6.10 Geneigte Träger

Bild 6.46 Träger mit gleichmäßig verteilter
Last und Streckenlast
Bild 6.48 Träger mit gleichmäßig verteilter
Last und Einzellast
6.10 Geneigte Träger
6.10 Geneigte Träger 169
Bild 6.47 Träger mit gleichmäßig verteilter Last
und 2 Einzellasten
Bild 6.49 Träger mit gleichmäßig verteilter Last,
Streckenlast und Einzellast
Bei den bisher untersuchten Trägern lagen die beiden Auflager in gleicher Höhe. Die Stabachse
lag waagerecht. Das ist aber nicht immer der Fall. Treppen oder Dächer bestehen aus Trägern, die
ihre Auflager in verschiedenen Höhen haben. Es sind schrägliegende Träger bzw. geneigte Träger
(Bild 6.50).
Bild 6.50
Treppenlauf oder Sparren als geneigte Träger

170 6 Berechnung statisch bestimmter Träger
Lagerung geneigter Träger
Die Stabachse solcher Träger ist unter einem Winkel α zur Waagerechten geneigt. Zur einwandfreien
Lagerung der Träger sind auch hier ein festes und ein bewegliches Auflager erforderlich.
Das feste Auflager verhindert das Abrutschen des Trägers. Die Neigung der Lagerfläche des
beweglichen Auflagers ist für die Ermittlung der Stützkräfte von besonderer Bedeutung. Da bewegliche
Auflager nur Kräfte rechtwinklig zur Lagerfläche aufnehmen können, ist die Richtung
der Stützkraft im beweglichen Auflager bekannt. Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen können
die Stützkräfte und die Schnittgrößen ermittelt werden.
Trotz gleicher Belastung, gleicher Trägerlänge und gleicher Neigung können je nach Art der
Lagerung unterschiedliche Stützkräfte und Normalkräfte entstehen. Unabhängig davon ist aber
die Beanspruchung der Träger gleich. Querkräfte und Biegemomente entstehen in gleicher Größe.
Beispiel zur Erläuterung
Eine Leiter ist im statischen Sinne ein schräger, geneigter Träger. Die Beispiele sollen zeigen, wie sich bei
unterschiedlicher Unterstützung zwar die Stützkräfte in Größe und Richtung ändern, jedoch Querkräfte und
Biegemomente gleichgroß bleiben.
Die Stützkraft B, die Querkraft V B und das maximale Biegemoment werden im Folgenden für 3 verschiedene
Lagerungen einer Leiter berechnet. Es werden dabei nachstehende Werte zugrunde gelegt:
Neigungswinkel α = 60°
tan α = 1,732
sin α = 0,866
cos α = 0,500
vertikale Belastung Fv = 1 kN = 1000 N in Leitermitte
Leiterlänge (schräge Auflagerentfernung) ls = 3,00 m
vertikale Auflagerentfernung h = 2,60 m
horizontale Auflagerentfernung l = 1,50 m
horizontale Entfernung der Last von den Auflagern a = b = 0,75 m
Lagerung 1
Die Leiter wird oben eingehängt (Bild 6.51). Das obere Lager ist ein festes Lager, als Gelenk auffassbar.
Das untere Lager ist ein bewegliches Lager, die Leiter kann dort gleiten. Beide Stützkräfte wirken der Belastung
entgegen. Die Berechnung kann für den waagerechten Ersatzträger mit der Länge l durchgeführt werden.
Stützkraft A:
∑ M (B) = 0 Av · l – Fv · b = 0 Av = A = v F ⋅ b
l
Stützkraft B:
A = v F ⋅b 1000 ⋅0,75
= = 500 N (vertikal wirkend)
l 1,50
∑ M (A) = 0 Bv · l – Fv · a = 0 Bv = B = v F ⋅ a
l
B = v F ⋅a 1000 ⋅0,75
= = 500 N (vertikal wirkend)
l 1,50
A h = 0
B h = 0

Querkraft V A:
VA = + Av · cos α = + 500 · 0,500 = + 250 N
Querkraft VB: VB = – B · cos α = – 500 · 0,500 = – 250N
Normalkraft NA: NA = – Av · sin α = – 500 · 0,866 = – 433N
Normalkraft NB: NB = + Bv · sin α = + 500 · 0,866 = + 433 N
Biegemoment unter der Last:
max M = VB · x '
0 = VB · (– ls / 2) = (– 250) · (– 3,00/2) = + 375 Nm
6.10 Geneigte Träger 171
Lagerung 2
Die Leiter lehnt oben an einer Wand (Bild 6.52). Das obere Lager kann keine vertikalen Kräfte aufnehmen.
Es ist ein bewegliches Lager. Die Stützkraft kann nur rechtwinklig zur Lagerfläche wirken, hier also horizontal.
Das untere Lager muss als festes Auflager ausgeführt werden. Die Leiter rutscht sonst ab.
Bild 6.51 Oben eingehängte
Leiter als geneigter
Träger
Bild 6.52 Gegen eine Wand
gelehnte Leiter als
geneigter Träger
Bild 6.53 Gegen eine Kante
gelehnte Leiter als
geneigter Träger

172 6 Berechnung statisch bestimmter Träger
Stützkraft B:
∑ M (A) = 0 Bh · h – Fv · a = 0 Bh = B = v F ⋅ a
Bv = 0
h
B = v F ⋅a 1000 ⋅0,75
= = 288 N (horizontal wirkend)
h 2,60
Stützkraft A:
∑ V = 0 Fv – Av = 0
Av = Fv = 1000 N
∑ H = 0 Bh – Ah = 0
Ah = Bh = 288 N
A = A2 2 2 2
v + Ah=
1000 + 288 = 1041 N (schräg wirkend)
Querkraft VA: VA = + Av · cos α – Ah · sin α
= + 1000 · 0,500 – 288 · 0,866
VA = + 500 – 250 = + 250 N
Querkraft VB: VB = – B · sin α = – 288 · 0,866 = – 250 N
Normalkraft NA: NA = – Av · sin α – Ah · cos α
= – 1000 · 0,866 – 288 · 0,500
NA = – 866 – 144 = – 1010 N
Normalkraft NB: NB = – Bh · cos α = – 288 · 0,500 = – 144 N
Biegemoment unter der Last:
max M = VB · x '
0 = VB · (– ls / 2) = (– 250) · (– 3,00/2) = + 375 Nm
Lagerung 3
Die Leiter lehnt oben an einer Kante (Bild 6.53). Das obere Lager kann nur Kräfte rechtwinklig zur Achse
der Leiter (Trägerachse) aufnehmen. Das untere Lager muss als festes Auflager das Abrutschen der Leiter
verhindern.
Stützkraft B:
∑ M (A) = 0 B · ls – Fv · a = 0 B = v F ⋅ a
Bh = B · sin α Bv = B · cos α
ls
B = v F ⋅a 1000 ⋅0,75
= = 250 N (schräg wirkend)
ls
3,00
B v = B · cos α = 250 · 0,500 = 125 N
B h = B · sin α = 250 · 0,866 = 217 N

Stützkraft A:
Querkraft V A:
∑ V = 0 Av + Bv – Fv = 0
Av = Fv – Bv = 1000 – 125 = 875 N
∑ H = 0 Ah – Bh = 0
Ah = Bh = 217 N
A = A2 2 2 2
v + Ah=
875 + 217 = 902 N (schräg wirkend)
VA = + Av · cos α – Ah · sin α
= + 875 · 0,500 – 217 · 0,866
VA = + 438 – 188 = + 250 N
Querkraft VB: VB = – B = – 250 N
Normalkraft NA: NA = – Av · sin α – Ah · cos α
= – 875 · 0,866 – 217 · 0,500
NA = – 758 – 108 = – 866 N
Normalkraft NB = 0
Biegemoment unter der Last:
max M = VB · x '
0 = VB · (– ls / 2) = (– 250) · (– 3,00/2)
= + 375 Nm
6.10 Geneigte Träger 173
Die recht unterschiedlichen Ergebnisse der Stützkräfte und Normalkräfte sind nur durch die geänderten
Ausbildungen der Auflager bedingt. Querkräfte und Biegemomente sind trotzdem gleichgroß.
Folgerung:
Vor der Berechnung der Stützkräfte von schrägen Trägern ist Klarheit über die Art und Ausbildung der
Auflager zu schaffen. Die einfachste und klarste Lösung zeigt Lagerung 1. Will man diesen Fall in der Berechnung
zugrunde legen, müssen die Auflagerflächen rechtwinklig zur Richtung der angreifenden Belastung
stehen. Bei vertikaler Belastung entstehen nur vertikale Stützkräfte. Horizontale Komponenten der
Stützkräfte entstehen nicht. Träger mit vertikaler Belastung und horizontalen Lagerflächen können nicht
abrutschen (z.B. Sparren auf Pfetten entsprechend Bild 6.50).
Belastungen geneigter Träger
Außer den ständig vorhandenen Eigenlasten greifen bei geneigten Trägern ebenfalls Verkehrslasten an: sie
wirken vertikal oder horizontal oder auch rechtwinklig zur Trägerachse. Rechtwinklig zur Trägerachse
wirkende Verkehrslasten können in ihre vertikalen und horizontalen Komponenten zerlegt werden. Dieses
wird in den folgenden Abschnitten z.B. für die Windlast bei Dächern gezeigt.
Die meisten geneigten Träger sind Treppen oder Dächer. Die Eigenlasten für Treppen werden nach Abschnitt
4.5.2 ermittelt, die Eigenlasten für Dächer sind nach Abschnitt 4.5.5 zu berechnen.

174 6 Berechnung statisch bestimmter Träger
Tafel 6.4 Zusammenstellung der Stützkräfte und Schnittgrößen
Statische
Größen
Lagerungsart
Stützkräfte A v
A h
A
Normalkräfte
in N
Querkräfte
in N
Biegemomente
in Nm
B v
B h
B
N A
N B
V A
V B
Lagerung 1
500
0
500
500
0
500
– 433
+ 433
+ 250
– 250
Lagerung 2
1000
288
1041
0
288
288
– 1010
– 144
+ 250
– 250
Lagerung 3
875
217
902
125
217
250
– 866
0
+ 250
– 250
max M + 375 + 375 + 375
6.10.1 Geneigte Träger mit vertikaler Belastung
Die Berechnung eines schrägliegenden Trägers mit vertikalen Lasten und horizontalen Lagerflächen
wird für den waagerechten Ersatzträger durchgeführt. Die Stützweite der Ersatzträger ist
gleich der Projektion der Trägerlänge rechtwinklig zur Kraftrichtung (Bild 6.55 und 6.56).
Schnittgrößen bei Trägern mit Einzellast (Bild 6.55)
Stützkräfte
F b
l
Av = v ⋅
Biegemomente
F a
l
Ah = 0 Bv = v ⋅
max M = A · a = B · b = v F ⋅a⋅b l
Bh = 0 (6.41)
(6.42)

Bild 6.55 Geneigter Träger und
waagerechter Ersatzträger
mit Einzellast
6.10 Geneigte Träger 175
Bild 6.56 Geneigter Träger und waagerechter
Ersatzträger mit gleichmäßig verteilter
Last. Es ist gleichgültig, ob für lotrecht
wirkende Belastungen bei schrägliegenden
Trägern die Darstellung a) oder
b) gewählt wird.
Schnittgrößen bei geneigten Trägern mit gleichmäßig verteilter Last (Bild 6.56)
Stützkräfte
Av = v q ⋅ l
Ah = 0 Bv =
2
v q ⋅ l
Bh = 0 (6.43)
2
Biegemomente
2
qv⋅l q '
v ⋅ x⋅| x |
max M = Mx =
8
2
Da die Belastung hierbei nicht rechtwinklig zur Stabachse wirkt, entstehen im Träger nicht nur
Querkräfte, sondern zusätzlich auch Normalkräfte in Längsrichtung des Trägers. Zur Bestimmung
der Querkräfte und Normalkräfte (Längskräfte) werden zunächst die Stützkräfte in die Komponenten
rechtwinklig zur Trägerachse und parallel zu ihr zerlegt (Bild 6.57).
cos α = A⊥
A⊥ = A · cos α
A
sin α = A�
A|| = A · sin α
A
Bild 6.57 Auflagerkräfte bei einem geneigten
Träger

176 6 Berechnung statisch bestimmter Träger
Da die Stützkräfte rechtwinklig zur Stabachse gleich der größten Querkraft am Auflager sind,
erhält man folgende Werte (Bild 6.58 und 6.59):
max VA = + A · cos α max VB = – B · cos α (6.44)
Die Stützkraft parallel zur Stabachse ist gleich der größten Normalkraft (Druck oder Zug) am
Auflager
max NA = – A · sin α max NB = + B · sin α (6.45)
Die Querkräfte und vor allem die Normalkräfte sind für die weitere Berechnung des Trägers nicht
von solch großer Bedeutung wie die Biegemomente.
Bild 6.58 Querkräfte und Normalkräfte
bei einem geneigten Träger mit
Einzellast
Bild 6.59 Querkräfte und Normalkräfte bei einem
geneigten Träger mit gleichmäßig
verteilter Last
Beispiel zur Erläuterung
Für einen geneigten Träger mit gleichmäßig verteilter und vertikal wirkender Belastung (Bild 6.60) werden
die Schnittgrößen bestimmt.
Neigung α = 30° tan α = 0,577 cos α = 0,866
schräge Länge ls = l/cos α = 3,6/0,866 = 4,16m
Trägerabstand a = 0,65 m
Lastermittlung
Vertikale Belastung je m 2 waagerechte Grundfläche:
Eigenlast
Holzbalken 8/16 cm g/a · cos α = 77/(0,65 · 0,866) = 137 N/m 2 Grundfläche
Schalung 24 mm g/cos α = 6000 · 0,024/0,866 = 166 N/m 2 Grundfläche

6.10 Geneigte Träger 177
Abdeckung g/cos α = 200/0,866 = 231 N/m 2 Grundfläche
g '
v = 534 N/m2 Grundfläche
q '
v = 1000 N/m2 Grundflache
Eigenlast gv = ' g v · a = 534 · 0,65 = 347 N/m Grundlänge
Nutzlast qv = ' Bemessungslasten:
q v · a = 1000 · 0,65 = 650 N/m Grundlänge
gd = γG · qv = 1,35 · 347 = 468 N/m Grundlänge
Stützkräfte
qd = γQ · qv = 1,5 · 650 = 975 N/m Grundlänge
(g + q) d = gd + qd = 468 + 975 = 1443 N/m Grundlänge
( g + q) A = B = d ⋅l 1, 45 ⋅ 3, 6
= = 2,60 kN
2 2
Querkräfte
Normalkräfte
+ V A = – V B = A · cos α = A · cos 30° = 2,60 · 0,866
= 2,25 kN
+ NA = – NB = A · sin α = A · sin 30°
= 2,60 · 0,500 = 1,30 kN
Biegemomente
2 2
( g + q) d ⋅l max M =
8
für x = 1,2m
1,45⋅3,6 =
8
= 2,35 kNm
( g + q) '
d ⋅x⋅| x | 1,45⋅1,2⋅2,4 Mx =
= = 2,09 kNm
2 2
≈ 1,45 kN/m Grundlänge
Bild 6.60
Querkraftfläche, Normalkraftfläche und
Momentenfläche beim geneigten Träger
mit vertikal wirkender, gleichmäßig
verteilter Last
6.10.2 Geneigte Träger mit Belastung rechtwinklig zur Stabachse
Bei rechtwinklig zur Stabachse angreifenden Lasten rechnet man mit der schrägen Trägerlänge ls.
Die schräge Länge ls wird rechtwinklig zur Kraftrichtung gemessen. Der Träger entspricht einem
um den Winkel α geneigten waagerechten Träger (Bild 6.61). Normalkräfte entstehen hierbei
nicht, da die Belastung und die Stützkräfte rechtwinklig zur Stabachse angreifen. Vereinfachend
kann auf ein bewegliches Auflager verzichtet werden.