Statistische Intervalle

2.1 KonfidenzintervalleDie Dichtefunktion der Normalverteilung hängt von den Parametern µ undσ 2 ab. Wir wollen im Folgenden Konfidenzintervalle für jeden der beidenParameter herleiten. Wie man ein simultanes Konfidenzintervall für beideParameter erhält, wird von Mood et al. (1974) auf den Seiten 384-385 beschrieben.2.1.1 Konfidenzintervall für µIst die Varianz der Grundgesamtheit bekannt, so ist das Konfidenzintervallfür µ bei Normalverteilung gegeben durch:[¯X − z 1−α/2σ √n , ¯X + z 1−α/2σ √n](31)Dabei ist z 1−α/2 das 1 − α/2-Quantil der Standardnormalverteilung.Es gilt nämlich()σP ¯X − z 1−α/2 √n ≤ µ ≤ ¯X σ+ z 1−α/2 √n)σ= P(−z 1−α/2 √n ≤ µ − ¯X σ≤ z 1−α/2 √n)σ= P(−z 1−α/2 √n ≤ ¯X σ− µ ≤ z 1−α/2 √n= P(−z 1−α/2 ≤ ¯X )− µσ/ √ n ≤ z 1−α/2=Φ(z 1−α/2 ) − Φ(−z 1−α/2 )=1− αSchauen wir uns das Konfidenzintervall in Gleichung (31) unter praxisrelevantenGesichtspunkten an. Bei einer Datenanalyse wird σ 2 in der Regelunbekannt sein. Es liegt nahe, σ 2 durchS 2 = 1n − 1n∑ (Xi − ¯X ) 2i=113