Die Ableitung und Elastizität von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

Kap. 4, Abschnitt 4.3 371∂ 3∂x 2 ∂y xm y n = m(m − 1)n · x m−2 y n−1 ,∂ 2∂x∂y xy = ∂∂x (xy ln x) , ∂ 2∂y∂x xy = ∂ ∂y (yxy−1 ) ,und die verbliebenen Ableitungen erster Ordnung kann man mit Hilfe der Produktregelfür das Differenzieren (siehe unten) leicht ausrechnen. Das Ergebnis ist in beiden Fällendie Funktion x y−1 + yx y−1 ln x , und das ist kein Zufall; denn bei “normalen” Funktionen,insbesondere bei Funktionen, die durch Rechenterme mit mehreren Variablen gegebensind wie hier, wird in der Mathematik gezeigt:• Die partiellen Ableitungen höherer Ordnung sind unabhängig davon, in welcher Reihenfolgeman die einzelnen Differentiationen bei c.p.-Bedingung ausführt.Wir haben nun die Ableitungen aller Grundfunktionen berechnet, aus denen die elementarenFunktionen aufgebaut werden (und noch einige Ableitungen mehr). Um alle elementarenFunktionen differenzieren zu können, brauchen wir noch Rechenregeln, mit denenwir die Ableitung “zusammengesetzter Funktionen“ aus den Ableitungen der Bestandteileberechnen können. In der Wirtschaftsmathematik kommen nur verhältnismäßig einfachzusammengesetzte Funktionen vor, deren Ableitung man mit Kenntnis dieser Rechenregeln— und der Ableitungen der Grundfunktionen — direkt ohne großen Rechenaufwandhinschreiben kann. Im Prinzip aber kann man mit Hilfe der Ableitungsrechenregeln jedeelementare Funktion differenzieren und ihre Ableitung wieder als elementare Funktiondarstellen, wie kompliziert der Rechenterm, der die Funktion definiert, auch sei!RECHENREGELN für die Berechnung von Ableitungen und BEISPIELE:1) Ist f : I → R eine differenzierbare Funktion auf dem Intervall I (mit positiver Länge,also nicht einpunktig oder gar leer) in R, so gilt für alle Konstanten a, b, c, d ∈ R :• erste Faktorregel:ddx (cf(x)) = cf ′ (x) für x ∈ I ;einen konstanten Faktor kann man aus der Ableitung “herausziehen”;• erste Verschiebungsregel:ddx (f(x) + d) = f ′ (x) für x ∈ I ;Addition einer Konstanten ändert die Ableitung nicht (“Konstantenregel”);• zweite Faktorregel:ddx f(ax) = af ′ (ax) für ax ∈ I ;ein Faktor vor der unabhängigen Variablen tritt beim Ableiten zusätzlich außen auf.• zweite Verschiebungsregel:ddx f(x + b) = f ′ (x + b) für x + b ∈ I ;bei einer horizontalen Verschiebung der Funktion wird die Ableitung mitverschoben.Diese Regeln lassen sich zusammenfassen zu der• Skalierungsregel:d[ ]cf(ax+b) + d = ac · f ′ (ax + b) für ax + b ∈ I .dx