Die Ableitung und Elastizität von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

Kap. 4, Abschnitt 4.3 387Operationen und mit Verkettung kompliziertere elementare Funktionen der “dritten Generation”zusammensetzen, so sind diese aufgrund der Ableitungsrechenregeln offenbarwieder differenzierbar mit elementaren Ableitungen. So fortfahrend sehen wir, dass überhauptjede elementare Funktion, also jede durch einen Rechenterm definierbare Funktion,der aus endlich vielen Rechenoperationen und Verkettungen mit den Grundfunktionenzusammengesetzt ist, differenziert werden kann und dass das Ergebnis des Ableitens wiedereine elementare Funktion ist. Diese Ableitung kann man deshalb erneut differenzierenund erhält wieder eine elementare Funktion u.s.w. Es gilt daher derSATZ: Jede auf einem offenen Intervall in R definierte elementare Funktion f ist dortbeliebig oft differenzierbar, und ihre Ableitungen f (n) jeder Ordnung sind wieder elementareFunktionen, die explizit berechnet werden können. Das heißt, wenn f(x) durch einenTerm gegeben ist, der aus den Grundfunktionen mit endlich vielen Rechenoperationen undVerkettungen aufgebaut ist, so erhält man durch Anwendung der Ableitungsrechenregelnund der Formeln für die Ableitung der Grundfunktionen auch einen entsprechenden Rechentermfür die Ableitung f ′ und für alle Ableitungen höherer Ordnung f (n) .Das bedeutet also, dass man für jede Funktion, die durch einen Rechenterm gegebenist, auch einen Rechenterm für ihre Ableitung angeben kann, im Prinzip jedenfalls; denndie Terme für die Ableitung können, namentlich bei mehrfacher Anwendung der Quotientenregeloder der Kettenregel, erheblich größer und komplizierter werden als der Termfür die Ausgangsfunktion. Das größte Problem beim Ableiten von komplexen Termen ist,ihren Aufbau genau zu verstehen, so dass man Summenregel, Produktregel, Quotientenregelund Kettenregel in der richtigen Reihenfolge anwendet. Da formales Differenzierenaber eine ganz schematische Angelegenheit ist, gibt es dafür auch Rechenprogramme, diesymbolisch differenzieren können, d.h. zur Eingabe eines Rechenterms für eine Funktionals Ausgabe einen Rechenterm für die Ableitung dieser Funktion liefern. (Allerdings differenzierendiese Programme auch Funktionen, die es gar nicht gibt. Zum Beispiel liefernsie für ln(1 − e x2 ) die Ableitung −2xe x2 /(1 − e x2 ) , die für x ≠ 0 definiert ist, obwohlder Ausgangsterm wegen 1 − e x2 ≤ 0 für kein x ∈ R einen Funktionswert liefert.)Da die in der Wirtschaftsmathematik auftretenden konkreten Funktionen allesamt elementarsind oder wenigstens stückweise aus elementaren Funktionen zusammengesetztsind, die sogar durch recht einfache Terme definiert werden, können wir abschließendsagen:• Jede konkrete Funktion in mathematischen Modellen ökonomischer Vorgänge kannbeliebig oft differenziert werden — von einzelnen isolierten Ausnahmestellen abgesehen(Sprungstellen, Unendlichkeitsstellen, Knickstellen, . . . ) — und ihre Ableitungenkönnen auch konkret ausgerechnet werden.