Statistische Intervalle

Oft sucht man einseitige Prognoseintervalle. Man will also wissen, welchenWert die nächste Beobachtung mindestens oder höchsten annimmt.Bei Normalverteilung gibt es folgende einseitige Prognoseintervalle[¯x − t n−1;1−α s √ 1+1/n, ∞) (48)(−∞, ¯x + t n−1;1−α s √ 1+1/n] (49)Dabei ist t n−1;1−α das 1−α-Quantil der t-Verteilung mit n−1 Freiheitsgraden.Beispiel 1 (fortgesetzt von Seite 19)Der Arbeitnehmer will wissen, welchen Wert seine Fahrzeit am nächsten Tagnicht überschreiten wird. Er stellt ein einseitiges Prognoseintervall zur Sicherheit0.95 auf. Es gilt n =9,¯x = 1800 und s = 135.4. Mit t 8;0.95 =1.86erhalten wir folgendes Prognoseintervall(−∞, 2065.4]Will er wissen, welchen Wert seine Fahrzeit am nächsten Tag überschreitenwird, so erhält er folgendes einseitige Prognoseintervall zur Sicherheit 0.95:[1534.6, ∞)2.3 ToleranzintervalleSind die Parameter µ und σ 2 unbekannt, so ist das zweiseitige Toleranzintervallbei Normalverteilung gegeben durch[¯x − q 1−α,p,n s, ¯x + q 1−α,p,n s] (50)Dabei gilt√n − 1q 1−α,p,n = rχ 2 α,n−1(51)mit( ) ( )11Φ √n + r − Φ √n − r = p (52)Dabei ist χ 2 α,n−1 das α-Quantil der χ 2 -Verteilung mit n − 1 Freiheitsgradenund Φ(z) der Wert der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ander Stelle z.21