Skriptum zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik ...
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<strong>Skriptum</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>Wahrscheinlichkeitsrechnung</strong> <strong>und</strong> <strong>Statistik</strong><br />
X = Anzahl der hergestellten defekten Stücke<br />
⎛100⎞<br />
4 96<br />
P (X = 4) = ⎜ 0,03 ⋅ 0,97<br />
4<br />
⎟ ⋅<br />
=17,1 %<br />
⎝ ⎠<br />
Warenlieferung von N Stück. Davon sind r Stück defekt.<br />
Es werden n Stück entnommen.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß k defekte Stücke entnommen werden?<br />
X = Anzahl der entnommenen defekten Stücke<br />
a) Stichprobe ohne Zurücklegen<br />
P (X = k) =<br />
⎛ r ⎞⎛<br />
N − r ⎞<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝k<br />
⎠⎝<br />
r − k ⎠<br />
⎛ N ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ n ⎠<br />
b) Stichprobe mit Zurücklegen<br />
P (X = k) =<br />
⎛n⎞<br />
k ⎛<br />
⎜ ⎟ ⋅ p ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝k<br />
⎠ ⎝<br />
⎛ r ⎞<br />
p = ⎜ ⎟<br />
⎝ n ⎠<br />
r<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n−k<br />
Vergleich a) mit b):<br />
N = 100, r = 10, n = 20, k =2<br />
⎛10⎞⎛98⎞<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎟<br />
a) P (X=2) =<br />
⎝ 2 ⎠⎝18⎠<br />
⎛100⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 20 ⎠<br />
= 31,8 %<br />
⎛20⎞<br />
⎛ 10 ⎞<br />
b) P (X=2) = ⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝100<br />
⎠<br />
2<br />
⎛ ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝<br />
10<br />
100<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
18<br />
= 28,5 %<br />
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung<br />
t<br />
F(t) = P(X = t) = ∫ ( x)<br />
dx = ∫ f ( x)<br />
dx + ∫<br />
−∞<br />
0<br />
f f ( x)<br />
dx t ≥ 0<br />
−∞<br />
0 − λ ⋅ x<br />
t<br />
0<br />
λ ⋅ e<br />
Seite 46
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