Technische Universität Berlin Seminararbeit - Tell Fecheriye

7 Netzmessung und Ausgleichung der Beobachtungen
wobei x 0 i und y0 i die Näherungskoordinaten, und x′ 0
i und x ′ 0
i die auf den Schwerpunkt
(x 0 s, y 0 s) reduzierten Näherungskoordinaten sind.
Damit gilt für die ausgeglichenen Koordinaten ebenfalls:
�xi − �xs = �x ′
i
�yi − �ys = �y ′
i
Dabei sollen �xs und �ys die Koordinaten des Schwerpunktes und �xi und �yi die
ausgeglichenen Koordinaten darstellen. Durch die ersten drei Bedingungen hat
man mit dieser Reduzierung erreicht, dass der Schwerpunkt des einzupassenden
Netzes über dem Schwerpunkt des Netzes der Näherungskoordinaten liegt. Den
funktionalen Zusammenhang zwischen den ausgeglichenen reduzierten Koordinaten
und den reduzierten Näherungskoordinaten, bezogen auf die Rotation um
den Schwerpunkt, kann man mit einer 3-Parameter-Transformation ausdrücken:
�x ′
�y ′
= cosϕx ′ 0 − sinϕy ′ 0
= sinϕx ′ 0 + cosϕy ′ 0
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Da die kleinste rotatorische Verschiebung in X- und Y-Richtung gesucht wird,
ist zu erwarten, dass der Winkel ϕ sehr klein sein wird. Dadurch können die
nichtlinearen Terme mit der Approximation sinϕ ≈ ϕ und cosϕ ≈ 1 eliminiert
werden, und es ergibt sich
�x ′
�y ′
= x ′ 0 − ϕy ′ 0 ⇔ �x ′
= ϕx ′ 0 + y ′ 0 ⇔ �y ′
− x ′ 0
= −ϕy
� �� �
dx=x
′ 0
− y ′ 0
= ϕx
� �� �
dy=y
′ 0
.
Die Koordinatenunterschiede dy und dx sind abhängig von ϕ und den Näherungskoordinaten.
Prinzipiell muss bei nichtlinearen Problemen im Differentiellen
gerechnet werden, d.h. es werden keine absoluten Koordinaten berechnet,
sondern Differenzen zu den Näherungskoordinaten. Bei der differentiellen
Betrachtung der Bedingung kommt zum Ausdruck, wie sich eine Änderung eines
Parameters auf die Verschiebung in die jeweilige Richtung auswirkt. Die partiellen
Ableitungen von x und y nach dem Parameter ϕ lauten:
∂x
∂ϕ = −y′ 0
und
∂y
∂ϕ = x′ 0
Aufgrund einer Rotation ändert sich sowohl die Y-, als auch die X-Komponente
eines Punktes. Mit dem Totalen Differential
∆ = x ′ 0
i y i − y ′ 0
i xi
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