Statistische Intervalle

2.1.2 Konfidenzintervall für σ 2Wir gehen wiederum davon aus, dass Normalverteilung vorliegt und wollenein Konfidenzintervall für σ 2 aufstellen. Um zu verstehen, wie man dies erhält,schauen wir uns noch einmal das Konfidenzintervall für µ an. Bei diesem sindwir von¯X − µS/ √ nausgegangen. Diese Zufallsvariable ist mit n − 1 Freiheitsgraden t-verteilt,wenn die Zufallsvariablen X 1 ,...,X n unabhängig und mit den Parameternµ und σ 2 normalverteilt sind. Somit gilt(P −t n−1,1−α/2 ≤ ¯X )− µS/ √ n ≤ t n−1,1−α/2 =1− αFormen wir den Ausdruck in der Klammer so um, dass µ isoliert ist, so habenwir das Konfidenzintervall für µ gefunden.Die Vorgehensweise zeigt, wie man ein Konfidenzintervall für einen Parameterfinden kann. Man benötigt eine Stichprobenfunktion,1. die von dem unbekannten Parameter abhängt2. deren Verteilung bekannt istUm ein Konfidenzintervall für σ 2 aufzustellen, liegt es nahe, vonS 2 = 1n − 1n∑ (Xi − ¯X ) 2i=1auszugehen, da S 2 eine erwartungstreue Schätzfunktion von σ 2 ist. Multipliziertman S 2 mit n − 1 und dividiert die so gewonnene Größe durch σ 2 ,soerhält man(n − 1) S 2(39)σ 2Die Zufallsvariable in Gleichung (39) genügt den Anfoderungen 1 und 2. Siehängt von σ 2 ab und ist χ 2 -verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Dies zeigenMood et al. (1974) auf den Seiten 243-245. Somit giltP(χ 2 n−1,α/2 ≤(n − 1) S2σ 2)≤ χ 2 n−1,1−α/2 =1− α (40)Dabei sind χ 2 n−1,α/2 das α/2-Quantil und χ2 n−1,1−α/2χ 2 -Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.das 1 − α/2-Quantil der17