Zustandsänderungen - Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

Thermodynamik
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Thermodynamik
Prof. Dr.-Ing. Peter Hakenesch
peter.hakenesch@hm.edu
www.lrz-muenchen.de/~hakenesch
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Thermodynamik
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1 Einleitung
2 Grundbegriffe
3 Systembeschreibung
4 Zustandsgleichungen
5 Kinetische Gastheorie
6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
7 Kalorische Zustandsgleichungen
8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
9 Zustandsänderungen
10 Reversible Kreisprozesse
11 Kreisprozesse thermischer Maschinen
12 Kälteanlagen
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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9 Zustandsänderungen
Aufgrund ihrer Relevanz bei technischen Anwendungen, sollen im Folgenden einige Sonderformen
von Zustandsänderungen betrachtet werden
9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase
9.1.1 Isochore Zustandsänderung
Annahme
Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v bleiben bei der Zustandsänderung (1) nach (2) konstant, d.h.
ρ = const., bzw. dρ = 0 oder v = const., bzw. dv = 0
⇒ Zustandsgleichung für ideale Gase p ⋅ v = R ⋅T
vereinfacht sich zu
p 2 =
T
2
p
T
1
1
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Isochore Zustandsänderung
Keine Volumenänderungsarbeit wegen dV = 0, d.h.
W v12 = 0
Reversible Prozesse: Keine Dissipationsarbeit W D , d.h.
W D = 0
⇒ Isochore Zustandsänderung wird durch den Wärmetransfer Q 12 bedingt
⇒ Änderung der inneren Energie U
Q
12 = U 2 −U1
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Ü 9.1: Aufheizung einer Pressluftflasche
Eine Pressluftflasche, in der sich 1.84 kg Luft bei einem Druck von p 1 = 1.74 bar und einer Temperatur
von T 1 = 10°C befinden, heizt sich durch Sonneneinstrahlung auf 98 °C auf
Gesucht
- Zugeführte Wärmemenge Q 12
- Druck p 2
- Volumen der Flasche V
- Änderung der inneren Energie U 2 - U 1
Der über den Temperaturbereich 10°C bis 98°C gemittelte Wert für die spezifische Wärmekapazität bei
konstantem Druck c p beträgt c p = 1007.6 J/(kg⋅K)
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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9.1.2 Isobare Zustandsänderung
Vereinfachung der idealen Gasgleichung für isobare Änderungen (d.h. p = const.)
V
2
T =
2
(Gay-Lussac)
V
1
T
1
Volumenänderungsarbeit W V,12 während der Zustandsänderung (1) → (2)
W
v12
= −
p ⋅
V
2
∫
V
1
dV
= −
p ⋅
( V − V )
2
1
Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt sich für eine isobare Zustandsänderung die zu- oder
abgeführte Wärme Q 12 für p 1 = p 2 = p
Q
( V2
−V1
) = U 2 + p ⋅V2
− ( U1
+ p ⋅V2
) = H 2 − 1
12 = U 2 −U1
+ p ⋅
H
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Isobare Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm
Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm:
Waagerechte Linie
Fläche unter dieser Linie entspricht der Volumenänderungsarbeit W V12
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Ü 9.2: Isobare Expansion
Luft expandiert bei konstantem Druck p 1 = 2.74 bar infolge von Wärmezufuhr vom Volumen V 1 = 3.74 m³
und der Temperatur T 1 = 13°C auf V 2 = 8.81 m³.
Die Gaskonstante der Luft beträgt R = 287.1 J/kgK
Gesucht sind
- die Masse m der Luft,
- die Temperatur T 2 ,
- die zugeführte Wärmemenge Q 12 ,
- die Volumenänderungsarbeit W V12 ,
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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9.1.3 Isotherme Zustandsänderung
Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase liefert mit der Bedingung T = const.
p
2
V =
1
(Boyle-Mariotte)
p
1
V
2
Wegen T 1 = T 2 = T liefert der erste Hauptsatz mit U 2 - U 1 = 0 für den reversiblen Prozeß
Q
12 + W V 12 =
0
Die Volumenänderungsarbeit W V12
W V 12
= −
p
1
⋅V
1
⎛V
⋅ln
⎜
⎝ V
2
1
⎞
⎟
⎠
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Isotherme Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm
Isotherme Zustandsänderung erscheint im p,V-Diagramm immer als Hyperbel
Fläche unter der Hyperbel entspricht der Volumenänderungsarbeit W V12
− Kompression: W V12 > 0
− Expansion: W V12 < 0
Kompression Expansion
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Ü 9.3: Isotherme Kompression von Luft
Luft soll bei einer konstanten Temperatur von T 1 = 25°C vom Volumen V 1 = 0.83 m³ und dem
Anfangsdruck p 1 = 3.02 bar auf das Endvolumen V 2 = 0.42 m³ isotherm komprimiert werden.
Gesucht sind
- die Masse m der Luft,
- der Druck p 2 ,
- die Volumenänderungsarbeit W V12 ,
- die abgeführte Wärmemenge Q 12 ,
- die Änderung der inneren Energie U 2 - U 1
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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9.1.4 Adiabate Zustandsänderung
Kennzeichen adiabater Systeme
Grenzen sind wärmeundurchlässig
⇒ Energie kann nur in Form von mechanischer Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht werden
⇒ Generell ist bei adiabaten Systemen für die Wärme immer Q 12 = 0 zu setzen
Zusätzlich gilt für reversible, d.h. verlustfreie Prozesse
Es wird keine Dissipationsarbeit geleistet, also W D12 = 0
⇒ Erster Hauptsatz vereinfacht sich somit zu
U −U
= − ∫ p ⋅ dV = W
2
2 1
V
1
12
Gesucht: Erforderliche Funktion des Drucks p in Abhängigkeit vom Volumen V, d.h. p = p( V )
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Adiabate Zustandsänderung - Definition
reversible Adiabate
= Isentrope
= Zustandsänderungen mit konstanter Entropie
Verknüpfung von Druck und Volumen über das Verhältnis der spezifischen Wärmen c p und c v
⇒
Isentropenexponent κ
κ =
c
c
p
v
Isentropengleichung
p
κ κ
2 ⋅ V2
= p1
⋅V1
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Adiabate Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit
Kombination der Isentropengleichung mit der Gasgleichung
W
= − p
⋅V
V12 1 1
κ
⋅
V2
∫
V1
dV
⎡ κ −1
p
⇒ ⎥ ⎥ ⎤
1 ⋅V1
⎛ V ⎞
= ⋅ ⎢ −
⎢
⎜
1
W V
⎟ 1
12
κ −1
⎣⎝V2
⎠ ⎦
bzw.
V
κ
p ⋅ V
= m ⋅ R ⋅T
bzw.
W V 12
=
p
1
⋅V
1
κ −1
⎡
⎢⎛
⋅ ⎢
⎜
⎢⎝
⎣
p
p
2
1
⎞
⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
−1⎥
⎥
⎦
p1
⋅V1
⎡⎛
T ⎞ ⎤
⎢
⎜
2
W V = ⋅
⎟ −1
12 ⎥
κ −1 ⎣⎝
T1
⎠ ⎦
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Adiabate Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm
Kompression Expansion
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Ü 9.4: Adiabate Kompression von Luft
Es ist eine adiabate Kompression von Luft mit κ Luft = 1.4 zu berechnen:
Anfangsbedingungen
T 1 = 25°C
V 1 = 0.83 m³
p 1 = 3.02 bar
Endbedingungen
V 2 = 0.42 m³
gesucht sind
- Druck p 2 ,
- Temperatur T 2 ,
- Volumenänderungsarbeit W V12 ,
- abgeführte Wärmemenge Q 12 ,
- Änderung der inneren Energie U 2 - U 1
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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9.1.5 Polytrope Zustandsänderung
Polytropen im p,V-Diagramm
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Polytrope Zustandsänderung
Beschreibung der Kurvenschar durch Potenzfunktion
p ⋅ V
n
= C = const.
Polytropengleichung (gr. polytrope = die Vielgestaltige)
Exponent n = Polytropenexponent
Alle bisher behandelten Zustandsänderungen lassen sich aus der Polytropengleichung ableiten:
Isochore Zustandsänderung (V = const.): n → ∞
Isobare Zustandsänderung (p = const.): n = 0
Isotherme Zustandsänderung (T = const.): n = 1
Reversibel adiabate = isentrope Zustandsänderung (S = const.):
n =κ =c p
cv
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Polytrope Zustandsänderung - Polytropenexponent
Isentrope (n = κ) und isotherme (n = 1) Zustandsänderung stellen Grenzfälle dar, die sich technisch
nicht bzw. kaum realisieren lassen
Reale Kompressions- und Expansionsvorgänge verlaufen im Bereich zwischen Adiabate und
Isotherme, d.h. 1 < n < κ
Bestimmung von von n aus Anfangs- und Endzustand über Polytropengleichung
n
n
p1 V1
= p2
⋅V2
⋅ ⇒
⎛ p
ln
⎜
⎝ p
n=
⎛ V
ln
⎜
⎝V
2
1
1
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
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Thermodynamik Zustandsänderungen
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Polytrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit W V,12 bei n ≠ 1:
bzw.
bzw.
W
W
V
V
W V
12
12
p1
⋅V1
=
n −1
=
p
1
⋅V
1
n −1
⎡⎛
V
⋅ ⎢
⎜
⎢⎣
⎝V
1
2
⎡
⎢⎛
p
⋅
⎢
⎜
⎢
⎝ p
⎣
⎞
⎟
⎠
2
1
n−1
⎞
⎟
⎠
p1
⋅V1
⎡T2
⎤
= ⋅ ⎢ −1⎥
n −1 ⎣ 1 ⎦
12
T
⎤
−1⎥
⎥⎦
n−1
n
⎤
−1
⎥
⎥
⎥⎦
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Folie 19 von 76

Thermodynamik Zustandsänderungen
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Polytrope Zustandsänderung - Übertragene Wärme Q 12 bei n ≠ 1:
bzw.
bzw.
Q
Q
Q
12
12
12
n − κ p1
⋅V1
⎡T2
⎤
= ⋅ ⋅ ⎢ −1⎥
κ −1 n −1
⎣T1
⎦
n − κ p1
⋅V1
= ⋅
κ −1
n −1
n − κ p1
⋅V1
= ⋅
κ −1
n −1
⎡⎛
V
⋅ ⎢
⎜
⎢⎣
⎝V
1
2
⎡
⎢⎛
p
⋅
⎢
⎜
⎢
⎝ p
⎣
2
1
⎞
⎟
⎠
n−1
⎞
⎟
⎠
n−1
n
⎤
−1⎥
⎥⎦
⎤
−1⎥
⎥
⎥⎦
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Folie 20 von 76

Thermodynamik Zustandsänderungen
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Ü 9-5 Zustandsänderungen
Skizieren Sie vier besondere Zustandsänderungen für ideale Gase und geben Sie dazugehörigen
Zustandsgleichungen an
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Ü 9-6 Isotherme Zustandsänderung
Welcher Zusammenhang besteht bei einer isothermen Zustandsänderung zwischen zu- bzw.
abgeführter Wärme und technischer Arbeit?
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Ü 9-7 Isentrope Zustandsänderung
Wie verhalten sich bei isentroper Zustandsänderung Druck und Temperatur?
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Folie 21 von 76

Thermodynamik Zustandsänderungen
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Ü 9-8 Isentrope Expansion
In einer Preßluftflasche mit V = 40 l befindet sich Luft unter p 1 = 15 MPa bei Umgebungstemperatur von
T = 20°C. Nach dem Öffnen des Ventils sinkt der Druck in der Flasche rasch auf p 2 = 7.5 MPa ab,
anschließend wird das Ventil wieder geschlossen.
Während dem Ausströmvorgang fand kein Wärmeaustausch zwischen Flascheninhalt und Umgebung
statt. Nach dem Schließen erhöht sich der Druck in der Flasche, da sich die Temperatur der
verbleibenden Luft wieder der Umgebungstemperatur angleicht.
a) Welche Temperatur T 2 stellt sich direkt nach dem Ausströmen aus der Flasche ein?
b) Welche Gasmasse strömt aus der Flasche?
c) Welcher Druck stellt sich nach dem Temperaturausgleich mit der Umgebung ein?
d) Welche Gasmasse würde aus der Flasche strömen, wenn der Ausströmvorgang langsam bei
konstanter Temperatur T ∞ = 20°C auf p 2 = 7.5 MPa erfolgen würde?
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Folie 22 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
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9.2 T,s-Diagramm idealer Gase
9.2.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase
Spezifische Entropie bei = 0
⎛ T ⎞
⎜ T ⎟
⎝ 1 ⎠
dv : s( T, v) = cv ⋅ ln⎜
⎟ + s( T1
, v1
)
Wegen
T
c
⎛ ∂T
⎞
⎟
⎠
=
v
⋅⎜
⎝ ∂s
bildet spezifische Wärmekapazität c v Tangente an die Isochore
v
Abstand zweier Isochoren
s
⎛ v
2
( T,
v ) − ( ) = ⋅
⎜
⎟ 2
s T,
v1
R ln
⎝ v1
⎠
⎞
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 23 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm - Isochore Zustandsänderung idealer Gase
Isochoren bilden Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander
überführen lassen
⇒ Temperaturdifferenz T 2 - T 1 für jede Isochore ergibt gleiche Differenz der inneren Energie u 2 - u 1
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Folie 24 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm - Isochore Zustandsänderung idealer Gase
Fläche unter der Kurve 1-2 repräsentiert nicht nur die Summe aus übertragener Wärme q 12 und
dissipierter Arbeit w D,12 sondern entspricht auch der Änderung der inneren Energie u 2 - u 1
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Folie 25 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
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9.2.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase
Spezifische Entropie bei dp = 0 :
⎛ T ⎞
s
p ⎜ +
T ⎟
⎝ 1 ⎠
( T, p) = c ⋅ ln⎜
⎟ s( T , p )
1
1
Wegen
T
⎛ ∂T
⎞
⎟
⎠
= c
p
⋅⎜
⎝ ∂s
bildet die spezifische Wärmekapazität c p eine Tangente an die Isobare
p
Abstand zweier Isobaren
s
2
( T,
p ) − ( ) = − ⋅
⎜
⎟ 2
s T,
p1
R ln
⎝ p1
⎠
⎛
p
⎞
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Folie 26 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm - Isobare Zustandsänderung idealer Gase
Isobaren bilden Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander
überführen lassen
⇒ Temperaturdifferenz T 2 - T 1 für jede Isobare ergibt gleiche Differenz der Enthalpie h 2 - h 1
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Folie 27 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm - Isobare Zustandsänderung idealer Gase
Volumenänderungsarbeit bei ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz = u − u − ( h − )
w V 12 2 1 2
h1
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Folie 28 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
9.2.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase
Ideale Gasen: Innere Energie ist eine reine Temperaturfunktion
du = cv
⋅ dT =0
⇒
Isothermen bilden im T,s-Diagramm eine Schar abszissenparalleler Geraden
Zusätzlich:
Isothermen sind sie identisch mit den Kurven konstanter Enthalpie (Isenthalpen)
dh = c
p
⋅ dT = 0
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Folie 29 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm - Isotherme Zustandsänderung idealer Gase
Reversible Prozesse:
Fläche unter der Isotherme entspricht der über die Systemgrenze transportierten Wärme q 12
Irreversiblen Prozesse
Fläche unter der Isotherme entspricht der Summe aus übertragener Wärme q 12 und dissipierter
Energie w D,12
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Folie 30 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
9.2.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase
Senkrechte Linie T,s-Diagramm, ds = 0
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Folie 31 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm - Isentrope Zustandsänderung idealer Gase
Isentrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit w v 12
= u2
− u1
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Folie 32 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm - Isentrope Zustandsänderung idealer Gase
Isentrope Zustandsänderung - Spezifische Strömungsarbeit y12 = h2
− h1
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Folie 33 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
9.2.5 Polytrope Zustandsänderung
Volumenänderungsarbeit
Strömungsarbeit
Innere Energie u 1 -u 2 a-b-1-d-a Enthalpie h 2 -h 1 a-b-1-d-a
Wärme + Dissipation q 12 +w D,12 b-c-2-1-b Wärme + Dissipation q 12 +w D,12 b-c-2-1-b
Volumenänderungsarbeit -w V,12 a-c-2-1-d-a Strömungsarbeit -y 12 a-c-2-1-d-a
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Folie 34 von 76

Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen
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9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen
9.3.1 Adiabate Systeme
Kennzeichen adiabater Systeme
- Kein Austausch von Energie in Form von Wärme mit der Umgebung, d.h. q 12 = 0
- Fläche unter der Kurve der Zustandsänderung entspricht der Dissipationsenergie w D
- Bei adiabat-reversiblen Zustandsänderungen (=isentrop) verschwindet diese Fläche, da
⇒
keine Dissipationsarbeit geleistet wird
Kurve der Zustandsänderung wird zur senkrechten Linie
Vereinfachung für Strömungsmaschinen
Hohe Strömungsgeschwindigkeit ⇒
an das System kann vernachlässigt werden
⇒
übertragene Wärme von dem Arbeitsmedium (Gas, Dampf)
Kolben- und Turbomaschinen können näherungsweise als adiabate Systeme betrachtet werden
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Folie 35 von 76

Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen
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Geschlossene Systeme
Adiabate Expansion und adiabate Kompression in einem geschlossenen System
Kompression von p 1 auf p 2
⇒ Innere Energie = Volumenänderungsarbeit w V,12 und dissipierte Arbeit w D,12
u
2
− u
1
= w
V , 12
+ w
D, 12
=
2
∫
p ⋅ dv +
123
1
Irreversible adiabate Kompression
, 12
2
∫
w V w
T ⋅ ds
123
1
D , 12
⇒ Spezifische Volumenänderungsarbeit w V,12 > 0 (dem System wird Arbeit zugeführt)
w
= u
− u
− w
V , 12 2 1 D,
12
Irreversible adiabate Expansion
⇒ Spezifische Volumenänderungsarbeit w V,12 < 0 (dem System wird Arbeit entzogen)
− w = −( u − u ) + w
V , 12 2 1 D,
12
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Folie 36 von 76

Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen
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Spezifische innerer Energie, Volumenänderungsarbeit und Dissipationsarbeit
Geschlossenes adiabates System Expansion Kompression
Innere Energie u 1 -u 2 a-b-1-d-a u 2 -u 1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isochore
Dissipationsenergie w D,12 b-c-2-1-b w D,12 b-c-2-1-b Fläche unter der Adiabate
Volumenänderungsarbeit
-w V,12 a-c-2-1-d-a w V,12 a-b-1-2-d-a
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Folie 37 von 76

Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen
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Offene Systeme
Vereinfachungen des ersten Hauptsatzes für stationäre Fließprozesse, d.h.
- keine Änderung der kinetischen Energie
- keine Änderung der potentiellen Energie
1
14243 2
2 2
q
( ) ( )
{ 12 + wt , 12 = h2
− h1
+ ⋅ c2
− c1
+ g ⋅ z2
− z1
= 0
adiabat
⇒ w t,
12 = h2
− h1
= 0
kinetische Energie
14243
= 0
potentielle Energie
Definition für die spezifische Strömungsarbeit y 12 , (Arbeit am bewegten Fluidelement)
y
∫
v ⋅
2
12 = dp
1
⇒ Technische Arbeit w t,12 = Summe aus Strömungsarbeit y 12 und dissipierter Arbeit w D,12
w = y + w
t,
12 12 D,
12
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Folie 38 von 76

Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen
_________________________________________________________________________________________________________
Spezifische Enthalpie, dissipierte Arbeit und Strömungsarbeit
Offenes adiabates System Expansion Kompression
Enthalpie h 1 -h 2 a-b-1-d-a h 2 -h 1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isobare
Dissipationsenergie w D,12 b-c-2-1-b w D,12 b-c-2-1-b Fläche unter der Adiabate
Strömungsarbeit -y 12 a-c-2-1-d-a y 12 a-b-1-2-d-a
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Folie 39 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
9.3.2 Wärme und Arbeit bei reversiblen und irreversiblen Prozessen
Reversible Prozesse
Keine Dissipationsarbeit w D , d.h. Änderung der spezifische Entropie s ist der zu- bzw. abgeführten
Wärme dq proportional und die absolute Temperatur T stellt den Proportionalitätsfaktor dar
dq = T ⋅ ds bzw.
q =
∫T
⋅
2
12 ds
1
Irreversible Prozesse
Spezifische Entropie s ist proportional der Summe der spezifischen Wärme q und der spezifischen
dissipierten Arbeit w D
dq + dwD = T ⋅ ds bzw.
q + wD
=
∫T
⋅ ds
12 12
2
1
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Folie 40 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase
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Verlauf der Temperatur T(s) als Funktion der Entropie s bei reversibler Prozeßführung von (1) → (2)
Wärmezufuhr zum System Wärmeabfuhr aus dem System
Bei Zustandsänderungen werden nur Entropiedifferenzen betrachtet
⇒
Nullpunkt der Entropie kann willkürlich festgelegt werden
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Folie 41 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase
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Nullpunkte für Entropiewerte, z.B. in Dampftafeln von Wasser, sind in der Regel auf den Trippelpunkt
bezogen
Tatsächlicher Nullpunkt der Entropie liegt beim absoluten Nullpunkt, d.h. bei T = 0 K.
Dritter Hauptsatzes der Thermodynamik
Die Entropie eines jeden reinen Stoffes nimmt im absoluten Nullpunkt der Temperatur den Wert Null
an (Nernst'sches Wärmetheorem).
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 42 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
Irreversible Prozesse
Fläche unter der Zustandskurve setzt sich aus zwei Anteilen zusammen
- übertrage Wärme q 12
- dissipierte Arbeit w D12
dq + dw
dq 12 + dw 12
dw D
w D12
Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b) adiabat
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 43 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
Irreversible Prozesse
⇒
⇒
Verlauf der Zustandskurve nur bei Wärmezufuhr eindeutig, da beide Anteile positiv
Entropiezuwachs infolge Wärmezufuhr, Zustandsänderung verläuft von links nach rechts
Wärmeentzug
⇒ Richtung der Zustandsänderung hängt von dem Verhältnis der abgeführten Wärme q 12 zu der
dissipierten Energie w D ab
w D > q 12
⇒
Zustandsänderung verläuft trotz Wärmeentzug von links nach rechts, d.h. Entropie nimmt zu
w D < q 12
⇒
Zustandskurve verläuft von rechts nach links, d.h. Entropie wird verringert
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 44 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
9.4 T,s-Diagramm realer Gase
Beispiel: T,s-Diagramm für Wasserdampf
Flüssige Phase, links neben der Siedelinie
⇒
Isobaren liegen relativ dicht nebeneinander und sind fast nicht voneinander zu unterscheiden
Naßdampfgebiet, begrenzt durch Siedelinie (x = 0) und der Taulinie (x = 1)
⇒ Isobaren fallen mit den Isothermen zusammen und bilden eine horizontale Geradenschar
⇒ Isovaporen = Kurven gleichen Dampfgehalts
Gasphase, Gebiet des trockenen überhitzten Dampfes
⇒
Isothermen und Isobaren verlaufen getrennt
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 45 von 76

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase
_________________________________________________________________________________________________________
T,s-Diagramm für Wasserdampf
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 46 von 76

Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
9.5 Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm)
T,s-Diagramm
- Temperatur-Entropie-Diagramm
- Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie werden durch Flächen dargestellt
h,s-Diagramm oder Mollier-Diagramm
- Enthalpie-Entropie-Diagramm geht auf den Physiker H. Mollier (1863-1935) zurück
- Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie werden durch Strecken dargestellt
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 47 von 76

Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Bsp. h,s-Diagramm:
Zustandsänderungen für ein stationär durchströmtes System
1-2: Adiabate (q 12 = 0) Verdichtung von p 1 auf p 2 ,
Enthalpiedifferenz entspricht der zugeführten
technischen Arbeit w t12
w t
12
= h
2
− h
1
2-3: Isobare reversible Wärmezufuhr auf p = p 2 , es
wird keine technische Arbeit geleistet (w t12 = 0)
q
23 = h3
− h2
3-4: Fluid expandiert adiabat von p 3 auf p 4 .
Enthalpiedifferenz entspricht der abgegebenen
technischen Arbeit w t34 .
w t
34
= h
4
− h
3
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 48 von 76

Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Ideale Gase
h,s-Diagramm ergibt sich direkt aus dem T,s-Diagramm durch Multiplikation der Temperatur T mit der
spezifischen Wärmekapazität c p
h = c
p
⋅T
+ C
Bei Zustandsänderungen sind lediglich Enthalpiedifferenzen h2 − h1
von Interesse
⇒
⇒
Unbestimmte Konstante C ist ohne praktische Bedeutung,
Konstante C kann vernachlässigt werden
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 49 von 76

Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Reale Gase
- Isenthalpen (h = const.) und Isentropen (s = const.)
sind Scharen horizontaler bzw. vertikaler Geraden
- Isothermen (T = const.) fallen im Naßdampfgebiet
mit den Isobaren (p = const.) zusammen
- Steigung der Isothermen nimmt im Gebiet der
Gasphase stetig ab und verlaufen mit wachsender
Entropie zunehmend waagerecht.
In diesem Bereich nähert sich das Verhalten des
Wasserdampfes dem Verhalten des idealen Gases;
Isotherme und Isenthalpe fallen zusammen.
h,s-Diagramms für Wasserdampf
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 50 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
9.6 Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
9.6.1 Relative Feuchte
Wasser kann in Luft in allen drei Aggregatsformen enthalten sein, Phasenänderungen möglich
Feuchte Luft
Gemisch aus Luft und Wasser in der Dampfphase
Luftdruck p ergibt sich als Summe der Partialdrücke der Luft p L und des Wasserdampfes p D
p = p L
+ p D
Aufnahmevermögen der Luft
Partialdruck des Wasserdampfs p D muß kleiner sein als der Sättigungsdruck p DS ,
p
D
<
p
DS
( T )
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 51 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Relative Feuchte ϕ
Beschreibt das Verhältnis von Partialdruck p D zu Sättigungsdruck p DS , welches dem Dichteverhältnis
des Wasserdampfes in ungesättigter zu gesättigter Luft entspricht
p
D
ϕ = =
p
DS
ρ
ρ
D
DS
Anwendung
Korrektur der spezifischen Gaskonstanten von trockener Luft
R
f
=
ϕ ⋅ p
1−
p
DS
R
L
⎛ ⋅ ⎜1
−
⎝
R
R
t
D
287.05
=
⎞
ϕ ⋅ p
− ⋅
⎟ 1 0.378
⎠
p
mit
R L = 287.05 [J/kg⋅K] trockener Luft
R D = 461.51 [J/kg⋅K] Wasserdampf
DS
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 52 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Magnus-Formel
Nährungsformel zur Bestimmung des Sättigungsdampfdrucks p DS (-30°C < T < +70°C)
p
DS
17.5043⋅T
241. 2
= 611 .213⋅
e
+ T
[ Pa]
Genauere Werte liefern die Dampftafeln von Wasser, z.B. Tab. 14.4 oder Tab. 14.5
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 53 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
9.6.2 Feuchtegrad und Sättigungsgrad
Feuchtegrad x oder die absolute Feuchte
beschreibt das Massenverhältnis von Wasserdampf und Luft
x
m
D L D
= = = 0 . 622
m
L
R
R
D
⋅
⋅
p
p
L
⋅
p
p −
D
p
D
Maximaler Feuchtegrad
wird bei dem Sättigungsdampfdruck p DS erreicht, d.h.
p =
D
p
DS
x
S
= 0 . 622 ⋅
p
p −
DS
p
DS
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 54 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Zustandsformen in Abhängigkeit vom Feuchtegrad x
- Ungesättigte Luft: x < x S (überhitzter Dampf)
- Gesättigte Luft: x = x S (Sattdampf)
- Übersättigte Luft: x > x S (Naßdampf = Nebel)
Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C)
⇒
Bildung eines Gemischs aus Sattdampf und Eis (Eisnebel)
Sättigungsgrad ψ
beschreibt das Verhältnis von Feuchtegrad der Luft x zum Feuchtgrad der gesättigten Luft x S
x
ψ = bzw.
x S
ψ
p
D
DS
= ⋅ = ϕ ⋅
p
DS
p −
p −
p
p
D
p −
p −
p
p
DS
D
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 55 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
9.6.3 Zustandsgrößen feuchter Luft
Enthalpie
Enthalpie feuchter Luft bestimmt sich analog zur Berechnung der Enthalpie von Dämpfen
ungesättigte feuchte Luft
h = h
+ x ⋅
L
h D
gesättigte feuchte Luft
h = h
L
+
x
S
⋅ h
D
Übersättigte feuchte Luft im Nebelgebiet
h = h
L
+ x
S
⋅ h
D
+
( x − xS
) ⋅ hF
mit
h F
spezifische Enthalpie des flüssigen Wassers
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 56 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Für Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C), im Eisnebelgebiet gilt
L
S
D
( x − xS
) ⋅ hE
h = h + x ⋅ h +
h E = spez. Enthalpie von Eis
Allgemein
Spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft
( x
) D
⋅ c
pD
+ xF
⋅ c
pF
+ xE
⋅ c
pE
⋅T
+ xD
⋅ ΔhV
+ xD
⋅ Δ
14243
142
43 hS
h′=
c
pL
⋅T
+
123 144444
244444
3
Luft
Wasser in der entsprechenden Phase
Verdampfungsenthalpie
Schmelzenthalpie
Mit h 0 = 0 bei T = 0°C , d.h. Prozesse unter 0°C werden durch negative Enthalpien beschrieben
h′ − h ( ) ( ) ( )
⇒
0
= c
pL
⋅ T − T0
+ xD
⋅ c
pD
+ xF
⋅ c
pF
+ xE
⋅ c
pE
⋅ T − T0
14243
Luft
+
144444 44 24444444
3
Wasser in der entsprechenden Phase
xD
⋅ ΔhV
14243
Verdampfungsenthalpie
+
xD
⋅ ΔhS
14243
Schmelzenthalpie
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 57 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft
Mit
c pL
c pD
c pF
c pE
[ kJ kg ⋅ K ]
[ kJ kg ⋅ K]
[ kJ kg ⋅ K ]
[ kJ kg ⋅ K ]
[ kJ kg]
[ kJ kg]
= 1 . 004
spez. Wärmekapazität von Luft bei p = const. (-30°C bis +50°C)
= . 86
1 spez. Wärmekapazität von Wasserdampf bei p = const.
= . 19
4 spez. Wärmekapazität von flüssigem Wasser bei p = const.
= . 07
2 spez. Wärmekapazität von Eis p = const.
Δ h V
= 2500
Verdampfungsenthalpie von Wasser
Δ h S
= − 333. 4
Schmelzenthalpie von Eis
folgt für die spez. Enthalpie h’ mit T [°C]
( 1 .004 + 1.86⋅
xD
+ 4.19⋅
xF
+ 2.07 ⋅ xE
) ⋅T
+ 2500⋅
xD
− 333. ⋅ xD
h′ =
4
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 58 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Dichte und spezifisches Volumen feuchter Luft
Zustandsgleichung für feuchte Luft
p ⋅ V = p
L
⋅V
+
⇒ V = mL
⋅ ( 0 . 622 + x)
p
D
⋅V
=
⋅
R
⎛ R
⎜
⎝ R
L D
( m ⋅ R + m ⋅ R ) ⋅T
= m ⋅ R ⋅⎜
+ ⎟ ⋅T
D
p
L
⋅T
L
D
D
L
D
D
m
m
L
⎞
⎟
⎠
Spezifisches Volumen
V V V
v = =
=
mL + mD
mL
+ x ⋅ mL
mL
⋅ +
( 1 x)
0. 622 + x RD ⋅T
⇒ v = ⋅ 1 + x p
Dichte
( 1 x)
mL + mD
mL
+ x ⋅ mL
mL
⋅ +
1+
x p
ρ = = =
⇒ ρ = ⋅
V V V
0.
622 + x R T
D ⋅
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 59 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Dichte und spezifisches Volumen übersättigter feuchte Luft
Spezifisches Volumen
0.622 +
v =
1+
x
x
S
⋅
R
D
p
⋅T
Dichte
1+
x
ρ = 0.
622 +
x
S
⋅
p
R ⋅T
D
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 60 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
9.6.4 Feuchte Luft in Diagrammform (Mollier, 1923)
Voraussetzung: Konstanter Druck der feuchten Luft, Druckänderung ⇒
Verschiebung der Kurven
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 61 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Konstruktionsprinzip des h,x-Diagramms für feuchte Luft
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 62 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Trocknung feuchter Luft - Reduzierung der absoluten Feuchte x
(1) - (2): Abkühlung bei x = x + x const.
DS F
=
Sättigungslinie wird in das Nebelgebiet
unterschritten
(2) - (3): Entnahme des flüssigen Wassers
bei konstanter Temperatur
Im Punkt (3) gilt x = , ϕ = 1
x DS
(3) – (4): Erwärmung der feuchten Luft auf
die Ausgangstemperatur T 1
Im Punkt (4) gilt x
4
< x1, ϕ
4
< ϕ1
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 63 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur
Anwendung
Klimaanlagen, Zuführen von Außenluft zur Raumluft
m 1 , h 1 ’, T 1 , x 1
m 3 , h 3 ’, T 3 , x 3
m 2 , h 2 ’, T 2 , x 2
Mischung von zwei Luftmassen
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 64 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur
Massebilanz der Luft
m = m + m
L3 L1
L2
Massebilanz des Wassers
m = m + m
W 3 W1
W 2
mit
x = m m W L bzw. x & = m&
m&
W L folgt für die Enthalpiebilanz
m&
′ ′ ′
⋅ h3
= m&
1
⋅ h1
+ m&
L
L2
⋅
2
L 3
h
′ m&
h =
3
L1
′
⋅ h1
+ m&
m&
L3
L2
⋅ h
2
′
m&
=
L1
′
⋅ h1
m&
L1
+ m&
+ m&
L2
L2
⋅ h
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 65 von 76
2
′ m&
′ h1
+
m&
=
m&
1+
m&
L2
L1
L2
L1

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur
m&
m&
L2
L1
′
h1
=
′
h
3
′
− h3
′
− h
2
=
x
x
1
3
− x
− x
3
2
Proportionalität zwischen den spezifischen
Enthalpien und den absoluten Feuchten
⇒ Mischvorgang verläuft im h,x-Diagramm
auf einer Geraden parallel zwischen den
Ausgangsmasseströmen
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 66 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Nebelbildung
Trifft eine Luftmasse vom Zustand (a) auf eine
Luftmasse vom Zustand (b), so wird sich ein
Endzustand einstellen, der auf einer Geraden
zwischen den beiden Punkten liegt; in diesem
Fall im ungesättigten Gebiet
⇒ Nebelbildung ist ausgeschlossen
Trifft jedoch die kalte, ungesättigt Luftmasse
vom Zustand (c) auf die wärmere Luftmasse
vom Zustand (a), so stellt sich ein Endzustand
ein, der je nach Masseanteilen die Sattdampflinie
unterschreiten kann
⇒ Nebelbildung ist möglich
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 67 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Ü 9.9 Wasser-Naßdampf
In einem geschlossenen Behälter mit V = 1 m³ befindet sich Wasser-Naßdampf mit einem
Dampfanteil von 60% bei einem Druck von p = 5 MPa.
Zu berechnen sind
a) das spezifische Volumen v des Naßdampfes
b) Masse m des Naßdampfes und des flüssigen Wassers m W
c) Spezifische Enthalpie h des Naßdampfes
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 68 von 76

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
_________________________________________________________________________________________________________
Ü 9.10
Klimaanlage
In einem Raum beträgt die Lufttemperatur T = 20°C und die relative Feuchte ϕ = 80%. Durch Kühlung
der Luft bei konstanter absoluter Feuchte x sinkt die spez. Enthalpie um Δh = 20 [kJ/kg trockene Luft],
ein Teil des Wassers kondensiert und wird abgeschieden. Anschließend wird die Luft wieder auf T =
20°C erwärmt.
a) Wieviel Wasser wurde bei welcher Temperatur entfernt?
b) Wieviel Energie ist erforderlich, um die Luft wieder auf T = 20°C zu erwärmen?
c) Auf welchen Wert wird die absolute Feuchte x reduziert?
d) Welchen Wert nimmt die relative Feuchte ϕ an?
_________________________________________________________________________________________________________
Folie 69 von 76

Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen
__________________________________________________________________________________________________________
9.7 Zusammenfassung der Zustandsänderungen
Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop
Bedingung dV = 0
ΔV = 0
dp = 0
Δp = 0
dT = 0
ΔT = 0
dQ = 0
ΔQ = 0
1. Hauptsatz dQ = dU dQ = dU + dW dQ = dW 0 = dU + dW
Q = ΔU Q = ΔU + W Q = W 0 = ΔU + W
0 = dU + dW
0 = ΔU + W
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 70 von 76

Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen
__________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 71 von 76
Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop
Beziehungen zwischen
p, T, V
const.
T
p
T
T
p
p
=
=
2
1
2
1
const.
T
V
V
V
T
T
=
=
2
1
2
1
const.
V
p
V
V
p
p
=
⋅
=
1
2
2
1
const.
p
T
p
p
T
T
const.
V
T
V
V
T
T
const.
V
p
V
V
p
p
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
−
−
−
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
const.
p
T
p
p
T
T
const.
V
T
V
V
T
T
const.
V
p
V
V
p
p
n
n
n
n
n
n
n
n
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
−
−
−
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1

Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen
__________________________________________________________________________________________________________
Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop
Wärmeenergie dQ = c v ⋅m⋅dT dQ = c p ⋅m⋅dT dQ = dW
Q = c v ⋅m⋅(T 2 - T 1 ) Q = c p ⋅m⋅(T 2 - T 1 )
Q = W
dQ = 0 dQ =
Q = 0
Q =
c
c
v
v
n −κ
⋅ m ⋅ ⋅ dT
n −1
n −κ
⋅ m ⋅ ⋅
n −1
( T −T
)
1
2
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 72 von 76

Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen
__________________________________________________________________________________________________________
Zustandsänderung
Arbeit dW = 0
isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop
W = 0
dW = p⋅dV
W = p ⋅
W = m ⋅
( V2
−V1
)
R ⋅( T − T )
2
1
dW = p ⋅ dV
⎛V
⎞
⎜
2
W = m ⋅ R ⋅T
⋅ln
⎟
⎝ V1
⎠
⎛ p ⎞
⎜
1
W = m ⋅ R ⋅T
⋅ln
⎟
⎝ p2
⎠
⎛V
⎞
= ⋅ ⋅
⎜
2
W p1
V1
ln
⎟
⎝ V1
⎠
⎛ p ⎞
= ⋅ ⋅
⎜
1
W p1
V1
ln
⎟
⎝ p2
⎠
⎛V
⎞
= ⋅ ⋅
⎜
2
W p2
V2
ln
⎟
⎝ V1
⎠
⎛ p ⎞
= ⋅ ⋅
⎜
1
W p2
V2
ln
⎟
⎝ p2
⎠
dW = − dU
dW = − c
m ⋅ R
W = ⋅
κ −1
Δ U
W = ⋅ ( T1
− T2
)
c ⋅ m ⋅ ( T − T )
n −1
( T − T )
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 73 von 76
W
W
= −
=
−
v
v
⋅ m ⋅ dT
1
1
2
2
m ⋅ R
dW = ⋅ dT
n −1
m ⋅ R

Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen
__________________________________________________________________________________________________________
Zustandsänderung
Änderung
der
inneren
Energie
Änderung
der
Entropie
isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop
dU = c v ⋅m⋅dT
U = c v ⋅m⋅(T 2 - T 1 )
dS = c
dS = c
v
v
ΔS
= c
ΔS
= c
v
v
dT
⋅ m ⋅
T
dp
⋅ m ⋅
p
⎛ T
⎜
2
⋅ m ⋅ln
⎝ T1
⎛ p
⋅ m ⋅ln
⎜
⎝ p
2
1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
dU = c v ⋅m⋅dT
U = c v ⋅m⋅(T 2 - T 1 )
dS = c
dS = c
ΔS
= c
ΔS
= c
p
p
p
p
dT
⋅ m ⋅
T
dV
⋅ m ⋅
V
⎛ T
⋅ m ⋅ln
⎜
⎝ T
⎛V
⋅ m ⋅ln
⎜
⎝ V
2
1
2
1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
dU = 0
dU = cv
⋅ m ⋅ dT = − dW dU = cv
⋅ m ⋅ dT
Δ U = 0
Δ U = cv
⋅ m ⋅ ( T2
− T1
) ΔU
= cv
⋅ m ⋅ ( T 2 − T1
ΔU
= −W
dV
dS = m ⋅ R ⋅
V
dp
dS = − m ⋅ R ⋅
p
⎛V
⎞
⎜
2
ΔS
= m ⋅ R ⋅ln
⎟
⎝ V1
⎠
⎛ p
ΔS
= − m ⋅ R ⋅ln
⎜
⎝ p
1
2
⎞
⎟
⎠
m ⋅ R
ΔU
= ⋅
κ −1
dS = 0
Δ S = 0
( T − T )
2
1
dS =
κ − n dT
cv
⋅ m ⋅ ⋅
n −1
T
ΔS
=
c
v
κ − n ⎛ T
⋅ m ⋅ ⋅ln
⎜
n −1
⎝ T
2
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Folie 74 von 76

Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen
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Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop
p,V-Diagramm
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Folie 75 von 76