Streng konvexe HÃ¼llen

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1 Einführung 1.1 Konvexe Hüllen Definition 1. Eine konvexe Hülle einer Punktemenge S ist das kleinste konvexe Polygon, daß alle Punkte aus S enthält. Abbildung 1: Menge von Punkten und ihre konvexe Hülle Konvexe Hüllen sind häufig verwendete Bausteine in der algorithmischen Geometrie. Zum Beispiel tauchen sie bei Gesichtserkennung ([2]) oder NURBS ([5]) auf. Um eine konvexe Hülle zu berechnen. wird häufig der Graham Scan angeführt (siehe auch [3]): 1. Wähle Punkt p mit minimaler y-Koordinate. 2. Sortiere die übrigen Punkte in Relation zu ihrem Winkel zu p. 3. Von p ausgehend, durchlaufe die Punkte in Sortierreihenfolge. 4. Sei p i der aktuell betrachtete Punkt. Ist der Winkel zwischen den Strecken (p i−1 p i , p i p i +1) konkav, dann: Lösche p, p i−1 wird der aktuell betrachtete Punkt und wiederhole diesen Schritt. Ist der Winkel konvex, dann verbinde p i und p i+1 und wiederhole den Schritt, falls p i+1 ≠ p. Der Algorithmus fügt der konvexen Hülle also immer einen Punkt hinzu, und löscht in einem Backtracking-Schritt die vorhergehenden solange, bis kein konkaver Winkel mehr vorhanden ist. Bei der Ausführung eines solchen Algorithmus am Computer treten aber Rechenungenauigkeiten auf, die dieser nicht berücksichtigt. So kann weder garantiert werden, daß 2
die Ausgabe eine Hülle oder aber alle Winkel konvex sind. Außerdem könnte man ein Polygon benötigen, dessen Winkel ein bestimmtes Minimum an Konvexität besitzen, da der weiterverarbeitende Algorithmus wieder Ungenauigkeiten einführt oder aber nur auf konvexen Polygonen operieren kann, die dann z.B. auch keinen 180 ◦ -Winkel enthalten dürfen (ein Beispiel dafür ist die Minkowski-Summe, [6]). Dieses Problem soll hier besprochen werden. Dabei wird ein Algorithmus vorgestellt, dessen Ausgabe in jedem Fall konvex ist bzw. eine gewünschte Konvexität erzeugt. 1.2 ɛ-streng konvexe δ-Hüllen Im Genauen berechnet dieser Algorithmus eine ɛ-strenge konvexe δ-Hülle. Dies ist ein konvexes Polygon, aus dem jeder Punkt um ɛ pertuerbiert werden kann, ohne daß die Konvexität verloren geht. Gleichzeitig liegt kein Punkt der zu Grunde liegenden Menge weiter als δ außerhalb der Hülle. Hier werden ein Algorithmus mit exakter Arithmetik vorgestellt, der in der Lage ist, eine ɛ-strenge konvexe O(ɛ)-Hülle in Zeit O(n log n) zu berechnen, und ein Algorithmus mit gerundeter Arithmetik, der eine ɛ-strenge O(ɛ + µ) ebenfalls in O(n log n) Zeit berechnet (wobei die rounding unit µ im folgenden Kapitel definiert wird). Definition 2. Ein Polygon P ist eine δ-Hülle einer Punktmenge S, wenn alle Vertices von P zu S gehören und wenn kein Punkt von S weiter als δ von dem von P begrenzten Gebiet entfernt ist. Ein Polygon P ist ɛ-schwach konvex (ɛ 0), wenn es eine Möglichkeit gibt, jeden Vertex um nicht mehr als ɛ zu perturbieren, so daß P konvex wird. Ein Polygon P ist ɛ-streng konvex (ɛ 0), falls P konvex ist und auch konvex bleibt, selbst wenn jeder Punkt von P um bis zu ɛ perturbiert wird. Definition 3. Seien A, B und C gegen den Uhrzeigersinn aufeinanderfolgende Punkte eines Polygons P . Der Vertex B ist ɛ-streng konvex, wenn der Abstand δ(B, CA) von B zu der Geraden CA größer als ɛ ist. Lemma 1.1. Wenn jeder Vertex eines Polygons P 2ɛ-streng konvex ist, dann ist P ɛ-streng konvex. D.h. wenn man jeden Vertex für sich um 2ɛ bewegen kann, lassen sich alle Vertices um ɛ bewegen. Die Umkehrung gilt i.A. nicht. Beweis: Angenommen, alle Punkte seien 2ɛ-streng konvex, aber P sei nicht ɛ-streng konvex. Dann müsste eine ɛ-Perturbation existieren, durch die manche Punkte B nicht mehr konvex sind. Seien A und C die zu B benachbarten Punkte. Es ist offensichtlich, daß alle Punkte des Dreiecks ABC 2ɛ-streng konvex sind hinsichtlich dieses Dreiecks. 3
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