5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder
Beim Nachweis schlanker Druckglieder sind nicht allein die Schnittgrößen
infolge einwirkender Lasten maßgebend, sondern es sind zusätzlich
die Momente infolge der Verformung zu berücksichtigen –
Theorie II. Ordnung. Das Kriterium, ob die Auswirkungen nach Theorie
II. Ordnung zu berücksichtigen sind, ist die Schlankheit des
Druckgliedes.
Bei ausgesteiften Gebäuden – alle horizontalen Kräfte werden durch
Wände oder Bauwerkskerne abgetragen – erübrigt sich bei Rand- und
Innenstützen in vielen Fällen der Nachweis der Theorie II. Ordnung –
Abschnitt 5.1.
Dagegen erfolgt bei Hallenkonstruktionen die Abtragung der horizontalen
Lasten häufig allein durch die Stützen, so dass ein verschiebliches
System vorliegt. Die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung
können nach dem Modellstützenverfahren oder mit Hilfe von Bemessungshilfsmitteln
berechnet werden – Abschnitt 5.2.
Der Bemessung schließt sich die Wahl der Bewehrung an und unter
Beachtung der Konstruktionsregeln für Stützen werden Bewehrungsskizzen
für die baupraktische Umsetzung erstellt.
5.1 Gebäudestützen
5.1.1 Innenstütze
Die Stütze in Achse B des in Bild 4.8 dargestellten Lagergebäudes –
hinreichend ausgesteift – wird im Folgenden nachgewiesen. Sie ist
monolithisch mit dem Fundament und der Deckenkonstruktion verbunden,
Bild 5.1. Die Stütze ist der Außenluft ausgesetzt, eine direkte
Beregnung ist ausgeschlossen; damit treffen die Expositionsklassen
und die Betondeckung wie in Abschnitt 4.3 zu.
35 × 35
3,50
Bild 5.1: Innenstütze – Geometrie, System
l 0
l col

76 5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder
5
Für elastisch eingespannte
Stützen kann β mit Hilfe
eines Nomogramms bestimmt
werden, s. [7]
Abschnitt 7.2, Bild 7.1.
Daraus kann auch für den
Standardfall mit einem
starr eingespannten und
einem gelenkig angeschlossenem
Stabende
β = 0,7 abgelesen werden.
DIN 1045-1, 8.6.3 Gl.
(27) bis (29)
Die Gleichung für
|νEd|< 0,41 kommt bei
Stützen mit geringer
Beanspruchung zum
Tragen, z. B. in den oberen
Geschossen von Gebäuden,
deren Stützen
durchgehend den gleichen
Querschnitt haben.
Baustoffe
Beton C30/37 Betonstahl BSt 500 S
Stützenlast NEd = – 3500 kN
Zu bearbeiten sind:
• Nachweis der Schlankheit
• Bemessung
• Stoß der Bewehrung oberhalb des Fundaments
• Darstellung der Bewehrung im Stoßbereich
Nachweis der Schlankheit
Die Stütze ist am Kopf elastisch in die Deckenkonstruktion eingespannt,
am Fuß liegt eine starre Einspannung in das Fundament vor.
Die Stützenlänge zwischen den Einspannstellen beträgt lcol = 3,50 m.
Ersatzlänge
Zur Vereinfachung bleibt die elastische Einspannung in die Deckenkonstruktion
unberücksichtigt. Die Ersatzlänge für das in Bild 5.1
dargestellte System beträgt
l0 Schlankheit
= β ⋅ lcol = 0,7 ⋅ lcol=
0,7 ⋅ 3,50 = 2, 45 m
λ = l0/i
i = 0,289 h Trägheitsradius bei Rechteckquerschnitten
λ = 2, 45 / (0, 289⋅ 0,35) = 24, 2
Einzeldruckglieder gelten als schlank, wenn folgende Grenzwerte
überschritten werden:
λmax = 25 für ν Ed ≥ 0, 41
λmax = 16 / νEdfür
ν Ed < 0, 41
N
ν Ed =
A f
ν Ed
Ed
c⋅cd −3,5
= = 1,68 > 0, 41
0,352 ⋅17
λ = 24,5 < λmax = 25
Demzufolge brauchen die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung
nicht berücksichtigt zu werden.

5.1 Gebäudestützen 77
Bemessung
Die Stütze ist für NEd = – 3500 kN zu bemessen. Davon übernimmt
der Beton:
2 3
N , = A ⋅ f = 0,35 ⋅17,0 ⋅ 10 = 2083 kN
Rd c c cd
Die darüber hinaus gehende Druckkraft NEd Bewehrung aufzunehmen:
− NRd,
c ist durch
N = A ⋅ f
Rd, s s yd
As
=
N − N
f yd
3500− 2083
= = 32,6 cm
43,5
gewählt 6Ø28 = 37,0 cm2 s. Bild 5.2
35
Ed Rd, c
2
a) b)
35
∅10
7 9 > 2 ds
10 7 < 15 dsbü
∅28
Bild 5.2: Innenstütze – Bewehrung
a) Querschnitt
b) Stoß
Alternativ kann die Bemessung mit den Tafeln für symmetrische
Bewehrung erfolgen – bei zentrischer Beanspruchung unabhängig
von d1/h.
ν
Ed
5
89
3× 10 30 3× 10
NEd
−3,5
= = = −1,
43
bh ⋅ ⋅ f 0,35⋅0,35⋅20 cd
M
μ Ed = = 0
bh ⋅ ⋅ f
ωtot = 0,6
Ed
2
cd
bh ⋅ 35⋅35 A
2
stot , = ωtot
= 0,6 = 33,8 cm
fyd / fcd
21,74
Die Abweichung erklärt sich durch die Ablesegenauigkeit.
Bei zentrisch gedrückten Stützen ist die Betondruckfestigkeit entscheidend
für die erforderliche Bewehrung. Mit zunehmender Druckfestigkeit
vermindert sich die Bewehrung – und umgekehrt, s.
Übungsaufgabe.
f cd = 0,85 · f ck /γ c
= 0,85 · 30/1,5
= 17 N/mm 2
f yd = f yk /γ s
= 500/1,15
= 435 N/mm 2
= 43,5 kN/cm 2
Es gibt Tabellen, die die
aufnehmbare Druckkraft
des Betons und der Bewehrung
angeben, vergl.
[7] Anhang Tafel A10.
Anhang Tafel A5
Zu beachten ist, dass in
diesen Tafeln f cd abweichend
definiert ist:
f cd = f ck /1,5
Einzusetzen ist h (nicht d
wie bei Biegung).
5

78 5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder
5
DIN 1045-1, 12.8.2 (1),
Tab. 27
DIN 1045-1, 12.4,
Bild 54: für lotrechte
Stäbe liegen gute Verbundbedingungen
vor
DIN 1045-1, 12.8.3,
Bild 59
DIN 1045-1, 13.5.3 (4)
und (5), vergl. [2]: Maximalabstände
sind in einem
Bild übersichtlich zusammengestellt
DIN 1045-1, 13.5.2 (2)
Der maximale Bewehrungsgrad
beträgt 9 %.
DIN 1045-1, 12.8.1,
Bild 57
Stoß der Bewehrung
Alle Stäbe werden oberhalb des Fundaments gestoßen, s. Bild 5.2.
ls = lb, net ⋅ α1
≥ α ⋅α1⋅ l
Aserf
,
lbnet , αa
lb
Asvorh
,
0,3 a b
≥ 15ds ≥ 200 mm
= αa = 1,0 gerade Stabenden
lb = 101 cm
α1 = 1,0 Druckstoß
32,6
l s = 1, 0 101 = 89 cm
37,0
>0,3⋅ 101 = 30,3 cm
> 15 ds = 42 cm
Im Bereich von Übergreifungsstößen müssen die Querzugspannungen,
die bei der Kraftübertragung entstehen, durch eine Querbewehrung
– Bügel – aufgenommen werden. Die Querschnittsfläche aller
Bügel im Stoßbereich ∑ Ast muss mindestens dem Querschnitt eines
gestoßenen Stabes As entsprechen.
∑ Ast ≥ 1,0 As = 6,16 cm 2 ∅28
Die Bügel sind je zur Hälfte am Anfang und Ende des Stoßes anzuordnen.
Bei Druckstößen ist wegen der Spaltgefahr ein Bügel im
Abstand von 50 mm vom Stoßende erforderlich.
Gewählt jeweils 4 Bügel Ø10 im äußeren Drittel der Verankerungslänge:
2 · 3,14 = 6,28 cm², s. Bild 5.2.
Außerhalb des Stoßes werden die Bügel im Abstand
≤ 12d = 12⋅ 2,8 = 33,6 cm
sw = 30 cm sl ,
≤ = 35 cm
hmin
≤ 300 mm
angeordnet. Unmittelbar über und unter der Deckenkonstruktion sind
die Bügelabstände mit dem Faktor 0,6 zu reduzieren, d. h. es wird ein
zusätzlicher Bügel angeordnet.
Im Stoßbereich beträgt der Bewehrungsgrad:
A / 2 37,0/352 s A c = ⋅ = 0,06 < 0,09
Die gestoßenen Stäbe liegen nebeneinander. Zwischen den gestoßenen
Stäben ist ein lichter Abstand von 2 ds,l erforderlich. Für die in
Bild 5.2a gewählte Anordnung der Stäbe, Betondeckung cv = 3,0 cm,
ergibt sich ein lichter Abstand von
(35− 2(3,0 + 1,0) −4⋅ 2,8) / 2 = 7,9 cm.

5.1 Gebäudestützen 79
Die Bügel sichern die Längsstäbe, jedoch nur bis zu einem Abstand
von 15 ds,bü aus der Ecke. Der Abstand des mittleren Stabes vom
Eckstab beträgt
35/2 – (3,0 + 1,0) – 2,8 = 10,7 cm < 15 ds,bü = 15 cm.
5.1.2 Randstütze
Die Stütze in Achse A des in Bild 4.8 dargestellten Lagergebäudes –
hinreichend ausgesteift – wird bemessen. Sie ist monolithisch mit dem
Fundament und der Deckenkonstruktion verbunden, Bild 5.3. Auf
Grund der Randlage ist sie direkter Beregnung ausgesetzt.
25
3,50
3,50
–28
–56
Bild 5.3: Randstütze – Ersatzrahmen, Biegemomente
Baustoffe
Beton C30/37 Betonstahl BSt 500 S
Schnittgrößen
NEd = – 1500 kN MEd s. Bild 5.3
Zu bearbeiten sind:
• Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse,
Betondeckung
• Nachweis der Schlankheit
• Bemessung
• Darstellung der Bewehrung im Querschnitt
Expositionsklasse, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung
XC4 C25/30 Bewehrungskorrosion
XF1 C25/30 Betonangriff
56
28
DIN 1045-1,
13.5.3 (7), vergl. [2]:
erläuterndes Bild
DIN 1045-1, 6.2,
Tab. 3
5

80 5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder
5
DIN 1045-1, 6.3,
Tab. 4
Anhang Tafel A7 enthält
den jeweils ungünstigsten
Wert c nom für Korrosionsschutz
oder Verbundsicherung.
[7] Abschnitt 7.2,
Bild 7.2
DIN 1045-1,
8.6.3 (4) und (9)
cmin = 25 mm
Δc = 15 mm
cnom,bü = 25 + 15 = 40 mm
Angenommen werden Längsstäbe Ø25, Bügel Ø8. Bei dieser verhältnismäßig
großen Betondeckung erübrigt sich die Überprüfung der
Verbundsicherung der Längsstäbe – unabhängig vom Durchmesser.
cv = 40 mm Verlegemaß
Nachweis der Schlankheit
Die Stütze ist am Kopf elastisch in die Deckenkonstruktion eingespannt,
am Fuß liegt eine starre Einspannung in das Fundament vor.
Wie bei der Innenstütze, Abschnitt 5.1.1, bleibt zur Vereinfachung die
elastische Einspannung in die Deckenkonstruktion unberücksichtigt.
lcol = 3,50 m Stützenlänge
l0 = 0,7 lcol = 0,7 · 3,50 = 2,45 m Ersatzlänge
λ = l0/i Schlankheit
i = 0,289 h Trägheitsradius bei Rechteckquerschnitten
λ = 2,45/(0,289 · 0,25) = 33,9
Die Stützenverformung hängt nicht nur von der Schlankheit der Stütze,
sondern auch vom Verlauf der planmäßigen Biegemomente ab. Es
ist vorteilhaft, wenn die Momente nicht in voller Größe über die gesamte
Stablänge wirken; am günstigsten sind gegenläufig wirkende
Momente an den Stabenden. Demzufolge brauchen die Stützen bei
unverschieblichen Tragwerken auch dann nicht nach Theorie II. Ordnung
berechnet zu werden, wenn die Schlankheit folgenden Wert
nicht überschreitet:
λ crit = − e 01/e02 25 (2 )
e 01,e 02 Lastausmitten an den Stabenden
e02 ≥ e01
Die Stützen sind jedoch zusätzlich zur aufzunehmenden Längskraft
NEd mindestens für
M = N ⋅ h/20
Ed Ed
zu bemessen. Dabei ist h die Querschnittsseite der Stütze in der betrachteten
Richtung.
Die Momente sind gegenläufig
( 56) / ( 1500)
e 02 = − −

5.1 Gebäudestützen 81
(28) / ( 1500) / 2
e01 = − = − e02
λcrit = 25 (2 −− ( 0,5)) = 62,5
> λ = 33,9
Es ist kein Nachweis nach Theorie II. Ordnung erforderlich. Auch für
die Randstütze im Obergeschoss, die an beiden Enden elastisch eingespannt
ist, kann der Nachweis nach Theorie II. Ordnung entfallen:
l0 = lcol
Mindestmoment
λ = 3,50 / (0, 289⋅ 0, 25) = 48,4
< λcrit = 62,5
M Ed, min = 1500⋅ 0,25/ 20 = 18,8 kNm
Bemessung
Die Stütze ist zu bemessen für:
< 56 kNm
NEd = – 1500 kN MEd = 56 kNm
Gewählt wird symmetrische Bewehrung mit dem Achsabstand vom
Rand
d1 = 4,0 + 0,8 + 2,5/2 = 6,1 cm
d1/h = 6,1/25 = 0,24 gewählt d1/h = 0,25
NEd
−1,
5
νEd = = = −0,86
bh ⋅ ⋅ f 0,35⋅0,25⋅20 cd
M Ed 0,056
μEd = = = 0,13
bh ⋅ 2⋅ f 0,35 ⋅0, 252⋅20 ωtot < 0,5
As,tot = ω
tot
cd
bh ⋅ 35⋅25 = 0,5 = 20,1 cm
f / f 21,74
2
yd cd
gewählt 2 · 2 Ø25 = 19,6 cm 2
Aus den Diagrammen sind zugleich die Dehnungen abzulesen:
εc2 = – 3,5‰ und – 0,67 < εs1 < 0. Der Querschnitt ist voll überdrückt,
auch die Bewehrung am minder beanspruchten Rand wird
auf Druck beansprucht. Daraus ist zu schließen, dass bei höherer
Betondruckfestigkeit weniger Bewehrung erforderlich ist – und
umgekehrt, vergl. Übungsaufgabe.
Zur Vereinfachung bleibt
die elastische Einspannung
bei der Ermittlung
der Ersatzlänge unberücksichtigt.
In der Regel
erübrigt sich bei Randstützen
in ausgesteiften
Gebäuden der Nachweis
nach Theorie II. Ordnung.
Tafel s. [8]
Zu beachten ist, dass in
diesen Tafeln fcd abweichend
definiert ist:
f cd = f ck /1,5
Einzusetzen ist h (nicht d
wie bei Biegung).
Der abgelesene Wert
ω tot = 0,5 und die für
d 1/h = 0,25 gewählte
Tafel liegen auf der sicheren
Seite, so dass die
knapp gewählte Bewehrung
vertretbar ist.
5

82 5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder
5
DIN 1045-1,
13.5.2 (1), Gl. (155)
DIN 1045-1,
13.5.1 (2)
vergl. [2] erläuterndes
Bild
DIN 1045-1, 13.5.3 (3)
mit Hinweis auf Bild 56e)
DIN 1045-1, 8.6.3
Gl. (27) bis (29)
Der mechanische Bewehrungsgrad ωtot ist geringer als bei der Innenstütze
Abschnitt 5.1.1, so dass sich die Kontrolle der Maximalbewehrung
im Stoßbereich erübrigt. In Hinblick auf geringere Bewehrung in
den oberen Geschossen wird die Mindestbewehrung nachgewiesen.
A , = 0,15 N / f
s min Ed yd
Bemessungswert der aufzunehmenden Druckkraft
NEd
A smin , = 0,15⋅ 1500 / 43,5 = 5, 2 cm²
Konstruktiv ist in jeder Ecke mindestens ein Stab Ø12 anzuordnen.
Bewehrung im Querschnitt
Bild 5.4 zeigt die Bewehrung im Querschnitt. Der Bügelabstand beträgt
s w = 25 cm ≤ 12 dsl
, = 12⋅ 2,5 = 30 cm
≤ = 25 cm
hmin
≤ 300 mm.
Die Bügel sind durch Haken zu schließen. Bei der Vermaßung der
Bügel ist zu beachten, dass immer die Außenmaße anzugeben sind.
25
35
2∅25 ∅8–25
17
Bild 5.4: Randstütze – Bewehrung
5.2 Hallenstütze
Bügel ∅8–25
c = 4,0 cm
Die Stützen der in Bild 5.5 dargestellten Halle sind nach Theorie
II. Ordnung zu bemessen, weil die Schlankheit die Grenzwerte überschreitet.
Zu den planmäßigen Biegemomenten infolge Wind kommen
die Momente infolge ungewollter Ausmitte. Die daraus resultierenden
Verformungen, die das Biegemoment vergrößern, sind in den Nomogrammen
enthalten, die gleichzeitig zur Bemessung dienen. In
Längsrichtung ist die Halle ausgesteift; sie ist als geschlossenes Gebäude
einzustufen.
v
27