Die Ableitung und Elastizität von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

382 Mathematik für WirtschaftswissenschaftlerDie Ableitung von Exponentialen einer Funktion ergibt sich mit der äußeren Funktione y aus der Kettenregel so (wenn f(x) differenzierbar ist):( ) ∣∣∣y=f(x)ddx ef(x) == ddy ey · f ′ (x) = (e y ) ∣ y=f(x) · f ′ (x) = e f(x) · f ′ (x) ,und für allgemeine Basen a > 0ddx af(x) = ddx ef(x) ln a = e f(x) ln a · f ′ (x) · ln a = a f(x) · f ′ (x) · ln a .Zum Beispiel ist die Ableitung der in der (Wirtschafts–)Statistik wichtigen sogenanntenNormalverteilung √ 12πe −x2 /2 , deren Graph als Gaußsche Glockenkurve bekannt ist, gegebendurchd √1e −x2 /2 = √ 1 e −x2 /2 · −2x = √ −x e −x2 /2 ,dx 2π 2π 2 2πund die Funktion x x hat für x > 0 die Ableitungddx xx = ddx ex ln x = e x ln x · d(1dx (x ln x) = xx · ln x + x · 1x)= (1 + ln x)x x .In ökonomischem Zusammenhang stößt man auf Exponentiale von Funktionen z.B. beiKonsumfunktionen der Form C(Y ) = ae −c/Y , wobei a, c positive Parameter sind. IhreAbleitung, die marginale Konsumquote ist dannddY C(Y ) =ddY (a−c/Y ) = ae −c/Y · (−c) · −1Y 2 = acY 2 e−c/Y .Bei Y → 0 in R >0 streben C(Y ) und C ′ (Y ) gegen Null, für kleine Y > 0 ist der exponentielleFaktor e −c/Y extrem klein. Bei diesem Ansatz ist also der Konsum bis zu einemgewissen Schwellenwert des Einkommens Y praktisch Null. Das erscheint nicht realistisch,man würde eher annehmen, dass sich die Sparquote S(Y ) = Y − C(Y ) so verhält, weilkleine Einkommen vollständig konsumiert werden. Bei Y → ∞ strebt andererseits C(Y )hier gegen den endlichen Grenzwert a und C ′ (Y ) gegen Null. Dies ist ein in gewissenSituationen denkbares, wenn auch kein zwingendes, Verhalten für eine Konsumfunktion;es bedeutet, dass der Konsum eine bestimmte Schranke nie übersteigt. Quintessenz: DerAnsatz scheint zur Modellierung von Konsumverhalten wenig geeignet.Für die Ableitung des Logarithmus einer Funktion, die natürlich positiv sein muss(und differenzierbar), liefert die Kettenregel:( ) ∣∣∣y=f(x) ( )∣ddx ln f(x) = ddy ln y · f ′ (x) = 1 ∣∣y=f(x)· f ′ (x) = f ′ (x)yf(x) ;der Quotient f ′ /f heißt deshalb auch die logarithmische Ableitung der Funktion f .Zum Beispiel istddx ln(1 + x2 ) = 2x1 + x 2 ,undd1/tln(ln t) =dt ln t = 1 (für t > 1 , also ln t > 0 ) .t ln tDie logarithmisch Ableitung ist nützlich für die Differentiation von Produkten von Funktionenohne Nullstellen; denn die logarithmische Ableitung eines Produkts ist die Summeder logarithmischen Ableitungen seiner Faktoren :(f 1 · f 2 · . . . · f n ) ′f 1 · f 2 · . . . · f n= f ′ 1f 1+ f ′ 2f 2+ . . . + f ′ nf n.