Skriptum zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik ...

Skriptum zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B|A) = P(A 1 ∩ A 2 ) ⋅ P(A 3 | A 1 ∩ A 2 )
= P (A 1 ) ⋅ P(A 2 | A 1 ) ⋅ P(A 3 | A 1 ∩ A 2 )
- 12 Geräte wie vorher. Es werden 3 Geräte entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
daß das 1. Entnommene Gerät in Ordnung ist und das 2. Entnommene Gerät defekt und das 3.
Entnommene Gerät wieder in Ordnung ?
A 1 = das 1. entnommene Gerät ist in Ordnung.
A 2 = das 2. entnommene Gerät ist defekt.
A 3 = das 3. entnommene Gerät ist in Ordnung.
P (A 1 ∩A 2 ∩A 3 ) = P (A 1 ) ⋅ P(A 2 | A 1 ) ⋅ P(A 3 | A 1 ∩ A 2 )
9 3 8
= ⋅ ⋅
12 11 10
P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 2 ∩ … ∩ A n ) =
P (A 1 ) ⋅ P(A 2 | A 1 ) ⋅ P(A 3 | A 1 ∩ A 2 ) ⋅ … ⋅ P(A n | A 1 ∩ A 2 ∩ … ∩ A n-1 )
Multiplikationssatz für n Ereignisse
P(
A ∩ B)
P(
B | A)
= vorausgesetzt P(A) > 0
P(
A)
Spezialfall:
Statt A das sichere Ereignis E eingesetzen
P(
E ∩ B)
P ( B | E)
= = P(
E ∩ B)
= P(
B)
P(
E)
Es gibt Ereignisse A und B für welche gilt: P (B | A) = P (B)
Bsp.: Werfen mit 2 Würfeln
A = auf 1. Würfel erscheint eine 6
B = auf 2. Würfel erscheint eine 1
P (B | A) = 6
1
P (B) = 6
1
Die Gleichheit liegt vor, wenn A und B zwei Ereignisse sind, die sich nicht gegenseitig
beeinflussen, dann P (B | A) = P (B)
P (A | B) = P (A)
Solche Ereignisse heißen Unabhängig.
Für beliebige Ereignisse gilt: P (B ∩ A) = P (A) ⋅ P(A | B)
Für unabhängige Ereignisse:
P (B ∩ A) = P (A) ⋅ P (B)
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