Numerische Löser (Zeitintegrationsverfahren) - IAG - Universität ...

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Inhaltsverzeichnis
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0 Einführung 0
I Runge-Kutta-Verfahren 2
II Adams-Bashforth-Verfahren
(mit Euler-Explizit und Leapfrog)
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III Adams-Moulton-Verfahren (mit Euler-Implizit) 15
IV Gear-Verfahren 22
V Adams-Prädiktor-Korrektor-Verfahren
a) niedrige Fehlerordnung 27
b) höhere Fehlerordnung 31
Einführung
• Modell-G-DGL y´ = α y
Exakte Lösung y = y0exp(αx)
α = αr + iαi , komplexe Konstante; Sonderfälle:
1. α = iαi : neutrale Schwingung mit der Wellenzahl αi ;
die komplexe G-DGL entspricht dem System der zwei
reellen DGLs yr´ = – αi yi , yi´ = αi yr ,
und es genügt, yr zu betrachten. Beispiel:
αi = π: yr = y0rcos(πx) − y0isin(πx);
mit y0r = 1, y0i = 0: yr = cos(πx), s. Seite 1a, links.
2. α = αr : reines exponentielles Abklingen (αr < 0). Bsp.:
αr = –1: y = yr = y0e –x ;
mit y0 = 1: y = e –x , s. Seite 1a, rechts.
Die komplexe Modell-G-DGL erlaubt eine kompakte analytische Darstellung
der tatsächlichen numerischen Integration mit der Schrittweite h, xn+1 = xn + h.
• Stabilität (→ Stabilitätslimit für die Integrationsschrittweite h)
Bedingung für Stabilität: ⎢yn+1 / yn ⎢= ⎢P ⎢≤ 1 für αr ≤ 0, αi beliebig.
P ist das charakteristische Polynom des numerischen Verfahrens.
Pexakt = exp(αh) = 1 + (αh) + 1/2(αh) 2 + 1/6(αh) 3 + 1/24(αh) 4 + 1/120(αh) 5 +…
Beispiel: Euler explizit, yn+1= yn + h(αy)n = yn (1 + αh) → P = 1 + αh.
Der Vergleich mit Pexakt zeigt auch die Abbruchfehlergenauigkeit des Verfahrens
an. Das explizite Euler-Verfahren ist von erster Ordnung, O(h 1 ) oder kurz
O1, da es die exakte Reihe bis zum Term mit h 1 reproduziert.
Stabilitätskurve s(Θ):
Auftragung von ⎢P(αh) ⎢= 1 in der komplexen Ebene αrh – αi h.
Θ: Winkel zwischen der negativen reellen Achse und dem Vektor αh.
Das Schrittweitenlimit ist dann: