Die Ableitung und ElastizitÃ¤t von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

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378 Mathematik für WirtschaftswissenschaftlerMan erkennt, dass die Ableitung wieder eine rationale Funktion ist. Im Unterschied zurDifferentiation von Polynomfunktionen, die den Grad erniedrigt und so die Funktion durchAbleiten “einfacher” macht, erhöhen sich aber beim Ableiten von rationalen Funktionenleider im Allgemeinen der Nennergrad und der Zählergrad, so dass die abgeleitete Funktioneine “kompliziertere” rationale Funktion ist als die ursprüngliche. (Das ist besondersunangenehm, wenn man mehr als einmal ableiten will.) Genauer gilt offenbar:• Rationale Funktionen p/q sind differenzierbar an den Stellen, wo das Nennerpolynomnicht verschwindet; hat p den Grad m und q den Grad n, so lässt sich dieAbleitung (p/q) ′ als Quotient eines Polynoms vom Grad ≤ m+n−1 und des Polynomsq 2 vom Grad 2n darstellen.Unter Umständen lässt sich die Darstellung der Ableitung durch Kürzen noch vereinfachen(z.B. immer, wenn q Nullstellen der Ordnung ≥ 2 hat, weil diese auch Nullstellen von q ′sind, wie man zeigen kann). Wenn m = n ist, also p und q denselben Grad haben, so hebensich außerdem im Zähler qp ′ − pq ′ die Terme mit x 2n−1 heraus, so dass der Zählergradecht kleiner ist als 2n − 1. Gebrochen-lineare Funktionen (m = 1 = n) haben z.B. alsAbleitung immer das Reziproke eines quadratischen Polynoms, wenn sie nicht linear sindund somit konstante Ableitung haben.11) Ableitung von Stückfunktionen / Durchschnittsfunktionen: Ist F (x) eine fürx>0 definierte Funktion, so heißt f(x) := F (x)/x die zu F gehörige Stückfunktion oderDurchschnittsfunktion. Wir kennen das schon vom Beispiel einer Kostenfunktion K(x) ,wo k(x) = K(x)/x die Stückkosten angibt, also die Durchschnittskosten, die pro Einheitbei der Produktion von insgesamt x Einheiten entstehen. Die Stückfunktion wird oft auchmit einem Querstrich bezeichnet, d.h. man schreibt h(x) := h(x)/x für die Stückfunktionzu einer gegebenen Funktion h(x) . Für die Grenzstückfunktion, also die Ableitung derStückfunktion, gilt gemäß der Quotientenregel:f ′ (x) = d F (x)dx x= xF ′ (x) − F (x) · 1x 2= F ′ (x)x− F (x)x 2= F ′ (x) − f(x)x.Man kann das Ergebnis im wirtschaftswissenschaftlichen Jargon (nicht ganz ernst gemeint)so formulieren und — wichtiger — eine Folgerung über das Monotonieverhaltender Stückfunktion ziehen:• Die Grenzstückfunktion ist die Durchschnittsfunktion zur Differenz der Grenzfunktionund ihrer Stückfunktion.• In Bereichen, in denen die Grenzfunktion F ′ größer ist als die Stückfunktion f istdie Grenzstückfunktion positiv, die Stückfunktion also wachsend; in Bereichen, indenen die Grenzfunktion kleiner ist als die Stückfunktion, ist die Grenzstückfunktionnegativ, die Stückfunktion also fallend.(Dass eine Funktion auf einem Intervall, wo ihre Ableitung positiv ist, tatsächlich strengwächst, beweisen wir in 4.6.) Interpretation: Der Wert der Stückfunktion zu F (x) wirdgrößer (bzw. kleiner) bei Erhöhung von x um eine (kleine) Einheit, wenn dabei die Änderungvon F (x) größer (bzw. kleiner) ist als der Durchschnittswert F (x)/x . Das ist auchökonomisch betrachtet sehr plausibel. Dieser Zusammenhang zwischen einer Funktion,der zugehörigen Durchschnittsfunktion / Stückfunktion und den Ableitungen wird oft gebraucht,z.B. mit folgender Terminologie:
Kap. 4, Abschnitt 4.3 379• K(x) Kostenfunktion (für die Produktion von x Output-Einheiten),k(x) = K(x)/x Stückkostenfunktion,K ′ (x) Grenzkosten (≈ Erhöhungung von K(x) bei Produktion einer Mehreinheit),k ′ (x) Grenzstückkosten (≈ Änderung von k(x) bei Produktion einer Mehreinheit);• E(x) Erlösfunktion, Umsatzfunktion (für x am Markt abgesetzte Einheiten),p(x) = E(x)/x (Stück–)Preis (am Markt erzielter Preis bei Absatz von x Einheiten),E ′ (x) Grenzerlös (≈ Mehrerlös bei Absatz einer Mehreinheit),p ′ (x) Grenzpreis (≈ Marktpreisänderung bei Absatz einer Mehreinheit);• x(r) Produktionsfunktion (Output in Abhängigkeit von Produktionsfaktor r),x(r) := x(r)/r Durchschnittsproduktionsertrag, durchschnittliche Produktivität,x ′ (r) Grenzproduktivität, Grenzproduktionsertrag (≈ Erhöhung des Outputs beiMehreinsatz einer Faktoreinheit),x ′ (r) Grenzdurchschnittsertrag (≈ Änderung des Durchschnittsertrags bei Mehreinsatzeiner Faktoreinheit);• r(x) Faktoreinsatzfunktion, Faktorverbrauchsfunktion (Umkehrfunktion zu x(r),gibt den Faktorverbrauch bei Produktion von x Einheiten an),r(x) := r(x)/x Produktionskoeffizient (damit ist die Zahl der produzierten Einheitenzu multiplizieren, um den Faktorverbrauch zu erhalten),r ′ (x) Grenzverbrauchsfunktion (≈ Erhöhung des Faktorverbrauchs bei Produktioneiner zusätzlichen Einheit),r ′ (x) Grenzproduktionskoeffizient (≈ Änderung des Durchschnittsfaktorverbrauchsfür x produzierte Einheiten, wenn eine Einheit mehr produziert wird);• C(Y ) Konsumfunktion, Konsumquote (in Abhängigkeit vom Einkommen Y ),c(Y ) := C(Y )/Y durchschnittliche Konsumquote,C ′ (Y ) Grenzhang zum Konsum, marginale Konsumquote (≈ Erhöhung von C(Y )bei Einkommenserhöhung um eine Geldeinheit),c ′ (Y ) marginale durchschnittliche Konsumquote (≈ Änderung der durchschnittlichenKonsumquote bei Einkommenserhöhung um eine Geldeinheit).Soweit die Funktionswerte noch von andern Variablen abhängen, z.B. der Output vonweiteren Produktionsfaktoren, ist beim Differenzieren die c.p.-Bedingung, also Konstanzdieser Variablen, unterstellt. Mathematisch gesehen ist für die Berechnung dieser Ableitungennicht viel erforderlich: Die Summenregel und die Quotientenregel in sehr einfachenSpezialfällen. Das eigentliche Problem ist nicht die Berechnung von Funktionen, sonderndie Entschlüsselung von Wortungetümen wie “Grenzproduktionsertrag” (oben d x(r) ),dr“marginale durchschnittliche Konsumquote” (oben d (C(Y )/Y ) ) oder gar “Grenzdurchschnittsproduktionsfaktorverbrauchsfunktion”(oben d (r(x)/x) ). Die ökonomische Ter-dYdxminologie ist aber so gewählt, dass man nach etwas Eigewöhnung an den Namen derFunktionen jeweils erkennen kann, ob F , f = F , F ′ oder f ′ = F ′ gemeint ist. Die Reihenfolgeder im Namen vorangestellten Präfixe, die Operationen mit Funktionen bezeichnen,ist dabei von rechts nach links zu lesen. Also ist die “Grenzstückfunktion” zu F (x) dieGrenzfunktion der Stückfunktion f(x) = F (x)/x , d.h. die Ableitung f ′ (x) = d (F (x)/x) ;dxdagegen ist die “Stückgrenzfunktion” zu F (x) die Durchschnittsfunktion der GrenzfunktionF ′ (x) , d.h. gleich F ′ (x)/x (das ist etwas Anderes!).
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