Die Ableitung und Elastizität von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

368 Mathematik für WirtschaftswissenschaftlerDies ist eine weitere Eigenschaft, welche die natürliche Exponentialfunktion und damitdie natürliche Basis e auszeichnet: Bis auf einen konstanten Faktor ist exp die einzigeFunktion, die ihre eigene Ableitungsfunktion ist. Man kann das Ergebnis auch aus derExponentialreihe e x = 1 + 1 1! x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + . . . herleiten, indem man sie Glied für Glieddifferenziert: Das Ergebnis ist 0 + 1 1! 1 + 1 2! 2x + 1 3! 3x2 + 1 4! 4x3 + . . . = 1 + 1 1! x + 1 2! x2 +13! x3 + . . . = e x . Das Vorgehen kann mit einigem mathematischen Aufwand gerechtfertigtwerden und zeigt, dass man bei der Suche nach einer Funktion in Form einer Potenzreihef(x) = c 0 +c 1 x+c 2 x 2 +c 3 x 3 +. . ., die f = f ′ erfüllt, automatisch auf die Exponentialreihegeführt wird.Für eine allgemeine Exponentialfunktion a x mit Basis 0 < a ≠ 1 können wir die Differenzenquotientenschreiben 1 h [ah+x − a x ] = a x 1 h [ah − 1] = a x 1 k [ek − 1] ln a mit k := h ln a,und da mit h auch k gegen Null geht sowie 1 k [ek − 1] gegen die Ableitung der natürlichenExponentialfunktion an der Stelle 0, also gegen e 0 = 1, erhalten wir als Limes den Werta x ln a. Damit ist die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion berechnet:ddx ax = a x · ln a für x ∈ R und a > 0 ,was auch für a = 1, also a x = 1 konstant und ln a = 0 , richtig ist.• Man differenziert eine Exponentialfunktion, indem man sie mit dem natürlichenLogarithmus der Basis multipliziert.Da ln a = 1 nur für a = e gilt, sehen wir, dass die natürliche Exponentialfunktion dieeinzige ist, die Steigung 1 an der Stelle x = 0 hat; dies ist eine weitere Eigenschaft, welchedie natürliche Basis besonders auszeichnet.Für Exponentialfunktionen der Form e ct = (e c ) t lautet die Ableitungsformelddt ect = c · e ct .Die Ableitung einer solchen Funktion ist also proportional zu der abgeleiteten Funktionmit Proportionalitätsfaktor c ; derselbe Zusammenhang zwischen f und f ′ besteht dannauch bei Vielfachen de ct der Funktion e ct . Ein solches Gesetz f ′ (t) = cf(t) ist grundlegendfür ungehemmte kontinuierliche Wachstums- oder Zerfallsprozesse, bei denen die Änderungeines “Bestandes” f(t) zu jedem Zeitpunkt t proportional zur aktuellen Größe desBestandes ist. Ein Beispiel ist die Kapitalentwicklung bei kontinuierlicher Verzinsung einesAnfangskapitals K 0 , welche bei Jahreszinsfuß p% gegeben ist durch K(t) = K 0 e pt/100(siehe 1.3 ). Hier wächst der Bestand, weil der Proportionalitätsfaktor c = 1 p positiv ist100(und der Anfangswert K 0 auch). Zerfallsprozesse dagegen, wie z.B. radioaktiver Zerfalleiner Substanz oder Ähnliches, werden beschrieben durch Funktionen f(t) = de −ct mitc > 0 und erfüllen f ′ = −c · f mit negativem Proportionaltätsfaktor −c .6) Für die natürliche Logarithmusfunktion kann man die Differenzenquotienten zuStellen x 0 = ln y 0 und x = ln y schreiben (ln x − ln x 0 )/(x − x 0 ) = (y − y 0 )/(e y − e y 0) .Das Reziproke des letzten Quotienten strebt gemäß 5) gegen e y 0= x 0 bei y → y 0 . Da dieLogarithmusfunktion stetig ist, strebt mit x → x 0 aber auch y gegen y 0 , und damit dieDifferenzenquotienten der Logarithmusfunktion gegen 1/x 0 . Also ist 1/x 0 die Ableitungvon ln x an der Stelle x 0 , und da x 0 hier eine beliebige Stelle in R >0 ist, haben wir für dieAbleitung der natürlichen Logarithmusfunktion gezeigt:ddx ln x = 1 xfür x ∈ R >0 .