WS 2005/2006 Prüfungstermin: 03. März 2006 K L A U S U R ...

Technische Universität BraunschweigLeichtweiß-Institut für WasserbauAbteilung Hydromechanik und KüsteningenieurwesenProf. Dr.-Ing. Hocine OumeraciWS 2005/2006Prüfungstermin: 03. März 2006K L A U S U R HYDROMECHANIK II- ohne Unterlagen -- Dauer 60 Minuten -N A M E :V O R N A M E:Matrikel- Nr.:Aufgabe 1 2 3 4 SummeZeitbedarf 12 12 13 23 60erreichtePunkteNote

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 3Aufgabe 2:Zeit: 12 min.Das in Abb. 2 dargestellte Rechteckgerinne hat eine Sohlbreite von b = 5,0 m. DerZufluss im Schnitt 0-0 beträgt Q = 5,0 m³/s bei einer Wassertiefe von h 0 = 1,0 m. ImSchnitt 1-1 soll zusätzlich eine Sohlschwelle eingebaut werden.a) Querschnitt b) Längsschnitt01Gegeben:h 0 = 1,0 mg = 9,81 m/s 2b = 5,0 mQ = 5,0 m³/s= 1.000 kg/m³ρ WRWSRWSh 0Q=5,0m³/sh 0ssb=5,0m01SohlschwelleAbb. 2:Rechteckgerinne mit geplanter Sohlschwelle: a) Querschnitt, b) Längsschnitta) Welcher Fließzustand (Schießen, Strömen oder Grenzzustand) liegt imOberwasser (Schnitt 0-0) vor?b) Welche Höhe s darf die Sohlschwelle im Schnitt 1-1 maximal besitzen, damitsich kein Aufstau im Oberwasser (Schnitt 0-0) bildet?c) Welcher Durchfluss Q neu muss vorliegen, damit sich bei gleichemWasserstand h 0 und gleicher Sohlbreite b bereits im Schnitt 0-0 der kritischeGrenzzustand einstellt?d) Welche Höhe s neu darf die Sohlschwelle im Schnitt 1-1 nun besitzen, damitsich für die Bedingungen nach Aufgabenteil c) im Oberwasser (Schnitt 0-0)kein Aufstau bildet?

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 4Aufgabe 3:Zeit: 13 min.In einem halbkreisförmigen Bewässerungskanal (s. Abb. 3a) mit dem Radiusr = 1,60 m und dem Sohlgefälle I 1 = 1,5 ‰ soll bei einem Wasserstand vonh 1 = r =1,60 m in der Gerinneachse ein Abfluss von Q = 10 m³/s abgeführt werden.a) Halbkreisquerschnittb) RechteckquerschnittWasserspiegelbreite bb=2·h 2h 2WSWSQ 1=10 m³/sI 1=1,5‰r=h 1k st,1Q 2=Q 1=10 m³/sI 2=I 1=1,5‰k st,2=k st,1Abb. 3:Gerinnequerschnitte: a) Halbkreisquerschnitt, b) Rechteckquerschnitta) Bestimmen Sie den erforderlichen Strickler-Abflussbeiwert k st,1 -Wert desSohlmaterials des Halbkreisgerinnes, um den geforderten Abfluss vonQ = 10 m³/s abzuführen.b) Welche Wassertiefe h 2 stellt sich bei gleicher Abflussmenge Q, gleichemGefälle I 1 und gleichen k st,1 -Wert wie im Fall a) in einem hydraulischgünstigen Rechteckgerinne (s. Abb. 3b)) ein?

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 5Aufgabe 4:Zeit: 23 min.Das in Abb. 4 dargestellte Rohrsystem verfügt über einen Hochbehälter und zweiAusläufe (Rohrstrang II und Rohrstrand III). Aus dem Rohrstrang II fließt dieWassermenge Q 2 = 0,4 m³/s aus.Gegeben:ρ w = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s²D 1 = 300 mm D 2 = 200 mm D 3 = 250 mmL 1 = 6,0 m L 2 = 2,0 m L 3 = 4,0 mh 2 = 3,0 m Q 2 = 0,4 m³/sλ 1 = λ 2 = λ 3 = 0,02v 0≈ 0WSh 1D 1Rohrstrang I mit Länge L 1L 1Q 0D 1h 2Rohrstrang IID 2D 3freier Ausflussfreier AusflussPQ 2Q 3L 2L 3Rohrstrang IIIAbb. 4:Rohrsystem mit Hochbehälter und zwei Ausflüssena) Berechnen Sie die Wassermenge Q 0 , die dem System zugeführt werdenmuss, damit der Wasserstand im Hochbehälter konstant bleibt. Rechnen Sienäherungsweise mit einer Fließgeschwindigkeit von v 0 = 0 m/s imHochbehälter (Annahme eines unendlich großen Behälters)!Hinweis: Gehen Sie bei Ihrer Berechnung davon aus, dass sowohl das nachlinks durch den Rohrstrang II als auch das nach rechts durch denRohrstrang III fließende Wasser im Verzweigungspunkt P die selbe Energiebesitzt.b) Berechnen Sie den Wasserstand h 1 im Hochbehälter!(Sollten Sie die Wassermenge Q 0 in Aufgabenteil a) nicht berechnet haben,so verwenden Sie für den Aufgabenteil b) einen Wert von Q 0,b) = 1,0 m³/s.)

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 6Musterlösung Aufgabe 1:a)Die Gefahr des hydraulischen Grundbruchs besteht dort, wo das höherehydraulische Gefälle I vorhanden ist.ΔhI = Δ lDas hydraulische Gefälle für die Baugrube 1 lautet:Δ h1NN + 45m − NN + 30m1IB1= = =Δl145m3Das hydraulische Gefälle für die Baugrube 2 lautet:IΔ h NN + 45m− NN + 25m245 20 25 20 32B2= = =Δl2( m− m) + ( m−m)Die Gefahr des hydraulischen Grundbruchs daher in der Baugrube 2 am größten.Die Grundbruchsicherheit η berechnet sich zuIkrit2η = Ivorh=Ivorh3kgρ 2.000 3BmIkrit= − 1= − 1=1kgρW1.000 3m1η = = 1, 523b) Die Sickerwassermenge q berechnet sich zu6 11 4 3q= l⋅ v= l⋅k 100 10m310mf⋅ I = m⋅ − − s ⋅ = ⋅ sm ⋅ .3Pro Tag müssen somitabgepumpt werden.qd−4 m³= 0,333⋅10 ⋅60⋅60⋅ 24 = 2,877mc) Maßnahmen, um einen Grundbruch kurzfristig zu verhindern.− Aufbringen von zusätzlicher Auflast auf den Baugrubenboden (dadurchErhöhung des Widerstandes gegen die aufwärts gerichtete Strömung); durchden zusätzlichen Boden wird der Sickerweg bis zum Austritt des Wasserverlängert, der hydraulische Gradient sinkt somit− Erhöhung des Wasserspiegels in der Baugrube (dadurch Reduzierung derDruckdifferenz Δh)

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 7Musterlösung Aufgabe 2:a)Bestimmung der Abflussformhgr3( 5m s )2( ) ⋅2 2q Q= 3 = 3 = 3= 0, 47m2g b ⋅ g 5m9,812m2sEs liegt strömender Abfluss vor, da h gr < h 0 ist.oderh = 0, 47m< 1m=hgr0Q 5,0 m³ q 1,0 v 1,0q= = = v = = = Fr = = =b 5,0 s⋅m h 1,0 g⋅h9,81⋅1,001,001,000,319Es liegt strömender Abfluss vor, da Fr 0 < 1,0 ist.0b)Bestimmung der maximalen Sohlschwellenhöhe smvgr= g⋅ vgr= 9,81⋅ 0,47 = 2,147 odersh = const.22vv0gr+ h0 + z0= + hgr+ s2g2g( 1m) ( 2,14mss)2 2mm2 2ss2vgrhgrvgrg h2⋅g = 2−− > = ⋅22vv0grs = + h0 + z0− − hgr= + 1m+ 0 − − 0,47m=0,347m2g2g2⋅9,81 2⋅9,81Die maximale Schwellenhöhe s darf somit s = 0,347 m betragen.grc)Bestimmung der Abflussmenge Q neu durch Auflösen der unter a) angegebenGleichung nach Q:m( 2 )0,5 3/2 0,5 3/2neu gr sQ = g ⋅h ⋅ b= 9,81 ⋅1 m⋅ 5m=15,663m sACHTUNG: Durch die neue Grenztiefe h gr = 1,0 m stellt sich natürlich auch eineneue Grenzgeschwindigkeit ein. Den Abfluss Q neu nach der Kontigleichung mitv gr = 2,147 m/s zu berechnen ist daher falsch! Die neue Grenzgeschwindigkeit lautetv gr,neu = 3,132 m/s und führt dann mit der Kontigleichung zum richtigen Ergebnis:m m³Qneu= A⋅ vgr,neu= 1,0m⋅5,0 m⋅ 3,132 = 15,66s s

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 8d)Bestimmung der maximalen Sohlschwellenhöhe s neuEs darf keine Sohlschwelle eingebaut werden, da bereits die minimale Energie undsomit der Grenzzustand vorhanden ist. Jede Sohlschwelle würde daher zu einemAufstau im Oberwasser führen.Musterlösung Aufgabe 3:a)Bestimmung des k st,1 -WertesFür den Fließquerschnitt A und den hydraulischen Radius ergeben sich folgendeWerte:2 2π ⋅r 2⋅π ⋅r A π ⋅r 1 rA= = 4,021 m² U = = π ⋅ r = 5,027m R= = ⋅ = = 0,80m2 2 U 2 π ⋅r2Aus der Gauckler-Manning-Strickler-Formel für den Abfluss Q folgt:Q = A ⋅k ⋅R ⋅I2/3 1/21 1 st,1 1 1Q1 Q110mkst,1 = = = = 74,5082/3 1/22/3 2/3A1⋅R1 ⋅I1 ⎛1 2⎞ ⎛r⎞ 1/2 ⎛1 2⎞ ⎛1,60⎞s1/2⎜ ⋅π⋅r⎟⋅⎜ ⎟ ⋅I1⎜ ⋅π⋅1,60 ⎟⋅⎜ ⎟ ⋅0,0015⎝2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠b)Berechnung der Wassertiefe h 2Für den Fließquerschnitt A und den hydraulischen Radius ergeben sich inAbhängigkeit der Wassertiefe h 2 folgende Gleichungen:( )2A= b⋅ h = 2⋅h ⋅ h = 2⋅ h U = b+ 2⋅ h = 2⋅ h + 2⋅ h = 4⋅h2 2 2 2 2 2 2 222⋅h2 h2AR = = = U 4⋅h 22Aus der Gauckler-Manning-Strickler-Formel folgt:2/32/3 1/2 2 ⎛h2⎞ 1/2 21/2 8/31=2⋅st,1 ⋅2⋅1= ( 2⋅ 2 ) ⋅st,1 ⋅ ⋅1= ⋅2/3 st,1 ⋅ ⋅2Q A k R I h k ⎜ ⎟ I k I h⎝ 2 ⎠ 23/8 3/8⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ Q ⎟ ⎜ 10 ⎟h1, 46m12= ⎜2⎟ = ⎜1/2 2⎟ =1/2⎜ ⋅k2/3 st,1⋅I⎟ ⎜ ⋅74,5⋅0,0015⎟2/3⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠1/3

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 9Musterlösung Aufgabe 4:(Hinweis: Die ersten Punkte gibt es für das Eintragen der Schnitte und desBezugshorizontes z = 0 in die Abbildung auf dem Aufgabenblatt.)a)Berechnung der Wassermenge Q 0Laut dem Hinweis in der Aufgabenstellung, besitzen die Rohrstränge II und III imPunkt P dieselbe Energie. Da die Energie im gesamten System konstant ist, muss indiesem Punkt die Energiehöhe h E vorliegen. Vom Punkt P aus werden dann Schnittein den Rohrauslässen der Stränge II und III betrachtet. Es muss jeweils gelten, dassdie Energie in den Auslässen II bzw. III plus der jeweiligen Streckenverluste in denSträngen II bzw. III gleich groß sind:hE= Energie in Punkt P = Energie im Schnitt 2-2 plus Verluste zwischen 2-2 und P= Energie im Schnitt 3-3 plus Verluste zwischen 3-3 und PSomit folgt:v p L v v p L vh = Ekonst.= z z2⋅g + ⋅g + + ⋅ D ⋅ 2⋅g = 2⋅g + ⋅g + + ⋅ D ⋅ 2⋅g2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 32λ3λρ2ρ3Aus Q 2 lässt sich v 2 berechnen, alle anderen Werte bis auf v 3 sind bekannt (L 2 , L 3 ,D 2 , D 3 , λ 2 , λ 3 , ρ, g) oder können aus den Randbedingungen des Systemsentnommen werden (p 2 = 0, p 3 = 0 (jeweils freier Ausfluss), z 2 = z 3 = 0 (beientsprechender Lage des Bezugsniveaus z = 0 in den Rohrachsen der RohrsträngeII und III)).Q 0, 4 m vQ = A ⋅ v v = = = 12,732 = 8, 263m22 22 2 2 2 2 2D2⋅π0, 2 ⋅πs 2g4Aus der Bernoulli-Gleichung folgt:v p L v v p L vh konst z zg g D g g g D g2 2 2 2= 2 2 2 2 3 3 3 3,. = EP2λ3λ2⋅ + ρ⋅ + + ⋅ ⋅ 22⋅ = 2⋅ + ρ⋅ + + ⋅ ⋅32⋅2 22,0 v3 4,0 v3= 8,263+ 0 + 0 + 0,02⋅ ⋅ 8,263 = + 0 + 0 + 0,02⋅ ⋅0, 2 2⋅g0, 25 2⋅g2v3= 9,916 = 1,32⋅2 ⋅ gmv3= 12,14s2 2D3⋅π0, 25 ⋅πm³Q3 = A3⋅ v3 = ⋅ v3= ⋅ 12,14 = 0,596 .4 4s4

Grundfachklausur Hydromechanik II WS 2005/2006 10Aus dem Ausfluss Q 3 lässt sich nun zusammen mit Q 2 die gesuchte Größe Q 0bestimmen:Q0 = Q2 + Q3= 0, 4 + 0,596 = 0,996 m³ .sb)Berechnung der Wasserstandes h 1 im HochbehälterDer Wasserstand h 1 kann aus der Bernoulli-Gleichung für die Schnitte 0-0 und Permittelt werden. Es ist auch möglich, die Schnitt 0-0 und 2-2 oder 0-0 und 3-3 zubetrachten. Da die Energiehöhe für den Punkt P mit h E,P = 9,916 m aus dervorherigen Teilaufgabe bekannt ist, bietet sich die Betrachtung für 0-0 und P an.Für die Berechnung müssen nun auch die Streckenverluste im Rohrstrang Iberücksichtigt werden. Dafür muss die Geschwindigkeit v 1 im Rohrstrang I bekanntsein:Q 0,996 mvQ = Q = A ⋅ v v = = = 14,09 = 10,119m21 11 0 1 1 1 2 2D1⋅π0,3 ⋅πs 2g4Die Streckenverluste zwischen 0-0 und P müssen auf der rechten Seiteberücksichtigt werden:h2 20 0 1 1EP ,= + + z0= 9,916 + λ ⋅ ⋅2⋅ ρ ⋅12⋅14v p L vg g D g6,00 + 0 + ( h1+ h2)= 9,916 + 0,02⋅ ⋅10,1190,3h1+ 3,0 = 9,916 + 4,048h = 10,964mDer Wasserstand im Hochbehälter beträgt h 1 = 10,964 m.(Für die Berechnung von h 1 dürfen insgesamt nur die Verluste der Rohrleitungenangesetzt werden, die vom Wasser auch tatsächlich durchflossen werden. Da dasWasser entweder durch die Rohrstränge I und II ODER durch die Rohrstränge I undIII. Daher ist es falsch, die Verluste aller drei Stränge in die Berechnungeinzubeziehen.)