4 Magnetisches Feld

4 Magnetisches Feld
Das magnetische Feld wird als ein Raumzustand betrachtet, der von bewegten elektrischen
Ladungen verursacht wird und der sich seinerseits wiederum in Kraftwirkungen auf bewegte
elektrische Ladungen auswirkt. Man kann somit das magnetische Feld als eine Art Zwischenträger
ansehen, über den sich die zwischen bewegten elektrischen Ladungen auftretenden
Kraftwirkungen, auf die letztlich auch die Spannungsinduktion zurückgeführt werden kann,
zweckmäßig und anschaulich beschreiben lassen.
4.1 Beschreibung und Berechnung des magnetischen Feldes
Trotz der Vielfalt der heute verwendeten technischen Werkstoffe genügt es, im Rahmen praktischer
Rechnungen diese hinsichtlich ihrer magnetischen Eigenschaften in nur zwei Gruppen
einzuteilen. Die magnetisch neutralen Stoffe wie Luft, Wasser, Nichteisenmetalle, Kunststoffe
usw. dürfen bei der praktischen Berechnung magnetischer Felder wie Vakuum behandelt werden.
Dagegen zeigen die ferromagnetischen Stoffe ein extrem „verstärkendes“, aber nichtlineares
Magnetisierungsverhalten. Wegen der herausragenden praktischen Bedeutung der ferromagnetischen
Werkstoffe werden ihre magnetischen Eigenschaften ausführlich in Abschn. 4.2
behandelt, im Abschn. 4.1 aber im Rahmen der allgemeinen Darstellung nur gestreift.
4.1.1 Wesen und Darstellung des magnetischen Feldes
4.1.1.1 Wirkungen und Ursachen des magnetischen Feldes. Das magnetische Feld
äußert sich ähnlich wie das Gravitationsfeld oder das elektrische Feld in Kraftwirkungen. Besonders
auffällig sind diese an Eisenteilen in der Nähe von Naturmagneten oder stromdurchflossenen
Leitern. Neben solchen direkt zu beobachtenden äußeren Kräften bewirkt das magnetische
Feld auch noch Kräfte im Inneren von elektrischen Leitern. Diese nicht direkt als
mechanische Kräfte messbaren Wirkungen verursachen Ladungstrennungen, die als elektrische
Spannungen in Erscheinung treten. Üblicherweise werden sie als Induktionsvorgang beschrieben,
d.h., das magnetische Feld induziert elektrische Spannungen. Man unterscheidet also zwei
Wirkungen des magnetischen Feldes, die Kraftwirkungen, die in Abschn. 4.3.2, und die Induktionswirkungen,
die in Abschn. 4.3.1 erläutert sind.
Alle hier beschriebenen Wirkungen können gleichermaßen in der Umgebung elektrischer Ströme
als auch in der von Naturmagneten beobachtet werden. Man nimmt nach dem heutigen
Kenntnisstand die Elektronenbewegung oder allgemeiner die Bewegung elektrischer Ladungen
als die primäre Ursache magnetischer Erscheinungen an. In Naturmagneten handelt es sich
um die Eigenbewegung der Ladungsträger im atomaren Verband, bei fließenden Strömen um
die durch eingeprägte Kräfte (Spannung) angetriebene, makroskopisch messbare (z.B. mit
einem Strommesser) Bewegung freier Ladungsträger (freie Elektronen im Leiter).
4.1.1.2 Feldbilder und Feldlinien. Da das magnetische Feld sich in Kraftwirkungen äußert,
muss es wie diese auch einen Richtungscharakter haben, d.h., es muss für jeden Punkt des
Raumes nicht nur eine bestimmte Intensität, sondern auch eine bestimmte Richtung angegeben

4.1.1 Wesen und Darstellung des magnetischen Feldes 151
werden. Daher muss das magnetische Feld mit Hilfe von Vektoren, d.h. als Vektorfeld, beschrieben
werden.
Den Richtungscharakter kann man experimentell sehr anschaulich darstellen, indem man kleine
längliche Eisenteilchen etwa in Form von Eisenfeilspänen oder kleinen Magnetnadeln in ein
Magnetfeld, z.B. in die Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters, bringt.
Die Eisenteilchen stellen sich durch die auf sie wirkenden mechanischen Kräfte in die Wirkungsrichtung
des magnetischen Feldes ein, wie Bild 4.1 zeigt, in dem auf ein Kartonblatt
Bild 4.1 Mit Hilfe von Eisenfeilspänen dargestelltes magnetisches Feld eines stromdurchflossenen
geraden Leiters (a) und einer stromdurchflossenen Windung (b)
Bild 4.2 Feldlinienbilder eines stromdruchflossenen geraden Leiters (a) und einer stromdurchflossenen
Windung (b), jeweils senkrecht zum Leiter bzw. zur Windungsebene
gestreute Eisenfeilspäne in der Umgebung einfacher Leiteranordnungen dargestellt sind. In
Bild 4.1a tritt der Leiter in der Mitte senkrecht durch das Kartonblatt hindurch. Bild 4.1b zeigt
ein Kartonblatt, welches durch den Durchmesser eines vom Strom durchflossenen Drahtringes
senkrecht zur Ringebene gelegt ist.
Ähnlich anschaulich wie die experimentell aufgenommenen Bilder mit Eisenfeilspänen sind
die aus analytischen Überlegungen und Rechnungen gewonnenen Feldlinienbilder (s. Abschn.

152 4.1 Beschreibung und Berechnung des magnetischen Feldes
3.2.1), wie sie z.B. in den Bildern 4.2 bis 4.4 wiedergegeben sind. Es darf dabei aber nicht
übersehen werden, dass diese Liniendarstellung nur die anschauliche Wiedergabe einer Modellvorstellung
für das kontinuierlich den Raum durchsetzende, in seinem physikalischen Wesen
nicht weiter zu erklärende magnetische Feld ist. Es darf den Feldlinien also keinerlei körperliche
Existenz beigemessen werden.
Für die Felder des geraden Leiters und der Windung entsprechend Bild 4.1 sind die zugehörigen
Feldlinienbilder in Bild 4.2 wiedergegeben. Darin bedeuten die mit Kreuz bzw. Punkt
bezeichneten kleinen Kreise die Querschnitte der Leiter mit den in die Bildebene hinein- bzw.
herausfließenden Strömen.
In den beiden Feldlinienbildern 4.3 und 4.4 sind die Felder von Spulen mit 3 bzw. vielen Windungen
dargestellt. Mit Spulen lassen sich magnetische Felder großer Intensität erzeugen, z. B.
in elektrischen Maschinen.
Bild 4.3 Feldlinienbild einer Spule mit drei
stromdurchflossenen Windungen
Bild 4.4 Feldlinienbild einer langen zylindrischen Spule mit eng aneinanderliegenden Windungen (a)
und eines geometrisch vergleichbaren Naturmagneten (b)
4.1.1.3 Feldrichtung und Polarität. In den Bildern 4.2 bis 4.4 sind an den Feldlinien
Richtungspfeile angetragen, ohne dass dieses begründet wurde. Wie häufig bei solchen Angaben
ist die Wahl der Richtung zunächst willkürlich, hat dann allerdings Konsequenzen auf die
auf ihnen aufbauenden weiteren Gesetzmäßigkeiten. So kann auch die Richtungsfestlegung für
das Magnetfeld, die entsprechend den Beschreibungen in Abschn. 4.1.3.2 in den Bildern 4.2
bis 4.4 angegeben ist, lediglich historisch begründet werden.
Die in allen Feldbildern zu erkennende rechtswendige Umschlingung der elektrischen Strömung
durch magnetische Feldlinien folgt aus der allgemein für magnetische Felder gültigen
Rechtsschrauben- oder auch Korkenzieherregel:
Denkt man sich eine Rechtsschraube in der konventionellen Stromrichtung (s. Bild 4.2a) vorwärts
geschraubt, so stimmt die zugehörige Drehrichtung mit der Feldrichtung überein. Oder
auch umgekehrt: beim Vorwärtsschrauben in Feldrichtung entspricht die Drehrichtung der
Stromrichtung in der felderzeugenden Spule (s. Bild 4.2b und 4.3).

4.1.2 Vektorielle Feldgrößen des magnetischen Feldes 153
Zur Kennzeichnung der Richtung eines Feldes, das von nicht messbaren Ladungsbewegungen,
also z.B. mikrokosmischen Ladungsbewegungen in Naturmagneten, erregt wird, bezeichnet
man die Austrittsfläche der Feldlinien als Nordpol und die Eintrittsfläche als Südpol (s. Bild
4.4). Diese Bezeichnungen sind ursprünglich über die Kompassnadel (kleiner Naturmagnet)
aus denen der geographischen Pole der Erde abgeleitet. Da sich aber ungleichnamige Magnetpole
anziehen, ergibt sich, dass der geographische Nordpol, auf den der Nordpol der Kompassnadel
weist, der magnetische Südpol der Erde ist und umgekehrt. Auch bei stromdurchflossenen
Spulen, die ja die gleichen magnetischen Wirkungen wie Naturmagnete zeigen,
werden die Aus- bzw. Eintrittsflächen häufig als Nord- bzw. Südpol bezeichnet (s. Bild 4.4).
4.1.2 Vektorielle Feldgrößen des magnetischen Feldes
Die in Abschn. 4.1.1.2 und 4.1.1.3 erläuterten Feldbilder vermitteln einen mehr qualitativen
Eindruck darüber, wie sich das magnetische Feld in Richtung und Intensität über den Raum
ausbreitet. Quantitativ wird dieses zweckmäßigerweise mit Hilfe von Feldvektoren beschrieben,
die für den einzelnen Raumpunkt definiert und als Funktion der Raumkoordinaten – Ortsfunktion
– angegeben werden können (s. Abschn. 3.1.1).
4.1.2.1 Magnetische Flussdichte. Das magnetische Feld hat an einem bestimmten Punkt
eines Raumes eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Intensität 1) , die beide durch einen
diesem Punkt zugeordneten Feldvektor vollständig beschrieben werden können.
Die Ortsabhängigkeit der Feldrichtung folgt bereits offensichtlich aus Bild 4.1, das aber darüber
hinaus auch noch einen Eindruck von der Ortsabhängigkeit der Intensität des Feldes vermittelt.
Beispielsweise ist die Richtungsorientierung der Eisenfeilspäne in der Nähe des stromdurchflossenen
Leiters sehr deutlich, mit zunehmender Entfernung von diesem aber immer
weniger ausgeprägt zu erkennen. Mit kleiner werdender Feldintensität werden die Späne in
immer geringerem Maße gegen ihre Reibung auf dem Kartonblatt in die Feldrichtung gedreht.
Analog zu den Erläuterungen in Abschn. 3.2.1 ist in den Feldlinienbildern 4.2 bis 4.4 die Ortsabhängigkeit
der Feldintensität dadurch zum Ausdruck gebracht, dass der Abstand zwischen
den einzelnen Feldlinien jeweils umgekehrt proportional der Stärke des Feldes (Betrag des
Feldvektors) in diesem Gebiet gewählt ist. Die Dichte der Feldlinien ist also ein Maß für die
Intensität des Feldes. Da man beliebig viele Feldlinien zeichnen kann, ist zu beachten, dass der
Abstand aber kein absoluter, sondern nur ein relativer Maßstab ist.
Für die mathematisch exakte Beschreibung der Feldintensität nach Betrag und Richtung ist
eine Vektorgröße festgelegt, die als magnetische Flussdichte bezeichnet und mit dem Größensymbol
B � dargestellt wird. Ihre Definition ist im Folgenden anschaulich anhand des Bildes
4.5 erläutert.
In der historischen Entwicklung wurde die Richtung des Flussdichtevektors B � so festgelegt,
dass er in Längsrichtung eines frei beweglich im Feld angeordneten magnetischen Dipols (z.B.
Kompassnadel) von dessen Süd- zum Nordpol weist (Bild 4.5a). Der Betrag der magnetischen
Flussdichte wurde aus dem Drehmoment abgeleitet, mit dem sich der magnetische Dipol in die
Feldrichtung einstellt. Heute wird die magnetische Flussdichte unter Beibehaltung der ursprünglichen
Richtungsfestlegung aus der Kraftwirkung F � auf eine mit der Geschwindigkeit v � im Magnetfeld
bewegte elektrische Ladung definiert, wie ebenfalls in Bild 4.5 dargestellt ist.
1) Hier wird absichtlich das naheliegende Wort „Stärke“ vermieden, da man unter der „Feldstärke“ nach
der historischen Bezeichnung etwas anderes als die hier zunächst für die Wirkung des Feldes maßgebende
Intensitätsgröße versteht (s. Abschn. 4.1.2.3).

154 4.1 Beschreibung und Berechnung des magnetischen Feldes
Bild 4.5 Richtungsdefinition für die magnetische Flussdichte B �
Hat die mit der Geschwindigkeit v � bewegte Ladung Q eine sehr kleine räumliche Ausdehnung
– Punktladung –, so lassen sich für jeden Raumpunkt folgende Feststellungen treffen:
a) Der auf die Ladung Q wirkende Kraftvektor F � steht immer rechtwinklig auf der Ebene,
die durch die Vektoren der Ladungsgeschwindigkeit v und der magnetischen Flussdichte B �
festgelegt ist.
b) Die Richtung des Kraftvektors F � auf eine positive Ladung Q weist in die Richtung der
Axialbewegung einer Rechtsschraube (Korkenzieher), die man sich so gedreht vorstellt, dass
der Geschwindigkeitsvektor v � auf kürzestem Weg in die Richtung des Flussdichtevektors B �
gelangt.
c) Der Betrag des Kraftvektors F � ist von dem Betrag der Ladung Q, von den Beträgen des
Flussdichtevektors B � und des Geschwindigkeitsvektors v � und dem Sinus des von diesen
beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels α abhängig.
F = QvBsinα (4.1)
Die in a) bis c) beschriebenen experimentellen Beobachtungen bzw. Festlegungen lassen sich
mathematisch mit Hilfe eines Vektorproduktes
� � �
F = Qv ( × B)
(4.2)
zusammenfassen. Diese im Magnetfeld auf bewegte Ladungen ausgeübte Kraft wird als Lorentzkraft
bezeichnet zur Unterscheidung von der vom elektrischen Feld ausgeübten Coulombkraft,
die auch auf ruhende Ladungen wirkt (s. Abschn. 3.1.2.2 und 4.3.1.1).
Beispiel 4.1
Ein heute häufig verwendeter Sensor zur praktischen Messung der magnetischen Flussdichte B � ist der
Hall-Generator. Dieser besteht entsprechend Bild 4.6a aus einem flachen Halbleiter der Dicke d und der
Breite b, der von einem Steuerstrom I durchflossen wird. Quer zur Richtung des Steuerstromes I kann
über die Breite b des Halbleiters die Hall-Spannung U H abgegriffen werden. Es ist zu erläutern, dass das
Messprinzip des Hall-Generators direkt durch die Definitionsgleichung für die magnetische Flussdichte
B � Gl. (4.2) beschrieben werden kann.

4.1.2 Vektorielle Feldgrößen des magnetischen Feldes 155
Bild 4.6 Prinzip des Hall-Generators
a) perspektivische Darstellung der Halbleiterplatte
b) Querschnitt A – A
Ohne Einwirkung eines Magnetfeldes verteilt sich der Strom I homogen über den Querschnitt bd des
Halbleiters, sodass sich nach Gl. (3.31) eine Stromdichte S = I / (bd) einstellt, der nach Gl. (3.33) die
Strömungsgeschwindigkeit v = S/( ne)
� �
der Ladung in Längsrichtung des Halbleiters entspricht. Wird der
Hall-Generator in ein Magnetfeld gebracht, so wirken auf die strömenden Ladungen Kräfte F � entsprechend
Gl. (4.2), die die Ladungen Q senkrecht zu ihrer Geschwindigkeit v � an den Rand des Halbleiters
drängen. Es stellt sich somit senkrecht zur Längsrichtung ein Ladungsunterschied ein, dem eine Spannung
UH entspricht, die gemessen werden kann und die bei konstantem Steuerstrom I – konstante Ladungsgeschwindigkeit
v = I / bdne) – ein Maß für die magnetische Flussdichte B ist.
Nach Gl. (4.2) ist die Kraftwirkung und damit die Hall-Spannung UH nicht nur von dem Betrag der magnetischen
Flussdichte B, sondern auch von deren Richtung zur Geschwindigkeitsrichtung der Ladung
abhängig. Ordnet man den Hall-Generator so an, dass seine Längsachse und damit der Vektor der Ladungsgeschwindigkeit
v � in der Flussdichterichtung B � liegt (α = 0 oder α = π), so ist nach Gl. (4.2) die
Kraft auf die Ladung F � = Q ( v � × B � ) = Qv B sin α = 0 und damit auch die Hall-Spannung UH Null. Liegt
der Hall-Generator mit seiner Längsachse senkrecht zur magnetischen Flussdichte (α = π / 2 oder α = 3 π / 2),
so steht der Kraftvektor F � = Q ( v � × B � ) mit maximalem Betrag | Q | vB senkrecht auf der Ebene, die
durch die Ladungsgeschwindigkeit v � in Längsachse des Halbleiters und den Flussdichtevektor B � bestimmt
ist (s. Bild 4.6b). Der Kraftvektor F � liegt aber nur dann auch in der Halbleiterebene, wenn dieser
mit seiner Breite b senkrecht zur Feldrichtung steht. Bei beliebigem Winkel ß zwischen der Querachse
des Halbleiters und dem Flussdichtevektor B � entsprechend Bild 4.6b bewirkt nur die Komponente F cos ß,
die in der Halbleiterebene liegt, die Ladungstrennung quer zur Längsachse und damit die Hall-Spannung
UH über die Breite b des Halbleiters.
Soll die magnetische Flussdichte B � an einem beliebigen Ort bestimmt werden, so wird der Hall-
Generator an diesen Ort gebracht, um Längs- und Querachse gedreht so eingestellt, dass sich die maximale
Hall-Spannung UH ergibt. Damit ist die Wirkungslinie des Flussdichtevektors B � entsprechend Gl.
(4.2) senkrecht zur Fläche des Hall-Generators festgestellt (α = ß = π / 2 oder 3 π / 2). Die Richtung und
der Betrag des Flussdichtevektors können nach den Erläuterungen in Abschn. 4.3.1.1 aus Richtung und
Betrag der Hall-Spannung UH bestimmt werden.
4.1.2.2 Durchflutung, Zusammenhang zwischen Feldgrößen und erregendem Strom.
Zur Ableitung der wesentlichen weiteren Größen des magnetischen Feldes betrachten wir
zunächst nur Felder, bei denen im ganzen Feldraum die magnetische Flussdichte B praktisch
parallel verläuft und den gleichen Betrag hat. Solche Felder treten z.B. in Toroid- oder Kreisringspulen
nach Bild 4.7 mit konstantem innerem Spulenquerschnitt Aq auf, wenn der Durch-