Die Ableitung und Elastizität von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

370 Mathematik für WirtschaftswissenschaftlerFür die partiellen Ableitungen der auf dem Taschenrechner vorhandenen Funktion x y vonzwei Variablen x ∈ R >0 und y ∈ R ergibt sich∂∂x xy = yx y−1 = x y xy ,∂∂y xy = x y ln x ,weil bei der Ableitung nach x (bei konstantem y) eine Potenzfunktion, bei der Ableitungnach y (bei festem x) aber eine Exponentialfunktion zu differenzieren ist.9) Einige Ableitungen höherer Ordnung können wir nun auch schon leicht berechnen:d 2dx 2 xs = ddx sxs−1 = s(s − 1)x s−2und allgemeind mdx m xs = s(s − 1) · . . . · (s − m + 1) · x s−m .Dies gilt für x > 0, im Falle eines ganzen Exponenten aber auch für x ≠ 0 und im Fallenatürlicher Exponenten sogar für alle x ∈ R . Insbesondere haben wir alsod mdx m xn =⎧⎪⎨⎪⎩Wegen d ln x = 1/x folgt auchdxd mdx m ln x =n!(n − m)! xn−m für m < nn! konstant für m = n0 konstant für m > n( n ∈ N 0 ) .dm−1dx m−1 x−1 = (−1)(−2) · . . . · (1−m)x −m = (−1) m−1 (m−1)! 1x m .Für die natürliche Exponentialfunktion ist die Ableitung erster Ordnung die Funktionselbst, und das gilt dann auch für alle folgenden Ableitungen:d mdx m ex = e x für alle m ∈ N .Für allgemeine Exponentialfunktionen a x = e cx (mit a > 0 und c = ln a ) folgt mitddx ecx = c · e cx dannd mdx m ecx = c m e cx , d mdx m ax = (ln a) m a x .Weil die Kreisfunktion sin als Ableitung cos hat und cos als Ableitung − sin, ist − sin diezweite Ableitung von sin und ebenso − cos die zweite Ableitung von cos . Diese beidenFunktionen lösen also die Differentialgleichung f ′′ = −f, und darin besteht z.B. ihreBedeutung in der Physik. (Sie beschreiben Schwingungsvorgänge, bei denen die wirkendeGegenkraft zur Auslenkung proportional ist.) Die Ableitungen höherer Ordnung ergebensich daraus dann auch sofort: Es ist sin (m) = sin, cos, − sin bzw. − cos , wenn m mit Rest0, 1, 2 bzw. 3 durch 4 teilbar ist, und dasselbe gilt, wenn man sin durch cos und cos durch− sin ersetzt.10) Partielle Ableitungen höherer Ordnung erklärt man durch wiederholte Ableitungnach derselben oder auch nach verschiedenen Variablen. Mit einer Notation, die sichnun von selbst erklärt, gilt dann zum Beispiel: