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290 A Die Fouriertransformation
Imaginärteil
Abb. A.l: Die Basisfunktionen exp(-ikx) der Fouriertransformation sind Spiralen mit der Ganghöhe
.A = 21rjk.
symbolisiert wird. Die Funktionen exp ( -ikx) im Integral der Fouriertransformation
werden als der Kern der Fouriertransformation bezeichnet. Der Kern der inversen Fouriertransformation,
exp (ikx), ist dazu konjugiert komplex. Die Funktionen exp ( -ikx)
bilden ein System orthonormaler Funktionen ( Orthonormalbasis). Die Orthogonalität
bedeutet, daß das Skalarprodukt zweier verschiedener Funktionen verschwindet, d. h.
j dx exp ( -ik'x) exp (ikx) = 21r8(k'- k). (A.3)
00
-oo
Aufgrund dieser Eigenschaft des Kerns können wir die Fouriertransformation auch als
eine Entwicklung der Funktion f(x) nach den Basisfunktionen exp(-ikx) auffassen;
dabei geben die Koeffizienten }(k) die Beiträge der einzelnen Frequenzkomponenten
zur Funktion f(x) an.
Größe
Im allgemeinen ist die Fouriertransformierte einer reellen Funktion eine komplexe
}(k) = Re}(k) + iim}(k),
dabei bezeichnen wir mit Re}(k) bzw. Im}(k) den Real- bzw. Imaginärteil von }(k).
Eine komplexe Zahl können wir in der komplexen Zahlenebene als Vektor darstellen,
der sich durch seinen Real- und Imaginärteil oder durch Betrag und Pliase beschreiben
läßt. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem mit den Achsen x, Re}(k), Im}(k)
können wir uns komplexe Funktionen veranschaulichen. Die Basisfunktionen der Fouriertransformation
sind in dieser Darstellung Spiralen mit einer Ganghöhe .\ = 21f / k
(Abb. A.l). Die Umwandlung in Betrag und Phase (Polarkoordinaten) wird durch
folgende Formeln beschrieben:
Dabei ist
der Betrag und
die Phase der komplexen Funktion.
}(k) = l}(k)l exp[icp(k)]. (A.4)
l}(k)l = J[Re}(k)J2 + [Im}(k)J2 (A.5)
( Im}(k))