.2 (Hermite) Sei A ∈ R m,n . Dann gibt es eine
Matrix V ∈ GLn(R), so daß H = AV in HNF ist. Die
Matrix H ist durch A eindeutig bestimmt.
Satz 1.1.3 (Chou, Collins)
Sei A ∈ Rm,n und p = max{m, n}. Dann gibt es einen
HNF-Algorithmus, der
a) für R = Z O(p6 log 2 2(p�A�∞)) Bitoperationen benötigt.
b) für R = F[x] O(p6⌈A⌉2 deg ) Körperoperationen benötigt.
3

1.2 Smith-Normalform
Definition 1.2.1 Eine Matrix A ∈ R m,n mit Rang r ist
in Smith-Normalform (SNF), wenn gilt:
a) A ist eine Diagonalmatrix.
b) Ai,i ∈ R \ {0} für 1 ≤ i ≤ r.
c) Ai,i | Ai+1,i+1 für 1 ≤ i ≤ r − 1.
d) Ai,i = 0 für r + 1 ≤ i ≤ min{m, n}.
Satz 1.2.2 Sei A ∈ R m,n . Dann gibt es Matrizen U ∈
GLm(R) und V ∈ GLn(R), so daß C = UAV in SNF
ist. Die Matrix C ist durch A eindeutig bestimmt.
Definition 1.2.3 a) Die Diagonalelemente d1, · · · , dr
von C heißen die Elementarteiler.
b) Die Matrizen U, V heißen die linke und die rechte
Transformationsmatrix zur Smith-Normalform.
4

2 Algorithmen zur Berechnung
der Smith-Normalform
Das folgende bekannte Lemma ermöglicht es, einen beliebigen
Eintrag einer Matrix zu Null zu machen.
Lemma 2.0.1 Seien a, b ∈ R, nicht beide Null. Sei d =
ggT (a, b) ∈ R, u, v ∈ R mit d = au+bv, s = a
d
Sei weiter
Dann gilt:
a) V ∈ GL2(R).
b) (a, b) V = (d, 0).
V =
� u −t
v s
5
�
und t = b
d .

2.1 Algorithmus von Havas, Holt und
Rees
Schritt 1: Sei A ∈ R m,n . Für 1 ≤ l ≤ min{m, n} seien die
ersten l−1 Zeilen und Spalten schon in Diagonalform. Transformiere
die Matrix, so daß in der l-ten Zeile die Einträge
ab Spalte l + 1 Null sind. Dann transformiere die Matrix so,
daß in der l-ten Spalte die Einträge ab Zeile l + 1 Null sind.
Führe diese beiden Schritte durch, bis auch die l-te Zeile und
Spalte in Diagonalform ist.
Schritt 2: Wandle die Diagonalform mit einem elementaren
Algorithmus in die Smith-Normalform um.
6

Beschreibung von Schritt 1 am Beispiel einer
(4 × 4)-Matrix
⎛
⎞ ⎛
⎞
18 12 24 42
⎜
⎟
⎜ 7 9 7 3 ⎟
⎜
⎟
⎝ 10 12 7 10 ⎠
⇒
6
⎜ −2
⎜
⎝ −2
0
13
16
0
15
15
0
17
24
⎟
⎠
4 −6 9 10
10 −26 −31 −60
⇒
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2 −13 −15 −17
0 39 45 51
0 3 0 7
0 39 44 25
1 0 0 0
0 78 −540 −612
0 6 −45 −44
0 78 −541 −638
⎞
⎟
⎠ ⇒
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⇒ · · ·
7
1 0 0 0
−39 78 −540 −612
−3 6 −45 −44
−39 78 −541 −638
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3630
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠ ⇒

2.2 Algorithmus von Kannan und Bachem
Schritt 1: Führe an der Matrix solange abwechselnd HNFund
LHNF-Berechnungen durch, bis die Matrix in Diagonalform
ist.
Schritt 2: Wandle die Diagonalform mit einem elementaren
Algorithmus in die Smith-Normalform um.
8

Beschreibung von Schritt 1 am Beispiel einer
(4 × 4)-Matrix
⎛
⎞
2100 −2100 6300 4200
⎜
⎟
⎜ 600 630 570 −30 ⎟
⎜
⎟
⎝ 420 −376 1216 796 ⎠
90 −60 42 51
⇒
⎛
⎞
2100
⎜ 600
⎜
⎝ 420
0
1230
44
0
0
0
0
⎟
0 ⎟
0 ⎠
90 30 99 0
⇒
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
30 0 693 0
0 2 594 0
0 0 990 0
0 0 0 0
3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 9900 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
9
⇒
⎛
⎜
⎝
3 0 0 0
0 2 0 0
990 0 9900 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎠ ⇒

2.3 Dreiecksbandmatrix-Algorithmus
Schritt 1: Führe an der Matrix A ∈ R m,n mit Rang r eine
HNF-Berechnung durch.
Schritt 2: Transformiere A, so daß die (r × r)-Teilmatrix
(Ai,j)1≤i,j≤r vollen Rang hat, und alle Einträge außerhalb
dieser Teilmatrix Null sind. Die Einträge außerhalb dieser
Teilmatrix bleiben auch im Rest des Algorithmus Null.
Schritt 3: Wandle die Matrix in eine obere Dreiecksbandmatrix
um.
Schritt 4: Wandle die obere Dreiecksbandmatrix in eine
Diagonalform um.
Schritt 5: Wandle die Diagonalform mit einem elementaren
Algorithmus in die Smith-Normalform um.
10

Beschreibung der Schritte 1 und 2 am Beispiel
einer (4 × 4)-Matrix
⎛
⎞ ⎛
⎞
7 7 28 21
⎜
⎟
⎜ 31 −29 34 3 ⎟
⎜
⎟
⎝ 23 −25 20 −3 ⎠
Schritt 1
⇒
7 0 0 0
⎜
⎟
⎜ 1 30 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ −1 24 0 0 ⎠
5 3 22 12
4 1 5 0
⇒
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
7 0 0 0
1 30 0 0
4 1 5 0
−1 24 0 0
1 0 0 0
2 6 0 0
4 1 5 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⇒
11
⎛
⎜
⎝
7 0 0 0
2 6 0 0
4 1 5 0
−9 0 0 0
⎞
⎟
⎠ ⇒

Beschreibung von Schritt 3 am Beispiel einer
(4 × 4)-Matrix
⎛
⎞
3 0 0
⎜ 8 12 0
⎜
⎝ 12 10 16
0
⎟
0 ⎟
0 ⎠
18 8 2 20
⇒
⎛
⎞
3
⎜ 8
⎜
⎝ 6
0 0 0
⎟
12 0 0 ⎟
−2 −14 20 ⎠
0 −14 −44 40
⇒
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
3 0 0 0
8 12 0 0
6 −2 2 0
0 −14 52 160
3 0 0 0
2 2 0 0
0 −8 12 0
0 −52 350 160
⎞
1 −2 0 0
0 2 −2 0
0 0 2 −960
0 0 0 2880
⎟
⎠ ⇒
⎞
⎟
⎠ ⇒
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
12
3 0 0 0
2 14 −2 0
0 −44 8 0
0 −14 52 160
1 −2 0 0
0 6 0 0
0 −8 12 0
0 −52 350 160
⎞
⎟
⎠ ⇒
⎞
⎟
⎠
⇒ · · ·

Beschreibung von Schritt 4 am Beispiel einer
(4 × 4)-Matrix
⎛
⎞
14 21
⎜ 0 12
⎜
⎝ 0 0
0
8
16
0
0
5
⎟
⎠
0 0 0 20
⇒
⎛
⎞
7 0
⎜ 12 24
⎜
⎝ 0 0
0
8
16
0
0
5
⎟
⎠
⇒
0 0 0 20
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
7 0 0 0
12 8 0 0
0 16 48 5
0 0 0 20
⎞
1 24 0 0
0 8 −3 0
0 0 1 2880
0 0 0 6720
1 0 0 0
0 1 0 0
0 −3 8 0
0 0 0 6720
⎟
⎠ ⇒
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠ ⇒
⇒ · · ·
13
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
7 0 0 0
12 8 0 0
0 16 1 0
0 0 −380 960
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 8 0
0 0 0 6720
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⇒ · · ·

Komplexitätsabschätzung
Satz 2.3.1 Sei A ∈ R m,n mit p = max{m, n}. Dann gilt:
a) Für R = Z benötigt der Dreiecksbandmatrix-Algorithmus
O(p 4 log 2 2(p�A�∞) max{p 2 , log 2(�A�∞)}) Bitoperationen.
b) Für R = F[x] benötigt der Dreiecksbandmatrix-
Algorithmus O(p 4 ⌈A⌉ 2 deg max{p2 , ⌈A⌉deg}) Körperoperationen.
Bemerkung 2.3.2 a) Für eine (100 × 100)-Matrix über
Z müßte der maximale Absolutbetrag der Eingabematrix
größer als 2 10.000 sein, damit max{p 2 , log 2(�A�∞)} �= p 2
gilt.
b) Für eine (100×100)-Matrix über F[x] müßte der maximale
Grad der Eingabematrix größer als 10.000 sein, damit
max{p 2 , ⌈A⌉deg} �= p 2 gilt.
Wir erhalten im wesentlichen dieselbe Komplexitätsabschätzung
bei dem benutzten HNF-Algorithmus.
14

Vergleich mit dem Kannan-Bachem-Algorithmus
Satz 2.3.3 Sei A ∈ Rm,n mit p = max{m, n}. Dann gilt:
a) Für R = Z benötigt der Kannan-Bachem-Algorithmus
O(p10 log 3 2(p�A�∞)) Bitoperationen.
b) Für R = F[x] benötigt der Kannan-Bachem-
Algorithmus O(p10⌈A⌉3 deg ) Körperoperationen.
15

2.4 Laufzeitvergleiche
Matrix HNF-Alg. KB-Alg. DBM-Alg. HHR-Alg. MAGMA
(R = Z) \ HNF \ HNF
53 × 53 00:00:02 00:00:00 00:00:00 00:00:04 00:00:06
101 × 101 00:00:23 00:00:03 00:00:03 00:01:56 00:02:29
149 × 149 00:02:59 00:00:05 00:00:02 00:23:19 00:17:58
199 × 199 00:10:27 00:00:16 00:00:17 20:16:03 01:10:42
251 × 251 00:40:10 00:00:19 00:00:11 04:32:10
293 × 293 01:16:24 00:00:36 00:00:18 08:45:28
349 × 349 02:49:42 00:01:14 00:05:30 20:47:38
401 × 401 05:09:53 00:05:14 00:42:24
449 × 449 09:50:35 00:07:43 00:08:14
499 × 499 18:58:11 00:01:39 00:00:52
Matrix HNF-Alg. KB-Alg. DBM-Alg. HHR-Alg. MAGMA
(R = F2[x]) \ HNF \ HNF
50 × 50 00:00:03 00:00:00 00:00:00 00:00:03 01:37:12
100 × 100 00:00:27 00:00:00 00:00:00 00:00:27
150 × 150 00:01:40 00:00:06 00:00:01 00:02:08
200 × 200 00:04:27 00:00:06 00:00:03 00:04:31
250 × 250 00:08:57 00:00:02 00:00:02 00:08:28
300 × 300 00:15:38 00:00:20 00:00:18 00:17:10
350 × 350 00:25:35 00:01:11 00:02:41 00:26:50
400 × 400 00:39:09 00:02:44 00:00:37 01:08:21
450 × 450 00:54:50 00:03:10 00:00:14 02:08:07
500 × 500 01:34:01 00:01:22 00:00:09 07:34:21
16

3 Parallele Versionen der Smith-
Normalform-Algorithmen
Ein paralleles Programm ist eine Menge von unabhängigen
Prozessen, wobei Daten zwischen den Prozessen ausgetauscht
werden.
3.1 Idee der Parallelisierung
Beispiel: Algorithmus von Havas, Holt und Rees
⎛
⎞ ⎛
4 7 3 −3 2
1 0 0 0
⎜ 3 11 2 5 8
⎟ ⎜
⎟ ⎜ −5 23 17 −10
⎜
⎟ ⎜
⎜ 7 −3 0 4 3 ⎟ ⎜ 17 −61 −51 55
⎜
⎟ ⇒ ⎜
⎜ 1 5 2 3 9 ⎟ ⎜ −3 13 11 −6
⎜
⎟ ⎜
⎝ 7 8 1 −4 5 ⎠ ⎝ 6 −17 −17 14
0
18
−31
15
−7
1 −2 −4 7 −3 4 −15 −16 19 −11
Parallelisierung auf 4 Prozesse
Schritt 1: Die Zeilen werden auf die 4 Prozesse verteilt.
� � �
4 7 3 −3 2 3 11 2 5 8
�
7 8 1 −4 5 1 −2 −4 7 −3
Prozeß 1 Prozeß 2
� 7 −3 0 4 3 � � 1 5 2 3 9 �
Prozeß 3 Prozeß 4
17
⎞
⎟
⎠

Schritt 2: Die Zeile, die für die Transformation maßgeblich
ist, wird von dem Prozeß, auf dem sie liegt, an alle anderen
Prozesse geschickt und über allen nicht bearbeiteten Zeilen
eingefügt. Den Prozeß, der an die anderen schickt, bezeichnen
wir als Master.
� 4 7 3 −3 2
7 8 1 −4 5
� ⎛
⎝
4 7 3 −3 2
3 11 2 5 8
1 −2 −4 7 −3
Prozeß 1 Prozeß 2
�
4 7
�
3 −3 2
� �
4 7 3 −3 2
7 −3 0 4 3 1 5 2 3 9
Prozeß 3 Prozeß 4
Schritt 3: Auf allen Prozessen werden dieselben Operationen
wie im Original-Algorithmus durchgeführt.
� 1 0 0 0 0
6 −17 −17 14 −7
� ⎛
⎝
⎞
⎠
1 0 0 0 0
−5 23 17 −10 18
4 −15 −16 19 −11
Prozeß 1 Prozeß 2
�
1 0 0 0 0
� �
1 0 0 0 0
�
17 −61 −51 55 −31 −3 13 11 −6 15
Prozeß 3 Prozeß 4
18
⎞
⎠

Schritt 4: Auf allen Prozessen außer dem Master wird die
verschickte Zeile wieder entfernt.
�
1 0 0 0 0
� �
−5 23 17 −10 18
�
6 −17 −17 14 −7 4 −15 −16 19 −11
Prozeß 1 Prozeß 2
� 17 −61 −51 55 −31 � � −3 13 11 −6 15 �
Prozeß 3 Prozeß 4
Bei Spaltenoperationen ist die Matrix immer zeilenverteilt
und bei Zeilenoperationen immer spaltenverteilt. Gegebenenfalls
wird zwischen beiden Verteilungen gewechselt.
19

3.2 Laufzeitvergleiche
Effizienz
Matrix Prozesse HNF-Alg. KB-Alg. DBM-Alg.
(R = Z) \ HNF \ HNF
389 × 389 1 05:46:46 00:03:26 00:01:43
389 × 389 2 02:54:28 00:02:33 00:01:15
389 × 389 4 01:29:07 00:02:14 00:01:00
389 × 389 8 00:47:15 00:02:11 00:00:56
389 × 389 16 00:25:12 00:02:10 00:01:02
389 × 389 32 00:14:48 00:02:17 00:01:10
389 × 389 64 00:09:34 00:02:31 00:01:22
Matrix Prozesse HNF-Alg. KB-Alg. DBM-Alg. HHR-Alg.
(R = F2[x]) \ HNF \ HNF
400 × 400 1 10:49:17 00:02:22 00:01:03 06:10:55
400 × 400 2 05:35:44 00:01:18 00:00:36 03:04:36
400 × 400 4 02:54:15 00:01:06 00:00:28 01:33:14
400 × 400 8 01:30:00 00:01:08 00:00:29 00:47:24
400 × 400 16 00:47:20 00:01:18 00:00:36 00:24:49
400 × 400 32 00:26:26 00:01:22 00:00:38 00:13:51
400 × 400 64 00:16:23 00:01:38 00:00:50 00:08:34
20

Große Beispielmatrizen
Matrix Prozesse HNF-Alg. KB-Alg. DBM-Alg.
(R = Z) \ HNF \ HNF
967 × 967 64 09:07:00 00:37:41 00:06:32
983 × 983 64 10:31:53 00:36:16 00:02:09
997 × 997 64 10:21:51 00:39:56 00:20:08
1013 × 1013 64 11:12:28 00:39:41 00:17:04
1117 × 1117 64 17:16:10 00:59:04 00:33:52
1223 × 1223 64 29:37:55 01:06:36 00:07:34
Matrix Prozesse HHR-Alg.
(R = F2[x])
1792 × 1792 (max. Grad 1) 64 01:25:50
1792 × 1792 (max. Grad 1) 64 01:04:38
1792 × 1792 (max. Grad 1) 64 01:31:30
1792 × 1792 (max. Grad 1) 64 01:25:41
1024 × 1024 (max. Grad 9) 64 07:04:31
21

4 Algorithmus zur Verkleinerung
der Einträge der Transformationsmatrizen
über den ganzen Zahlen
Wir betrachten im folgenden den Ring R = Z und die Euklidische
Norm.
4.1 Gitterbasenreduktion
Für linear unabhängige Vektoren b1, · · · , bn ∈ Rm heißt die
Menge
�
n�
�
�
�
L(b1, · · · , bn) := � ti ∈ Z ⊂ R m
i=1
ti · bi
ein Gitter mit Gitterbasis b1, · · · , bn und Rang n.
Satz 4.1.1 Sei L = L(b1, · · · , bn) ein Gitter und
¯ b1, · · · , ¯ bn ∈ R m . Dann ist ¯ b1, · · · , ¯ bn genau dann eine
Gitterbasis von L, wenn es eine Matrix T ∈ GLn(Z) gibt
mit [ ¯ b1, · · · , ¯ bn] = [b1, · · · , bn] · T .
Die Gitterbasenreduktion versucht, eine Gitterbasis in eine
andere mit kürzeren Vektoren zu transformieren.
22

Wir benutzen folgende Reduktionstechniken:
• Längenreduktion
– verändert einen Vektor bi der Gitterbasis durch
bi := bi +
�i−1
j=1
tjbj, tj ∈ Z
– benutzt das Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren
• LLL-Reduktion (Lenstra, Lenstra, Lovász)
– kann alle Vektoren einer Gitterbasis verändern
– führt Längenreduktionsschritte und Vertauschungen
der Basisvektoren durch
– ist eine stärkere Reduktion als die Längenreduktion
23

4.2 Idee des Algorithmus
Man erhält in einem beliebigen SNF-Algorithmus die Transformationsmatrix
U ∈ GLm(Z), indem man alle Zeilenoperationen
nacheinander an der Einheitsmatrix Em durchführt.
Die Transformationsmatrix V ∈ GLn(Z) erhält man, indem
man alle Spaltenoperationen nacheinander an der Einheitsmatrix
En durchführt.
Wir betrachten folgendes Problem:
• Geg.: A ∈ Z m,n und U ∈ GLm(Z), V ∈ GLn(Z), so
daß C = UAV in SNF ist.
• Ges.: Suche U ∈ GLm(Z) und V ∈ GLn(Z) mit kleinem
�U� 2 + �V � 2 , so daß C = UAV in SNF ist.
Sei A ∈ Zm,n und U = [u1, · · · , um] T , V = [v1, · · · , vn].
Seien d1, · · · , dr die nichttrivialen Elementarteiler von C.
C hat folgende Form:
⎛
d1
⎜ 0
⎜ .
⎜ 0
⎜
0
⎝ .
0
...
...
· · ·
· · ·
· · ·
...
ds
...
dt
...
0
0
.
0
dr
0
.
0
.
0
0
.
· · ·
· · ·
· · ·
0
. ⎟
0 ⎟
0 ⎟
. ⎠
�
0 · · ·
��
0 0
� �
· · ·
��
0
�
r Spalten
n − r Spalten
24
⎞
⎫
⎪⎬
r Zeilen
⎪⎭
⎫
⎬
⎭
m − r
Zeilen

Folgende Schritte verändern die Transformationsmatrizen
U, V , wobei weiterhin C = UAV gilt.
• LLL-reduziere die Gitterbasis ur+1, · · · , um.
• LLL-reduziere die Gitterbasis vr+1, · · · , vn.
• Für l = 1, · · · , r längenreduziere ul in der Gitterbasis
ur+1, · · · , um, ul.
• Für l = 1, · · · , r längenreduziere vl in der Gitterbasis
vr+1, · · · , vn, vl.
• Für 1 ≤ s < t ≤ r führe folgende Schritte gleichzeitig
durch:
Minimiere
us = us + k · ut
vt = vt − k · dt
ds vs
f(k) = �us + k · ut�2 + �vt − k · dt
ds
= k 2
�
�ut� 2 + d2 �
t
f ′
(k) =
d2�vs� s
2
vs� 2
�
+k 2 −2 dt
ds + �us�2 + �vt�2 �
k
�
2�ut�2 + 2 d2t d2 2 �vs�
s
+2 −2 dt
ds
f ′′
(k) = 2�ut� 2 + 2 d2 t
d 2 s �vs� 2 > 0
Somit ist das absolute ganzzahlige Minimum
⎡
dt
k0 = ⎢ ds
⎢
− ⎥
⎦
�ut�2 + d2t d2�vs�2 s
25

4.3 Experimente mit dem Algorithmus
Testmatrizen mit kleinem Rang
Matrix Rang Bits (�U� 2 + �V � 2 ) Zeit
alt neu
50 × 50 3 36 10 00:00:06
100 × 100 3 43 12 00:00:43
150 × 150 3 47 13 00:02:22
200 × 200 3 50 13 00:05:43
250 × 250 3 53 14 00:11:17
300 × 300 3 54 14 00:19:37
350 × 350 3 56 15 00:31:19
400 × 400 3 57 15 00:47:01
450 × 450 3 59 15 01:07:15
500 × 500 3 60 16 01:32:45
26

Testmatrizen mit mittlerem Rang
Matrix Rang Bits (�U� 2 + �V � 2 ) Zeit
alt neu
50 × 50 19 59 16 00:00:05
100 × 100 22 39 24 00:00:58
148 × 148 38 4663 147 00:06:41
201 × 201 67 18822 400 02:54:47
248 × 248 33 2260 156 00:34:45
298 × 298 149 5737 862 08:44:40
345 × 345 45 1636 142 02:33:20
396 × 396 32 419 28 03:00:15
450 × 450 57 206 21 04:00:19
496 × 496 62 4694 189 11:50:42
27

Testmatrizen mit vollem Rang
Matrix Rang Bits (�U� 2 + �V � 2 ) Zeit
alt neu
50 × 50 50 1524 1379 00:16:07
100 × 100 100 4596 2686 01:11:30
150 × 150 150 9571 5176 06:14:28
200 × 200 200 16097 7843 17:43:22
250 × 250 250 22283 9592 25:38:42
300 × 300 300 31792 22934 29:23:56
350 × 350 350 40324 27382 44:11:10
400 × 400 400 51250 29698 107:12:14
28

Matrix Rang Bits (�U� 2 + �V � 2 ) Zeit
alt neu
53 × 53 53 416 312 00:03:55
101 × 101 101 1042 843 00:17:45
149 × 149 149 1889 1503 00:39:28
199 × 199 199 2723 2569 02:20:59
251 × 251 251 3799 3246 02:34:05
293 × 293 293 4998 4964 07:59:31
349 × 349 349 4895 4149 08:59:50
401 × 401 401 5629 5345 19:46:23
29