Statistische Intervalle

Dabei ist t n−1;1−α/2 das 1 − α/2-Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.Schauen wir uns ein Beispiel an, bevor wir zeigen, wie man dieses Intervallgewinnt.Beispiel 1 (fortgesetzt von Seite 18)Der Arbeitnehmer sucht ein Prognoseintervall für die Fahrzeit des nächstenTages zur sicherheit 0.95. Es gilt n = 9, ¯x = 1800 und s = 135.4. Mitt 8;0.975 =2.306 erhalten wir folgendes Prognoseintervall[1470.9, 2129.1]Um das Intervall herzuleiten, fragen wir uns zunächst, wie wir den Wert vonX n+1 prognostizieren sollen. Da er möglichst nahe an allen Beobachtungenliegen sollte, bieten sich zwei Kriterien an. Wählt man als Maß für die Nähe,die euklidische Distanz, so erhält man folgendes Kriteriumn∑min |x i − x n+1 | (44)i=1Die quadrierte euklidische Distanz liefertn∑min (x i − x n+1 ) 2 (45)i=1Im ersten Fall prognostiziert man x n+1 durch den Median, im zweiten Falldurch den Mittelwert der Beobachtungen. Da die Verteilung des Mittelwertsangegeben werden kann, verwenden wir diesen. Als Ausgangspunkt der Konstruktiondes Prognoseintervalls wählen wir X n+1 − ¯X. Wir gehen im Folgendendavon aus, dass die Zufallsvariablen X 1 ,...,X n ,X n+1 unabhängig undidentisch mit den Parametern µ und σ 2 normalverteilt sind. Unter diesenAnnahmen giltundE(X n+1 − ¯X) =E(X n+1 ) − E( ¯X) =µ − µ =0Var(X n+1 − ¯X) =Var(X n+1 )+Var( ¯X) =σ 2 + σ2n = σ2 (1 + 1/n)Außerdem ist X n+1 − ¯X normalverteilt. Also istX n+1 − ¯Xσ √ 1+1/n(46)19