Die Ableitung und Elastizität von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

392 Mathematik für WirtschaftswissenschaftlerZum Beispiel kann das früher (bei der Quotientenregel) angegebene dritte empirischeGesetz von Keynes, wonach die marginale Konsumquote c ′ (Y ) =d (C(Y )/Y ) negativdYist, auch als Unelastizität der Konsumfunktion C(Y ) ausgesprochen werden.Für fallende Funktionen, also solche mit ε f < 0, sind keine mit den obigen vergleichbarenAussagen möglich; die Durchschnittsfunktion hat dann immer eine negative Ableitung.Auch eine schöne geometrische Interpretation wie oben gibt es dann nicht, da man dieabsolut genommene (negative) Steigung des Graphen im Punkt (x, f(x)) mit der Steigungdes Strahls aus dem Ursprung durch diesen Punkt vergleichen müsste. (Man kann, aberdas erscheint gezwungen, die Steigung des Graphen mit der des an der horizontalen Geradenmit Hochwert f(x) gespiegelten Ursprungsstrahls vergleichen; dann ist f elastischin x, wenn der Graph diesen gespiegelten Strahl von oben nach unten schneidet.)6) Eine mathematische Interpretation der Elastizität: Die relativen Differenzenquotienten( f(x) − 1)/( x f(x 0 ) x 0− 1) sind für x nahe bei x 0 ungefähr gleich [ln f(x) ]/ ln x f(x 0 ) x 0, weil ln t ≈ t − 1ist für t nahe bei 1 (wegen ln t = ln t − ln 1 = (t − 1) und ln ′ (1) = 1). Daher giltε f (x 0 ) = limx→x0ln f(x) − ln f(x 0 )ln x − ln x 0ln t−ln 1t−1=d ln f(x)d ln x x=x 0,wobei der letzte Ausdruck als die Ableitung der Funktion ln f(e t ) nach t = ln x an derStelle t 0 = ln x 0 zu verstehen ist. In der Tat ist nach der Kettenregel diese Ableitunggleich e t f ′ (e t )/f(e t ) = xf ′ (x)/f(x) = ε f (x) . Man kann dieses Ergebnis geometrisch soauffassen:• Die Elastizität von f ist die Steigung des Graphen von f in logarithmischer Skala,d.h. bei Auftragung des Hochwerts ln f(x) über dem Rechtswert ln x für x > 0 .Da die Logarithmusfunktion Multiplikation in Addition verwandelt wegen des Logarithmusgesetzesln(s · t) = ln s + ln t, kann man die Sache auch so ansehen: Wenn mandas multiplikative Analogon der Ableitung sucht, so hat man die unabhängige Variablex > 0 und die abhängige Variable y = f(x) > 0 zunächst mit der natürlichen Logarithmusfunktionzu transformieren, dann die Ableitung von ln f(x) nach ln x zu bilden undanschließend mit der Umkehrfunktion exp zurück zu transformieren. Das Ergebnis istexp(ε f (x)) , und in diesem Sinne kann man sagen:• Das multiplikative Analogon der Ableitung ist für positive Funktionen f(x) einerpositiven Variablen x die Bildung des Exponentials der Elastizität exp(ε f (x)) .7) Terminologie und Notation: Im Zusammenhang mit ökonomischen Variablen x, yspricht man von der Elastizität von y bzgl. x oder der x--Elastizität von y oder derx--y--Elastizität, wenn y = f(x) als Funktion von x aufgefasst wird und die Elastizitätdieser Funktion gemeint ist. Man schreibt dafür dannε f (x) oder ε y,x .Wird dagegen vermöge der Umkehrfunktion x = g(y) die Variable x als Funktion von yaufgefasst (wenn f differenzierbar umkehrbar ist), so stehtfür die y–Elastizität von x .ε g (y) oder ε x,y