Aufgabe 2 - Technische Universität Braunschweig

Technische Universität Braunschweig
Leichtweiß-Institut für Wasserbau
Abteilung Hydromechanik und Küsteningenieurwesen
Prof. Dr.-Ing. Hocine Oumeraci
SS 2008
Prüfungstermin: 20. August 2008
MUSTERLÖSUNG
K L A U S U R HYDROMECHANIK I
- ohne Unterlagen -
- Dauer 60 Minuten -
N A M E :
V O R N A M E:
Matrikel-Nr.:
Aufgabe 1 2 3 4 5 Summe
Zeitbedarf 13 11 9 14 13 60
erreichte
Punkte
Note

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 2
Aufgabe 1:
Zeit: 13 min.
Ein Wasserbehälter hat eine Ausflussöffnung mit der Breite b = 0,3 m, die durch
einen Kreiszylinder verschlossen ist. Dabei wird der Zylinder durch eine Feder mit
der Kraft von F Feder = 750 N gegen die Öffnung gepresst. Stellt sich ein bestimmter
Wasserstand h im Behälter ein, wird der Zylinder nach außen gedrückt und das
Wasser kann ausfließen. (Abb. 1.1)
Gegeben:
r = 20 cm ρ w = 1000 kg/m³
F Feder = 750 N g = 9,81 m/s²
α = 45° b = 0,3 m
Ansicht der Öffnung:
a
h=?
Kreiszylindrisches
Ventil
b = 0,3m
a
α
M
r
Feder
F = 750 N
Abb. 1.1:
Ausflussöffnung mit kreiszylindrischem Ventil
a) Zeichnen sie die hydrostatische Druckfigur ein, die sich an dem Zylinder
ergeben wird.
b) Bei welchem Wasserstand h öffnet sich das zylindrische Ventil?
c) Berechnen sie für den Wasserstand h aus b) die resultierende Druckkraft auf
den Zylinder und bestimmen sie deren Richtung (Winkel β). Erklären Sie kurz,
warum die resultierende Druckkraft durch den Mittelpunkt M des Zylinders
geht.

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 3
Aufgabe 2:
Zeit: 11 min.
Ein Schwimmbecken wurde in das Grundwasser gebaut. Für eine Reinigung soll das
Wasser im Becken komplett abgelassen werden. (Abb. 2.1)
Gegeben:
ρ w = 1000 kg/m³ t = 2,5 m h GW = 2,0 m
ρ Beton = 2300 kg/m³ L Becken = 12,0 m η = 1,1 (Sicherheitsbeiwert
gegen Aufschwimmen)
g = 9,81 m/s² D Wand = 0,5 m
B Becken = 10,0 m D Sohle = 0,6 m
Wanddicke Beckenbreite (innen)
0,5 m B = 10 m
Wanddicke
0,5 m
Geländeoberfläche
Beckenhöhe
(innen)
t = 2,5 m
Sohldicke
0,6 m
GWS
Grundwasser
h w ?
Beckenlänge (innen)
L = 12 m
Beton
GWS
GW-Spiegel
h GW =
2,0 m
Abb. 2.1: Schwimmbecken im Grundwasser
a) Prüfen Sie, ob das Schwimmbecken bei dem vorhandenen Grundwasserstand
schadlos entleert werden kann, d.h. ohne dass es aufschwimmt. Dabei ist
eine Sicherheit gegen Aufschwimmen von η = 1,1 zu gewährleisten.
Ihnen wird mitgeteilt, dass das benachbarte Wasserwerk Wartungsarbeiten an den
Pumpen durchführt und für kurze Zeit die Grundwasserförderung einstellt. Es ist
daher mit einem temporären Grundwasserspiegel auf Höhe der Geländeoberfläche
zu rechnen (d.h. GWS = Geländeoberfläche)).
b) Welchen Wasserstand h w müssen Sie im Schwimmbecken mindestens
belassen, damit das Becken auch in diesem Fall nicht aufschwimmt? Auch
hier ist eine Sicherheit gegen Aufschwimmen von η = 1,1 einzuhalten.

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 4
Aufgabe 3:
Zeit: 9 min.
In einem 20 m langen Tankwagen werden nacheinander Flüssigkeiten mit
unterschiedlichen Dichten transportiert. Im Tankwagen sind zwei Druckmessdosen
(DMS) in einer Höhe von 0,1 m über Tankboden installiert, um die Ladungsverteilung
während des Bremsens und des Anfahrens zu überprüfen. (Abb. 3.1)
Gegeben:
ρ 1 = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s²
ρ 2 = 1200 kg/m³ L Wagen = 20 m
L = 20 m
Flüssigkeitsspiegel im Ruhezustand
Fahrtrichtung
Flüssigkeit
DMS 2
0,1 m
0,1 m
DMS 1
Abb. 3.1:
Tankwagen
a) Zunächst wird der Tankwagen mit der Flüssigkeit 1 mit der Dichte
ρ 1 = 1000 kg/m³ gefüllt. Wie hoch ist die zusätzliche Beschleunigung b auf die
Flüssigkeit beim Bremsen, wenn im Ruhezustand nach dem Befüllen an der
DMS 1 ein Druck von 24 kN/m² und beim Bremsen an der DMS 2 ein Druck
von 22,88 kN/m² herrscht? Wie hoch war der Flüssigkeitsstand über
Tankboden im Ruhezustand nach dem Befüllen?
b) Nach Entleerung des Tankwagens, wird nun Flüssigkeit 2 mit der Dichte
ρ 2 = 1200 kg/m³ in den Tank gefüllt. Nach dem Befüllen wird an der Messdose
1 ein Druck von 5,9 kN/m² gemessen. Bei einem Beschleunigungsvorgang
zeigt die Messdose 1 plötzlich einen Wert von 0 kN/m² an. Wie groß muss die
Beschleunigung des Tankwagens in diesem Fall mindestens gewesen sein?
c) Wie ändern sich der Druck und die Auslenkung, wenn die Beschleunigung
konstant bleibt aber statt Flüssigkeit 1 die Flüssigkeit 2 mit höherer Dichte im
Tankwagen transportiert wird?

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 5
Aufgabe 4:
Zeit: 14 min.
Einem Stausee (v=0) wird über eine unterirdische Rohrleitung Wasser zugeführt. Zur
Messung der Wassermenge dient die in Abb. 4.1 dargestellte Anordnung von
Messröhrchen 1 und 2.
a) Wie werden die dargestellten Messröhrchen genannt und welcher
Energieanteil kann an ihnen abgelesen werden.
b) Berechnen Sie den Zufluss Q, die Fließgeschwindigkeiten v 1 und v 2 sowie
die Rohrinnendrücke p 1 und p 2 bei den entsprechenden
Rohrdurchmessern D 1 und D 2 . Gehen Sie dabei von einer reibungsfreien
Strömung aus (keine Energieverluste).
c) Auf welcher Höhe h 3 stellt sich der Wasserspiegel im Stausee ein?
d) Zeichnen Sie die Energie- und Drucklinie für eine reibungsfreie Strömung
in Abb. 4.1 ein. Was würden in diesem Fall zwei Pitot-Rohre an den
Stellen 1 und 2 anzeigen?
Gegeben:
ρ w = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s²
D 1 = 1,3 m h 1 = 2,4 m
D 2 = 1,1 m h 2 = 1,6 m
a = 3,5 m
1
2
Q
D 1 = 1,3 m
h 1 = 2,4 m
D 2 = 1,1 m
h 2 = 1,6 m
Großräumiger
Stausee mit:
v = 0
ρ w
= 1000 kg/m³
h 3
a = 3,5 m
D 2
Q
Abb. 4.1:
Unterirdischer Zufluss eines Stausees mit Messröhrchen

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 6
Aufgabe 5:
Zeit: 13 min.
Aus einem Behälter mit einer rechteckigen Öffnung mit der Höhe a = 0,05 m und der
Breite b = 1,00 m strömt kontinuierlich eine Wassermenge von Q 0 = 0,099 m³/s aus
und trifft in der Entfernung L im Punkt A auf eine Waage (s. Abb. 5.1).
Gegeben:
ρ = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s²
a = 0,05 m b = 1,00 m
Q 0 = 0,099 m³/s h 1 = 2,4 m h 2 = 0,2 m
Q 0
Ansicht der Öffnung:
a
h 2
a
Q 0
b
h 1
Q 1
α
A
Q 2
Waage:
??? kg
L
Abb. 5.1:
Behälter mit ausströmendem Wasser und Waage im Auftreffpunkt des Strahls
a) Berechnen sie die Entfernung L sowie den Auftreffwinkel α des Wasserstrahls
im Punkt A.
b) Welche Masse in [kg] zeigt die Waage an?
Nach dem Auftreffen in Punkt A teilt sich der Wasserstrahl in die beiden Teilstrahlen
1 und 2 auf. Die Breite der beiden Teilstrahlen auf der Waage wird mit b = 1,00 m
angenommen. Die Druckkräfte innerhalb der beiden Teilstrahlen können
vernachlässigt werden.
c) Berechnen Sie die Abflüsse Q 1 und Q 2 der beiden Teilstrahlen.

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 7
Musterlösung Aufgabe 1:
a) hydrostatische Druckverteilung
ρgh 1
α
ρgh 2
b) h = ?
ps
=ρ⋅g⋅
h
h 1 = h - r · sinα
h 2 = h + r · sinα
p
p
= 1000⋅9,81⋅
h
1 1
= 1000⋅9,81⋅
h
2 2
r·sinα
r·sinα
α
M
Die Fläche des Zylinders ergibt sich aus:
2α
A = 2πr ⋅b
360°
r ⋅sinα = 0,2 ⋅ sin45°=
0,141m
ρ
1+ρ2
FH
= ⋅2⋅r⋅sinα⋅b
2
1000 ⋅9,81 ⋅(h − 0,141) + 1000 ⋅9,81 ⋅ (h + 0,141)
FH
= ⋅2⋅0,141⋅0,3
2
9810 ⋅h − 1383,21+ 9810 ⋅ h + 1383,21
FH
= ⋅0,085
2
FH
= 9810 ⋅h⋅0,085
F Feder = 750 N = F H
750 = 9810 ⋅h⋅0,085
750
h= = 0,899m
9810 ⋅ 0,085

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 8
b) resultierende Druckkraft
F H
V v
α
r
F V
FH
= 750N
Die Vertikalkomponente ist abhängig vom verdrängten Wasservolumen V v !
F
V
=ρ⋅g⋅
V
v
Das verdrängte Wasservolumen ergibt sich aus:
⎛ 2 2α
r² ⎞
Vv
= ⎜π⋅r ⋅ − ⎟⋅b
⎝ 360°
2 ⎠
⎛ 2 2α
r² ⎞
FV
=ρ⋅g⋅⎜π⋅r ⋅ − ⎟⋅b
⎝ 360°
2 ⎠
⎛ 2 2⋅ 45°
0,2² ⎞
FV
= 1000 ⋅9,81⋅⎜π⋅0,2 ⋅ − ⎟⋅ 0,3 = 33,60 N
⎝ 360°
2 ⎠
R = F + F
2 2
H V
2 2
R = 750 + 33,60 = 750,75 N
F H
F V
R
F
β= arctan F
v
β
H
33,6
β= arctan = 2,57°
750
Der Angriffspunkt der Resultierenden verläuft senkrecht auf die Zylinderoberfläche
mit einem Winkel von 2,57° und geht in der Verlängerung durch den Mittelpunkt des
Zylinders.

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 9
Musterlösung Aufgabe 2
Damit das Schwimmbecken nicht aufschwimmt muss gelten F A
< G. Um die
vorgegebene Sicherheit von η = 1,1 zusätzlich einzuhalten, gilt: 1,1⋅ FA
= G
a)
Berechnung der Gewichtskraft des Schwimmbeckens:
VBeton
= 3,1⋅11,0 ⋅13,0 −2,5⋅10,0⋅ 12,0 = 143,3 m³
m = 2,3 t/ m³ ⋅ 143,3 m³ = 329,59t
Beton
G = m⋅ g = 329,59⋅ 9,81 = 3233,28kN
Berechnung der Auftriebskraft F A :
F
A
= ρ ⋅g⋅
V
v
Vv
= 2,011,013,0 ⋅ ⋅ = 286 m³
FA
= 1,0 ⋅9,81⋅ 286 = 2805,66 kN
Überprüfung der Anfangsbedingung:
1,1⋅ F < G
A
1,1⋅ 2805,66 kN < 3233,38kN
3086, 23kN < 3233,38 kN Bedingung erfüllt!
b)
Auch hier gilt wieder die Bedingung 1,1⋅ F = G! Allerdings vergrößert sich die
Auftriebskraft durch den höheren Grundwasserstand.
Berechnung der Auftriebskraft F A :
F
A
= ρ ⋅g⋅
V
v
A
Vv
= 3,1⋅11,0 ⋅ 13,0 = 443,3 m³
FA
= 1,0 ⋅9,81⋅ 357,5 = 4348,77 kN

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 10
Da sich die Gewichtskraft des Beckens selbst nicht ändert, muss die erhöhte
Auftriebskraft durch die Gewichtskraft des im Becken verbleibenden
Wasservolumens ausgeglichen werden.
1,1⋅ FA
< G+
GWasser
1,1⋅ 4348,77 kN < 3233,38kN + GWasser
4783,65kN < 3233,38kN + GWasser
1550, 27 kN < G
Wasser
Berechnung der Mindestfüllhöhe im Becken:
G = ρ ⋅g⋅ V = ρ ⋅g⋅B⋅L⋅
h
Wasser Wasser w
1550,27 = 1,0 ⋅9,81⋅12,0⋅10,0
⋅h
h = 1, 32m
w
w

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 11
Musterlösung Aufgabe 3
a)
Berechnung der Flüssigkeitshöhen über den Messdosen
p
1 1
24000 N / m² = 1000⋅9,81⋅h
1
= ρ gh
24000
h1
=
1000⋅9,81
h = 2,446m
1
Die Füllhöhe über Tankboden beträgt also h = 2,446 + 0,1 = 2,546m.
22880 N / m² = 1000⋅9,81⋅h
h
h
2
2
22880
=
1000⋅9,81
= 2,332m
2
Füll
Berechnung der Auslenkung beim Bremsen:
Δ h=
h −h
1 2
= 0,114m=
e
Der Wasserspiegel wird beim Bremsen um e = 0,114 m ausgelenkt.
Berechnung der zusätzlichen Beschleunigung b (Bremsverzögerung) beim Bremsen.
tanα
=
b
g
e
tanα
=
L /2
e b
=
L/2
g
e⋅
g
b =
L /2
0,114m⋅9,81 m/ s²
=
10m
= 0,11 m/ s²
Die Bremsverzögerung beträgt b = 0,11 m/s²!

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 12
b)
Berechnung der Flüssigkeitshöhe über der Messdose:
p = ρgh
5900 N / m² = 1200⋅9,81⋅h1
5900 N / m²
h1
=
1200⋅9,81
= 0,50m
Damit die Messdose einen Wert von 0 n/m² anzeigt muss die Auslenkung des
Wasserspiegels mindestens e = 0,5 m betragen.
tanα
=
b
g
e
tanα
=
L /2
e b
=
L/2
g
e⋅
g
b =
L /2
0,5m⋅9,81
=
10m
= 0, 49 m/ s²
Der Tankwagen wurde mit b = 0,49 m/² beschleunigt.
c) Der Druck wird mit höherer Flüssigkeitsdichte größer. Die Auslenkung ist
dichteunabhängig und bleibt daher gleich!

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 13
Musterlösung Aufgabe 4:
a) Piezometerröhrchen: Hier kann die Druckhöhe abgelesen werden.
b)
Aufstellung der Bernoulligleichung:
2
v1 p1
+
2g
ρ ⋅ g
h1
+
z
1
2
a v2 p2
= +
2g
ρ ⋅ g
h2
+ z = h = konst.
2
a
E
2 2
v1 v2
+ h1+ a= + h2
+ a
2g
2g
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt:
Q = A⋅ v = konst.
A ⋅ v = A ⋅v
1 1 2 2
2 2
D1 πD2
⋅ v1 = ⋅v2
π
4 4
D
v
2
2
1
= ⋅v
2 2
D1
Eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung:
2
2 2 2
2 2 2
2 ⎟ h1 h2
⎛D ⎞ v v
⎜ ⋅ + = +
⎝D1 ⎠ 2g 2g
2
2 2 2
v2 v2
⎛1,1²
⎞
⎜
2, 4 1,6
1,3²
⎟ ⋅ + = +
⎝ ⎠ 2⋅9,81 2⋅9,81
0,0261⋅ v + 2,4 = 0,051⋅ v + 1,6
0,0249⋅ v = 0,8
v
2 2
2 2
2
2
= 5,67 m/
s
1,1²
Q= v2⋅ A2
= 5,67⋅ π ⋅ = 5,39 m³ / s
4
Q 5,39 ⋅4
v1
= = = 4,06 m/
s
A π ⋅1,
3²
1

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 14
p1
ρ ⋅ g
p2
ρ ⋅ g
= h = 2,4m⇒ p = 2,4⋅1,0 ⋅ 9,81 = 23544 Pa
1 1
= h = 1,6m⇒ p = 1,6 ⋅1,0 ⋅ 9,81 = 15696 Pa
2 2
c)
Der Wasserspiegel stellt sich auf der Energiehöhe ein.
2
v1 p1
4,06²
h3
= hE
= + + a= + 2, 4 + 3,5 = 6,74m
2g
ρ ⋅g
2⋅9,81
d)
Pitotröhrchen zeigen die Energiehöhe an. An den Stellen 1 und 2 würde sich daher
ein Wasserstand von:
2
v1 p1
4,06²
h = 1
h = 2
2, 4 3, 24m
2g
+ ρ ⋅g
= 2⋅9,81
+ =

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 15
Musterlösung Aufgabe 5:
a)
Bewegungsgleichungen:
y =−g
x=
a
0
y
=− gt+
v
y,0
0
x
=
at
0
+
v x ,0
y =− gt + v ⋅t
1
2
²
y,0
0
+
0
y 0
x=
0
1
2
at²
+ vx,0 ⋅ t+
x0
0
Bis zum Punkt A wurde eine Strecke y = h1− h2 = 2, 4 − 0, 2 = 2, 2m
zurückgelegt.
Einsetzen in die Bewegungsgleichung:
− 2, 2 =− gt²
1
2
22,2 ⋅
t = = 0,670s
9,81
Fließgeschwindigkeit an der Öffnung:
v = 2⋅g⋅ h = 2⋅9,81⋅ 0, 2 = 1,98 m/
s
x,0 2
Zurückgelegter Weg L in x-Richtung in der Zeit t:
x = L= vx,0 ⋅ t = 1,98⋅ 0,67 = 1,33m
Komponente der Fließgeschwindigkeit in y-Richtung am Punkt A:
y
= vyA
,
=−g⋅ t =−9,81⋅ 0,67 =−6,57 m/
s
Berechnung des Auftreffwinkels des Strahls am Punkt A:
vyA
, 6,57
α = arctan = arctan = 73, 23°
v 1, 98
x
b)

Grundfachklausur Hydromechanik I SS 2008 16
Die Waage zeigt nur das Gewicht an, dass sich aus dem vertikalen Anteil (in y-
Richtung) der Stützkraft S 0 am Punkt A ergibt.
S0
= ρ ⋅Q⋅
v
2 2
v= vyA
,
+ vx
= 1,98² + 6,57² = 6,86 m/
s
S0 = 1000⋅0,099⋅ 6,86 = 679,14 N
S = S ⋅ sinα
= 679,14 ⋅ sin 73,23°=
650,26N
0, y 0
S0, y 650,26
m= = = 66,29 kg
g 9,81
c)
Da beim Auftreffen des Strahls in Punkt A keine Verluste auftreten muss gelten:
v0 = v1 = v2 = 6,86 m/
s
Q0 = Q1+ Q2 ⇒ Q1 = Q0 − Q2
Aufstellung des Kräftegleichgewichts für die Horizontalkräfte:
∑
2
H = = S + S −S
0
1 0, x 2
ρ ⋅vQ ⋅ + S⋅cosα −ρ⋅vQ
⋅ = 0
1 0 2
1000⋅6,86 ⋅( Q − Q ) + 679,14⋅ cos73,23°= 1000⋅6,86⋅Q
0 2 2
679,14 −6860⋅ Q + 195,95 = 6860⋅Q
875,09 = 13720⋅Q
Q = 0,0638 m³ / s
2 2
2
Q1 = Q0 − Q2 = 0,099 − 0,0638 = 0,0352 m³ / s